文档文本内容
专题 05 反比例函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）
知识模块一： 反比例函数的图象与性质 知识模块二：反比例函数的解析式确定方法
知识模块三： 反比例系数k的几何意义 知识模块四 反比例函数与一次函数综合
知识模块五 反比例函数的实际应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（5大考点）
考点一：反比例函数的图象与性质 考点二：反比例函数解析式的确定
考点三：反比例函数与一次函数综合 考点四：反比例函数的实际应用
考点五：反比例函数与几何综合（含k的几何意义）
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（3大易错点）
易错点1：利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上
易错点2：利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
易错点3：反比例函数k的几何意义
知识模块一： 反比例函数的图象与性质
知识点一：反比例函数的概念k
一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
x
反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1（k≠0）的形式.
知识点二：反比例函数的图象与性质
表达式 k
y= （k为常数，k≠0）
x
图象
性
k>0 k<0
质
经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随 在图象所在的每一象限内，函数值y随自
自变量x的增大而减小 变量x的增大而增大
中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于
对称性 原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上
轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交
图象特征 点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线
y=±x，对称中心为原点．
注意：
(1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较.
(2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可.
(3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比
例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称.
知识模块二： 反比例函数解析式的确定方法
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
k
1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
知识模块三：反比例系数k的几何意义
当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补
法进行求解.
一、一点一垂线
y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
|k|
结论：S
△AOB
=S
△COD
S
△AOE
=S四边形CEBD S
△AOC
=
二、一点两垂线
y
y y
A
A E A
E D
C
C F
F G
G
x x x
O B D O B D O C E B
结论：S =S S =S S ▱ =|k|
矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
三、两点一垂线
y y
A
B A
O x x
B O
C C结论： S = 2S = |k|
△ABC △ABO
k
如左图，已知一次函数与反比例函数 y= 交于 A、B 两点，且一次函数与 x 轴交于点 C，则
x
S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1 1
= co•|y|+ co•|y|= co(|y|+|y|)
2 A 2 B 2 A B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数 y= 交于 A、B 两点，且一次函数与 y 轴交于点 C，则
x
S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1 1
= co•|x|+ co•|x|= co(|x|+|x|)
2 A 2 B 2 A B
y y
A A
C
C x x
O O
B B
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|
k|
y y y y
x x x x
O O O O
五、两点和原点y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
方法一 方法二 方法三
方法一：S ＝S －S －S ．【分割】
△AOB △COD △AOC △BOD
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S ＝S ，则S ＝S ．
△OAM 四边形MEFB △AOB 直角梯形AEFB
方法三：S ＝S －S －S 【补形】
△AOB 四边形COFD △AOC △BOF.
1
方法四：S ＝S －S ＝ OD•（|y|-|y|）
△AOB △AOD △BOD 2 A B
1
方法五：S ＝S －S ＝ OC•（|x|-|x|）
△AOB △BOC △AOC 2 B A
六、两曲一平行
类型一 两条双曲线的k值符号相同
y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝ |k1|- |k2|
阴影 阴影 2 2
y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝|k1|-|k2|- S
阴影 阴影 直角梯形AFDE类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
结论：S ＝S ＝ (|k1|+|k2|) S ＝|k1|+|k2|
△AOB △ACB 2 阴影
知识模块四 反比例函数与一次函数综合
1.自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对 y1>y2时
自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如
下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>x 或x<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<x 或x<x．
A B A B
2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
知识模块五 反比例函数的实际应用
知识点一：用反比例函数解决实际问题的步骤
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
知识点二：反比例函数实际应用常考题型解题方法
1.与实际情境结合的分段函数问题(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式
中的字母系数。
(2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。
2.跨学科应用
考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给
的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题.
考点一：反比例函数的图象与性质
【典例1】（一次函数与反比例函数图象）（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数
与 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（二次函数与反比例函数图象）（2024·山东德州·中考真题）已知 ， 是某函数
图象上的两点，当 时， ．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．【典例3】（判断反比例图象所在象限）（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程
无实数根，则反比例函数 的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【典例4】（反比例函数性质）（2024·江苏南京·中考真题）已知点 ， ， 在下列某
一函数图像上．且 那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
【典例5】（已知反比例函数图象，判断其解析式）（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，
函数 和 的图象大致如图所示，则函数 的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【典例6】（反比例函数的增减性）（2024·江苏徐州·中考真题）若点 、 、 都在反比
例函数 的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【典例7】（由反比例函数图象的对称性求点的坐标）（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比
例函数 和 的图象上，若点 与点 关于y轴对称，则m的值为 ．
【典例8】（有关反比例函数新定义）（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数” ，
其“倍值点”为 ．下列说法不正确的序号为 ．
①函数 是“倍值函数”；
②函数 的图象上的“倍值点”是 和 ；
③若关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 ；
④若关于x的函数 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当 时，n的最
小值为k，则k的值为 ．
【典例9】（反比例函数图象变换）（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 的
图象可以由函数 的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数 的图象的坐标系中画出函数 的图象．(2)【探究发现】
①将反比例函数 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数 的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数 的图象先___________，再___________得到函数 的图象．
②函数 图象的对称中心的坐标为___________．
考点二：反比例函数解析式的确定
【典例1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中心，
轴，点 在双曲线 为常数， 上，将正六边形 向上平移 个单位长度，点
恰好落在双曲线上，则 的值为（ ）A． B． C． D．3
【典例2】（跨学科试题）（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比
例关系，即 （k为常数． ），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为
．
【典例3】（开方题型）（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当 时， 随
的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
【典例4】（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于
两点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为 ．
【典例5】（反比例函数与相似三角形结合）（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，
点 ， 是矩形 的顶点，点 分别为边 上的点，将矩形 沿直线
折叠，使点B的对应点 在边 的中点处，点C的对应点 在反比例函数 的图象上，则
【典例6】（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
【典例7】（2024·江西·中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，双曲线
经过点B，过点 作x轴的垂线交双曲线于点C，连接 ．
(1)点B的坐标为______；
(2)求 所在直线的解析式．
【典例8】（2024·河南·中考真题）如图，矩形 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线， 相交于点E，反比例函数 的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形 向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
【典例9】（2024·贵州·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
【典例10】（2024·贵州贵阳·模拟预测）中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流
逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数 的图象上，点C是点A关于y轴的对称
点，已知 ， ．
(1)直接写出C点坐标
(2)求反比例函数的解析式；
(3)若点P在x轴上，且 ，直接写出点P的坐标．考点三：反比例函数与一次函数综合
【典例1】（根据对称性求点的坐标）（2024·北京·模拟预测）直线 与双曲线 交于
两点（A在第二象限），则 的值为 ．
【典例2】（分割法求图形面积）（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数
的图像与反比例函数 的图像相交于点 、B(2,1)．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接 ，求 的面积．
【典例3】（与锐角三角函数结合求点的坐标）（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数 （ 、
为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数， ）的图象交于点 ， ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点 是 轴正半轴上的一点．且 ．求点 的坐标．【典例4】（与三角形面积几何求取值范围）（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数 （ ，
为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数， ）的图象交于 ， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)直线 与 轴交于点 ，点 是 轴上的点，若 的面积大于12，请直接写出 的取值范围．
【典例5】（与三角函数、勾股定理、一元二次方程结合）（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面
直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形，
点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 ， ，则 中点坐标为 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是 边的中点，且在反比例函数 图象上，求平行四边形 的面积；(3)如图3，将直线 向上平移6个单位得到直线 ，直线 与函数 图象交于 ，
两点，点P为 的中点，过点 作 于点N．请直接写出P点坐标和 的值．
【典例6】（求不等式解集与点的坐标）（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数 （
）的图象与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ，且一次函数与 轴， 轴分别交于
点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式 的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得 ，求点 的坐标．
【典例7】（反比例函数与全等综合）（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数 的图象与正
比例函数 的图象交于点 ，点 是线段 上（不与点A重合）的一点．(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点 作 轴的垂线 与 的图象交于点 ，当线段 时，求点 的坐标；
(3)如图2，将点A绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时，求点 的坐标．
【典例8】（求面积与不等式解集）（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比
例函数 的图象相交于 ， 两点，与 ， 轴分别相交于点 ， ．且 ．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点 为圆心，线段 的长为半径作弧与 轴正半轴相交于点 ，连接 ， ．求 的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于 的不等式 的解集．【典例9】（最值问题）（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反
比例函数 的图象交于 ， 两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接 ．当 的值最小时，求点P的坐标．
考点四：反比例函数的实际应用
【典例1】（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专
业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，
是一个矩形，若以 所在直线为x轴， 的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
分别是两个反比例函数图象的一部分，已知 ， ，上口宽 ，则整个冷
却塔高度为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流
和它们两端的电压 ，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【典例3】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升 ，温度到
停止加热．然后水温开始下降，此时水温 与时间 成反比例函数关系，水温降至 时，
饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温 与时间 的关系如图所示．水温从 开始加热至
，然后下降至 这一过程中，水温不低于 的时间为 ．
【典例4】（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速
度 是载重后总质量 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 时，它的最快移动
速度 ；当其载重后总质量 时，它的最快移动速度 ．【典例5】（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，
为气敏可变电阻，定值电阻 ．检测时，可通过电压表显示的读数 换算为酒精气体浓度
，设 ，电压表显示的读数 与 之间的反比例函数图象如图2所示， 与酒
精气体浓度 的关系式为 ，当电压表示数为 时，酒精气体浓度为 ．
【典例6】（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R
（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为 时，求此时的电流I．【典例7】（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 ，加热到
时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温 （ ）与通电时间 （
）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为
，接通电源后，水温 （ ）与通电时间 （ ）之间的关系如图所示．
(1)当 时，求 与 之间的函数关系式（写出 的取值范围）；
(2)加热一次，求水温不低于 的时间．
【典例8】（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流 与接入电路的滑动变阻器 之
间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压 保持不变，小灯泡的电阻为 ．改变接入电
路的滑动变阻器的电阻 ， 电流表的读数即电流 发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为
时，电流表的读数为 ．(1)求电路中的电阻 关于接入电路的滑动变阻器的电阻 之间的函数关系，
(2)求电流 关于电路中的电阻 的函数关系；
(3)如果电流表的读数为 ，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少 ？
考点五：反比例函数与几何综合（含k的几何意义）
【典例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线 经过A、B两点，连接 、
，过点B作 轴，垂足为D， 交 于点E，且E为 的中点，则 的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数
的图象与 边交于点D，与 边交于点F，与 交于点E， ，若四边形 的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
二次函数 的图象经过 两点，m，n是关于x的元二次方程
①
的两个实数根，且 ，则 恒成立．
在半径为r的 中，弦 互相垂直于点P，当 时，则 ．
②
为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
③
点C是反比例函数 的图象上一点，则 ．
已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长
④
值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例4】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形 与 （其中边 ， 分别在 ，
轴的正半轴上）的公共顶点 在反比例函数 的图象上，直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
若这两个正方形的面积之和是 ，且 ．则 的值是（ ）A．5 B．1 C．3 D．2
【典例5】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点 ， ， ，在平行四边形
中，它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ，且 ，则 ．
【典例6】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在反比例
函数 的图像上， 轴于点C， ，将 沿 翻折，若点C的对应点D落在
该反比例函数的图像上，则k的值为 ．
【典例7】（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个
函数图象的“近轴点”．例如，点(0,1)是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
【典例8】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 的
图像与反比例函数 的图像交于点A、B，与 轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求 的值；
(2)利用图像直接写出 时 的取值范围；
(3)如图2，将直线 沿 轴向下平移4个单位，与函数 的图像交于点D，与 轴交于点E，再
将函数 的图像沿 平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【典例9】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点 为反比例函数 图象上的点，
其横坐标依次为 ．过点 作x轴的垂线，垂足分别为点 ；过点
作 于点 ，过点 作 于点 ，…，过点 作 于点 ．记
的面积为 的面积为 的面积为 ．(1)当 时，点 的坐标为______， ______， ______， ______
（用含n的代数式表示）；
(2)当 时， ______（用含n的代数式表示）．
【典例10】（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线 上第一象限内的两个动点 ，以线段
BD为对角线作矩形 ， 轴．反比例函数 的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数 的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形 沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为 时，
求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形 沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接 交BD于点P．以点O为圆心， 长为半径作 ．若 ，当 与 的边有交点时，求k的取值范围．
易错点1：利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个
前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随
x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
【典例1】（2024·天津·中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B．C． D．
【典例2】（2024·广西·中考真题）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若
，则有（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·山东济宁·中考真题）已知点 在反比例函数 的图
象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2024·贵州·模拟预测）已知点 在反比例函数 的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较 的大小，并说明理由．
【典例5】（2024·贵州黔东南·二模）如图，直线 （ 为常数）与双曲线 （ 为常数）
相交于 两点．(1)求 的值；
(2)在双曲线 上任取两点M(x ,y )和N(x ,y )，若 ，试确定 和 的大小关系，并写出判断
1 1 2 2
过程；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
易错点2：利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
【典例1】（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占
有率超过 ，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商
推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商
手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y
与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题．
x/月 … 2 4 7 10 …
y/万元 … 7 2 …
(1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款；
(2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元；
(3)如果张先生打算每月付款 万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？
【典例2】（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是： )：
桌面所受压强
250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
(1)求出压强 关于受力面积 的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为 ， ， ，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水
平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为 ，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理
由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
【典例3】（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种
水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函数关系，
其中线段 、 表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少 ；
(2)若大棚内的温度低于 时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
【典例4】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表
示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上
路．
(1)求部分双曲线 的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上 喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上 能否驾车出行？
请说明理由．
【典例5】（2024·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形， ．反
比例函数 的图像分别与 ， 交于点 和点 ．
(1)求反比例函数的表达式和点 的坐标；
(2)若一次函数 与反比例函数 的图像相交于点 ，当点 在反比例函数图像上 ，
之间的部分时（点 可与点 ， 重合），求出 的取值范围．易错点3：反比例函数k的几何意义
【类型一：三角形面积与k的关系】
1 1 1
S = |k| S = |k| S = |k|
△ABC 2 △ABC 2 △BCD 2
1 S =|k| S =|k|
S = |k| △ABC △ABC
△DBC 2
S =2|k| S =2|k| S =S
△ABC △ABC △BDE △BFE
【类型二：四边形面积与k的关系】
S =|k| S =|k| S =|k|
❑ ❑ ❑S =2|k| S =2|k| S=|k −k |
△ABC △ABC 1 2
S=|k −k | S=|k −k | S=|k −k |
1 2 1 2 1 2
【类型三：重叠部分面积与k的关系】
S =S S =S S =S
△ABC 四BEDC △ABF 四EFCD 四BCHG 四HDEF
【类型四：反比例函数与图形中点与k的关系】
D为AB中点， 点E为平行四边形ADBC的对 点E为矩形ADBC的对角线的
3 角线的交点 交点
S = |k|
△ABC 2
S =3|k| S =2|k|
▱ACBD 矩
3
S =S = |k|
△ACD △BCD 4
【类型五：反比例函数中的特殊线段的关系】BC⊥x轴，BA⊥y轴
AC=BD DE∥BC
DF=EG,DE∥AC
【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正
方形 ， ．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点
M， 轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【典例2】（2024·四川达州·一模）如图，点 在反比例函数 的图象上， ， 分别
垂直于x轴、y轴，点D在位于 右侧的反比例函数的图象上， ， 分别垂直于x轴、 于E，F
两点，若四边形 为正方形，则这个正方形的面积等于（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
【典例3】（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线 平行于 轴，且分别与反比例函数 、 的图象交于点 、 ，则 面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例4】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段 与反比例函数 相
交于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 恰好落在双曲线 上，则
的面积为（ ）
A．3 B． C． D．6
【典例5】（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 的图象上，
过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连接 、 交 于点E，若 ，四边形
的面积为3，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15【典例6】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形 中， ，点 在 轴上，反
比例函数 经过点 ，与 交于点 ，连接 ．若 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【典例7】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在
第一象限内的图象依次是 和 ，设点P在 上， 轴于点C， 交 于点A， 轴于点D，
交 于点B，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【典例8】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ，
过点O作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【典例9】（2024·宁夏银川·一模）如图，A，B是双曲线 上的两点，过点A作 轴于点 ，交
于点 ，且 为 的中点，若 的面积为5，点B的坐标为 ，则 的值为
．
【典例10】（2024·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的两边 、 分别在
x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 与 相交于点D，与 相交于点E，若 ，且
的面积是10，则k的值为 ．
【典例11】（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数 上一点 分别作横轴和纵轴的平
行线交函数 与点 、 ．则 的面积为 ．【典例12】（2024·江苏泰州·三模）如图，点A，B，在反比例函数 的图象上，连接 ， ，分别
过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为 、 ；若 ，则
．
【典例13】（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取 ，过点 ， ，
分别作x轴的垂线与反比例函数 （ ）的图象相交于点 ， ， ，得 ， ，
，并设其面积分别为 ， ， ，以此类推，则 的值为 ．
【典例14】（2024·江苏盐城·二模）如图，点P是反比例函数 图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，
垂足分别为A、B，交反比例函数 的图像于C、D两点， 的面积是 ，则k的值是．
【典例15】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形 、矩形 在平面直角坐标系中的位置如图
所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为 的中点，反比例函
数 （ ，k为常数， ）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ．
【典例16】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，A、B为反比例函数 的图象上两个点，过点A
作 轴于点C， 轴于点D，过点B作 轴于点E， 轴于点F， 与 交于点
P，连接 ，若点P为 的中点，则 的面积为 ．
【典例17】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数 的图象上，分别过点
A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段 交x轴于点E，连接 ．若 ，四边
形 的面积为9，则k的值为 ．【典例18】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形 中，点 在对角线 上，且满足 ，
反比例函数 的图像经过点 、与 相交于点 ， 的面积为4，则 的值为 ．
【典例19】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数 的图象上有 ， 两点，
过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接 ，若 的面积为1，则k的值为
．
【典例20】（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于
， 两点，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ， ．(1)求反比例函数 的表达式．
(2)若 ，以 ， 为边作平行四边形 ，点 在第三象限内，求点 的坐标．
【典例21】（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习：
项目主
反比例函数k的几何意义之三角形面积
题
已知矩形 的两邻边 、 分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函 数的
项目情
境
图象经过点B， 的图象分别与 、 交于点D、E．
（1）如图（1），若顶点B的坐标是 ， ，则反比例函数 的解析式是______．
活动任
务一
驱动问
（2）在（1）的条件下，则 的面积是______；
题一
活动任
（3）如图（2），当 ， 时，则 的面积是______．
务二驱动问 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到 的面积有何规律或特征吗？请你用
题二 含 ， 的代数式，表示 的面积（写出推理过程）．
