文档内容
专题 23 相似三角形（10 个知识点 6 种题型 3 个易错点 3 个中考考
点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.相似三角形
知识点2.平行线分线段成比例（重点）
知识点3.相似三角形的判定定理1（重点）
知识点4.相似三角形的判定定理2（重点）
知识点5.相似三角形的判定定理3（重点）
知识点6.相似三角形的判定定理4（重点）
知识点7.直角三角形相似的判定方法
知识点8.常见相似三角形模型
知识点9.相似三角形的性质（重点）
知识点10.相似三角形的应用（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.相似三角形的判定
题型2.相似三角形中的探究性与存在性问题
题型3.正方形网格中相似三角形的判定
题型4.相似三角形性质的应用
题型5.相似三角形判定与性质的综合应用
题型6.相似三角形在实际问题中的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.相似三角形的对应元素出错
易错点2.确定相似三角形时因思维定势而导致漏解
易错点3.错用影长高度，导致错误【方法四】 仿真实战法
考法1.相似三角形的判定
考法2.相似三角形的性质
考法3.相似三角形的实际应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角。
2. 掌握平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
3. 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似。
4. 探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算。
5. 会综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.相似三角形
相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。【例1】（2023·山东潍坊·九年级统考期中）如图，下面格点三角形（顶点在方格纸的格点上）与 相
似的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2.平行线分线段成比例（重点）
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【例2】（2023·河南周口·九年级统考期中）如图， ， ， ，那么
的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．10
【变式】（2022上·广东广州·九年级统考期末）如图，是某商店售卖的花架简图，其中 ，
， ， ，则 长为（ ） ．
A． B． C．50 D．30
知识点3.相似三角形的判定定理1（重点）判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
【例3】．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点4.相似三角形的判定定理2（重点）
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
【例4】（2022·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知：如图，在 中，D、E分别在
边 上，连接 ， ， ， ， ，求证： ．知识点5.相似三角形的判定定理3（重点）
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
【例5】（2023·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 沿 折叠，
使得点C落在斜边 上的点E处．
(1)求证： ；
(2)已知 ，求线段 的长度．
知识点6.相似三角形的判定定理4（重点）
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【例6】（2023·内蒙古包头·九年级统考期中）如图，在四边形 中， ，点 在 上，且
．求证： ．知识点7.直角三角形相似的判定方法
判定方法1：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，
那么这两个三角形相似。
【例7】（2023·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，线段 、 是 的两条
高．求证： ．
知识点8.常见相似三角形模型
平行线型、旋转型
【例8】（2023·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，已知 与 都是等边三角形，点 在边 上
（不与点 、 重合）， 与 相交于点 ，那么与 相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【变式】（2023·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）如图， ， ，那么
与 的相似比为 ．知识点9.相似三角形的性质（重点）
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【例9】（2023·湖南邵阳·九年级统考期中）如果 ，且 的三边长分别为3、5、6，
的最短边长为9，那么 的周长等于 （ ）
A．4 B． C．21 D．42
【变式1】（2023·河北廊坊·九年级校联考阶段练习）若两个相似三角形的周长比为 ，则它们对应中线的
比为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·四川成都·九年级校联考期中）已知 与 相似，且周长比为 ，则 与
的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·上海金山·九年级校考期中）如果两个相似三角形的周长的比等于 ，那么它们的面积
的比等于 ．
知识点10.相似三角形的应用（难点）
相似三角形的实际应用的主要类型
（1）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;
（2）利用相似三角形的性;质计算不能直接测量的物体的高度．
【例10】（2023·贵州贵阳·九年级统考期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿
水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点 ， ，O在一条直线上为止．这时我们说，在 处
用①号“E”测得的视力与在 处用②号“E”测得的视力相同．
(1)探究图中 与 之间的关系，请说明理由；
(2)若 ，①号“E”的测量距离 ，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离
．【方法二】实例探索法
题型1.相似三角形的判定
1．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图，矩形 中， ， ，点 为 边上一动点，
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
题型2.相似三角形中的探究性与存在性问题
2．（2023·山东青岛·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，将
绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ．点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度
为 ；同时，点Q从点A出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，连接 ， ．设运动时间为
．解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；(2)设五边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使五边形 的面积为 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)当 ______时， ．（此问只需填空）
题型3.正方形网格中相似三角形的判定
3．（2023下·九年级课时练习）如图，在 的正方形网格中， 和 的顶点都在格点上，已知
网格中每个小正方形的边长都为1，判断 与 是否相似，并说明理由．
题型4.相似三角形性质的应用
4．（2023·山东青岛·九年级莱西市第四中学校考阶段练习）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室
的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ，窗户的高在教室地面上的影长 米，窗户的
下檐到教室地面的距离 米（点 、 、 在同一直线上），则窗户的高 为（ ）
A． 米 B．1米 C． 米 D．2米题型5.相似三角形判定与性质的综合应用
5．（2023·湖南岳阳·九年级统考期中）如图 ， ， 、 交于点M， ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)连接 、 ，求证 平分 ．
题型6.相似三角形在实际问题中的应用
6．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往
右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，距离地面的高度 m，到平面镜的水平距离
m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F
到地面的高度 m，墙到木板的水平距离为 m，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，
图中点A，B，C，D在同一水平面上，求灯光反射到墙面上的高度 ．【方法三】差异对比法
易错点1.相似三角形的对应元素出错
1．（2023下·九年级课时练习）如图，在矩形 中， ，点 是 上一点， ，
点 是边 上的一个动点，若使得以 为顶点的三角形与 相似，则这样的点 有
个．
易错点2.确定相似三角形时因思维定势而导致漏解
2．（2023·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴
分别交于 ， 两点，与反比例函数 的图象交于 、 两点， 轴，垂足为 ．(1)求反比例函数 的表达式；
(2)点 是反比例函数 图象上点 右侧的点，且满足 ．
①求点 的坐标；
②过点 作 轴，垂足为 ，判断以点 ， ， 为顶点的三角形与 是否相似，并说明理由．
易错点3.错用影长高度，导致错误
3．（2023·上海闵行·九年级校联考期中）如图，已知小丽的身高是 米，他在路灯下的影长为 米，小丽
距路灯灯杆的底部 米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．
【方法四】 仿真实战法
考法1.相似三角形的判定1．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知 是等边三角形 的外接圆，连接 并延长交 于点
，交 于点 ，连接 ， ．
(1)写出图中一个度数为 的角：_______，图中与 全等的三角形是_______；
(2)求证： ；
(3)连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在 中， ，E是边AC上一点，且 ，
过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： ．
考法2.相似三角形的性质
3．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在 中， 是 上（异于点 ， ）的一点， 恰好
经过点 ， ， 于点 ，且 平分 ．(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的半径长．
4.（2023·山东淄博·统考中考真题）如图， 是 的内接三角形， ， ， 是
边上一点，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
考法3.相似三角形的实际应用
5.（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面 ，坡角 ．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为 ，在坡面上的影长为 ．同一时刻，
小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）如图， ， ， ， ，
则 的长为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．1.5
2．（2023·河南周口·九年级统考期中）测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 为 米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长 为 米，则楼高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
3．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，垂足
为D，F为线段 上一点，若 ，则 为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，
AC∶OC=1∶2，过点C作CD∥OB交AB于点D，C，D两点纵坐标分别为1，3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023·安徽合肥·九年级统考期中）如图， ，下列添加的条件不能使 的是（
）A． B． C． D．
6．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图，如果 ，那么添加下列一个条件后，仍不能
确定 的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西九江·九年级统考期中）如图，在 中，E在 上， 、 交于F，若 ，
，且 ，则 的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
8．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图， ，且 ， ，则 的长为
（ ）
A．6 B．9 C．3 D．4
9．（2023·河南洛阳·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点P从点B出发以1
个单位 的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位 的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与 相似时，运动时间为（ ）
A． B． C． 或 D．以上均不对
10．如图，在 中，点D，E分别在 上， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
11．（2023·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，E、F、G、H分别为正方形 的边 、 、 、
上的点，且 ，则图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在 中，D是边 上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 、 于点M、N；②以点D为圆心，以 长为半径
作弧，交 于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点 ；④过
点 作射线 交 于点E．若 与四边形 的面积比为 ，则 的值为 ．13．（2023·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）如图，在菱形 中，对角线
交于点 ，点 为 的中点，点 在 上， ，连接 交 于点 ，若 ，
连接 ，则线段 的长为 ．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）在 中，弦 和 构成的
，M、N分别是 、 的中点，则 的度数为 ．
15．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是
、 边上的动点，且 ，连接 和 交于点 ，连接 ，则 的最小值是
．
16．（2023·山东济南·九年级统考期中）如图，在矩形 中， 平分 ，交 于点 ，
，交 于点 ，以 ， 为边，作矩形 ， 与 相交于点 ．若 ， ，
则 ．17．（2023·四川成都·九年级成都七中校考期中）有一块直角边 ， 的 的铁片，
现要把它加工成一个如图所示的正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为 ．
18．（2023·四川宜宾·九年级校考阶段练习）相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索
系在离地面6米处，另一根电杆钢索系在离地面8米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆
底部，则中间两根钢索相交处点P离地面 米．
三、解答题
19．（2023·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）如图， 内接于⊙ ，过点 作
于点 ，延长 交⊙ 于点 ，连接 、 ， 与 交于点 ，
(1)求证： ．
(2)若 ．
①求 的度数．②若⊙ 的半径为 ，求 的长．
(3)设 ， ，求 关于 的函数表达式．
20．（2023·四川成都·九年级棠湖中学校考期中）在平行四边形 中， ， ，点 、 分
别为 、 的两点．
(1)如图1，若 ，且 ，连接 、 ，判断 和 的数量关系及位置关系，并说明
理由；
(2)如图2， ，，求证： ；
(3)如图3，若 ，点 关于 的对称点为点 ，点 为平行四边形 对角线 的中点，
连接 交 于点 ，求 的长．21．（2023·山东济南·九年级统考期中）如图， 相交于点 ，已知 ， ， ，
，求证： ．
22．（2023·山东青岛·九年级莱西市第四中学校考阶段练习）如图，在矩形 中， 米，
米，动点 以2米 秒的速度从点 出发，沿 向点 移动，同时动点 以1米 秒的速度从点 出发，
沿 向点 移动，设 、 两点移动 秒 后，四边形 的面积为 平方米．
(1)当t为何值时， 垂直 ？
(2)求面积S与时间t的函数关系式；
(3)在 、 两点移动的过程中，四边形 与 的面积能否相等？若能，直接写出此时点 的位置；
若不能，请说明理由；
(4)若 为等腰三角形，直接写出t的值23．（2023·广西桂林·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点 从
点 开始沿 向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动，如果 ，
分别从 ， 同时出发， 秒后停止运动，设运动时间为 秒．
(1)填空： ， ；
(2)当 为何值时， 的面积为 ？
(3)是否存在某一时间 ，使得 和 相似？若存在，请求出此时 的值，若不存在，请说明理由．
24．（2023·山东潍坊·九年级统考期中）【阅读材料】
配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．
例如：求代数式 的最值．
解：因为
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
所以当 时，代数式 取得最小值3．
再如：求代数式 的最值．
解：因为所以当 时，代数式 取得最大值 ．
（1）【材料理解】
时，代数式 的最 “大”或“小” 值为 ．
（2）【类比应用】
试判断关于 的一元二次方程 实数根的情况，并说明理由．
（3）【迁移应用】
如图，有一块锐角三角形余料 ，它的边 厘米，高 厘米．现要用它裁出一个矩形工件
，使矩形的一边在 上，其余的两个顶点分别在 、 上．
①设 ，试用含 的代数式表示矩形工件 的面积 ；
②运用“配方法”求 的最大值．25．（2023·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古
城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 的顶端
C处，已知 ， ．
(1)求证： ．
(2)测得 米， 米， 米，求该古城墙的高度 ．
26．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点 为坐
标原点， 的顶点 的坐标分别为 ，并且 满足 ．顶点 在
轴的正半轴上， 的高 交线段 于点 点坐标为 ，且 点恰在 的垂直平分线上．(1)求 点坐标；
(2)动点 从点 出发沿线段 以每秒1个单位的速度向终点 运动，动点 从 出发沿折线
轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动． 两点同时出发，且 点到达 处时， 两点同时停止
运动．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ，请用含 的式子表示 ，并直接写出相应的 的取值范
围；
