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专题 18 投影与视图
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：投影
知识模块二：视图
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点）
考点一：投影与相似综合
考点二：判断简单几何体/组合体/非实心几何体的三视图
考点三：画三视图
考点四：由三视图还原几何体
考点五：已知三视图求边长、侧面积或表面积、体积
考点六：求小立方块堆砌图形的表面积
考点七：由几何体视图的面积
考点八：由三视图，确定小立方体的个数
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（3大易错点）
易错点1：当物体的影子落在墙壁上或斜坡上时计算错误
易错点2：画三视图时，轮廓线的虚实没有画对
易错点 3 ： 求几何体的表面积时，漏掉部分面
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知识模块一：投影
知识点一：投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光
线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
形成投影需满足三个条件：1）光源；2）投影面；3)物体.
知识点二：平行投影
平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样由平行光线形成的投影叫做平行投影.
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，并且都等
于物体本身的长度.
3）不等高的物体垂直地面放置时（图3），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的物高与影长成正比例，
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即： （或 ），利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如
旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
图1 图2 图3
知识点三：中心投影
中心投影的定义：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图4），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的
影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图5），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越
短，但不会比物体本身的长度还短.
图4 图5
知识点四：正投影
正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，当就称为正投影.
平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，
形改变；垂直，成线段.）
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知识模块二：视图
知识点一：几何体的三视图
视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图.
三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，
①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
三视图之间的关系：
1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，
2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平
齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.
知识点二：几何体三视图的画法
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体
1）确定主视图的位置，画出主视图；
2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实
线.
利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.
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考点一： 投影与相似综合
1．（2024·河北石家庄·三模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们
小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所
示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米
【答案】C
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对
应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质
构建方程求解即可．
【详解】解：如图：点O为光源，AB为小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，作OE⊥AB，延长
OE交CD于F，则OF⊥CD，
∵AB∥CD
， ，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
AB OE
∴ = ，
CD OF
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∵OE=2米，OF=6米，
AB OE 2 1
∴ = = = ，
CD OF 6 3
令AB=k，则CD=3k，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，
，
3
即AB=k，C'D'= k，△OAB∽△OC'D'，
2
AB OE' k 2
= = = OE' 2
∴C'D' OF' 3 3，则 = ，
k 6 3
2
∴OE'=4米，
∴光源与小明的距离应增加4−2=2米，
故选：C．
2．（2024·浙江杭州·三模）如图，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m
的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D
在一条直线上，已知OA=9m，AB=5m，CB=1.5m．
(1)求女孩的影子BD的长．
(2)若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14）
【答案】(1)女孩的影子BD的长为1米
(2)11π平方米
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【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到BD的长，即可得出答案．
（2）根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵BC⊥AD，AO⊥AD，
∴BC∥AO，
∴△BDC∽△ADO，
BC BD
∴ = ，
AO AD
1.5 BD
∴ = ，
9 BD+5
∴BD=1米，
答：女孩的影子BD的长为1米；
（2）解：∵女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），
∴人影扫过的图形的面积62×π−52×π＝11π平方米．
3．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方
法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗
杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得
小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显
提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
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如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水
平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并
标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用
同样方法，测得C'G'=1.2m，D'G'=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
【答案】(1)11.3
(2)旗杆高度为12m；
(3)雕塑高度为29m．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出∠ACB=∠ECD，得出△ACB∽△DCE，最后根据三角形相似的性质，
即可求出答案；
（3）BG=xm，由题意得：△DGC∽△DBA，△D'G'C'∽△D'BA，利用相似三角形的性质列出式子，
计算即可求解．
DE EF
【详解】（1）解：由题意得DE=EF，由题意得： = ，
AB BC
∴AB=BC=11.3m，
故答案为：11.3；
（2）解：如图，由题意得，DE=1.5m，EC=2m，BC=16m，
根据镜面反射可知：∠ACB=∠ECD，
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∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEC=90°，
∴△ACB∽△DCE，
AB CB AB 16
∴ = ，即 = ，
DE CE 1.5 2
∴AB=12，
答：旗杆高度为12m；
（3）解：设BG=xm，
由题意得：△DGC∽△DBA，△D'G'C'∽△D'BA，
CG DG C'G' D'G'
∴ = ， = ，
AB DG+x AB D'D+DG+x
1.8 1.5 1.2 2
即 = ， = ，
AB 1.5+x AB 24+1.5+x
1.8 1.5
AB 1.5+x
∴ = ，
1.2 2
AB 24+1.5+x
整理得3.6(1.5+x)=1.8(25.5+x)，
解得x=22.5，经检验符合他
∴AB=1.8×(1.5+22.5)÷1.5=28.8≈29(m)，
答：雕塑高度为29m．
考点二： 判断简单几何体/组合体/非实心几何体的三视图
4．（2024·山东潍坊·中考真题）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的
俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了物体的三视图，根据物体及其俯视图即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
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【详解】解：由图形可得，它的主视图如图所示：
，
故选：D．
5．（2024·山东德州·中考真题）如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左
视图，可得答案．
【详解】
解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．
只有 符合题意．
故选：C．
6．（2023·山东聊城·中考真题）如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：
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故选：D．
【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，
上面看得到的图形．
考点三： 画三视图
7．（2024·湖南郴州·二模）画出下面立体图形的三视图．
【答案】见解析
【分析】本题考查实物体的三视图．观察实物图，按照三视图的要求画图即可．
【详解】画出的三视图如下:
8．（2023·全国·一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．
(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．
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(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；
（2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案．
【详解】（1）解：画出图如图所示：
；
（2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正方
体，
故答案为：3．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关
键．
考点四： 由三视图还原几何体
9．（2024·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，结合三视图与原几何体的关系即可解决问题
【详解】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥，
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故选：D
10．（2024·安徽·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．
【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项．
故选：D．
11．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定
义
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考点五： 已知三视图求边长、侧面积或表面积、体积
12．（2024·浙江金华·模拟预测）如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中m的值为（ ）．
A．2.4 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图
的宽成为解题的关键．
根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面
积法求得长方形的长即可．
【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5，
∴俯视图为直角三角形，且斜边为5，
3×4 12
∴斜边上的高为 = =2.4
5 5
∴左视图为长方形，其长为6，宽为2.4，即m=2.4．
故选：Ａ．
13．（2023·山东·中考真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
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A．39π B．45π C．48π D．54π
【答案】B
【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4
的圆柱，该几何体的表面积为：
1 (1 ) 2
S=π× ×6×4+6π×4+π× ×6 =12π+24π+9π=45π．
2 2
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还
原出几何体是解决问题的关键．
14．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）根据三视图，求出这个几何体的侧面积（ ）
A．500π B．100√3π C．100π D．200π
【答案】D
【分析】由已知，得到几何体是圆柱，由图形数据，得到底面直径以及高，计算侧面积即可．
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【详解】解：由题意知，几何体是底面直径为10、高为20 的圆柱，
所以其侧面积为π×10×20=200π．
故选：D．
【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的侧面积；关键是还原几何体，明确侧面积的部分．
15．（2021·云南·中考真题）如图是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．
已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，
则这个几何体的体积为 ．
【答案】3π
【分析】由三视图判断出几何体的形状以及相关长度，根据圆柱的体积公式计算即可．
【详解】解：由三视图可知：该几何体是圆柱，
该圆柱的底面直径为2，高为3，
(2) 2
∴这个几何体的体积为π× ×3=3π，
2
故答案为：3π．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，解题的关键是判断出该几何体为圆柱．
考点六： 求小立方块堆砌图形的表面积
16．（2021·贵州黔东南·中考真题）由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的
表面积为（ ）
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A．18 B．15 C．12 D．6
【答案】A
【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍．
【详解】解：正视图中正方形有3个；
左视图中正方形有3个；
俯视图中正方形有3个．
则这个几何体表面正方形的个数是：2×（3+3+3）=18．
则几何体的表面积为18．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面积之和．
17．（2025·山东青岛·一模）如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动
了45°之后，表面积增加了 cm2
【答案】108−72√2
【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一
个小三角形的面积，进而求出答案．
本题主要考查几何体的表面积．
【详解】解：转动了45°之后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰
直角三角形，
设直角边为x，则斜边为√2x，
则有2x+√2x=3 ，
3√2
得到x=3−
2
由几何关系得：阴影部分的面积为
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2
1( 3√2) 27 9√2
S = 3− = −
1 2 2 4 2
所以增加的面积为S=16S
1
(27 9√2)
=16 −
4 2
= 108−72√2
故答案为：108−72√2．
18．（2023·山西太原·二模）用6个大小相同的小立方体组成如图所示的几何体，该几何体主视图，俯视
图，左视图的面积分别记作S ，S ，S ，则S ，S ，S 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．S =S >S B．S S =S D．S >S >S
1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2
【答案】C
【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图、俯
视图、左视图即可．
【详解】解：设小正方体的棱长为1，从正面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为1，2，1，
S =4．
1
从上面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为2，1，2，S =5．
2
从左面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为1，2，1，S =4．
3
∴ S >S =S
2 1 3
故选：C
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看
到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
考点七： 由几何体视图的面积
19．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几
何体左视图的面积是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先确定该几何体左视图的小正方形数量，然后求解面积即可．
【详解】解：该几何体左视图分上下两层，其中下层有3个小正方形，上层中间有1个正方形，共计4个
小正方形，
∵小正方体的棱长为1，
∴该几何体左视图的面积为4，
故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解左视图即为从左边看到的图形是解题关键．
20．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，从三个不同方向
观察该几何体得到的视图面积相等的是（ ）
A．主视图与左视图 B．主视图与俯视图
C．俯视图与左视图 D．主视图，俯视图，左视图
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键在于熟练掌握三视图的概念，并能找出正确的
三视图．
先画出该几何体的三视图，再根据三视图的面积求解即可．
【详解】解：这个几何体的三视图为：
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∴主视图与俯视图的面积相等，
故选B．
4
21．（2024·江苏无锡·二模）某三棱柱的三种视图如图所示，俯视图的面积是左视图面积的 倍，左视图
3
中矩形ABCD的边长AB=3，则主视图的面积为（ ）
9
A． B．6 C．8 D．12
2
【答案】B
【分析】本题考查三视图边长关系，熟练掌握“长对正、高平齐、宽相等”，通过三视图准确得到相应图
形的边长是解决问题的关键．根据三视图关系可知，主视图、俯视图与左视图的长相等，由左视图中矩形
4 4
ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的 倍，可知主视图的宽为 AB=4，由主视图与左视
3 3
图关系可知，主视图三角形的高为AB=3，从而利用三角形面积公式即可得到主视图的面积为
1
×4×3=6．
2
【详解】解：∵主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积
4
是左视图面积的 倍，
3
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4
∴主视图的宽为 AB=4，
3
∵主视图与左视图关系知主视图三角形的高为AB=3，
1
∴主视图的面积为 ×4×3=6，
2
故选：B．
考点八： 由三视图，确定小立方体的个数
22．（2024·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三
视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，
由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．
【详解】解：由三视图易得最底层有3个正方体，第二层有2个正方体，那么共有3+2=5个正方体组成．
故选：A．
23．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图
所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据主视图和左视图判断该几何体的层数及每层的最多个数，即可得到答案．
【详解】解：根据主视图和左视图判断该几何体共有两层，
下面一层最多有4个小正方体，上面的一层最多有3个小正方体，故该几何体所用的小正方体的个数最多
是7个，
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故选:B．
【点睛】此题考查了几何体的三视图，由三视图判断小正方体的个数，正确理解三视图是解题的关键．
24．（2023·四川眉山·中考真题）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体
图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
【答案】B
【分析】根据俯视图可得底层最少有6个，再结合左视图可得第二层最少有2个，即可解答．
【详解】解：根据俯视图可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，
根据左视图第二层有2个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，
根据左视图第三层有1个，可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为1个，
故搭成该立体图形的小正方体最少为6+2+1=9个，
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断小立方体的个数，准确地得出每层最少的小正方体个数是解题的关键．
25．（2024·浙江·模拟预测）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上
面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
(1) a=__________，b=__________，c=__________；
(2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成；
(3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．
【答案】(1)3，1，1
(2)9
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(3)见解析
【分析】本题考查简单组合体的三视图
（1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值；
（2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可；
（3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，即可画出数量最多时的左视图．
【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知，b=c=1，a=3，
故答案为：3，1，1；
（2）解：最少时，即a=3，b=c=1，而e所在的“列”最少有一处为2即可，
因此，最少需要3+1+1+1+1+2=9（个），
故答案为：9；
（3）解：在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，数量最多时的左视图如下：
．
易错点1： 当物体的影子落在墙壁上或斜坡上时计算错误
1．（2023·陕西西安·模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，
旗杆AB立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离为2m，升旗台的台阶所在的斜
坡CD长为2m，坡角为30°，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面MN上的部分DE的长为7m，
同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长1.8m的标杆的影长为1.2m，请你帮他们求出旗杆AB的高度.
（结果保留一位小数，参考数据：√3≈1.732）
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【答案】15.1m
【分析】延长AB交MN于点H，过C做CG⊥MN于G，根据矩形的性质及含有30°角的直角三角形的性
质得到CG=1m，DG=√3m，最后根据同一时刻物高和影长成正比即可解答．
【详解】解：延长AB交MN于点H，过C做CG⊥MN于G，
∴四边形BHGC是矩形，
∴HG=BC=2m，∠CGD=90°，BH=CG，
∵∠CDG=30°，CD=2m，
1
∴CG= CD=1m，DG=√3m，
2
∴HE=HG+GD+DE=2+√3+7=(9+√3)m，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
AH 1.8
∴ = ，
HE 1.2
AH 1.8
∴ = ，
9+√3 1.2
27+3√3
∴AH= m，
2
27+3√3 25+3√3
∴AB=AH−BH= −1= ≈15.1(m)，
2 2
答：旗杆AB的高度.为15.1m．
【点睛】本题考查了解直角三角形—坡度坡角的问题，平行投影，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题
的关键．
2．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地
面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑
观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已
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知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1:0.75，在不
计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答
这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；
（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作
FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
90 150
由题意可得： = ，
72 x
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度i=1:0.75，
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DE FG 1 4
∴ = = = ，
CE CG 0.75 3
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
(4m) 2+(3m) 2=1002，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
90 AH AH
∴ = = ，
72 HF BG
90 90
∴AH= ×BG= ×160=200，
72 72
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理
解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
易错点2： 画三视图时，轮廓线的虚实没有画对
1．（2023·安徽宿州·三模）如图，该几何体的左视图是( )
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：由题意知，其左视图如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了左视图．解题的关键在于明确从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在
的线是虚线．
2．（2024·河南驻马店·二模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看
到的线画成虚线．
【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形，
所以俯视图是：
故选C
易错点3： 求几何体的表面积时，漏掉部分面
1．（2024·山东日照·二模）如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1米的正方体砖砌成，现要把露出的表面
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漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共8元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（ ）
A．152元 B．168元 C．264元 D．272元
【答案】C
【分析】本题考查了组合几何体的表面积，分别求出每一次的表面，相加求出总的表面积，再乘以单价即
可求解，正确求出几何体的表面积是解题的关键．
【详解】解：由图可得，最上层侧面积为4平方米，上表面面积为1平方米，总面积为4+1=5平方米；
中间一层侧面积为2×4=8平方米，上表面面积为4−1=3平方米，总面积为8+3=11；
最下层侧面积为3×4=12平方米，上表面面积为9−4=5平方米，总面积为12+5=17平方米；
∴需要涂上颜色部分的面积为5+11+17=33平方米 ，
∴油漆完工后，应付给漆匠师傅33×8=264元，
故选：C．
2．（2023·湖南永州·一模）某几何体从三个方向看到的图形分别如图；
(1)该几何体是 ．
(2)求该几何体的表面积？（结果保留π）
【答案】(1)圆柱
(2)8π
【分析】（1）根据几何体的三视图即可判断；
（2）圆柱体的表面积公式=2πrh+2πr2求解．
【详解】（1）解：这个几何体是圆柱，
故答案为圆柱；
2 2
（2）圆柱底面积＝π⋅( ) =π，
2
2
圆柱的侧面积=2π⋅( )⋅3=6π，
2
∴圆柱表面积=＝6π+2π=8π．
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【点睛】本题考查几何体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
3．（2022·湖北咸宁·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
【答案】28π
【分析】根据三视图，该几何体是圆柱，进而计算表面积．
【详解】解：根据三视图，该几何体是圆柱，圆柱底面圆的半径是2，
∴S =S +S
圆柱 侧面积 底面积
=5×2π×2+2π×22
=28π
∴该几何体的表面积为28π；
故答案为：28π．
【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，根据三视图还原几何体是关键．
29
