文档内容
专题 08 二次函数 y=ax ²的图象和性质（2 个知识点
11 种题型 1 个易错考点 2 个中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：二次函数y=ax²的图象的画法
知识点2：二次函数y=ax²的图象和性质（重难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：画二次函数y=ax²的图象
题型2：利用二次函数y=ax²的图象和性质求字母的值
题型3：利用二次函数y=ax²的性质判断抛物线的开口方向和大小
题型4：一题多解——比较函数值的大小
题型5：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式
题型6：双图象问题
题型7：规律探究题
题型8：二次函数y=ax²与一次函数的综合
题型9：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换
题型10：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论
题型11：数形结合思想的运用
【方法三】 差异对比法
易错点：比较抛物线y=ax²开口大小时，弄混规律而出错
【方法四】 仿真实战法
考法1：二次函数y=ax²的图象
考法2：二次函数y=ax²的性质
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1、会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象。
2.能确定二次函数y=ax2(a≠0)的图象的顶点坐标，开口方向和对称轴。
3.探索二次函数y=ax2(a≠0)的图象的作法和性质。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：二次函数y=ax²的图象的画法
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做
抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的
顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，
它的最小值就是最低点的纵坐标.
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数 的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …… 4 1 0 1 4 …
4 4
y3 3
2 2
1 1
x
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，
如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数 的图像，如图2所示．
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称
轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
【例1】 画出二次函数y=x2的图象.【例2】 画出二次函数y=-x2的图象.
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 …
… …
知识点2：二次函数y=ax²的图象和性质（重难点）
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）
值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而增大； y =0
最小
x<0时，y随
x增大而减小.
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而减小； y =0
最大
x<0时，y随
x增大而增大.
要点诠释：
a
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
【例3】抛物线y=﹣x2不具有的性质是（ ）．
A.开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点
【例4】抛物线 开口方向是（ ）A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【例5】对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数图象开口向下
C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小
【例6】若二次函数 的图像经过点 ，则该图像必经过点（ ）
A． B．（ C． D．
【例7】二次函数 的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是
______．
【例8】抛物线 ， ， 的共同性质是__________（写出一条即可）
【例9】已知二次函数 的图象经过点 ．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点 是否在此函数的图象上．
【例10】根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数 ，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝ 有最大值；
(3)抛物线 与 的形状相同；
(4)函数 的图象是开口向上的抛物线．【方法二】实例探索法
题型1：画二次函数y=ax²的图象
1.已知二次函数 的图像经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，
画出它的图像．
题型2：利用二次函数y=ax²的图象和性质求字母的值
2．如果抛物线 的开口方向向下，那么a的取值范围是 ．
3．如果抛物线 有最高点，那么 的取值范围是 ．
4.抛物线 与 的形状相同，则a的值为______．
5.已知关于 的二次函数 ，当 为何值时，它的图像开口向上？当 为何值时，它的图像开口
向下？
6.已知二次函数 的图像开口向下，求m的值．题型3：利用二次函数y=ax²的性质判断抛物线的开口方向和大小
7．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，① ，② ，③ ，④ ，比较
a．b．c．d的大小，用“ ”连接．__________
8.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 、 的图像；
（2）函数 、 的图像与函数 的图像，有何异同？
9.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 、 、 的图 像；
（2）函数 、 、 的图像与函数 、 、 的图像有何异同？
题型4：一题多解——比较函数值的大小1
10．函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b， 4 )，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或
“＝”号)．
11．已知 ，点 都在函数 的图象上，则( )
A． B． C． D．
12．已知点 ， 是抛物线 上的两点，若 ，则 _____ （填“ ”“
”或“ ”）．
题型5：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式
13.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时
水面宽度10米．
（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；
（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？
y
O
x
C D
A B
14.已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线 的开口方向相反，
而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．
题型6：双图象问题15.函数 与 的图像可能是（ ）
y y y y
O O
O x x x O x
A． B． C． D．
题型7：规律探究题
16．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，过x轴正半轴上一点E作x轴的垂线，分别与抛物线
， 交于点B，A，过点A作 轴，交抛物线 于点C，过点B作
轴，交抛物线 于点D，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
17．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）如图，分别过点 作 轴的垂线，交
的图象于点 ，交直线 于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．18．（2023·四川达州·统考一模）如图，已知点 在函数 位于第二象限的图像上，点
在函数 位于第一象限的图像上，点 在 轴的正半轴上，若四边形
都是正方形，则正方形 的边长为( )
A．1012 B． C． D．
19．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，点 、 、 、…、 在抛物线 图象上，点
、 、 、…、 在y轴上，若 、 、…、 都为等腰直角三角形（点 是坐
标原点），则 的底边长为 ．
20．（2021春·全国·九年级专题练习）二次函数 的图象如图所示，点A 位于坐标原点，点A，
0 1A，A，…，A 在y轴的正半轴上，点B，B，B，…，B 在二次函数 位于第一象限的图象上，
2 3 2013 1 2 3 2013
若△ABA，△ABA，△ABA，…，△A B A 都为等边三角形，求△A B A 的边长．
0 1 1 1 2 2 2 3 3 2012 2013 2013 2012 2013 2013
题型8：二次函数y=ax²与一次函数的综合
21．如图，直线 与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．
(1)求a，b的值；
(2)连接OC、OB，求 BOC的面积．
△
22．（2022春·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点 ，且与抛物线 相交于B、C两点．B点坐标为 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 ，求点D的坐标．
题型9：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换
23.若把抛物线 （ ）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线
（ ）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的
两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．
题型10：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论
24.如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线 （ ）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，
2．若 为直角三角形，求a的值．y
B
A
O x
题型11：数形结合思想的运用
25．（2022秋·北京通州·九年级人大附中通州校区校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行
于x轴的直线，与直线y=x−2交于点A，点A关于直线x=2的对称点为B．
(1)求点A与点B的坐标；
(2)若函数 的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
26.如图，在正方形 中，已知：点A，点B在抛物线 上，点C，点D在x轴上．
(1)求点A的坐标；
(2)连接 交抛物线于点P，求点P的坐标．【方法三】差异对比法
易错点：比较抛物线y=ax²开口大小时，弄混规律而出错
27.函数 ， ， 中，图象开口大小的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【方法四】 仿真实战法
考法1：二次函数y=ax²的图象
1．（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
考法2：二次函数y=ax²的性质
2．（2016•防城港）抛物线y＝ ，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021•安顺）二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
4．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： ．
5．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·湖南株洲·校考三模）如图，A、B、C三点均在二次函数 的图像上，M为线段AC的中点，
轴，且 ．设A、C两点的横坐标分别为 、 （ ），则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）抛物线 与 相同的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
3．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）下列是关于二次函数 的图像表述：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的开口向下；
③抛物线的顶点是 ；
④抛物线关于 轴对称；⑤抛物线在 轴左侧部分自左向右呈下降趋势；
⑥抛物线在 轴右侧部分自左向右呈下降趋势；其中正确的（ ）
A．①③④ B．②③④⑤ C．②③④⑥ D．①③④⑤
4．点 ， 都在抛物线 上．若 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
5．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）已知二次函数 的图象上有三个点
，则有（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·辽宁鞍山·统考一模）已知点 ， 是函数 图象上的两点，且当
时，有 ，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）已知 ，点 都在函数
的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线 对称 B．抛物线开口向下
C． 随着 的增大而减小 D．图象的顶点为原点
9．在同一坐标系中，作 、 、 的图象，它们共同特点是（ ）
A．都是关于 轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于 轴对称，抛物线开口向下
C．都是关于原点对称，顶点都是原点 D．都是关于 轴对称，顶点都是原点
10．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知点 为二次函数 图象上的两点（不为顶点），则
以下判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则11．（2023春·陕西延安·九年级专题练习）已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，过 作两条互相垂
直的直线分别与抛物线交 于点 、 ，连接 ．求 边上的高的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022春·广东河源·九年级和平县上陵中学校考阶段练习）若点 在抛物线 上，则m的值
为 ，点A关于y轴对称点的坐标是 ．
13．若二次函数 的图像经过点 ，则a的值为 ．
14．已知抛物线 在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是 ．
15．二次函数 的开口方向是 ．
16．已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
17．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，正方形 的顶点B在抛物线 的第一象限
的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线 的长为 ．
18．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次
函数 和 分别交于A、B和C、D四个点，若 ，则a的值是 ．19．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，O为坐标原点，点 在y轴的正半轴上，点
在函数 位于第一象限的图象上，若 ， ， ，…，
都是等边三角形，则线段 的长是 ．
三、解答题
20．（2022春·九年级单元测试）若函数 的图象是一条抛物线．当 满足什么条件时，抛物
线有最低点？求出这个最低点，并说明这时抛物线的开口方向、增减性．
21．抛物线 上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标．22．（2021春·八年级课时练习）函数 为二次函数，
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当 时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．
23．（2022春·河南南阳·八年级统考期中）我们已经熟悉，y＝x是正比例函数，y＝ （y＝x-1）是反比例
函数从形式上看它们只是指数不同如果一个函数，底数是自变量xy指数是常量a．即y＝xn，这样的函数称
为幂函数如y＝x，y＝x-1，y＝x2，y＝x5，y＝x-4等都是幂函数．
在研究一次函数时，我们研究的方法是“从特殊到一般”，借助图象了解其性质对幂函数的研究，我们也
可从“特殊”入手先在下面的坐标系中画出函数y＝﹣x2的图象，再观察图象至少写出它的一条性质．
24．（2022春·江苏·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出 和 的图象．
【详解】解：列表如下：
x 0 1 2
12 0 3 120
描点：如图所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，则 和 的图象如图所示．
25．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）抛物线 经过点 ，不求a的大小能否判断抛
物线是否经过 和 两点？26．（2021春·江苏·九年级专题练习）如图，点 是 轴负半轴上的一点，经过点 作直线，
与抛物线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），连接 、 ，设点 的横坐标为 ．
（1）若点 的坐标为 ，求点 的坐标；
（2）若 ， ，求 的值，并证明： ；
（3）若 ，问“ ”这一结论还成立吗？试说明理由．
