文档内容
专题 23 相似三角形（10 个知识点 6 种题型 3 个易错点 3 个中考考
点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.相似三角形
知识点2.平行线分线段成比例（重点）
知识点3.相似三角形的判定定理1（重点）
知识点4.相似三角形的判定定理2（重点）
知识点5.相似三角形的判定定理3（重点）
知识点6.相似三角形的判定定理4（重点）
知识点7.直角三角形相似的判定方法
知识点8.常见相似三角形模型
知识点9.相似三角形的性质（重点）
知识点10.相似三角形的应用（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.相似三角形的判定
题型2.相似三角形中的探究性与存在性问题
题型3.正方形网格中相似三角形的判定
题型4.相似三角形性质的应用
题型5.相似三角形判定与性质的综合应用
题型6.相似三角形在实际问题中的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.相似三角形的对应元素出错
易错点2.确定相似三角形时因思维定势而导致漏解
易错点3.错用影长高度，导致错误【方法四】 仿真实战法
考法1.相似三角形的判定
考法2.相似三角形的性质
考法3.相似三角形的实际应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角。
2. 掌握平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
3. 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似。
4. 探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算。
5. 会综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.相似三角形
相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。【例1】（2023·山东潍坊·九年级统考期中）如图，下面格点三角形（顶点在方格纸的格点上）与 相
似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定理和网格的特点求出 三边的长
以及每个图形中三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断即可得到答案．
【详解】解：设方格纸中的小正方形边长为1，
由网格的特点和勾股定理得 ，
A、图中三角形三边长为 ，
∵ ，
∴图中三角形与 相似，符合题意；
B、图中三角形三边长为 ，
∵ ，
∴图中三角形与 不相似，不符合题意；
C、图中三角形三边长为 ，
∵ ，
∴图中三角形与 相似，符合题意；D、图中三角形三边长为 ，
∵ ，
∴图中三角形与 不相似，不符合题意；
故选AC．
知识点2.平行线分线段成比例（重点）
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【例2】（2023·河南周口·九年级统考期中）如图， ， ， ，那么
的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．10
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由 可得 ，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：C．
【变式】（2022上·广东广州·九年级统考期末）如图，是某商店售卖的花架简图，其中 ，
， ， ，则 长为（ ） ．A． B． C．50 D．30
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解
题的关键．由 ，利用平行线分线段成比例，可求出 的长．
【详解】解： ，
，
即 ，
，
的长是 ．
故选：D．
知识点3.相似三角形的判定定理1（重点）
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
【例3】．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题先计
算出各三角形的三边，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行判断．
【详解】解：已知三角形的三边长为 ， ， ，
A选项中的三角形的三边长为2， ， ，
因为 ，不符合题意；
B选项中的三角形的三边长为2，4， ，
因为 ，
所以B选项中的三角形与已知三角形相似；
C选项中的三角形的三边长为2，3， ，
因为 ，不符合题意；
D选项中的三角形的三边长为 ， ，4， ，不符合题意．
故选：B．
知识点4.相似三角形的判定定理2（重点）
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
【例4】（2022·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知：如图，在 中，D、E分别在
边 上，连接 ， ， ， ， ，求证： ．【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
知识点5.相似三角形的判定定理3（重点）
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
【例5】（2023·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 沿 折叠，
使得点C落在斜边 上的点E处．
(1)求证： ；
(2)已知 ，求线段 的长度．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识．
（1）由折叠的性质可知 ，因为 证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知 ．在 中运用勾股定理求出 即可．【详解】（1）证明：∵ ， 沿 折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：由勾股定理得， ，
由折叠的性质知， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，
解得： ．
知识点6.相似三角形的判定定理4（重点）
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【例6】（2023·内蒙古包头·九年级统考期中）如图，在四边形 中， ，点 在 上，且
．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，通过 ，可得 ，再结合 可得
结论．
【详解】证明： ， ，
， ，
，
又 ，
∴ ．
知识点7.直角三角形相似的判定方法
判定方法1：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，
那么这两个三角形相似。【例7】（2023·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，线段 、 是 的两条
高．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到 ，进而根据两
组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键．
【详解】证明：∵线段 、 是 的两条高，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
知识点8.常见相似三角形模型
平行线型、旋转型
【例8】（2023·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，已知 与 都是等边三角形，点 在边 上
（不与点 、 重合）， 与 相交于点 ，那么与 相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．利用等边三角形的
性质可得 ，再利用公共角可得结论．
【详解】解： 与 都是等边三角形，
，
，
，故选B．
【变式】（2023·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）如图， ， ，那么
与 的相似比为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明 ，结合已知求出 ，即
可得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 为相似比，
∵ ，
∴ ，即相似比为 ，
故答案为： ．
知识点9.相似三角形的性质（重点）
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【例9】（2023·湖南邵阳·九年级统考期中）如果 ，且 的三边长分别为3、5、6，
的最短边长为9，那么 的周长等于 （ ）
A．4 B． C．21 D．42
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解： ，
相似比为 ，
，；
故选：D．
【变式1】（2023·河北廊坊·九年级校联考阶段练习）若两个相似三角形的周长比为 ，则它们对应中线的
比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，对应周长的比等
于相似比解答．
【详解】解： 两个相似三角形的周长比为 ，
这两个相似三角形的相似比为 ，
它们对应中线的比为 ，
故选：B．
【变式2】（2023·四川成都·九年级校联考期中）已知 与 相似，且周长比为 ，则 与
的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似的性质进行解答即可．
【详解】解： 与 相似，且周长比为 ，
与 的相似比为 ，
与 的面积比为相似比的平方，即 ，
故选：D．
【变式3】（2023·上海金山·九年级校考期中）如果两个相似三角形的周长的比等于 ，那么它们的面积的比等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平
方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于 ，得到相似比为 ，即可得到它们的面积比等
于 ．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长的比等于 ，
∴这两个相似三角形的相似比是 ，
∴它们的面积比等于 ．
故答案为：
知识点10.相似三角形的应用（难点）
相似三角形的实际应用的主要类型
（1）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;
（2）利用相似三角形的性;质计算不能直接测量的物体的高度．
【例10】（2023·贵州贵阳·九年级统考期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下
面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿
水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点 ， ，O在一条直线上为止．这时我们说，在 处
用①号“E”测得的视力与在 处用②号“E”测得的视力相同．
(1)探究图中 与 之间的关系，请说明理由；
(2)若 ，①号“E”的测量距离 ，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
【答案】(1) ，见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的的应用．
（1）根据题意证明 ，从而得到 ，即可得到 ；
（2）把 代入 即可求解．
【详解】（1）解： ．
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
，
；
（2）解： ，
．
．
答：②号“E”的测量距离是 ．
【方法二】实例探索法题型1.相似三角形的判定
1．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图，矩形 中， ， ，点 为 边上一动点，
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大．
（1）根据矩形的性质，可得出 ，从而得出 ，利用两角对应相等
的三角形相似得出结论；
（2）由 ，得 ，得出 ，由等面积法得出 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
题型2.相似三角形中的探究性与存在性问题
2．（2023·山东青岛·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，将
绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ．点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度
为 ；同时，点Q从点A出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，连接 ， ．设运动时间为
．解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；
(2)设五边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使五边形 的面积为 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)当 ______时， ．（此问只需填空）
【答案】(1)t的值为
(2) 与 之间的函数关系式是
(3)存在某一时刻t，使五边形 的面积为 ，理由见解析
(4)
【分析】（1）由题可知，可以发现 的 位置是唯一确定的，然后利用三角形相似可以求t的值．（2）求不规则四边形的面积，总体思想用规则图形减去规则图形，求出不规则图形的面积，用梯形
的面积 的面积 的面积 的面积，就可以求出求S与t之间的函数关系式．
（3）直接把函数转化成方程，若面积为定值，直接转化成解含 的一元二次方，如果方程有解，则存在，
否则就不存在．
（4）有题目可知，位置关系通常就会存在特殊图形的全等或相似，由旋转的性质可以知道 是确定的，
当 时可以得到 ，这样可以过点 作 的垂线，构造 相似，求 的
值．
【详解】（1）在 中， ， ，
，
∵将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ ，
∴ ，
答： 的值为 ．
（2）∵ ，
∴ ；
∴五边形 的面积 梯形 的面积 的面积 的面积 的面积
＝梯形 的面积 的面积；；
；
∴S与t之间的函数关系式是 ．
（3）不存在，理由如下：
∵S与t之间的函数关系式是，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 无解，
∴不存在某一时刻 ，使五边形 的面积为 ．
（4）如图，过 作 于 ，
∵将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；即 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∴ ；
即 ；
解得 ；
答：当 时， ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查用相似三角形解决特殊位置关系，二次函数表示不规则图形的面积，一元二次方程
处理函数的问题，构造相似三角形求解问题，直角三角形中善于用相似解决垂直问题，不规则面积用规则
图形面积减去规则图形面积思想解决，善于用方程思想解决二次函数值的问题，遇到平行问题构造相似三
角形解决问题．
题型3.正方形网格中相似三角形的判定
3．（2023下·九年级课时练习）如图，在 的正方形网格中， 和 的顶点都在格点上，已知
网格中每个小正方形的边长都为1，判断 与 是否相似，并说明理由．【答案】相似，见解析
【详解】解： 与 相似．理由如下： ， ，
．
【易错点分析】易认为 ，从而 ，所以两个三角形不相似，因此
得出了错误答案．正确的方法应该是按照边的大小来找对应边．
题型4.相似三角形性质的应用
4．（2023·山东青岛·九年级莱西市第四中学校考阶段练习）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室
的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ，窗户的高在教室地面上的影长 米，窗户的
下檐到教室地面的距离 米（点 、 、 在同一直线上），则窗户的高 为（ ）
A． 米 B．1米 C． 米 D．2米
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，根据题意， ，易证 ，再根
据相似三角形的性质解答即可．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解： ，
， ，
又 ， 米，
米，（米），
，
，
，
解得： 米，
米．
故选： ．
题型5.相似三角形判定与性质的综合应用
5．（2023·湖南岳阳·九年级统考期中）如图 ， ， 、 交于点M， ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)连接 、 ，求证 平分 ．
【答案】(1)MN＝
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、平行线的性质、角平分线的判定：
（1）根据三角形的判定及性质可得 ， ，进而可得 ，进而可求解；
（2）根据相似三角形的性质可得 ，再根据平行线的性质可得 ，进而可求
证结论；
熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
， ，∴ ， ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图，
由（1）得： ， ，
， ，
，
∴ ，
，
，
，
，
， ，
，
平分 ．
题型6.相似三角形在实际问题中的应用
6．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往
右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，距离地面的高度 m，到平面镜的水平距离
m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F
到地面的高度 m，墙到木板的水平距离为 m，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上，求灯光反射到墙面上的高度 ．
【答案】灯光反射到墙面上的高度 为 m．
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，跨学科的综合题，先证明 ，可得 ，再证
明 ，再结合相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
由题意，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
答：灯光反射到墙面上的高度 为 ．
【方法三】差异对比法
易错点1.相似三角形的对应元素出错
1．（2023下·九年级课时练习）如图，在矩形 中， ，点 是 上一点， ，
点 是边 上的一个动点，若使得以 为顶点的三角形与 相似，则这样的点 有
个．【答案】3
【详解】设 ．在矩形 中， ，当 时， ．即
．当 时， ，即 ．综上所述，使得以
为顶点的三角形与 相似，这样的点 有3个．
【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可
能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出
来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的．
易错点2.确定相似三角形时因思维定势而导致漏解
2．（2023·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴
分别交于 ， 两点，与反比例函数 的图象交于 、 两点， 轴，垂足为 ．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)点 是反比例函数 图象上点 右侧的点，且满足 ．①求点 的坐标；
②过点 作 轴，垂足为 ，判断以点 ， ， 为顶点的三角形与 是否相似，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ②相似，理由见解析
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，以及相似三角形的判定与性质．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由 ，即可求解；②由 ，可得
，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，
令 则 ；令 则 ，解得， ；
∴点A、B的坐标分别为： ，
当 时， ，则 ，
点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得： ，
则反比例函数表达式为： ；
（2）①设点 ，
则 ，
则 ，
即点 ；
②以点M，E，F为顶点的三角形与 相似，理由：∵ ，
∴
由勾股定理得,
由①得，点 、点 ，
∴
∴
则 ，
∴ ，
又
∴ ，
∴以点M，E，F为顶点的三角形与 相似．
易错点3.错用影长高度，导致错误
3．（2023·上海闵行·九年级校联考期中）如图，已知小丽的身高是 米，他在路灯下的影长为 米，小丽
距路灯灯杆的底部 米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
【详解】解：结合题意画出图形得： ，
，
，
，
小明的身高为 米，他在路灯下的影子长为 米；小明距路灯杆底部为 米，
， ， ，
，
解得： ，
则路灯灯泡距地面的高度是 米．
故答案为： ．
【方法四】 仿真实战法
考法1.相似三角形的判定
1．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知 是等边三角形 的外接圆，连接 并延长交 于点
，交 于点 ，连接 ， ．
(1)写出图中一个度数为 的角：_______，图中与 全等的三角形是_______；
(2)求证： ；(3)连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1) 、 、 、 ； ；
(2)证明见详解；
(3)四边形 是菱形；
【分析】（1）根据外接圆得到 是 的角平分线，即可得到 的角，根据垂径定理得到
，即可得到答案；
（2）根据（1）得到 ，根据垂径定理得到 ，即可得到证明；
（3）连接 ， ，结合 得到 ， 是等边三角形，从而得到
，即可得到证明；
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形 的外接圆，
∴ 是 的角平分线， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ 的角有： 、 、 、 ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ， ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
故答案为： 、 、 、 ， ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ；
（3）解：连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关
键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在 中， ，E是边AC上一点，且 ，
过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： ．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由
∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵ ，
∴∠D=∠ABC，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判
定定理是解题的关键．
考法2.相似三角形的性质3．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在 中， 是 上（异于点 ， ）的一点， 恰好
经过点 ， ， 于点 ，且 平分 ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径长为 ．
【分析】（1）连接 ，证明 ，即可证得 ，从而证得 是圆的切线；
（2）设 ，则 ，利用勾股定理求得 ，推出 ，利用相
似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如下图所示，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ 过半径 的外端点B，
∴ 与 相切；（2）解：设 ，则 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故 的半径长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本
题的关键．
4.（2023·山东淄博·统考中考真题）如图， 是 的内接三角形， ， ， 是
边上一点，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 , 根据等腰三角形的性质得到 , 根据等边三角形的性质得到
，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
【详解】连接 ,
∵ ,
∴∴ ,
∵ ,
∴ 是等边三角形,
∴ ,
∵ ， ,
∴ ,
，
∴ ,
∵ ,
，
，
即 的半径为 ，
故选: .
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.
考法3.相似三角形的实际应用
5.（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面 ，坡
角 ．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为 ，在坡面上的影长为 ．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【答案】(170+60 )cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定
义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
△
则DF= CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180× =90 （cm），
由题意得： = ，即 = ，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90 +135=(255+90 )cm，
则 = ，
解得：AB=170+60 ，
答：立柱AB的高度为(170+60 )cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确
作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）如图， ， ， ， ，
则 的长为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．1.5
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据平行线的性质可得 ， ，进而证明
，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故选A．
2．（2023·河南周口·九年级统考期中）测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 为 米（如图），
然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长 为 米，则楼高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两
个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模
型来解决问题．
【详解】解：∵标杆的高∶标杆的影长=楼高∶楼的影长，
即 ，
∴楼高 （米）．
故选：B．
3．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，垂足
为D，F为线段 上一点，若 ，则 为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】过点D作 交 于点H，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线分线段成比
例得出 ，求出 ，证明 ，得出 ，即 ，求出
结果．
【详解】解：过点D作 交 于点H，如图所示，
在 中， ， ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线
定理等知识．熟练掌握中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，
AC∶OC=1∶2，过点C作CD∥OB交AB于点D，C，D两点纵坐标分别为1，3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】∵CD∥OB，∴ ．
∵AC∶OC=1∶2，∴ ．
∵C，D两点的纵坐标分别为1，3，
∴CD=3-1=2，∴ ，解得OB=6．
∴B点的纵坐标为6．
5．（2023·安徽合肥·九年级统考期中）如图， ，下列添加的条件不能使 的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三
角形的判定定理判断求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故B不符合题意；∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故C不符合题意；
由 ， ，不能判定 ，
故D符合题意；
故选：D．
6．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图，如果 ，那么添加下列一个条件后，仍不能
确定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证 ，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
A．若添加 ，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证 ，不合题意；
B．若添加 ，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证 ，不合题意；
C．若添加 ，满足两边对应成比例，不满足夹角相等，不能证明 ，符合题意；
D．若添加 ，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可证 ，不
合题意；
故选C．
7．（2023·江西九江·九年级统考期中）如图，在 中，E在 上， 、 交于F，若 ，
，且 ，则 的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，得到 ，进而得到
，得到 ，进行求解即可．解题的关键是证明 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
8．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图， ，且 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据 ，得到 ，列出比例式求解即
可．解题的关键是证明 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
9．（2023·河南洛阳·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，点P从点B出发以1
个单位 的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位 的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点
的三角形与 相似时，运动时间为（ ）
A． B． C． 或 D．以上均不对
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为 ，先分别求出， ， ，再分四种情况：① ，② ，③ ，
④ ，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设运动时间为 ，
由题意得： ， ，
，
，点 从点 运动到点 所需时间为 ，点 从点 运动到点 所需时间为
，
，
，
，
①当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
②当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
③当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
④当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；综上，运动时间为 或 ，
故选：C．
10．如图，在 中，点D，E分别在 上， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质．证明 可得 ，进一步计算可得
答案．
【详解】解：∵ ，
，
∵ ，
，
，
故选：B．
二、填空题
11．（2023·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，E、F、G、H分别为正方形 的边 、 、 、
上的点，且 ，则图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ．【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，正方形的性质以及全等三角形的判定方法．首先根据正方形的
对称性得出阴影部分为正方形，设正方形的边长为 ，利用勾股定理求出 的值，即可得出
的值，求出面积即可得到答案．
【详解】解：设 与 分别相交于点 ，设正方形的边长为 ， ，
根据正方形的对称性得出阴影部分为正方形，且 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
由面积公式得 ，
得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
则 ，
图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比 ．
故答案为： ．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在 中，D是边 上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 、 于点M、N；②以点D为圆心，以 长为半径
作弧，交 于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点 ；④过
点 作射线 交 于点E．若 与四边形 的面积比为 ，则 的值为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、尺规作图——平行线，根据平行线的作法得 ，进
而可得 ，再根据面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是
解题的关键．
【详解】解： 与四边形 的面积比为 ，
，
依题意得： ，
，
，
则 的值为 ，
故答案为： ．
13．（2023·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）如图，在菱形 中，对角线
交于点 ，点 为 的中点，点 在 上， ，连接 交 于点 ，若 ，
连接 ，则线段 的长为 ．【答案】 /
【分析】取 的中点为 ，连接 ， ，，由菱形的性质可得
，由三角形的中位线定理可得 ，同理可得 ，
，由 ，推出 ，证明 ，求出 ，则 ，
，根据三角形中线的性质得到 ，则可求出 ，最后由勾股定理可得 的长．
【详解】解：取 的中点为 ，连接 ，
四边形 为菱形，
，
为 的中点， 为 的中点，
为 的中位线，
，
同理可得 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∵点E是 的中点， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、三角形面积的计算，相似三角形的
性质与判定，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）在 中，弦 和 构成的
，M、N分别是 、 的中点，则 的度数为 ．
【答案】130°或50°
【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，连接 ，垂径定理，得到
，分 在圆心异侧和 在圆心同侧，两种情况进行讨论求解．熟练掌握垂
径定理的推论，是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵M、N分别是 和 的中点，
∴ ，
当 在圆心异侧时，∵ ，
在四边形 中，
∴ ；
当 在圆心同侧时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：130°或50°．
15．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是
、 边上的动点，且 ，连接 和 交于点 ，连接 ，则 的最小值是
．
【答案】 /
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点 的轨迹是解题的关
键．通过证明 ，可得 ，可证 ，则点 在以 为直径的圆上运
动，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆及双曲线上运动，
如图，取 的中点 ，连接 ，交 于 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．16．（2023·山东济南·九年级统考期中）如图，在矩形 中， 平分 ，交 于点 ，
，交 于点 ，以 ， 为边，作矩形 ， 与 相交于点 ．若 ， ，
则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解
答本题的关键是得到 ．首先证明 ，推导出 ，结合矩形 ，
推导出四边形 为正方形，然后利用 ， ，推导出 ， ，进
而得到 ，代入数据得到 ．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
， ，
，
平分 ，
，
在 中， ，
在 和 中，
，，
，
在矩形 中， ，
四边形 为正方形，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
17．（2023·四川成都·九年级成都七中校考期中）有一块直角边 ， 的 的铁片，
现要把它加工成一个如图所示的正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行线的性质、正方形的性质，过点 作
交 于 ，交 于 ，利用勾股定理得 ，利用等面积法得 ，利用平行线
的性质及相似三角形的判定得 ，设 ，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握
相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：过点 作 交 于 ，交 于 ，如图：在 中， ， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，
四边形 是正方形，
，
，
解得： ，
则正方形的边长为 ，
故答案为： ．
18．（2023·四川宜宾·九年级校考阶段练习）相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索
系在离地面6米处，另一根电杆钢索系在离地面8米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆
底部，则中间两根钢索相交处点P离地面 米．【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，通过作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点P作
于E，通过证明 ，得到 ，先求出
，则 ．
【详解】解：如图所示，过点P作 于E，
由题意得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴中间两根钢索相交处点P离地面 米，
故答案为： ．三、解答题
19．（2023·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）如图， 内接于⊙ ，过点 作
于点 ，延长 交⊙ 于点 ，连接 、 ， 与 交于点 ，
(1)求证： ．
(2)若 ．
①求 的度数．
②若⊙ 的半径为 ，求 的长．
(3)设 ， ，求 关于 的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
(3)
【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理证明即可；
（2）①连接 ，证明 是正三角形，利用圆心角和圆周角关系定理证明即可；②证明 ∽
列比例计算即可；
（3）根据 ∽ 表示出 ，再证明 ∽ 即可得证．
【详解】（1）证明： ，，
；
（2）解：①连接 ，
， ，
，
，
是正三角形，
，
，
．
② ⊙ 的半径为 ， 是正三角形，
．
，
．
，
∽ ，
，
，
；
（3）解：由（2）得 ∽ ，
，，
，
．
， ，
∽ ，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练
掌握圆的基本定理和三角形相似的判定和想是解题的关键．
20．（2023·四川成都·九年级棠湖中学校考期中）在平行四边形 中， ， ，点 、 分
别为 、 的两点．
(1)如图1，若 ，且 ，连接 、 ，判断 和 的数量关系及位置关系，并说明
理由；
(2)如图2， ，，求证： ；
(3)如图3，若 ，点 关于 的对称点为点 ，点 为平行四边形 对角线 的中点，
连接 交 于点 ，求 的长．
【答案】(1) ， ；理由见解析
(2)见解析
(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质结合 、 、 、 的长度，即可证出 ，
利用全等三角形的性质可得出 、 ，再通过角的计算即可找出 ，即
；
（2）在 上取点 ，使 ，连接 ，则 为等边三角形，根据平行四边形的性质结合角的
计算可找出 、 ，进而可证出 ，根据相似三角形的性质可得出
，等量替换后可得出 ；
（3）连接 、 、 ，设 交 于点 ，利用面积法及勾股定理可求出 的长度，易知
为中位线，根据中位线的性质可得出 的长度及 ，进而可得出 ，利用相似三
角形的性质可得出 ，结合 的长度即可求出 的长度．
【详解】（1） ， ．理由如下：
四边形 为平行四边形， ，
．
， ， ，
．
在 和 中，
，
，
， ．
，，
，即 ．
（2）证明：如图2，在 上取点 ，使 ，连接 ，则 为等边三角形，
，
．
四边形 为平行四边形， ，
，
．
， ，
，
，
，
，即 ．
（3）解：连接 、 、 ，设 交 于点 ，如图3所示，则 为线段 的垂直平分线．
，
平行四边形 为矩形，
， ， ，
．
点 为 的中点，点 为 的中点，，且 ，
，
，
．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四
边形的性质、三角形的面积以及勾股定理，解题的关键是灵活运用一线三等角模型，构造全等三角形与相
似三角形．
21．（2023·山东济南·九年级统考期中）如图， 相交于点 ，已知 ， ， ，
，求证： ．
【答案】证明详见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据 ， ，得出 ，结合
即可证明 ，利用相似三角形的性质即可求证，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵在 和 中， ， ， ， ，
， ，
，
，
．
22．（2023·山东青岛·九年级莱西市第四中学校考阶段练习）如图，在矩形 中， 米，米，动点 以2米 秒的速度从点 出发，沿 向点 移动，同时动点 以1米 秒的速度从点 出发，
沿 向点 移动，设 、 两点移动 秒 后，四边形 的面积为 平方米．
(1)当t为何值时， 垂直 ？
(2)求面积S与时间t的函数关系式；
(3)在 、 两点移动的过程中，四边形 与 的面积能否相等？若能，直接写出此时点 的位置；
若不能，请说明理由；
(4)若 为等腰三角形，直接写出t的值
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
(4) 的值为 秒或 秒或 秒
【分析】（1）当 时， ，然后根据相似三角形的性质求解；
（2）过点 作 于 ，利用勾股定理求出 的长， ， ，则 ，又
，根据平行线分线段成比例列出比例式即可得出 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设四边形 与 的面积相等，则 ，再判断出方程根的情况即可；
（4）有三种情况：① ，② ，③ ，代入得出关于 的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：当 时，如图，在矩形 中，
,
,
,
，
在 中， ， ，
，
， ，
即 ，
解得： ，
∴当 时， 垂直 ；
（2）过点 作 于 ．
中， （米 ，
由题意知： ， ，则
由 ， 得
，
即： ，，
又 ，
，
即： ；
（3）假设四边形 与 的面积相等，则有：
即：
方程无实根
在 、 两点移动的过程中，四边形 与 的面积不能相等．
（4）①当 时，有 ， ，
②当 时，有 ，解得 ，
③当 时，有 ，解得 ，
所以，当 为 秒、 秒、 秒时， 为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，二次函数的关系式，矩形
的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性
质进行计算是解此题的关键．
23．（2023·广西桂林·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点 从
点 开始沿 向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动，如果 ，
分别从 ， 同时出发， 秒后停止运动，设运动时间为 秒．(1)填空： ， ；
(2)当 为何值时， 的面积为 ？
(3)是否存在某一时间 ，使得 和 相似？若存在，请求出此时 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) 秒或 秒；
(3)存在， 秒或 秒．
【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的
理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间即可用含 的代数式表示线段 和 ；
（2）设经过 秒钟，使 的面积为 ，由(1)得到 ， ，根据三角形的面积公式
得出方程即可求解；
（3）设经过 秒钟，使 和 相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况
求出即可．
【详解】（1）解：∵点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以
的速度运动，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：设经过 秒钟，使 的面积为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴解得： ， ，
∴如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过 秒或 秒 的面积为 ．
（3）解：设经过 秒钟，使 和 相似，
∵ ，
当使 时， 和 相似，
即 ，
解得： ；
当使 时， 和 相似，
即 ，
解得： ．
∴如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过 秒或 秒 和 相似．
24．（2023·山东潍坊·九年级统考期中）【阅读材料】
配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．
例如：求代数式 的最值．
解：因为
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
所以当 时，代数式 取得最小值3．
再如：求代数式 的最值．
解：因为所以当 时，代数式 取得最大值 ．
（1）【材料理解】
时，代数式 的最 “大”或“小” 值为 ．
（2）【类比应用】
试判断关于 的一元二次方程 实数根的情况，并说明理由．
（3）【迁移应用】
如图，有一块锐角三角形余料 ，它的边 厘米，高 厘米．现要用它裁出一个矩形工件
，使矩形的一边在 上，其余的两个顶点分别在 、 上．
①设 ，试用含 的代数式表示矩形工件 的面积 ；
②运用“配方法”求 的最大值．
【答案】（1） ，大， ；（2）两个不相等的实数根，（3）① ；②当 的长度是6厘米
时，矩形零件 的面积最大，最大面积为24平方厘米．
【分析】本题考查了配方法的应用和相似三角形的应用，
（1）根据阅读材料解答即可；
（2）先计算出一元二次方程根的判别式△，然后运用配方法判断取值范围即可判定根的情况；
（3）①设 的长度是 厘米， 的长度是 厘米时，根据四边形 为矩形，得出 ，进而
证得 ，列出比例式证得 与 之间的函数关系式为 ，然后根据矩形面积 求出解析式，②利用配方法即可求解．
【详解】解：（1）【材料理解】：
时，代数式 的最大值为 ．
故答案为： ，大， ；
（2）【类比应用】：
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
理由如下：
△
，
当 时，△有最小值为8，即△ ，
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
（3）【迁移应用】：
①设 的长度是 厘米， 的长度是 厘米时，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
与 之间的函数关系式为 ，
矩形 面积 ；
②
，，
故当 的长度是6厘米时，矩形零件 的面积最大，最大面积为24平方厘米．
【点睛】本题涉及了相似三角形的应用、一元二次方程根的判别式、配方法的应用，利用矩形的面积公式
得到 关于 的关系式并正确配方是解题关键．
25．（2023·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古
城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 的顶端
C处，已知 ， ．
(1)求证： ．
(2)测得 米， 米， 米，求该古城墙的高度 ．
【答案】(1)见解析
(2)8米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明三角形相似并根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关
键．
（1）根据题意可得 ，因为 ，所以 ，根据 ， 可得
，进而证得 ；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算即可．
【详解】（1）证明：如图所示，
，
，
∵光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 的顶端C处，
∴ ，
，；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
，
∴该古城墙的高度 为8米．
26．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点 为坐
标原点， 的顶点 的坐标分别为 ，并且 满足 ．顶点 在
轴的正半轴上， 的高 交线段 于点 点坐标为 ，且 点恰在 的垂直平分线上．
(1)求 点坐标；
(2)动点 从点 出发沿线段 以每秒1个单位的速度向终点 运动，动点 从 出发沿折线
轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动． 两点同时出发，且 点到达 处时， 两点同时停止
运动．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ，请用含 的式子表示 ，并直接写出相应的 的取值范
围；
(3)在（2）问的条件下，是否存在 值，使得 是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符
合条件的 值，并直接写出相应的 与 的数量关系；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3) 时， ； 时，
【分析】（1）根据题意求得点B和点C的坐标，由于 点恰在 的垂直平分线上得 ，有
对应边成比例，作 于F，求得 ，则D的坐标，进一步求出直线 的解析式即可；
（2）分成Q在线段 上和在y轴的负半轴两种情况讨论，得到对应的线段长并利用三角形的面积公式即
可求解；
（3）分成对称轴是x轴和y轴两种情况进行讨论，然后根据对称点到对称轴的距离相等即可列方程求解，
结合西安段成比例的关系证明相似，进一步得到对应角之间的关系．
【详解】（1）解：∵
∴ ，由平方的非负性解得， ， ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 点恰在 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，则 ， ，
则
过点D作 于点F，如图，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
设直线 的解析式是 ，则
，解得
则直线 的解析式是 ，
当 时， ，
故点 ．
（2）①当 时，Q在线段 上，则 ， ，
那么 ，
②当 时，Q在y轴的负半轴上，P在线段 上， ， 则 ，
那么 ，
故（3）当对称轴是y轴时，Q在 上，此时 ， ，则 ，
即 ，解得∶ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是以y轴为对称轴的等腰三角形，
∴ ，
则 ；
当对称轴是x轴时，Q在y轴负半轴， 时，P在线段 上， ， ，则 ，
即 ，解得∶ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上所述， 时， ； 时， ．
