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专题23等腰三角形及等边三角形的构造技巧（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 等腰三角形的构造技巧
技巧一 做等腰三角形的腰的平行线
典例1 （2020秋•自贡期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，
且BD＝CE，连接DE交BC于点F，试说明DF＝EF．
针对训练
1．（2021秋•朝阳区期中）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD于M，请你通
过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想∠B，
∠ACM，∠BCM有怎样的数量关系，并证明你的结论．技巧二 作等边三角形边的平行线
典例2（2021秋•桂平市期中）如图1，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且
BD＝DE．
（1）若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判AD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点D在线段AC的延长线上，如图3，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果
不成立，请说明理由．
针对训练
1．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F是边AB上的动点，E为直线BC上一点，且∠EDF＝
120°．
①如图1，求证：DF＝DE；
BE−BF
②如图2，过点D作DM⊥BC于M，求 的值．
EM技巧三 二倍角翻折出等腰三角形
典例3（2020秋•江岸区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的
中线．BD＝4，DE＝3，则AB＝ ．
针对训练
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝4，CD＝7，则AC的长为（ ）
A．3 B．11 C．15 D．9
类型二 等边三角形的构造技巧
技巧一 等腰外部构造等边三角形
典例4 如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC，点P是△ABC内一点，且∠PBC＝10°，∠PCB＝
30°，则∠PAB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
针对训练
1．在Rt△ABC中，AC＝BC，D为形内一点，满足∠DCB＝∠DBC＝15°．判断AC与AD有怎样的数量关
系，并证明你的结论．技巧二 等腰内部构造等边三角形
典例5 （2023秋•北京期中）已知，点D是△ABC内一点，满足AD＝AC
（1）已知∠CAD＝2∠BAD，∠ABD＝30°，如图1，若∠BAC＝60°，∠ACB＝80°，请判断BD和CD的
数量关系（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ACB＝2∠ABC，BD＝CD，试证明∠CAD＝2∠BAD．
针对训练
1．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P为三角形内一点，若∠PCB＝10°，∠PBC＝30°，
则∠APB的度数为 ．第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•松江区校级月考）如图，△ABC为等边三角形．点D，点E为直线AC和BC上的动点．
（1）如图1所示，点D为CA延长线上一点，点E为BC上一点时，连结DB，DE．且DB＝DE，求证：
AD+BE＝AB；
（2）如图2所示，当点E为CB延长线上一点时，DB＝DE，AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？请
直接写出结论．
2．（2022春•普宁市期末）已知M是等边△ABC的边BC上的点．
（1）如图①，过点M作MN∥CA，交AB于点N，求证：BM＝BN；
（2）如图②，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过点H
作HD⊥BC，交BC延长线于点D．求证：MA＝MH；
（3）在（2）的条件下，猜想CB，CM，CD之间的数量关系，并证明．3．（2021秋•江岸区校级月考）已知 A（0，a），B（b，0），且a，b满足❑√a−❑√3+b2﹣2b+1＝0，
∠ABO＝60°．
（1）求出点B的坐标；
（2）如图1，点N（c，0）（c＜﹣1）关于y轴的对称点为点M，线段AN的垂直平分线交线段AB的
延长线于点P，当点N在运动时，求∠AMP的大小；
（3）如图2，点B关于y轴的对称点为点C，点D在线段CO上，点E在边AB上，满足∠DEA＝
2∠DAE，试探究CD，EB和DE之间的数量关系，并给出你的证明．4．（2020秋•青山区期末）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂
足为D，交BC于点F．
（1）如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4，求BC的长．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P为三角形内的一点，且∠PCA＝20°，∠PAB＝20°，求
∠PBC的度数．
