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第 1 节 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等
的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何
意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解
向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 长度 ( 或模 ).
(2)零向量： 长度为 0 的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任
一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝ b ＋ a .
求两个向量
加法 (2)结合律：
和的运算
(a＋b)＋c＝
a ＋ ( b ＋ c )减去一个向
量相当于加
减法 a－b＝a＋(－b)
上这个向量
的相反向量
(1)|λa|＝ | λ | | a |；
λ(μa)＝ λμ a ；
求实数 λ 与 (2)当λ＞0时，λa的方向与
数乘 向量 a的积 a的方向相同；当λ＜0时， (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
的运算
λa的方向与a的方向相反；
λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
当λ＝0时，λa＝0
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b ＝ λ a .
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向
量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An-1An＝A1An，特别地， 一个封
闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2.中点公式的向量形式：若 P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝
(OA＋OB).
3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考
虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A，B，C，D四点不一定在
一条直线上.
2.(易错题)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是( )
A.① B.③ C.①③ D.①②
答案 A
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模
相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与
BA互为相反向量，故③错误.
3.设M为△ABC所在平面内一点，且BC＝3CM，则( )
A.AM＝－AB＋AC
B.AM＝AB－AC
C.AM＝AB＋AC
D.AM＝AB－AC
答案 A
解析 由BC＝3CM，得CM＝BC，
所以AM＝AC＋CM＝AC＋BC
＝AC＋(BA＋AC)＝－AB＋AC.
4.(2021·长沙调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则
△ABC的内角A等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 A
解析 由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC.
又O为△ABC的外接圆的圆心，
根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
5.若四边形ABCD满足AD∥BC且|AB|＝|DC|，则四边形ABCD的形状是________.
答案 等腰梯形或平行四边形
解析 当|AD|＝|BC|时，四边形 ABCD是平行四边形；当|AD|≠|BC|时，四边形
ABCD是等腰梯形.
6.(2022·哈尔滨质检)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，
则λ＝________.
答案 －
解析 由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0.
因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以解得k＝，λ＝－.
考点一 平面向量的概念
1.给出下列命题，正确的命题为( )
A.向量AB的长度与向量BA的长度相等
B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C.|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则 a＋b与a，b之一的方向相
⇔
同
答案 A
解析 对于A，向量AB与向量BA的长度相等，方向相反，命题成立；对于 B，
当a＝0时，不成立；对于 C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于 D，当a
＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同.
2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，
所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a
＝2b是＝成立的充分条件.
3.给出下列说法：
①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；
②若AB与BC共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.
其中错误说法的序号是________.
答案 ④
解析 根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当λ＝μ＝0时，a与b不
一定共线，故④错误.感悟提升 1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平
行向量，而平行向量未必是相等向量.
2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可
以比较大小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等.
3.单位向量的特征是长度都是 1个单位，零向量的特征是长度是 0，并规定零向
量与任何向量平行.
考点二 向量的线性运算
角度1 平面向量的加、减运算的几何意义
例1 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
答案 A
解析 作出示意图如图所示.
EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.
角度2 向量的线性运算
例2 在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a－b
答案 A
解析 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形
AEDF为平行四边形，所以AD＝AE＋AF.
因为BD＝BC，
所以AE＝AB，AF＝AC，所以AD＝AB＋AC＝a＋b.
角度3 利用向量的线性运算求参数
例3 (2022·长春调研)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的
中点，若AF＝xAB＋AD，则x＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 连接AE(图略)，因为F为DE的中点，所以AF＝(AD＋AE)，
而AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋AD，
即有AF＝(AD＋AE)＝
＝AB＋AD，
又AF＝xAB＋AD，所以x＝.
感悟提升 1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向
量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三
角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把
未知向量转化为用已知向量线性表示.
3.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角
形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.
训练1 (1)在△ABC中，BC＝BD，F为AD的中点，则BF等于( )
A.AC－AB B.AC－AB
C.－AC－AB D.AC－AB
(2)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，若AD＝λAB＋μAC，则λ－μ＝(
)
A.－ B.－
C. D.
答案 (1)B (2)A
解析 (1)BF＝BA＋BD＝－AB＋×BC.又因为BC＝AC－AB，所以BF＝AC－AB.(2)由BC＝3CD，可知B，C，D三点在同一直线上，如图所示.根据题意及图形，
可得AD＝AC＋CD＝AC＋(AC－AB)＝－AB＋AC，
所以λ＝－，μ＝，
所以λ－μ＝－－＝－.故选A.
考点三 共线定理及其应用
例4 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，
CD＝3(a－b).
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.
∴AB，BD共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
感悟提升 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思
想的运用.
⇔
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即 A，B，C 三点共线
⇔AB，AC共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.训练 2 (1)(2022·南昌质检)已知 a，b 是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋
μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )
A.λμ＝1 B.λμ＝－1
C.λ－μ＝－1 D.λ＋μ＝2
(2)已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三点共
线，则t的值为________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)∵AB与AC有公共点，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使
AB＝tAC，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB
＝a＋b，此时存在实数使AB＝AC，故AB和AC共线.∵AB与AC有公共点，∴A，
B，C三点共线.
(2)设线段BC的中点为M，则OB＋OC＝2OM.
因为2AO＝OB＋OC，所以AO＝OM，则AO＝AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD)＝AB＋
AD.由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
“等和线”的应用
一、等和线定理
平面内一组基底OA，OB及任一向量OC，OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点C在
直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直
线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”.
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
二、定理的运用1.基底起点相同
例1 (2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心
且与BD相切的圆上.若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.2
答案 A
解析 如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切于点M时，
λ＋μ最大，
此时λ＋μ＝＝＝＝3.
2.基底起点不同
例2 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且有AD＝AB，BE＝BC，若
DE＝λ AB＋λ AC(λ ，λ ∈R)，则λ ＋λ 的值为________.
1 2 1 2 1 2
答案
解析 过点A作AF＝DE，设AF，BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，即DF
为△ABH的中位线，因此λ ＋λ ＝.
1 2
3.基底一方可变
例3 在正方形ABCD中，如图，E为AB中点，P是以A为圆心，AB为半径的四
分之一圆弧上的任意一点，设AC＝xDE＋yAP，则x＋y的最小值为________.答案
解析 由题意，作AK＝DE，连接PK，则直线AC与直线PK相交于点M，设AM
＝λAC，则有AM＝λxAK＋λyAP.由等和线定理，知λx＋λy＝1，从而x＋y＝.当点
P与点B重合时如图，又K，B(P)，T三点共线，AM最长，此时，AM＝2AC，
所以λ ＝2，
max
此时，(x＋y) ＝.
min
4.基底合理调节
例4 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交
于圆O外的点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是__________.
答案 (－1，0)
解析 作OA，OB的相反向量OA1，OB1，如图所示，则AB∥A B ，过O作直线
1 1
l∥AB，则直线l，A B 为以OA，OB为基底的平面向量基本定理系数等和线，且
1 1
定值分别为0，－1.由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，
所以点C在直线l与直线A B 之间，所以m＋n∈(－1，0).
1 11.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋
CO；④AB－AC＋BD－CD，其中结果为零向量的是( )
A.① B.② C.①③ D.①④
答案 D
解析 利用向量运算，易知①，④的结果为零向量.
2.在△ABC中，O为△ABC的重心.若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝( )
A.－ B.－1 C. D.－
答案 D
解析 如图，连接BO并延长交AC于点M，因为O为△ABC的重心，所以M为
AC的中点，
所以BO＝BM＝(BA＋BC)
＝－AB＋BC＝－AB＋(AC－AB)
＝－AB＋AC.
又知BO＝λAB＋μAC，
所以λ＝－，μ＝，
所以λ－2μ＝－－2×＝－.
3.(2021·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中
点，则DF＝( )A.－AB＋AD B.AB＋AD
C.AB－AD D.AB－AD
答案 D
解析 DF＝AF－AD，AE＝AB＋BE.
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴AF＝AE，BE＝BC，
∴DF＝AF－AD＝AE－AD
＝(AB＋BE)－AD
＝AB＋BC－AD.
又BC＝AD，∴DF＝AB－AD.
4.(2021·郑州模拟)设e 与e 是两个不共线的向量，AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，
1 2 1 2 1 2
CD＝3e －2ke ，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
1 2
A.－ B. C.－ D.
答案 A
解析 因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.
又AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，CD＝3e －2ke ，所以BD＝CD－CB＝3e －2ke
1 2 1 2 1 2 1 2
－(ke ＋e )＝(3－k)e －(2k＋1)e ，
1 2 1 2
所以3e ＋2e ＝λ(3－k)e －λ(2k＋1)e .
1 2 1 2
又e 与e 不共线，所以解得k＝－.
1 2
5.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则
实数λ的值为( )
A.1 B.－ C. D.－2
答案 B
解析 由于c与d共线反向，
则存在实数k使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，
解得λ＝1或λ＝－.
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
6.在△ABC中，点 D在线段 BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段 CD上
(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设CO＝yBC，因为AO＝AC＋CO＝AC＋yBC
＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.
因为BC＝3CD，∴CO＝3yCD，0<3y<1，
点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈，因为AO＝xAB＋(1－x)AC，
所以x＝－y，所以x∈.
7.已知向量e ，e 是两个不共线的向量，若a＝2e －e 与b＝e ＋λe 共线，则λ＝
1 2 1 2 1 2
______.
答案 －
解析 因为a与b共线，所以存在实数x，使a＝xb成立，即故
λ＝－.
8.如图，在平行四边形 ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE
＝________.
答案 b－a
解析 BE＝BA＋AD＋DC
＝－a＋b＋a＝b－a.
9.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则
△ABC的形状为________.答案 直角三角形
解析 OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－
AC，
∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
10.已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如
果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？
若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
解 由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，
CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.
11.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近 B点，E，F分别为AC，
AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.
(1)试用a，b表示BC，AD，BE；
(2)证明：B，E，F三点共线.
(1)解 在△ABC中，因为AB＝a，AC＝b，
所以BC＝AC－AB＝b－a，
AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝a＋(b－a)＝a＋b，
BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.
(2)证明 因为BE＝－a＋b，
BF＝BA＋AF＝－AB＋AD＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以BF＝BE，即BF与BE共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线.
12.(多选)(2022·济南调研)下列命题正确的是( )
A.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则AB＝CD
B.在△ABC中，若O点满足OA＋OB＋OC＝0，则O点是△ABC的重心
C.若a＝(1，1)，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3，1)
D.在△ABC中，若CP＝λ，则P点的轨迹经过△ABC的内心
答案 BD
解析 对于A，如图，A，B，C，D四点满足条件，但AB≠CD，故A错误；
对于B，设BC的中点为D，当OA＋OB＋OC＝0时，能得到OA＝－(OB＋OC)，
所以OA＝－2OD，所以O是△ABC的重心，故B正确.
对于C，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C错误.
对于D，根据向量加法的几何意义知，以，为邻边所得到的平行四边形是菱形，
点P在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得 P点在∠ACB的
平分线所在直线上，故D正确.
13.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常
优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以
A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是( )
A.BP－TS＝RS
B.CQ＋TP＝TS
C.ES－AP＝BQD.AT＋BQ＝CR
答案 A
解析 由题意得，BP－TS＝TE－TS＝SE＝＝RS，所以A正确；CQ＋TP＝PA＋
TP＝TA＝ST，所以B错误；ES－AP＝RC－QC＝RQ＝QB，所以C错误；AT＋
BQ＝SD＋RD，CR＝RS＝RD－SD，若AT＋BQ＝CR，则SD＝0，不符合题意，
所以D错误.
14.经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ
＝nOB，(m＞0，n＞0).
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值.
(1)证明 设OA＝a，OB＝b.
由题意知OG＝×(OA＋OB)＝(a＋b)，
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
PG＝OG－OP＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得PQ＝λPG，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而消去λ得＋＝3.
(2)解 由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.
