文档内容
压轴题 01 反比例函数中的面积问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
难点一、过反比例函数上的点作坐标轴的垂线构造模型..............................................2
难点二、面积需要进行转换、分割或补形.......................................................................10
难点三、结合多个双曲线.......................................................................................................20
压轴能力测评（10题）.............................................................................................34
1.反比例函数的k的几何意义
由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
矩形PAOB
同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
△OPA △OPB
2.常见的面积类型易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
越大，双曲线离原点越远.
4.求k的常用方法
①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；
②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系.
难点一、过反比例函数上的点作坐标轴的垂线构造模型
1．（2024•雨花区校级模拟）如图， 的顶点 在第一象限，顶点 在 轴上，反比例函数 的
图象经过点 ，若 ， 的面积为8，则 的值为 ．
2．（2022秋•淮南月考）如图，在直角坐标系中，正方形 的顶点 与原点重合，顶点 、 分别
在 轴、 轴上，反比例函数 的图象与正方形的两边 、 分别交于点 、 ，
轴，垂足为 ，连接 、 、 ．
（1）四边形 面积与 面积关系是 ；
（2）若 ， ，则点 的坐标为 ．
3．（2022•双流区模拟）如图，点 和点 是反比例函数 图象上的两点，一次函数
的图象经过点 ，与 轴交于点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ， ．
已知 与 的面积满足 ．
（1）求 的面积和 的值；（2）求直线 的表达式；
（3）过点 的直线 分别交 轴和 轴于 ， 两点， ，若点 为 的平分线上一点，
且满足 ，请求出点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过正方形 的顶点 和 ，点 、 的
坐标分别是 和 ，边 ， 分别交 轴于点 、 ．（1）填空：正方形的边长为 ；
（2）求反比例函数 的解析式；
（3）若点 是直线 上一动点，作 轴，交反比例函数 的图象于点 ，过点 ， 分别
向 轴作垂线，垂足分别为 、 ，得到矩形 ，设点 的横坐标为 ．
①填空：点 的坐标为 ；（用含 的代数式表示）
②填空：若矩形 的面积为6，则点 的横坐标为 ．
难点二、面积需要进行转换、分割或补形
1．如图，四边形 和四边形 都是正方形，边 在 轴上，边 在 轴上，点 在边 上，
反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则正方形 和正方形 的面积之差为
A．12 B．10 C．6 D．4
2．（2024•武威三模）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在坐标轴上，且四边形 是边
长为3的正方形，反比例函数 的图象与 ， 边分别交于 ， 两点， 的面积为
4，点 为 轴上一点，则 的最小值为A．3 B． C． D．5
3．（2022•青山区校级三模）如图，四边形 和四边形 均为正方形，反比例函数
的图象经过点 ， ，连接 ， ， ，则 ．
4．（2024春•商水县校级月考）如图，正方形 在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，顶点 ，
在坐标轴上，反比例函数 在第一象限的图象分别交 ， 于点 ， ，连接 ，
交于点 ， 的面积等于1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形 的面积．
5．（2024春•扬州月考）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新
结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用
上述有关思想，解答下列问题：如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴负半轴，顶点 在 轴正半轴， 、 分别
为 、 的中点，反比例函数 的图象经过 、 两点，连接 、 ，四边形 的
面积为8．
（1） ，直线 的表达式为 ；
（2）在（1）的条件下，如图2， 为该反比例函数图象上任意一点，过点 作 轴交直线
于点 ，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，延长 交反比例函数 的图象于点 ，过点 作 直线 于
，过点 作 直线 于 ，试判断 的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是，
请说明理由．
6．（2024春•扬州期末）我们研究反比例函数图象平移后的性质．
初步探究（1）将反比例函数 的图象沿 轴向左平移1个单位，可以得到函数 的图象如图①，
观察图象，以下结论正确的有 （写序号）；①该函数图象与 轴的交点坐标是 ；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ；③当
时， 随 的增大而减小．
（2）在图②中画出函数 的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 ；
问题解决（3）①若函数 的图象可以由函数 的图象通过平移得到，求 的值；
②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴上，点
坐标为 ，点 是 中点，连接 、 交于 ，若函数 的图象经过点 、 ，取线
段 的中点 ，经过点 作直线 与这个函数图象交于 ， 两点，点 横坐标为5，请直接写出四边
形 的面积为 ．
深入思考（4）当 ．时，对于任意正数 ，方程 均无解，直接写出 ， ， 满足的数量
关系 ．
难点三、结合多个双曲线
1．（2024秋•安平县期中）如图，矩形 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点
， ，与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ，连接 ， ．若四边形的面积为6，则
A．6 B． C．3 D．
2．（2024•长沙模拟）如图， 是平行四边形，对角线 在 轴正半轴上，位于第一象限的点 和
第二象限的点 分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点 、 作 轴的垂线段，垂足分别
为点 和点 ，先给出如下四个结论：
① ；
②阴影部分的面积是 ；
③当 时， ；
④若 是菱形，则 ，
以上结论正确的是
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④
3．（2023秋•宽甸县期末）如图，矩形 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点
， ，反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ，连接 ， ．若四边形
的面积为3，则 ．4．（2024•思明区校级二模）如图， 、 是反比例函数 的图象上的两点，分别过点 、
作 轴的平行线，与反比例函数 的图象交于点 、 ，若四边形 的面积是8，则 、 之
间的关系是 ．
5．（2021•宁波模拟）如图，等腰 的面积为100，底边 在 轴上，腰 交 轴于点 ，反比例
函数 的图象交腰 于点 ， ，反比例函数 的图象交腰 于点 ， ，恰
有 ， 交 轴于点 ，且 面积为18．则 的值为 ．
6．（2024•南山区二模）已知如图， 直线 分别与双曲线 、双曲线
交于点 ，点 ，且 ，将直线 向左平移 6 个单位长度后， 与双曲线 交于点 ，若 ，则 的值为 ．
7．（2022•定海区校级开学）如图，经过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点
（点 在第一象限），点 ， ， 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，
五边形 的面积为56，四边形 的面积为32，则 的值为 ， 的值为 ．
8．（2022•南山区三模）如图，平面直角坐标系 中，在反比例函数 的图象上取点
，连接 ，与 的图象交于点 ，过点 作 轴交函数 的图象于点 ，过点 作
轴交函数 的图象于点 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，则 ．
9．（2020•宁波）如图，经过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点（点 在第
一象限），点 ， ， 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，五边形的面积为56，四边形 的面积为32，则 的值为 ， 的值为 ．
一．选择题（共2小题）
1．（2024秋•鸡泽县期中）如图，过 轴正半轴任意一点 作 轴的垂线，分别与反比例函数 和
的图象交于点 和点 ．若点 是 轴上任意一点，连接 、 ，则 的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023•泰安模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与边长是6的正方形
的两边 ， 分别相交于 ， 两点． 的面积为10．若动点 在 轴上，则
的最小值是
A． B．10 C． D．
二．填空题（共7小题）
3．（2024•武威三模）如图，已知双曲线 经过直角三角形 斜边 的中点 ，且与直角边 相交于点 ．若点 的坐标为 ，则△ 的面积为 ．
4．（2024•平谷区）如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，且 轴， 、 在 轴
上，若四边形 为矩形，则它的面积为 ．
5．（2024秋•蒙城县期中）双曲线 、 在第一象限的图象如图， ，过 上的任意一点 ，作
轴的平行线交 于 ，交 轴于 ，若 ，则 的解析式是 ．
6．（2024秋•环翠区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 为原点，菱形 的对角线 在
轴上，顶点 在反比例函数 的图象上，则菱形的面积为 ．
7．（2023秋•茂南区校级月考）如图，在函数 和 的图象上，分别有 、 两
点，若 轴，交 轴于点 ，且 ， ， ，则线段 的长度 ．8．（2024•伊宁市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象交矩形
的边 于点 ，交边 于点 ，且 ．若四边形 的面积为6，则 ．
9．（2023秋•南海区校级月考）如图，在平面直角坐标系 中，梯形 的边 在 轴的正半轴上，
， ，过点 的双曲线 的一支在第一象限交梯形对角线 于点 ，交边 于点
．若点 的坐标为 ，则阴影部分面积 最小值为 ．
三．解答题（共1小题）
10．（2020•黄冈模拟）如图，反比例函数 与长方形 在第一象限相交于 、 两点，， ，连接 、 、 ．记 、 的面积分别为 、 ．
（1）填空：
①点 坐标为 ；
② （填“ ”、“ ”、“ ” ；
（2）当 时，求： 的值及点 、 的坐标；试判断 的形状，并求 的面积．
