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第 26 章 反比例函数（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
一、反比例函数的概念
1）反比例函数的概念
一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成 的
形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2）反比例函数 （k是常数，k 0）中x，y的取值范围
¿
反比例函数 （k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范
围也是非零实数．
【例1】（2023·河北石家庄·九年级校考阶段练习）下列关系式中， 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义：形如 的函数是反比例函数，即可得到答案．
【详解】解：A、 中，y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
B、 中，y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
C、 可得 ，y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
D、 中，y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式】（2023·四川成都·九年级校考期中）下列函数是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的判断．根据“形如 的函数关系，称为y关于x的反比例
函数”，即可求解．
【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、是反比例函数，故本选项符合题意；
D、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C
二、反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四
象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例2】（河北省沧州市2023-2024学年九年级月考数学试题）已知反比例函数的图象经过点 ，则
这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质：当 时，图象位于一、三象限；当 时，图象位于二、四
象限．还考查了待定系数法求函数解析式．设反比例函数解析式为 ，根据待定系数法求出 的值，即
可判断．
【详解】解：设反比例函数解析式为 ，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴
∴这个函数的图象位于第一、三象限
故选：A．
【变式】（2023·山东泰安·九年级统考期中）反比例函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数 ，当 时，
图象位于第一象限和第三象限；当 时，图象位于第二象限和第四象限．根据反比例函数的图象和性质
即可进行解答．
【详解】解： ，
，
反比例函数 的图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限，
故选：B．
三、反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
注：
1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数 中x≠0
且y≠0．
3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．
当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大
而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
【例3】在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点 ．(1)求反比例函数 表达式；
(2)已知反比例函数 图象的一支如图所示，补画这个函数图象的另一支；
(3)在平面直角坐标系中画出 的图象，利用图象求不等式 的解．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)画图见解析， 或
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）利用描点法补充函数图象；
（3）根据图象得出两函数图象的交点，再找到正比例函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值，即可
求解．
【详解】（1）解：将 代入 ，得： ，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）如图所示：（3）如图，可知： 与 的图象交于 和 ，
当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，
x的范围是 或 ，
∴不等式 的解集为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函
数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
四、反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因
此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系
数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
【例4】（2022·内蒙古呼和浩特·九年级统考期末）己知 与 成正比例， 与 成反比例，
当 时， ；当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当 时，求y的值．【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等
（1）设 ， ，得到 ，把 ， 代入得到方程组，求
出方程组的解即可；
（2）把 代入解析式求出即可．
【详解】（1）解： 与 成正比例， 与 成反比例，
设 ， ，
，
，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
，
答： 与 的函数关系式是 ．
（2）解：当 时， ，
答：当 时， 的值是5．
【变式】（2023·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，一次函数 和 的
图象相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 ．一次函数 的图象与反比例函数的图象的另一个交点为 ，连接 ；
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求 的面积
(3)直接写出 时， 的取值范围；
(4)在 轴上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在请求出 点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4)在 轴上存在点 或 或 使 为直角三角形．
【分析】（1）联立一次函数 和 ，解出 点坐标，代入反比例函数解析式即可求出；
（2）联立 和 解出 点坐标，进而设 与 轴交于点 ，根据
即可求解．
（3）结合图象即可得出答案；
（4）假设在 轴上存在 使 为直角三角形，用含 的代数式表示 ，然后根据勾
股定理分① ；② ；③ 三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：依题得解得 ，即
将 代入 得 ，即反比例函数解析式为： ；
（2）∵
解得： 或 ，即
设 与 轴交于点 ，
当 时， ，即 ，则 ,
∴
；
（3）结合图象可得当 时， 的取值范围是 或 ；
（4）如图，假设在 轴上存在 使 为直角三角形，① ，即
解得 或 ；
② 即
解得： ；
③ 即
解得： ；
综上所述，在 轴上存在点 或 或 使 为直角三角形．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，反比例函数和一次函数综合，勾股定理，掌握数形结合的思
想是解题关键．
五、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|；
△ABC △ACO
2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S =S +S = + = ；
△AOB △AOC △BOC
3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延长
线与x轴的交点，则S =S –S = – = ．
△AOB △AOC △BOC
【例5】（2024·辽宁沈阳·九年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）如图，过
轴上任意点 作 轴的平行线，分别与反比例函数 ， 的图象交于 点和 点．
连接 、 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数中比例系数 的几何意义，设出点 坐标，分别表示点 坐标，求出
的面积即可得答案．
【详解】解：设点 坐标为 ,
则点 坐标为 ， 点坐标为
∴
．故答案为： ．
【变式】（2023·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象
上有一点 ， 轴于点 ，点 在 轴上，则 的面积为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查反比例函数 中比例系数 的几何意义，熟练掌握比例系数 的几何意义
是解题的关键．连接 ，根据三角形面积公式得到 ，根据比例系数 的几何意义计算即可．
【详解】解：连接 ，
轴，
，
．
故答案为： ．
六、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范
围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范
围为 或 ．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例
函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的
取值范围．
【例6】（2023·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）如图，一次函数 的图象与反比
例函数 的图象交于 ， 两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出不等式 的解集；(3)设直线 与 轴交于点 ，若 为 轴上的一动点，连接 ， ，当 的面积为 时，求
点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，
（1）利用一次函数求出 ，问题随之得解；
（2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）先求出 ， ，表示出 ，根据 ，可得 ，
解方程即可求解．
【详解】（1）∵ 图象经过 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴反比例函数表达式为： ；
（2）由图可得，不等式 的解集是 或 ；
（3）设直线 交 轴于 ，交 轴于 ，在 中，当 时， ，
∴ ，
当 时，得 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
【变式】（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，
点A、B的横坐标分别为1， ，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数 ，当 时，写出x的取值范围；(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
BDP ODA
△ △
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得
出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，
以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为 ， ，再利用待定系数法即可求出一次函
数的解析式．
（2）当 时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为
．
（3）先求出 的面积为1，从而确定 的面积为 ，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为
，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标
分别为1，﹣2；
∴A ，B ；
把A、B的坐标代入 得 ；
解得 ；
∴一次函数的解析式为 ．（2）∵ ；
由图象可知，当 时， ．
（3）∵一次函数为 ；
∴D ；
∵A ，
∴ ；
∴ ，
设点P的坐标为： ， ；
∴ ， ；
当P在直线下方时，如图1，则；
；
解得 ；
∴点P ．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；
；
解得 ；
∴点P ；
综上可得：点P的坐标为： 或 ．核心素养提升
1. 数形结合思想
1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图， 的直径 ， 和 是它的两条切线， 与
相切于点E，并与 ， 分别相交于D，C两点．设 ， ．
(1)点O到直线 的距离为 ；
(2)求y与x的函数解析式．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）连接 ， 与 相切于点E，推导出半径 ，即点O到直线 的距离即为圆
的半径 ，据此解答；
（2）首先作 交 于F，可得四边形 是矩形；然后根据切线长定理得到 ，
，则 ；在直角 中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，∵ 与 相切于点E，
∴半径 ，
∴ 即为点O到直线 的距离，
∵ ，
∴ ，
（2）作 交 于F．如图2，
∵ 、 与 切于点定A、B，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
∵ 切 于E，
∴ ， ，
则 ，在 中，由勾股定理得： ，
整理为 ，
∴y关于x的函数解析式为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长的定理的应用，圆周角定理以及直线与圆的位置关系，勾股定理
的应用，反比例函数的应用等知识点，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理来解题．
2. 建模思想
2．（2023·江苏常州·统考一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为
“相等点”．例如 ……都是“相等点”．
(1)函数 图象上的“相等点”坐标是__________；
(2)已知 的圆心在直线 上且半径为5，若该圆上有且仅有一个“相等点”，请求出圆心P的坐
标；
(3)若抛物线 上有且仅有一个“相等点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N
的左侧）．当 时，在抛物线上是否存在点Q，使得 ，如果存在，请求出点Q坐标
（用含a或c的代数式表示）：如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) 和
(2) 或
(3)存在，
【分析】（1）令 ，即可求解；
（2）若该圆上有且仅有一个“相等点”，则圆 和直线 相切，进而求解；
（3）确定 ，得到直线 和 轴的夹角为 ，即可求解．【详解】（1）解：令 ，
解得： ，
则“相等点”坐标是： 和 ，
故答案为： 和 ；
（2）若该圆上有且仅有一个“相等点”，则圆 和直线 相切，设切点为 ，
过点 作 轴交直线 于点 ，
设点 ，则点 ，
由直线 知， ，
则 ，
即 ，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
则点 或 ；
（3）存在，理由：如图，过点 作 轴于 ，由题意可知， 与 有且只有交点，
则 ，
整理得： ，则该方程有两个相同的实数根，
即 ，
，
，
，
；
由根与系数的关系可知， ，
则 ，
又 两个根相等，
，
点 的坐标为 ， ，
，
则 可以写成 ①，
令 ，则 ，
解得： 或 ，
则点 的坐标为 ， ，
，
，
，
，
即直线 和 轴的夹角为 ，点 ， ，
则直线 的表达式为： ②，
联立①②并解得： ，
即点 （不合题意的值已舍去）．
【点睛】本题为二次函数综合题，本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及
圆的基本知识，分类讨论，数形结合是解题的关键．
3. 方程思想
3．（2023·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开
关，当导体两端电压 （单位： ）一定时，通过导体的电流 （单位： ）与导体的电阻 （单位：
）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当 时， ．(1)求电流 关于电阻 的函数关系式；
(2)当 时，求电阻 的值．
【答案】(1) ；
(2)电阻R的值为3Ω．
【分析】本题考查反比例函数的应用．
（1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式；
（2）将 代入函数关系式解出即可．
【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，
∴可设 ，
∵当 时， ．
∴ ，
∴电流I关于电阻R的函数关系式为： ；
（2）解：当 时， ，
解得 Ω，
答：电阻R的值为3Ω．
中考热点聚焦
热点1.反比例函数的图形与性质
1．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线 与双曲线 相交于点 ， ．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线 向下平移至 处，其中点 ，点 在 轴上．连接 ， ，求 的面积；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】 将 代入双曲线 ，求出 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点 代入
，确定 点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线 的解析式为 过点 作 交于 ，设直线 与 轴的交点为 ，
与 轴的交点为 , 可推导出 , 再由 ，求出 则
的面积
数形结合求出x的范围即可.
【详解】（1）将 代入双曲线 ，
∴ ,
∴双曲线的解析式为 ，
将点 代入 ，
∴ ,
∴ ,
将 代入 ,，
解得 ，
∴直线解析式为 ；
（2）∵直线 向下平移至 ,
∴ ,
设直线 的解析式为 将点 代入
∴ 解得
∴直线 的解析式为
∴
过点 作 交于 ,
设直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,，
，
∵ ，
，
，
∴ 的面积
（3）由图可知 时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形
结合是解题的关键.
2．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方
形 ， ．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点M，
轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
【答案】24
【分析】设 ，则 ，从而可得 、 ，由正方形的性质可得 ，由
轴，点P在 上，可得 ，由于Q为 的中点， 轴，可得 ，则，由于点Q在反比例函数 的图象上可得 ，根据阴影部分为矩形，且长为 ，
宽为a，面积为6，从而可得 ，即可求解．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∵Q为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵Q在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵P在 上，
∴P点纵坐标为 ，
∵P点在反比例函数 的图象上，
∴P点横坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知
识是解题的关键．
热点2.反比例函数与一次函数的综合应用
3．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y= (x<0)的图象交于点
A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y= ；
(2)图中阴影部分的面积为7．
【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S ABC- S OCD求解即可．
△ △
【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，
∴点A的坐标为(-1，3)，
∵反比例函数y= (x<0)的图象经过点A(-1，3)，
∴k=-1×3=-3，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，∴设直线l′的解析式为y=-x+m，
把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，
∴直线l′的解析式为y=-x+2，
直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，
直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，
∴图中阴影部分的面积=S ABC- S OCD= ×6×3- ×2×2=9-2=7．
△ △
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正
确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
4．（2022·重庆·统考中考真题）反比例函数 的图象如图所示，一次函数 （ ）的图象与
的图象交于 ， 两点，
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式 的解集；
(3)一次函数 的图象与x轴交于点C，连接 ，求 的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式为 ；函数图象见解析；
(2) 或
(3)2
【分析】（1）把 ， 分别代入 求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可；
（2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答；
（3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵一次函数 （ ）的图象与 的图象交于 ， 两点，
∴把 ， 分别代入 ，得，
，
解得， ，
∴ ， ，
把 ， 代入 ，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为 ；
画出函数图象如下图：（2）∵直线 与反比例函数 交于点A（1，4），B（-2，-2）
∴当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式 的解集为 或 ；
（3）如图，
对于 ，当 时， ，
解得， ，
∴点C的坐标为（-1，0）
∵A（1，4）
∴
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．热点3.反比例函数K的几何意义
5．（2020·四川巴中·统考二模）如图，直线 与反比例函数 的图象相交于 ， 两
点，延长 交反比例函数的图象于点 ，连接 ．
(1)求 和 的值；
(2)根据图象直接写出 的解集；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ， ；
(2) 或
(3)存在， 或 ．
【分析】（1）根据题意将 分别代入 和 ，求得 和 的值即可；
（2）由题意根据图象中的信息即可得到结论；
（3）根据题意过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 以及过点 作 轴于点 ，过
点 作 轴于点 进行分析证明求解．
【详解】（1）解：将 分别代入 和 ，得 ， ，解得 ， ．
（2）由图象可知： 的解集为 或 ．
（3）存在，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．
由（1）知， ， ，
∴直线 的表达式为 ，
反比例函数 的表达式为 ．
将 代入 ，得 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵点 与点 关于原点对称
∴ ，
∴
设 ，
∴
解得 或 ，
∴ 或 ，
故在 轴上存在一点 ，使得 ，点 的坐标是 或 ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，
正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2023·湖南永州·九年级校联考阶段练习）如图，矩形 的顶点 是函数 的图象与函
数 在第二象限的图象的交点， ， 两点在坐标轴上，且矩形 的面积为 ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求这两个函数图象的交点 ， 的坐标；
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为 ，点 的坐标为
【分析】此题考查了反比例函数比例系数 的几何意义，反比例函数的性质，求两函数的交点坐标；
（1）先根据反比例函数比例系数 的几何意义和矩形 的面积为 求出 的值，即可求解；
（2）将两函数解析式联立求出交点 ， 的坐标，即可求解．【详解】（1）解：由图象及题意得：
∴反比例函数的表达式为
一次函数的表达式为
（2）解：根据题意得：
解得
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
7．（2023·江西九江·九年级统考阶段练习）如图1，点 ， 在反比例函数 的图象上，过点
作 轴于点 ，过 作 轴于点 ．
探究发现
（1）①若 ，则 的面积为________， 的面积为________；
②若 ，则 的面积为________， 的面积为________．
猜想验证
（2）①如图1， 与 的位置关系为________；
②如图2，题中的其他条件不变，只改变点 ， 的位置，请判断 与 的位置关系，并说明理由．
图1 图2
推广应用
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，点 的坐标为 ，反比例函数的图象分别与 ， 交于点 ， ， 为线段 上的动点，反比例函数 的图
象经过点 交 于点 ，连接 ．将 沿 所在直线翻折得到 ，当点 恰好落在直线
上时，求 的值．
【答案】（1）① ② ；（2）① ② ，理见详解；（3）
【分析】（1）根据反比例函数的k的几何意义，结合三角形的面积公式可得 ，
，①中的k的值为4，代入计算，同理，当 时，代入计算，即可作答．
（2）①由（1）知， ，分别过点 作 ，垂足为 ，则
．根据面积相等可得 ，则四边形 为平行四边形，由此可得结论；
②连接 ，分别过点 作 ，垂足为 ，则 ．证
和 的面积相等，根据（1）即可推出答案；
（3）先求出点D和点E的坐标，再运用待定系数法求解 的解析式，如图，连接 交 于点K，利
用待定系数法可求得直线 的解析式为 ，根据一次函数的k值相等，得两直线平行，即
，再根据翻折的性质即可得出答案；
【详解】解：（1）设点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴
∵ 轴， 轴，∴ ，
∴ ，
①当 时， ，
②当 ， ；
（2）①由（1）知， ，
分别过点 作 ，垂足为 ，则 ．
∴ ．
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
② ，理由如下：
连接 ，分别过点 作 ，垂足为 ，则 ．
∴ ，
由（2）①知 ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
（3）因为点 的坐标为 ，反比例函数 的图象分别与 ， 交于点 ， ，且四边形
为矩形，
∴
设 的解析式为 ，
把 代入，
得
解得
即
如图，连接 交 于点K，
∵反比例函数 的图象经过点 交 于点 ，
∴
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得：∴直线 的解析式为
∴ ，
∵将 沿 所在直线翻折得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 分别为 的中点，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合：翻折性质，反比例函数的k的几何意义，矩形性质，一次函
数的解析式，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
热点4.用反比例函数解决实际问题
8．（2023·广西来宾·九年级校考期中）某动物园根据杠杆原理 上演了一幕现代版“曹冲称
象”，具体做法如下：
如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）
和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为 ，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为
．已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为 ，装有大象的
铁笼及其挂钩的总重量为 ．(1)求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量 ；
(2)若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么 是关于 的什么函数？直接
写出函数解析式；
(3)当 时，求弹簧秤的显示读数 ；当弹簧秤的显示读数 ，求 ．
【答案】(1)
(2) 是关于 的反比例函数，
(3) ，
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意是关键．
（1）将已知数据代入 求解即可；
（2）将已知数据代入 ，整理即可求解；
（3）利用（2）中函数关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，将 ， ， 代入 中，
得 ，解得 ，
答：大象的铁笼及其挂钩的总重量 为 ；
（2）解：由题意， ，
∴ 是关于 的反比例函数，且 ；（3）解：当 时， ，
当 时，由 得
9．（2023·河北石家庄·九年级校考阶段练习）已知一艘轮船上装有120吨货物，轮船到达目的地后开始卸
货．设平均卸货速度为 （单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为 （单位：小时）．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)若要求不超过6小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
(3)按6小时卸完船上的这批货物，卸货2小时后，根据实际情况，要求剩下的货物要在2小时内卸完，在
剩下的时间内每小时要多卸多少吨货物？
【答案】(1)
(2)若货物不超过6小时卸完，则平均每小时至少要卸货20吨
(3)在剩下的时间内每小时要多卸20吨货物
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
（1）直接利用 再变形即可得出答案；
（2）把 代入函数解析式求出 的值，再结合反比例函数的性质即可得出答案；
（3）先求出按6小时卸完船上的这批货物的速度，再求出2小时后剩余的吨数，然后可求出剩余货物在2
小时内卸完的速度，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得： ，则 ；
（2）解：把 代入 中，得： ，
对于函数 ，当 时， 越小， 越大．
这样若货物不超过6小时卸完，则平均每小时至少要卸货20吨．
（3）解：按6小时卸完船上的这批货物，卸货的速度为 （吨/小时），
2小时后，货物还剩 （吨），
则 （吨/小时），
（吨），在剩下的时间内每小时要多卸20吨货物．
10．（2023·江西九江·九年级统考阶段练习）将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，
记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 300 600 1000 1500
受力面积 1 0.5 0.2
(1)根据表中数据，求桌面所受压强 （Pa）关于受力面积 （m）的函数表达式及 的值；
(2)将另一长，宽，高分别为 ， ， ，且与原长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置
于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为 ，这种摆放方式是否安全？请判断并说明
理由．
【答案】(1) ；
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，
（1）由表格可知，压强 与受力面积 的乘积不变，故压强 是受力面积 的反比例函数，由待定系数法
可求得函数关系式，令 ，即可求出 的值即可；
（2）算出 的值，即可求出 的值，比较就可得出答案．
【详解】（1）由表格可知，压强 与受力面积 的乘积不变，故压强 是受力面积 的反比例函数，
设 ，
将 代入得： ，
，
当 时， ，
；
（2）这种摆放方式不安全，
理由如下：由图可知 ，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上， ，
，
