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专题23等腰三角形及等边三角形的构造技巧（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 等腰三角形的构造技巧
技巧一 做等腰三角形的腰的平行线
典例1 （2020秋•自贡期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，
且BD＝CE，连接DE交BC于点F，试说明DF＝EF．
【思路引领】如图，过点D作DG∥AC交BC于点G，由“AAS”可证△DFG≌△ECF，可得DF＝
EF．
【解答】解：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACB，
∵DG∥AC
∴∠ACB＝∠DGB，∠DGC＝∠BCE
∴∠ACB＝∠DGB＝∠B
∴DG＝DB，且∠DGC＝∠BCE，∠DFG＝∠CFE
∴△DFG≌△ECF（AAS）∴DF＝EF．
【思路引领】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
针对训练
1．（2021秋•朝阳区期中）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD于M，请你通
过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想∠B，
∠ACM，∠BCM有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【思路引领】根据题目提供的条件和图形中线段的关系，做出猜想AB+AC＝2AM，过点C作CE∥AB，
CE与AM的延长线交于点E，进一步证明AB+AC＝AB+CE＝AD+ED＝AE，从而得到AB+AC＝2AM，由
∠B＝∠ADB＝∠EDC＝∠ECD，∠ACM＝∠MCE，可得∠B﹣∠ACM＝∠BCM．
【解答】猜想：AB+AC＝2AM，∠B﹣∠ACM＝∠BCM．
证明：过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E，
则∠ECD＝∠B，∠E＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴AC＝EC，
又CM⊥AD于M，
∴AM＝ME，
即AE＝2AM，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
又∠EDC＝∠ADB，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴ED＝EC，
∴AB+AC＝AB+CE＝AD+ED＝AE，
∴AB+AC＝2AM．∵∠B＝∠ADB＝∠EDC＝∠ECD，∠ACM＝∠MCE，
∴∠B﹣∠ACM＝∠BCM．
【思路引领】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确地做出猜想，然后向着这个目标努力即
可．
技巧二 作等边三角形边的平行线
典例2（2021秋•桂平市期中）如图1，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且
BD＝DE．
（1）若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判AD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点D在线段AC的延长线上，如图3，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果
不成立，请说明理由．
【思路引领】（1）求出∠E＝∠CDE，推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出AD＝DC，即可得出答
案；
（2）AD＝CE这一结论仍成立，过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF＝CE，证
△ADF是等边三角形，推出AD＝DF，即可得出答案．
（3）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD＝CE，即可
得到AD＝CE．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC＝30°，AD＝DC，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵AD＝DC，
∴AD＝CE；
（2）AD＝CE，理由如下：
如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，
∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，
在△BFD和△DCE中，
{
∠FDB=∠E
)
∠BFD=∠DCE ，
BD=CE
∴△BFD≌△DCE（AAS），
∴CE＝DF＝AD，
∴AD＝CE；
（3）结论仍然成立，理由如下：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，
∴∠PDB＝∠DEC，
在△BPD和△DCE中，
{
∠PDB=∠DEC
)
∠P=∠DCE=60° ，
DB=DE
∴△BPD≌△DCE（AAS），
∴PD＝CE，
∴AD＝CE．
【思路引领】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性
质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质．
针对训练
1．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F是边AB上的动点，E为直线BC上一点，且∠EDF＝
120°．
①如图1，求证：DF＝DE；
BE−BF
②如图2，过点D作DM⊥BC于M，求 的值．
EM【思路引领】①如图1中，作DH∥BC交AB于H．只要证明△DHF≌△DCE，即可推出DF＝DE．
②如图2中，在BC上取一点H，使得BH＝BF，连接DH，BD．由△DBF≌△DBH，推出DF＝DH，
由DF＝DE，推出DH＝DE，由DM⊥EH，推出HM＝EM，推出BE﹣BF＝BE﹣BH＝HE＝2EM，由此
即可解决问题．
【解答】解：①如图1中，作DH∥BC交AB于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DH∥BC，
∴∠AHD＝∠B＝60°，∠ADH＝∠ACB＝60°
∴△AHD是等边三角形，
∴DH＝AD＝DC，∠DHF＝∠DCE＝∠HDC＝120°，
∵∠HDC＝∠FDE＝120°，
∴∠HDF＝∠CDE，
在△DHF和△DCE中，
{∠DHF=∠DCE
)
DH=DC ，
∠HDF=∠CDE
∴△DHF≌△DCE，
∴DF＝DE．②如图2中，在BC上取一点H，使得BH＝BF，连接DH，BD．
∵BA＝BC，AD＝CD，
∴∠DBF＝∠DBH，
在△DBF和△DBH中，
{
BF=BH
)
∠DBF=∠DBH ，
BD=BD
∴△DBF≌△DBH，
∴DF＝DH，
∵DF＝DE，
∴DH＝DE，
∵DM⊥EH，
∴HM＝EM，
∴BE﹣BF＝BE﹣BH＝HE＝2EM，
BE−BF
∴ = 2．
EM
【思路引领】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
技巧三 二倍角翻折出等腰三角形
典例3（2020秋•江岸区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的
中线．BD＝4，DE＝3，则AB＝ 6 ．【思路引领】延长DB到F，使BF＝BA，连接AF，证得∠ABC＝2∠F，于是得到∠F＝∠C，由等腰三
角形的判定得到 AF＝AC，根据等腰三角形的性质得到 FD＝CD，由 BE＝CE 即可证得 BE+DE＝
AB+BD，再将BD＝4，DE＝3代入即可求解．
【解答】解：延长DB到F，使BF＝BA，连接AF，
∵BF＝BA，
∴∠F＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠F+∠BAF，
∴∠ABC＝2∠F，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠F＝∠C，
∴AF＝AC，
∵AD⊥BC于点D，
∴FD＝CD，即FB+BD＝CE+DE，
∵BF＝BA，BE＝CE，
∴BE+DE＝AB+BD；
∵BD＝4，DE＝3，
∴（4+3）+3＝AB+4，
∴AB＝6．
故答案为6．
【思路引领】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质定理，正确作出辅助线是解题
的关键
针对训练
1．（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝4，CD＝7，则AC
的长为（ ）A．3 B．11 C．15 D．9
【思路引领】在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明CD＝
EC，进而代入数值解答即可．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
{
AE=AB
)
∠BAD=∠DAC ，
AD=AD
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，BD＝DE，又∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故选：B．
【思路引领】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确作出辅
助线是解题的关键．
类型二 等边三角形的构造技巧
技巧一 等腰外部构造等边三角形
典例4 如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC，点P是△ABC内一点，且∠PBC＝10°，∠PCB＝
30°，则∠PAB的度数为（ ）A．50° B．60° C．65° D．70°
【思路引领】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC，根据等边三角形的
性质得到AD＝AB＝AC，求出∠DAC、∠ACD、∠ADC的度数，根据三角形的内角和定理求出∠ABC＝
∠ACB＝50°，即∠CDB＝140°＝∠BPC，再证△BDC≌△BPC，得到 PC＝DC，进一步得到等边
△DPC，推出△APD≌△APC，根据全等三角形的性质得到∠DAP＝∠CAP＝10°，即可求出答案．
【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD＝AB＝AC，
∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，
∴∠ACD＝∠ADC＝80°，
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝30°，
∴∠CDB＝140°＝∠BPC，
又∠DCB＝30°＝∠PCB，BC＝CB，
∴△BDC≌△BPC（AAS），
∴PC＝DC，
又∠PCD＝60°，
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC（SSS），
1
∴∠DAP＝∠CAP＝∠DAC= ×20＝10°，
2
∴∠PAB＝∠DAP+∠DAB＝10°+60°＝70°．
或由△BDC≌△BPC，
∴BP＝BD＝BA
∴∠BAP＝∠BPA
又∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°
1
∴∠BAP＝（180°﹣40°）× =70°，
2
故选：D．【思路引领】本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识
点的理解和掌握，作辅助线得到全等三角形是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一点难度．
针对训练
1．在Rt△ABC中，AC＝BC，D为形内一点，满足∠DCB＝∠DBC＝15°．判断AC与AD有怎样的数量关
系，并证明你的结论．
【思路引领】以BC为边向外作等边三角形BCE，连接DE，根据等边三角形的性质得到∠BCE＝∠CBE
＝60°，BE＝CE＝BC，求得∠ECD＝∠EBD＝75°，推出△BDE≌△CDE，得到∠EDC＝75°证得∠ACD
＝∠ECD＝75°推出ACD≌△ECD，根据全等三角形的性质得到AC＝CE，AD＝DE即可得到结论．
【解答】解：AC＝AD，
理由：以BC为边向外作等边三角形BCE，连接DE，
∴∠BCE＝∠CBE＝60°，BE＝CE＝BC，
∵∠DCB＝∠DBC＝15°，
∴BD＝CD，∠ECD＝∠EBD＝75°，
在△BDE与△CDE中，
{BD=CD
)
BE=CE ，
DE=DE
∴△BDE≌△CDE，
1
∴∠BED=∠CED= ∠BEC=30°，
2
∴∠EDC＝75°，
∴∠ECD＝∠EDC＝75°，
∴CE＝DE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠ACD＝∠ECD＝75°，
∵AC＝BC，∴CA＝CE，
在△ACD与△ECD中，
{
AC=CE
)
∠ACD=∠ECD ，
CD=CD
∴ACD≌△ECD，
∴AC＝CE，AD＝DE，
∵CE＝DE，
∴AC＝AD．
【思路引领】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确
的作出辅助线是解题的关键．
技巧二 等腰内部构造等边三角形
典例5 （2023秋•北京期中）已知，点D是△ABC内一点，满足AD＝AC
（1）已知∠CAD＝2∠BAD，∠ABD＝30°，如图1，若∠BAC＝60°，∠ACB＝80°，请判断BD和CD的
数量关系（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ACB＝2∠ABC，BD＝CD，试证明∠CAD＝2∠BAD．
【思路引领】（1）根据三角形内角和定理求得∠ABC＝40°，进一步求得∠BAD＝20°，∠ADC＝
∠ACD＝70°，从而求得∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°，∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝80°﹣70°
＝10°，得出∠DBC＝∠DCB，证得DB＝DC；
（2）作∠EBC＝∠ACB，使 EB＝AC，连接 ED、EA，则四边形 AEBC 是等腰梯形，通过证得
△EBD≌△ACD得出ED＝AD，进一步证得三角形AED是等边三角形，可得∠EAD＝60°，然后根据∠BAD＝60°﹣∠EAB＝60°﹣∠ABC，利用等量代换即可证得结论．
【解答】解：（1）BD和CD的数量关系是BD＝CD；
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠CAD＝2∠BAD，
∴∠CAD＝40°，∠BAD＝20°，
又∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°，∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝80°﹣70°＝10°，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC；
（2）作∠EBC＝∠ACB，使EB＝AC，连接ED、EA，则四边形AEBC是等腰梯形，
∴AE∥BC，
∴∠EAB＝∠ABC，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠ACD，
在△EBD和△ACD中
{
BE=AC
)
∠EBD=∠ACD
BD=CD
∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴ED＝AD，
∵∠ACB＝2∠ABC，∠EBC＝∠ACB，
∴∠EBC＝2∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC，
∴∠EAB＝∠ABE，
∴BE＝AE，
∵AD＝AC＝EB，
∴EA＝ED＝AD，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，∴∠BAD＝60°﹣∠EAB＝60°﹣∠ABC，
∴2∠BAD＝120°﹣2∠ABC＝120°﹣∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠ACB+∠EAC＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠EAC，
∵∠EAC＝60°+∠DAC，
∴2∠BAD＝120°﹣（180°﹣60°﹣∠DAC）＝∠DAC，
∴∠DAC＝2∠BAD．
【思路引领】题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，
作辅助线构建等腰梯形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路．
针对训练
1．（2018秋•崇川区校级期末）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P为三角形内一点，若
∠PCB＝10°，∠PBC＝30°，则∠APB的度数为 150 ° ．
【思路引领】在BC下方取一点D，使得三角形ACD为等边三角形，连接DP、DB，根据等边三角形的
性质得到AD＝AB＝AC，求出∠DAB、∠ABD、∠ADB的度数，根据三角形的内角和定理求出∠ABC＝
∠ACB＝50°，即∠CDB＝140°＝∠BPC，再证△BDC≌△BPC，得到 PB＝DB，进一步得到等边△DPB，推出△APD≌△APB，根据全等三角形的性质得到∠APB＝∠APD，即可求出答案．
【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ACD为等边三角形，连接DP、DB
∴AD＝AB＝AC，∠DAB＝∠BAC﹣∠CAD＝20°，
∴∠ABD＝∠ADB＝80°，
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∵∠PCB＝10°，∠PBC＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣10°﹣30°＝140°，∠DBC＝30°，
∵∠CDB＝∠ADB+∠ADC＝80°+60＝140°，
∴∠BPC＝∠CDB＝140°，∠DBC＝∠PBC＝30°，
在△BDC和△BPC中，
{∠BPC=∠BDC
)
∠PBC=∠DBC ，
BC=BC
∴△BDC≌△BPC（AAS），
∴PB＝DB，
又∠PBD＝60°，
∴△DPB是等边三角形，
∴PB＝PD，
在△APB和△APD中，
{AB=AD
)
AP=AP ，
PB=PD
∴△APB≌△APD（SSS），
∴∠APB＝∠APD，
1
∴∠APB= （360°﹣60°）＝150°，
2
故答案为150°．【思路引领】本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识
点的理解和掌握，作辅助线得到全等三角形是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一点难度．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•松江区校级月考）如图，△ABC为等边三角形．点D，点E为直线AC和BC上的动点．
（1）如图1所示，点D为CA延长线上一点，点E为BC上一点时，连结DB，DE．且DB＝DE，求证：
AD+BE＝AB；
（2）如图2所示，当点E为CB延长线上一点时，DB＝DE，AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？请
直接写出结论．
【思路引领】（1）如图1中，作DM∥AB交CB的延长线于M．只要证明△DBM≌△DEC（ AAS），
可得AD＝BM＝EC即可解决问题；
（2）如图2中，结论：AD﹣BE＝AB．证明方法类似（1）．
【解答】（1）证明：如图1中，作DM∥AB交CB的延长线于M．∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠M＝60°，∠BAC＝∠MDC＝60°，AB＝BC＝AC，
∴△DMC是等边三角形，
∴DM＝DC＝CM，∠M＝∠C＝60°，
∴BM＝AD，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBM＝∠DEC，
在△DBM和△DEC中，
{
∠M=∠C
)
∠DBM=∠DEC ，
DB=DE
∴△DBM≌△DEC（ AAS），
∴BM＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD+BE＝BE+CE＝BC＝AB．
（2）解：如图2中，结论：AD﹣BE＝AB．
理由：作DM∥AB交CB的延长线于M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠M＝60°，∠BAC＝∠MDC＝60°，AB＝BC＝AC，∴△DMC是等边三角形，
∴DM＝DC＝CM，∠M＝∠C＝60°，
∴BM＝AD，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBM＝∠DEC，
∴∠DBM＝∠DEC，
在△DBM和△DEC中，
{
∠M=∠C
)
∠DBM=∠DEC ，
DB=DE
∴△DBM≌△DEC（ AAS），
∴BM＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣BE＝BM﹣BE＝CE﹣BE＝BC＝AB．
故答案为：AD﹣BE＝AB．
【思路引领】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．（2022春•普宁市期末）已知M是等边△ABC的边BC上的点．
（1）如图①，过点M作MN∥CA，交AB于点N，求证：BM＝BN；
（2）如图②，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过点H
作HD⊥BC，交BC延长线于点D．求证：MA＝MH；
（3）在（2）的条件下，猜想CB，CM，CD之间的数量关系，并证明．
【思路引领】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN＝∠C＝60°，∠BNM＝∠B＝
60°，在根据等角对等边可得MB＝BN；（2）过M点作MN∥AC交AB于N，然后证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA＝
MH；
（3）过M点作MG⊥AB于G，再证明△BMG≌△CHD可得CD＝BG，因为BM＝2CD可得BC＝
MC+2CD．
【解答】（1）证明：∵MN∥AC
∴∠BMN＝∠C＝60°，∠BNM＝∠B＝60°，
∴∠BMN＝∠BNM，
∴BM＝BN；
（2）证明：过M点作MN∥AC交AB于N，
则BM＝BN，∠ANM＝120°，
∵AB＝BC，
∴AN＝MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH＝60°，
∴∠MCH＝∠ACB+∠ACH＝120°，
又∵∠NMC＝120°，∠AMH＝60°，
∴∠HMC+∠AMN＝60°
又∵∠NAM+∠AMN＝∠BNM＝60°，
∴∠HMC＝∠MAN，
在△ANM和△MCH中，
{∠ANM=∠MCH
)
AN=MC ，
∠HMC=∠MAN
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA＝MH；
（3）CB＝CM+2CD；
证明：过M点作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN＝HC，
∵MN＝MB，
∴HC＝BM，∵△BMN为等边三角形，
∴BM＝2BG，
在△BMG和△CHD中，
{
∠B=∠HCD
)
∠MGB=∠HDC ，
HC=MB
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD＝BG，
∴BM＝2CD
∴BC＝MC+2CD．
【思路引领】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关
键是正确作出辅助线，熟练掌握证明三角形全等的方法．
3．（2021秋•江岸区校级月考）已知 A（0，a），B（b，0），且a，b满足❑√a−❑√3+b2﹣2b+1＝0，
∠ABO＝60°．
（1）求出点B的坐标；
（2）如图1，点N（c，0）（c＜﹣1）关于y轴的对称点为点M，线段AN的垂直平分线交线段AB的
延长线于点P，当点N在运动时，求∠AMP的大小；
（3）如图2，点B关于y轴的对称点为点C，点D在线段CO上，点E在边AB上，满足∠DEA＝
2∠DAE，试探究CD，EB和DE之间的数量关系，并给出你的证明．【思路引领】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ANE≌△AMP，可得∠AMP＝∠ANE，由等腰三角形的性质可求∠ANP
180°−∠APN 180°−∠NPE
= ，∠PNE= ，即可求解；
2 2
（3）由“SAS”可证△AHD≌△DBG（SAS），可得∠CAD＝∠BDG，由外角的性质可得∠G＝
∠EDG，可证ED＝EG，可得结论．
【解答】解：（1）∵❑√a−❑√3+b2﹣2b+1＝0，
∴❑√a−❑√3+（b﹣1）2＝0，
∴a=❑√3，b＝1，
∴点A（0，❑√3），点B（1，0）；
（2）如图1，作点P关于y轴的对称点E，连接EP，EN，AE，
∵点N关于y轴的对称点为点M，点P关于y轴的对称点为点E，
∴AN＝AM，AE＝AP，∠NAO＝∠BAO，∠EAO＝∠PAO，∴∠NAE＝∠PAM，
∴△ANE≌△AMP（SAS），
∴∠AMP＝∠ANE，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°＝∠EAO，
∴∠EAP＝60°，
又∵AE＝AP，
∴△AEP是等边三角形，
∴AP＝EP，∠APE＝60°，
∵点P在AN的垂直平分线上，
∴AP＝NP＝PE，
180°−∠APN 180°−∠NPE
∴∠ANP= ，∠PNE= ，
2 2
360°−(∠APN+∠NPE)
∴∠ANE＝∠ANP+∠PNE= =150°，
2
∴∠AMP＝150°；
（3）DE＝EB+CD，理由如下：
如图2，在AC上截取CH＝CD，连接DH，在AB的延长线上截取BG＝CD，连接DG，
∵点B关于y轴的对称点为点C，
∴AC＝AB，
又∵∠ABO＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，又∵CH＝CD，
∴△CDH是等边三角形，
∴CD＝CH＝DH，∠CHD＝60°＝∠ABC，
∴∠AHD＝120°＝∠DBG，AH＝DB，BG＝DH＝CD，
∴△AHD≌△DBG（SAS），
∴∠CAD＝∠BDG，
∵∠CAD+∠DAB＝∠BDG+∠G，
∴∠G＝∠DAB，
∵∠DEA＝∠G+∠EDG＝2∠DAE，
∴∠G＝∠EDG，
∴ED＝EG，
∴DE＝EB+CD．
【思路引领】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直
平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2020秋•青山区期末）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂
足为D，交BC于点F．
（1）如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4，求BC的长．
【思路引领】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，得到∠BAD＝∠CAD＝
∠B，求得∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，推出∠BCA＝90°，于是得到△ABC为直角三角形；
（2）如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．于是得到∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，
求得∠BCG＝∠G，根据等式的性质得到AG＝BC，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CDF＝90°，
∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，
又∵∠BAC＝2∠B，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B，
∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，
∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCA＝90°，
即△ABC为直角三角形；
（2）如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．
则：∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，
又∵∠BAF＝∠B，
∴∠BCG＝∠G，
∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，
∴AG＝BC，
在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，
∴AG＝2AD＝2DG，
∴BC＝2AD，
∵AD＝4，
∴BC＝2AD＝8．【思路引领】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解
题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P为三角形内的一点，且∠PCA＝20°，∠PAB＝20°，求
∠PBC的度数．
【思路引领】以BC为边在BC上方作等边△DBC，连接DA，利用等边三角形的性质可得 DB＝BC＝
DC，∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，从而结合已知可得AB＝AC，∠DBA＝∠DCA＝20°，再利用三角
形的内角和定理可得∠BAC＝100°，然后利用角的和差关系可得∠PAC＝80°，从而可得∠APC＝80°，
进而可得AC＝CP，然后利用SAS证明△DBA≌△DCA≌△BCP，从而利用全等三角形的性质，即可解
答．
【解答】解：以BC为边在BC上方作等边△DBC，连接DA，
∴DB＝BC＝DC，∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，
∵∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴AB＝AC，∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝20°，∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝20°，
∵∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°，
∵∠PAB＝20°，
∴∠PAC＝∠BAC﹣∠PAB＝80°，
∵∠PCA＝20°，
∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝80°，
∴∠CAP＝∠APC＝80°，
∴AC＝CP，
∴AB＝AC＝CP，
∵∠DBA＝∠DCA＝∠PCB＝20°，
∴△DBA≌△DCA≌△BCP（SAS），
1
∴∠ADB＝∠ADC＝∠PBC= ∠BDC＝30°，
2∴∠PBC的度数为30°．
【思路引领】本题考查了全全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题
目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
