文档内容
专题 04 一次函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）
知识模块一 一次函数的相关概念 知识模块二 一次函数的图象与性质
知识模块三 一次函数的应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（4大考点）
考点一：一次函数的图象与性质 考点二：一次函数解析式的确定（含图象变化）
考点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系 考点四：一次函数的实际应用
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）
易错点1：一次函数的平移 易错点2：求直线围成的图形面积
易错点3：一次函数探究性问题 易错点4：一次函数与几何综合知识模块一 一次函数的相关概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
知识模块二 一次函数的图象与性质
知识点一：一次函数的图象特征及性质
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.
b
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
k
增减性 k>0 k<0
从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势，
y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
y y y y y y
图象
x x x
x x x
O O O
O O O
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、 一、二、四 二、四 二、三、四四
与y轴 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点位置
知识点二：一次函数图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
图象关系
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两
点即可，
图象确定
b
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
k
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
知识点三：k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
b b
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
k k
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
b
1）当− > 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
k
b
2）当− = 0，即b=0时，直线经过原点．
k
b
3）当− < 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
k
知识点四：两个一次函数表达式（直线l ：y =k x＋b 与l ：y =k x＋b ）的位置关系
1 1 1 1 2 2 2 2
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1•k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
知识点五：用待定系数法确定一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
知识点六：正比例函数与一次函数的联系与区别
正比例函数 一次函数
一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
k的符号决定其增减性；
k，b符号 k的符号决定其增减性，
区别
b的符号决定直线与y轴的交点位置；
的作用 同时决定直线所经过的象限
k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 只需要一对x，y的对应值
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
的条件 或一个点的坐标
1）正比例函数是特殊的一次函数．
2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个
不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）
联系
或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx
（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
知识模块三 一次函数的应用
1.一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计
问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及
最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或
线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
【典例1】（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，
某折扇张开的角度为 时，扇面面积为 、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，若 ，则
与 关系的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为 ，根据扇形的面积公式表
示出 ，进一步得出 ，再代入 即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的
关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为 ，
，
∴ ，
∵该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的正比例函数，
∵ ，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
【典例2】（2024·陕西安康·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与正比例函数
（a，b是常数，且 ）的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一次函数图象与性质，先根据 判断符合条件的正比例函数图象，再根据一次函
数的图象与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 的图象经过二四象限，
∴B，D不符合题意；
A、由一次函数 图象可知 ， ，则 ，故此选项符合题意；
C、由一次函数 图象可知 ， ，则 ，与 矛盾，故此选项不符合题意；
故选：A．
【典例3】（2024·北京·三模）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 的
横、纵坐标分别为第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的
工作时间和加工的零件数， ．若 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于 ，
， 大小关系的表述中，正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象与性质，若 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，取 为
中点，则 ，若连接原点 ，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，数形结合即可
得到答案．分析出 的几何意义是解答问题的关键．
【详解】解：若 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 为 中点，则
，
连接原点 ，即可转化为过原点的直线 的倾斜程度，如图所示：
由过原点的直线的倾斜程度和直线与 正半轴夹角大小有关，
，
关于 ， ， 大小关系是 ，故选：B．
【典例4】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示
的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为 ， ，
则关于 与 的关系，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数
图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点 和 ，利用纵坐标
的大小列出不等式，即可判断选项C、D．
【详解】解：由图像可知， 随 的增大而减小， 随 的增大而减小，
所以 ，故选项A、B错误，不符合题意；
如下图，在两个图像上分别取横坐标为 的两个点 和 （ ），则 ， ，
∵ ，即
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意．
故选：D
【典例5】（2024·天津·中考真题）若正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、第三象限，
则 的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限确定 的符号．
【详解】解： 正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、三象限，
．
∴k的值可以为1，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与 的关系．解答本题注意理解：直线
所在的位置与 的符号有直接的关系． 时，直线必经过一、三象限． 时，直线必经过二、四象限．
【典例6】（2024·广东阳江·二模）先从 ， ，0，6四个数中任取一个数记为 ，再从余下的三个数
中任取一个数记为 ．若 ，则正比例函数 的图象经过第一、三象限的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．
根据题意列表表示出所有可能得情况，然后根据正比例函数 的图象经过第一、三象限则 ，据此
求解即可．
【详解】解：列表如下：
0 60
0
0 0 0 0
6 0
共有12种等可能结果，其中满足 的有2种，
则正比例函数 的图象经过第一、三象限的概率是 ．
故答案为： ．
考点二：一次函数解析式的确定（含图象变化）
【典例1】（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关
于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相
反数，求出 的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴ ，
∴ ， ，
设正比例函数的解析式为：y=kx(k≠0)，把 代入，得： ，
∴ ；
故选A．
【典例2】（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 是尾长
的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设
，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式．
【详解】解：∵蛇的体长 是尾长 的一次函数，
设 ，
把 时， ； 时， 代入得 ，
解得 ，
∴y与x之间的关系式为 ．
故选：A．
【典例3】（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度 是所挂物体质量 的一次函
数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为
5kg时，弹簧的长度为 cm，
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的
解析式是关键．设 与 的函数关系式为 ，由待定系数法求出解析式，并把 代入解析
式求出对应的 值即可．
【详解】解：设 与 的函数关系式为 ，由题意，得 ，
解得： ，
故 与 之间的关系式为： ，
当 时， ．
故答案为： ．
【典例4】（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，
则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一次函数的几何应用，如图，直线 过 ， ，再
求解一次函数的解析式即可．
【详解】解：如图，直线 过 ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
设直线 为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为 ，
故答案为： ，（答案不唯一．）
【典例5】（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系 中，已知 ， ．直线
（k，b为常数，且 ）经过点 ，并把 分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为 ．
【答案】 /0.6
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出 的解析式，再
根据直线 经过点 ，求出 ，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积
为 为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下，
设直线 的解析式为： ，
把 ，B(0,3)代入，
可得出： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 ，
联立两直线方程： ，解得： ，
∴
∵ ，B(0,3)，
∴ ， ，
根据题意有： ，
即 ，
，
解得： ,
故答案为： ．
【典例6】（2024·四川乐山·一模）当 ， 是正实数，且满足 时，就称点 为“友谊
点”．已知点 与点 都在直线 上，点 、 是“友谊点”，且点 在线段 上．
（1）点 的坐标为 ；
（2）若 ， ，则 的面积为 ．
【答案】 /
【分析】（1）由 变式为 ，可知 ，所以在直线 上，点 在直线
上，求得直线 ： ，进而求得 ；
（2）根据直线平行的性质从而证得直线 与直线 垂直，然后根据勾股定理求得 的长，从而求得三角形的面积．
【详解】解：（1）∵ 且 ， 是正实数，
∴ ，即 ，
∴ ，
即“友谊点” 在直线 上，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴直线 ： ，
∵“友谊点” 在直线 上，
∴由
解得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵一、三象限的角平分线 垂直于二、四象限的角平分线 ，而直线 与直线 平
行，直线 与直线 平行，
∴直线 与直线 垂直，
∵点 是直线 与直线 的交点，
∴垂足是点 ，
∵点 是“友谊点”，
∴点 在直线 上，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角
形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．
【典例7】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点
的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】此题考查了面积相等问题，用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是利用三角形的面积
公式求出AB的长．
【详解】如图，过 作 于 ，易知 ，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
，
而 ，
，
，
∴A点坐标为 ，
设直线解析式为 ，
则 ，
∴ ，
∴直线l解析式为 ．
故答案为：
【典例8】（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x
轴、y轴分别交于A(−2,0)， 两点．(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量 的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出 与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数 的大致图象；
(3)一次函数 的图象与函数 的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对
称点为点E，点P是第一象限内函数 图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接 ， ， ．若
的面积为15，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)点 的坐标为
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌
握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可得；（2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可；
（3）先求出点 的坐标，再求出直线 的解析式，设点 的坐标为 ，过点 作
轴的垂线，交直线 于点 ，则 ，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：将点A(−2,0)， 代入 得： ，
解得 ，
则一次函数的解析式 ．
（2）解：由表格可知， ，
画出函数图象如下：
．
（3）解：联立 ，解得 或 ，
∵一次函数 的图象与函数 的图象相交于 ， 两点（点 在点 的左侧），
∴ ，
∵点 关于坐标原点的对称点为点 ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，
如图，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，则 ，
∴ ，点 到 的距离与点 到 的距离之和为 ，
∵ 的面积为15，
∴ ，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ，
所以点 的坐标为(1,4)．
【典例9】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 过点 ， ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)设点 在 上，抛物线G： 与 轴交于点 ， （点 在点 右侧），与 轴交于
点 ．①当 时，试用含 的代数式表示四边形 的面积；
②当 ， ， 中有两点与点 ， 围成的四边形是平行四边形时，求 的函数解析式．
【答案】(1)
(2)① 或 或 ② 或 或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①分 ， ， 三种情况进行讨论求解即可；
②分 与 两点组成的四边形为平行四边形，且点 在原点右侧， 与 两点组成的四边形为平
行四边形，且点 在原点左侧，以及当 与 两点组成的四边形为平行四边形，三种情况进行讨论求
解即可．
【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 ，把 ， 代入，得：
，解得： ，
∴ ；
（2）①∵点 在 上，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ，
令 ，则 ，解得： ，
设直线 与 轴交于点 ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，当 ，即 时， ，
则：四边形 的面积 ；
当 时，
则：四边形 的面积 ；
当 ，即： 时，
则：四边形 的面积 ；综上：四边形 的面积为 或 或 ；
②当 与 两点组成的四边形为平行四边形，且点 在原点右侧时，如图，则： ，
∴ 的中点坐标为 ，
∴ ， 两点中点的纵坐标为 ，
∴ 点坐标为 ，
∴ 两点的中点坐标为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，把 代入，得：
∴ ，即： ；
当 与 两点组成的四边形为平行四边形且点 在原点左侧时，如图，则： ，同理可得： ， ，
∴ ，
∴ ，把 ，代入，得： ，
∴ ，即： ；
当 与 两点组成的四边形为平行四边形时，如图，则： ，
同理可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，把 ，代入，得： ，∴ ，即： ；
综上： 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与抛物线的交点问题，平
行四边形的性质，等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和
分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
考点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系
【典例1】（2024·广东·中考真题）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当 函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式 的解集是 ，
∴当 时， ，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．【典例2】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示．则下列结论中：① 随 的增大而增大；② ；③．当 时，
；④关于 ， 的方程组 的解为 ，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：①、 随 的增大而增大，故选项①正确；
②．由图象可知，一次函数 的图象与 轴的交点在 的图象与 轴的交点
的下方，即 ，故选项②正确；
③．由图象可知：当 时， ，故选项③错误；
④．由图象可知，两条直线的交点为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ；故选项④正确；
故正确的有①②④共三个，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从
函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
【典例3】（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式 的解集，某同学绘制了
与 （m，n为常数， ）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解
集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等
式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当 时，一次函数 的图象在一次函数 的图
象的下方，
∴关于 的不等式 的解集是 ．
在数轴上表示 的解集，只有选项C符合，
故选：C．
【典例4】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， 为坐标原点， 的两个顶点 ， ，点
在边 上， ，点 为 的中点，点 为边 上的动点，则使四边形 周长最小的点 的
坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形的判定和性质，两直线的交点坐标等知识点．根据
已知条件得到 ， ，求得 ， ，得到 ， ，在 轴正
半轴取点 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，推出 垂直平
分 ，则点 与点关 于直线 对称，此时四边形 周长最小，E(0,2)，求得直线 为
，直线 的解析式为 ，解方程组即可得到结论．正确的找到 点的位置是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 轴正半轴取点 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 平分 ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ，则点 与点关 于直线 对称，
∴ ， ，
∴ ，
当点 与点 重合时，取“ ”号，此时四边形 周长最小，
设直线 为 ，过点 ，∴ ，
解得： ，
∴直线 为 ，
直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 得： ，
∴ ．
故选：C．
【典例5】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、
B两点，若 ， ，则关于x的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．根据一次函数与 轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴当 时， ，即 时， ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
【典例6】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数 和 ，当 时，函数 的图
象在函数 的图象上方，则a的取值范围为
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，
是解决问题的关键．
可知 过原点，当 过点 时， ；当 与 平行时， ，由函数图象
知， ．
【详解】解：可知 过原点，
∵ 中， 时， ，
∴当 过点 时， ，
得 ；
当 与 平行时，
得 ．
由函数图象知，当 时，函数 的图象在函数 的图象上方，a的取值范围为： ．故答案为： ．
【典例7】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交
于点 .
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数
的值，直接写出 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本
题的关键．
（1）将(2,1)代入 先求出k，再将(2,1)和k的值代入y=kx+b(k≠0)即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当 时，对于 的每一个值，直线 的图象
在直线 和直线 的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将(2,1)代入 得： ，
解得： ，
将 ，(2,1)，代入函数y=kx+b(k≠0)中，
得： ，解得： ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴两个一次函数的解析式分别为 ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数 的
值，
即当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线 的上方，则画
出图象为：
由图象得：当直线 与直线 平行时符合题意或者当 与x轴的夹角大于直
线 与直线 平行时的夹角也符合题意，
∴当直线 与直线 平行时， ，
∴当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线 的上方时，
，
∴m的取值范围为 ．
【典例8】（2024·陕西咸阳·模拟预测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观
察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该函数
性质．
(1)绘制函数图象列表：下列是x与y的几组对应值，其中 ________；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 2 0 m 0 2 4 6 8 …
描点：根据表中的数值描点 ；
连线：请用平滑的线顺次连接各点，在图中画出函数图象；
(2)探究函数性质
请写出函数 的一条性质：________________；（写一条即可）
(3)运用函数图象及性质
根据图象，求不等式 的解集．
【答案】(1) ，图见解析
(2)函数 的图象有最低点 （答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查通过列表，描点，连线，画函数图象，通过函数图象研究函数的性质；
（1）把 代入 即可求出m的值；直接描点，用平滑的曲线的进行连线即可画出函数图象；
（2）根据图象即可求解；
（3）图象法解不等式即可．
【详解】（1）把 代入 ，得，
∴ ．
如图，
故答案为： ；
（2）函数 的图象有最低点 （答案不唯一）．
故答案为：函数 的图象有最低点 （答案不唯一）；
（3）由图象可知不等式 的解集是 ．
【典例9】（2023·重庆沙坪坝·二模）如图，在四边形 中， ， ，过点A作
于点E， ，动点P从点B出发，沿 运动，到达点D时停止运动．
设点P的运动路程为x， 的面积为 ．(1)请直接写出 与x之间的函数关系式以及对应的 的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)若直线 的图象如图所示，结合你所画 的函数图像，直接写出当 时x的取值范围．（保留一位
小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)
(2)画图见解析，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯
一）
(3)当 时 的取值范围为： 或
【分析】（1）当点 在 上运动时，由 ，即可求解；当点 在 上运动时，同理可解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解；
【详解】（1）解： ， ，
则 ，
即 ，
则四边形 为矩形，
在 中， ， ，则 ，
则矩形 为边长为4的正方形，
当点 在 上运动时，
过点 作 于点 ，
则 ，当点 在 上运动时，
同理可得： ，
即 ；
（2）当 时， ，当 时， ，当 时， ；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）；
（3）从图象看，当 时 的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其
中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
【典例10】（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与y轴交于点A，直线
与y轴，x轴交于点B，点C， 与 交于点 ，连接 ，已知 的长为4．(1)求点D的坐标及直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)若直线 上有一点P使得 的面积等于 的面积，直接写出点P的坐标．
【答案】(1) ，直线 的解析式为
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合．
（1）把 代入 ，即可求出坐标，再根据点 和 用待定系数法即可求出函数解析
式；
（2）先求出 ，再根据图象即可求解；
（3）设 ，根据 或 即可求解；
【详解】（1）解：∵ ，
∴将点 代入得 ，
∴ ；
∵ 的长为4，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点 和 代入得：
，
解得： ，
故直线 的解析式为 ；
（2）解：令 ，得 ，
，
；
（3）解：根据题意得： ，
设 ，
令 ，得 ，
，
如图：
，
解得： ，
或 ，
解得： ，
故 或 ．考点四：一次函数的实际应用
【典例1】（2024·广东·模拟预测）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩
短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的
长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是 ，单层部分的长度是 ，得到几
组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度 116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为 ．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的
倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为 ；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为
，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑
曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的
双层部分的长度x之间的函数表达式；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
【答案】(1)图见解析； ；
(2)
(3)此时双层部分的长度为
【分析】（1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出 的最大值和最小值；
（2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和 与 之间的函数关系式，用含 的代数式
将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将 表示为 的函数的形式即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时 的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸
的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直
高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2
中得到的函数关系式，求出对应 的值即可．
【详解】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量 、 满足一次函数关系．
设 、 为常数，且 ，将 ， 和 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
．
当背带都为单层部分时， ；
当背带都为双层部分时， ，即 ，
解得 ，
的取值范围是 ；
（2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为 ，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得 ，
∴ ；
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即 ， ，
背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为 ，
手到地面的距离为 ，
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为 ，
小明爸爸一条胳膊的长度为 ，
，
解得 ，
根据任务2，得 ，
解得 ，
此时双层部分的长度为 ．【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数值，理解题意，
利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键．
【典例2】（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有 三地，小明从 地跑步到达 地，休
息 后按原速跑步到达 地．小明距 地的距离 与时间 之间的函数图象如图所示．
(1)从 地到 地的距离为______ ；
(2)求出 段的函数表达式：
(3)求小明距 地 时所用的时间．
【答案】(1)1500
(2) 段的函数表达式为 ；
(3)小明距 地 时所用的时间为 ．
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象中的数据，可以计算出从 地到 地的距离；
（2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从 地到 地用的时间，从而可以写出点 的坐标，再
根据点 的坐标，即可得到 段的函数表达式；
（3）令（2）中 的值为750，求出相应的 的值，即可得到小明距 地 时所用的时间．
【详解】（1）解：由图象可得，
从 地到 地的距离为： ，
故答案为：1500；
（2）解：由图象可得，
小明的跑步速度为： ，
小明从 地到 地用的时间为： ，
点 的坐标为 ，
设 段的函数表达式为 ，
点 ， 在该函数图象上，，
解得 ，
即 段的函数表达式为 ；
（3）解：令 ， ，
解得 ，
即小明距 地 时所用的时间为 ．
【典例3】（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批
航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的
数量是用1800元购买航海模型数量的 ．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且
航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为 元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为 元，根据用2000元购买航空模型的数量是用
1800元购买航海模型数量的 列出方程求解即可；
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型 个，先根据航空模型数量不少于航海
模型数量的 列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求
解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为 元，由题意得， ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为 元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型 个，
由题意得， ，
解得 ，
，
∵ ，
∴y随m增大而增大，
∴当 时，y有最小值，最小值为 ，
此时有 ，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
【典例4】（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个
监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经
过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速
度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平
均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程 （千米）与在此路段行驶的时间 （时）之间的
函数图象如图所示．(1) 的值为________；
(2)当 时，求 与 之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
【答案】(1)
(2)
(3)没有超速
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数
关系式是解题的关键．
（1）由题意可得：当以平均时速为 行驶时， 小时路程为 千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）求出先匀速行驶 小时的速度，据此即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得： ，解得： ．
故答案为： ．
（2）解：设当 时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
则： ，解得： ，
∴ ．
（3）解：当 时， ，
∴先匀速行驶 小时的速度为： ，
∵ ，∴辆汽车减速前没有超速．
【典例5】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师
生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有 两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高 ；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
【问题解决】
(1)问题一：求出 两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 元，按问
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2) ；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元，用18000元购买A种书架 个，
用9000元购买B种书架 个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值
范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元．由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，且符合题意，
．
答： 两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用 ，
即 ，
由题意得，a应满足： ，解得 ．
，
∴w随着a的增大而增大，
当 时，w的值最小，最小值为 ，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得 ．
【典例6】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘
汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有 型和 型两种车型，若购买 型公交车 辆， 型
公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元．
(1)求购买 型和 型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的 型和 型新能源公交车每辆年均载客量分别为 万人次和 万人次．公司准
备购买10辆 型、 型两种新能源公交车，总费用不超过 万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
(2)方案为购买 型公交车 辆， 型公交车 辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为 万人．
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的
数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买 型公交车每辆需 万元，购买 型公交车每辆需 万元，根据“购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元”列出方程组解决问
题即可；
（2）设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，由“公司准备购买10辆 型、 型两种新能源公
交车，总费用不超过 万元”列出不等式求得 的取值，再求出线路的年均载客总量为 与 的关系式，
根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元，
由题意得： ，
解得 ，
答：购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
（2）解：设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，该线路的年均载客总量为 万人，
由题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ ， ，10；
∴线路的年均载客总量为 与 的关系式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为 （万人次）
∴ （辆）
∴购买方案为购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
【典例7】（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进 两种型号的电脑，已知每台电脑的进价 型
比 型多 元，用 万元购进 型电脑和用 万购进 型电脑的数量相同．(1) 两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新， 型号电脑升级为 型号，该商城计划一次性购进 两种型号电脑共 台，
型号电脑的每台售价 元．经市场调研发现，销售 型号电脑所获利润 (万元)与 销售量 台(
)，如图所示，AB为线段， 为抛物线一部分 ( )．若这两种电
脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润 销售总价 总进价)
【答案】(1) 型电脑每台进价 元， 型电脑每台进价 元
(2) 型电脑总共购进 台， 型电脑总共购进 台
【分析】（ ）设 型电脑每台进价 元，则 型电脑每台进价 元，根据题意列出方程即可求解；
（ ）由题意可得 型电脑购进 台 ， 型电脑购进 台，即得 型电脑的利润为 万
元，
再根据函数图象可得 ，设总利润为 万 元，可分别求出
时 ， 时 ，进而即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解
题的关键．
【详解】（1）解：设 型电脑每台进价 元，则 型电脑每台进价 元，根据题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，符合题意，
∴ ，
答： 型电脑每台进价 元， 型电脑每台进价 元；
（2）解：∵ 销售量 台，
∴ 型电脑购进 台 ，
∴ 型电脑购进 台，
∴ 型电脑的利润为 万元，
由图象可知，当 时， 与 的函数解析式为 ，
把 代入得， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
设总利润为 万 元，
当 时，总利润 ，∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值， (万元)；
当 时，总利润 ，
∵ ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 有最大值， (万元)；
∵ ，
∴ 型电脑总共购进 台， 型电脑总共购进 台时，利润最大．
易错点1：一次函数的平移
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
【典例1】（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线 向上平移 个单位长度
后，与直线 的交点可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律
求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入 与 ，验证即可．【详解】解：直线 向上平移 个单位后，得到 ，
A．把 代入 得， ，
∴交点不可能是 ，故A不合题意；
B．把 代入 得， ，
∴交点不可能是 ，故B不合题意；
C．把 代入 得， ，
把 代入 ，求得 ，
∴交点可能是 ，故C符合题意；
D．把 代入 得， ，
把 代入 ，求得 ，
∴交点不可能是(0,3)，故D不合题意；
故选：C．
【典例2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线 向下平移2个单位长度后得到直线 ，将
直线 向左平移1个单位长度后得到直线 ．若直线 和直线 恰好重合，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了直线的平移．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线
、 的解析式，结合 与 直线恰好重合可得关于 的方程，解方程即得答案．
【详解】解： 直线 向下平移2个单位长度后得到直线 ，
直线 的解析式为 ，将直线 向左平移 个单位长度后得到直线 ，
直线 的解析式为 ，
直线 和直线 恰好重合，
，
解得： ，
故选：A．
【典例3】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别与
轴， 轴交于 ， 两点，将直线 向左平移后与 轴， 轴分别交于点 ，点 ．若 ，则直
线 的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解
析式求出点 坐标，再证明 ，得到 ，即得点 的坐标，最后根据一次函数平
移的性质即可求出直线 的函数解析式．
【详解】解：对于直线 ，
当 时， ，
∴ ，
∵直线 向左平移后与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，
∴ ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∴平移以后的函数解析式为 ．
故选： ．
【典例4】（2024·湖南常德·模拟预测）已知点 关于 轴的对称点为 ，且 在直线 上，
把直线 的图象向右平移2个单位后，所得的直线解析式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数图形与几何变换，先利用点 关于 轴的对称点为 ，求出点
，再根据点在一次函数图像上，可得出 ．最后根据一次函数图像的平移可得出答案．
【详解】解：点 关于 轴的对称点为 ，
，
∴
在直线 ，
∵
，
∴ ，
∴
直线 ，
∴
把直线 向右平移2个单位后，
所得的直线解析式为 ，
故答案为： ．【典例5】（2024·四川眉山·二模）如图，已知直线 经过点A 且与直线 ： 平行，直
线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．
(1)求直线 的表达式及其与 轴的交点 的坐标；
(2)判断四边形 是什么四边形？并证明你的结论．
【答案】(1) ，
(2)矩形，证明见解析
【分析】（1）根据两直线平行 值相等，设直线 的表达式为 ，把 代入，进行求解即
可；
（2）分别求出 点的坐标，进而求出 的长，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，
得到四边形 是平行四边形，再根据勾股定理逆定理，推出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，设直线 的表达式为 ，
把 代入，得： ，解得： ，
∴ ；
当 时， ，解得： ，
∴ ，
（2）四边形 是矩形，证明如下：当 时， ，
当 时， ，解得： ；
∴
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与几何的综合应用，勾股定理，平行四边形的判定，正
确的求出函数解析式，是解题的关键．
易错点2：求直线围成的图形面积
解题方法：
1.求点---围成图形的顶点坐标。
2.确定底边---找到与坐标轴平行或者在坐标轴上的边长作为底边。
作辅助线：（切割法）过点作 y 轴的平行线切割图形。
3. 求出线段长。
4.带公式求出面积。S△= ×底×高
割补求面积（铅垂法）：【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线 分别与x
轴、直线 交于点A、B，则 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得
到 ， ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，
在 中，令 ，得 ，
解 得， ，
∴ ， ，
∴ 的面积 ，
故选：B．【典例2】（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解
析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点
是解题的关键．
【详解】解：正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为： ．
【典例3】（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于
点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线 向上平移3个单位长度与 的图象交于点 ，连接 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知
识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点 坐标，根据平行线间的距离可得 ，代入
数据计算即可．【详解】（1）解： 点 在正比例函数图象上，
，解得 ，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为 ．
（2）解：把直线 向上平移3个单位得到解析式为 ，
令 ，则 ，
∴记直线与 轴交点坐标为 ，连接 ，
联立方程组 ，
解得 ， （舍去），
，
由题意得： ，
∴ 同底等高，
．
【典例4】（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线 的解析式为 ，且 与x轴交于点D，直线经过点 、 ，直线 、 交于点C．
(1)求直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)试问：在直线 上是否存在异于点C的另一点P，使得 与 的面积相等？若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求函数的解析式，函数图象与坐标
轴交点坐标，两函数交点坐标，三角形面积公式，是解决问题的关键．
（1）设直线 的解析式是 ，根据 过点 和 ，列方程组，解方程组，即得直线
的解析式是 ；（2）根据 求得D的坐标(1,0)，得到 ，根据 ，得到C的坐标 ，根据
即得；
（3）过点P作 轴于点E，根据 ， ，得到 ，在 中，根据
得到 ，即得 ．
【详解】（1）设直线 的解析式是 ，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线 的解析式是 ；
（2）在 中，
令 ，解得： ．
则D的坐标是(1,0)．
∴ ，
根据题意得： ，
解得： ，
则C的坐标是 ，
∴ ；
（3）存在 ，理由：过点P作 轴于点E，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
当 时， ，
∴ ．
【典例5】（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交
于点 ，直线 与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与 相交于D．点P为线段 上一
点（不与点D，E重合），作直线 ．(1)求直线 的表达式及点D的坐标；
(2)若直线 将 的面积分为 两部分，求点P的坐标；
(3)点P是否存在某个位置，使得点D关于直线 的对称点 恰好落在直线 上方的坐标轴上．若存在，
直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在， 或 ．
(3)存在．点P的坐标是 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线 的解析式，联立 与 的解析式，即可求出点D 坐标；
（2）连接BC，过点D作 轴于点F，证得 ，则点P在线段CD上或在线段CE上，分两
种情况求出点P的坐标即可；
（3）根据数轴得到三种情况：（Ⅰ）当点D关于直线 的对称点恰好落在x轴负半轴上 处时，（Ⅱ）
当点D关于直线 的对称点恰好落在y轴上 处时，（Ⅲ）当点D关于直线 的对称点恰好落在x轴正
半轴上 处时，分别求出点P的坐标．
【详解】（1）解：设直线 的表达式为 ，代入点 ， ，
得 ，解得 ，
直线l的表达式为 ．
令 ，解得 ，
，D的坐标为 ．
（2）如图，连接 ，过点D作 轴于点F．
令
解得 ,
∴
∴ ， ，
．
， ， ，
点B是线段AD的中点，
．
若直线 将 的面积分为 两部分，
则点P在线段CD上或在线段CE上．
（Ⅰ）当点P在线段CD上时，设点P的横坐标为 ， ，
，
若直线 将 的面积分为 两部分，则有
，
，，
，
代入直线 得点P的坐标为 ．
（Ⅱ）当点P在线段CE上时，如图，设直线 与x轴交于点Q，
此时有 ，
，即 ，
，
，
．
设直线 的解析式为
∴
解得
直线 的表达式为 ，
令 ，解得 ，点P的坐标为 ．
综上所述，点P的坐标为 或 ．
（3）存在．点P的坐标是 或 ．
点D关于直线 的对称点 恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，有以下三种情况，
（Ⅰ）当点D关于直线 的对称点恰好落在x轴负半轴上 处时，如图，
由轴对称可知：
， ，
由（2）可知，点B是线段AD的中点，
，
，
．
又 ，
而 ，
，
轴．
，．
（Ⅱ）当点D关于直线 的对称点恰好落在y轴上 处时，如图过点P作 于点 ，
作 轴于点H，
过点D作 轴于点M，由轴对称可知： 平分 ，
．
，
，
即 ，
解得 ，
；
（Ⅲ）当点D关于直线 的对称点恰好落在x轴正半轴上 处时，如图，
点B是线段AD的中点，由轴对称可知：此时点 与点A重合，
不符合题意，应舍去．
综上， 或 ．
【点睛】此题考查了一次函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，一次函数与图
形面积问题，正确理解一次函数的交点问题是解题的关键．
【典例6】（2023·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k≠0)交 轴于点 ，
交 轴于点 ，与直线 交于点 ，点 是 轴正半轴上一动点，过点 作 轴的垂线，与直线
， 分别交于点 ， ，设点 的横坐标为 ．
(1)求直线y=kx+b(k≠0)的函数表达式；
(2)当 的面积为 时，求 的值；
(3)点 为 轴上一动点，当 为等腰直角三角形时，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)4或8
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、平面直角坐标系中求三角形面积、
等腰三角形性质、解含绝对值的方程等知识，掌握分类讨论思想，数形结合思想，及待定系数法是解题的
关键．
（1）根据待定系数法求解即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式列方程求解即可得到答案；
（3）分类讨论，结合图象，列方程求解．【详解】（1）解：由直线y=kx+b(k≠0)交 轴于点 ，则 ；
由直线y=kx+b(k≠0)与直线 交于点 ，则 ， ；
，解得 ，
直线 ；
（2）解：过点 作 轴的垂线，与直线 ， 分别交于点 ， ，设点 的横坐标为 ，
直线 ，直线 ，
， ，
，
的面积为 ，解得 或 ；
的值为4或8；
（3）解：当 ， 时， ，解得 （不合题意，舍去）或 ，
过 作 ，且 时 ，如图所示：
，解得 （不合题意，舍去）或 ，
的值为 或 ．
【典例7】（2024·河北衡水·二模）在平面直角坐标系中，直线 经过 ，直线与x轴交于点C，与直线 交于点D．
(1)求直线 的函数解析式：
(2)求 的面积；
(3)嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好
落在直角坐标系中坐标为 的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变
的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线 恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原
来的a倍，直接写出a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在平面直角坐标系中，直线 经过 ，利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）根据题意，求出C(−2,0)、 ，结合 ，由平面直角坐标系中三角形面积求法得到
；（3）题中的描述可理解为将直线 ： 平移后过点 ，设平移后的直线为 ，
求出 平移后的直线表达式为 ，求出平移后直线与 轴交点，直线 与 轴交点，从而得到放
大后坐标系的单位长度变为原来的 倍．
【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ；
（2）如图所示：
∵直线 与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
解得： ，即C(−2,0)，
∵直线 与直线 交于点 ，
∴ ，解得 ，即 ，
，
∴ ；
（3）题中的描述可理解为将直线 ： 平移后过点 ，
设平移后的直线为 ，将 代入表达式得到 ，
解得： ，
平移后的直线表达式为 ，
当 时， ，即放大后，直线过 ，且与 轴交点为 ；由于直线 ： 与 轴交点
为(0,2)；
放大后，坐标系的单位长度变为原来的 倍，即 ．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、平面直角坐标系中三角形面积、一
次函数图象平移等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
易错点3：一次函数探究性问题
【典例1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为点 ，将
绕点 逆时针旋转到 的位置，使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点 逆时针
旋转到 的位置，使点 的对应点 也落在直线 上，如此下去，……，若点 的坐标为
(0,3)，则点 的坐标为（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以
及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．
通过求出点 的坐标， 、 、 的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后
结合图形求解即可．
【详解】 轴，点 的坐标为(0,3)，
，则点 的纵坐标为3，代入 ，
得： ，则点 的坐标为 ．
， ，
，
由旋转可知， ， ， ，
， ，
，
．
设点 的坐标为 ，
则 ，解得 或 （舍去），则 ，
点 的坐标为 ．
故选C．
【典例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形 ， ， ，…按如图所示的方式放
置，点 ， ， ，…和点 ， ， ，…分别在直线 和 轴上．已知点 ，点
，，则 的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知 纵坐标为1， 的纵坐标为2， 的纵坐标为4， 的纵坐标为8， ，即可得到
， ， ， ， 的纵坐标，根据图象得出 ， ， ，即可得到 ， ， ， ，
在一条直线上，直线的解析式为 ，把 的纵坐标代入即可求得横坐标．
【详解】∵ ，点 ，
∴ ，
∴ ，
过 作 x轴于M， 过 作 y轴于N，∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可求得： 纵坐标为1， 的纵坐标为2， 的纵坐标为4， 的纵坐标为8， ， 和 ， 和 ，
和 ， 和 的纵坐标相同，
， ， ， ， ， 的纵坐标分别为1，2，4，8，16， ，
根据图象得出 ， ， ，
直线 的解析式为 ，
的纵坐标为 ，
把 代入 ，解得 ，
的坐标是 ，
当 时， ，
故选：D．
【点睛】此题考查了点的坐标规律探究，待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等
腰直角三角形和正方形的性质，找到规律是解题的关键．【典例3】（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线 在第一象限内的一部分，其上有一点 ，且
．过 作 轴于 ，以 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，过 作 于
，以 为圆心，以 为半径作弧交 于点 ；过 作 于 ；……，如此重复下
去．则：
（1） 的纵坐标是 ；
（2） 的纵坐标是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查锐角三角函数，一次函数，勾股定理，圆的基本性质，勾股定理等知识，解题的关键是
根据图形得到规律，进行解答，即可．
【详解】解：过点 作 交 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，过点
作 交 轴于点 ，∵以 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，过 作 于 ，以 为圆心，以 为半径
作弧交 于点 ；过 作 于 ，……，
∴ ， ， ，……，
∵点 在直线 ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题意得，以 为圆心， ， ，
以 为圆心， ， ，
以 为圆心， ， ，
以 为圆心， ， ，
，
∴以 为圆心， ， ，
∴ ，∴ 的纵坐标为 ； 的纵坐标为 ．
故答案为： ； ．
【典例4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线 上有点 ，且 ，
， ， 分别过点 作直线 的垂线，交y轴于点
，依次连接 ，得到 ， ， ，…， ，
则 的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示）
【答案】
【分析】由直线 的解析式可得出 ，结合 可求出 的值，再根据三角形的面
积公式即可求出 的面积．
【详解】如图，在直线 上取一点M，作 轴于点N，设 ，
则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解直角三角形以及规律型中数的变化
规律，根据边的变化找出变化规律“ ”是解题的关键．
【典例5】（2024·山东泰安·二模）如图，直线 x，点A坐标为(0,1)，过点A作y轴的垂线交直线
l于点 以 为边作等边三角形 ，再过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作等边三角形 ，……，按此做法进行下去，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的
性质和数形结合的思想解答．先根据一次函数的解析式求出 点的坐标，在根据 点的坐标求出 点的坐
标，由此得到点 的坐标，以此类推总结规律便可求出点 的坐标，进而求得 的坐标．
【详解】解：直线 点A坐标为 ，
过点 作y轴的垂线交直线l于点 ，
可知 点的坐标为 ，
以 为边作等边三角形 ，再过点 作y轴的垂线交直线l于点
∴ ，
∴点 坐标为 ，
∴ 的坐标为 ，
故点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 的坐标为 ，
此类推便可求出点 的坐标为点 的坐标为
故答案为： ．
【典例6】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图放置的 ， ， ， ， ，都是以
， ， ， ， 为直角顶点的三角形，点 ， ， ， ， 都在直线 上，
，点 在 轴上， ， ，则点 的坐标是
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与三角形的综合，点的坐标规律，勾股定理等知识；过点 作 轴，
首先根据勾股定理和含 角直角三角形的性质得到 ， ，进而求出
点 ， ， 的坐标，然后求出点 的坐标，然后结合图象的性质找到点 的坐标和点 的坐标
的关系求解即可．
【详解】如图所示，过点 作 轴，∵点 都在直线 上，
∴设 ，
∴
∴ ，则
∴
∴
∴
∵ ，都是以 为直角顶点的三角形，
∴
∴
∴
∴
∴ ，即∴同理可得， ，即
，即
…
∴ ，即
由图象可得，点 的横坐标和点 的横坐标相同
∴点 的横坐标为 ；
点 的纵坐标为点 的纵坐标加上 的长度，即 的长度
∴点 的纵坐标为
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【典例7】（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 交
于点 ，过 作x轴的垂线，垂足为 ，过 作 的平行线交 于 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ，过
作 的平行线交 于 ，过 作 轴的垂线，垂足为 按此规律，则点 的纵坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律
是解题的关键．
联立直线 与直线 的表达式并解得： ， ，故 ，依次求出：点 的纵坐标为 、
的纵坐标为 ，…， 的纵坐标为 即可求解．
【详解】解：联立直线 与直线 的表达式并解得： ， ，故 ；
则点 ，则直线 的表达式为： ，
将点 坐标代入上式并解得：直线 的表达式为： ，
将表达式 与直线 的表达式联立并解得： ， ，即点 的纵坐标为 ；
同理可得 的纵坐标为 ，
的纵坐标为
按此规律，则点 的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【典例8】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线 的解析式为 与 轴交于点 ，与轴交于点 ，以 为边作正方形 ，点 坐标为 ，过点 作 交 于点 ，交 轴于点
，过点 作 轴的垂线交 于点 ，连接 ，以 为边作正方形 ，点 的坐标为 ．
过点 作 交 于 ，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，连接 ，以
为边作正方形 ， ，则 长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，
发现线段长度变化规律．先求出 、 的长，再根据规律可得 的长．
【详解】解：直线 的解析式为 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
当 时， ，
当 时， ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
即 ，
，
，
，
是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，
又 以 为边作正方形 ，点 坐标为 ，
，
，， ，
设 ，
则 ，
，
即： ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
，
，
以 为边作正方形 ，
轴，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点 的坐标为 ，
正方形 的边长为3，
按照前面的方法可得： ，
，
设 ，
则 ，，
，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
， ，
，
，
同理：第三个正方形的边长是9， ， ， ， ，
，
，
依此类推， ， 为整数），
，
的长为 ．
故答案为： ．
【典例9】（2024·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以点 为圆心，以
长为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作 轴，交直线 于点 ，以点 为圆心，
以 长为半径画弧，交直线 于点 ；过点 作 轴，交直线 于点 ，以点 为圆
心，以 长为半径画弧，交直线 于点 ；过 点作 轴，交直线 于点 ，以点为圆心，以 长为半径画弧，交直线 于点 ，…，按照如此规律进行下去，点 的坐标为
．
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答
本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
根据题意可以求得点 的坐标，点 的坐标，点 的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求
得点 的坐标．
【详解】解：由题意可得，点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
同理可得，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
……，
以此类推可得，点 的坐标为
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【典例10】（2024·山东临沂·一模）如图，已知直线 ，直线 和点 ，过点 作 轴
的平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点
，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，按此作法进行下去，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】点 ， 在直线 上，得到 ，求得 的纵坐标 的纵坐标 ，得到 ，即
的横坐标为 ，同理， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， ， ， ，
，求得 ，于是得到结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，
正确地作出规律是解题的关键．
【详解】解： 点 ， 在直线 上，
，轴，
的纵坐标 的纵坐标 ，
在直线 上，
，
，
，即 的横坐标为 ，
同理， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， ， ， ， ，
，
的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为
故答案为：
易错点4：一次函数与几何综合
【典例1】（2024·山东济南·模拟预测）如图， 四边形 四个顶点的坐标分别是 ， ，
， ，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和 最小， 则P点
坐标为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接 、 ，交于点P，由两点之间线段最
短，可得出 的最小值就是线段 的长， 的最小值就是线段 的长，到四个顶点的距离
之 最小的点就是点P，分别求出 和 的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案．
【详解】解：连接 、 ，交于点P，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴ 的最小值就是线段 的长， 的最小值就是线段 的长，
∴到四个顶点的距离之和 最小的点就是点P，
设 所在直线的解析式为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得：
∴ 所在直线的解析式为
设 所在直线的解析式为点 ， 在直线 上，
∴
解得：
∴ 所在直线的解析式为
联立两直线
解得： ，
∴点P的坐标为： ．
故答案为： ．
【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知直线 ： ，直线 ： ，直线 与直线
交于点A，与直线 交于点B，直线 与直线 交于点C，与直线 交于点D，连接 ，当
是等腰直角三角形时， 的值为 ．
【答案】 或【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出 的坐标，分 和
两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当 时， ， ，
∴ ， ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 是等腰直角三角形时，分两种情况：
①当 时，则： ，解得： ，
②当 时，过点 作 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【典例3】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点P在边上，过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．在
点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距
离，以 为原点，建立如图所示的坐标系，设 ，则 ，利用含30度角的直角三角形的性质，
求出点 的坐标，得到点 在直线 上运动，求出点 分别与 重合时，点 的坐标，利用
两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以 为原点，建立如图所示的坐标系，设 ，则 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，则： ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
令 ，
则： ，
∴点 在直线 上运动，
当点 与 重合时， ，此时 ，
当点 与 重合时， ，此时 ，
∴点E所经过的路径长为 ；
故答案为： ．
【典例4】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F
为小正方形边的中点，C为 ， 的延长线的交点．(1) 的长等于___________．
(2)点P在线段 上，点Q在线段 上，且满足 ．请你用无刻度的直尺画出点P，点Q
（保留作图痕迹，不必写出做法）
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了作图 应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）取格点M，连接 ，并延长与 交于Q，连接 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）
如图， 与网格线相交，得到P，取格点M，连接 ，并延长与 交于Q，连接 ，则点 即为
所求．
理由：以A为原点建立平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
设直线 的解析式为
∴将 代入 得，
∴直线 的解析式 ，
设直线 的解析式为
∴将 ， 代入 得，
解得
∴直线 的解析式为 ，
设 ， ，
， ， ，
，
，由 得 ， （舍去），
把 代入 得 ，（舍去），
，
．
∴ ．
【典例5】（2024·河北秦皇岛·一模）在平面直角坐标系中，点 ， ，直线 与y
轴相交于点C．
(1)如图1，当A，B关于y轴对称，且直线 经过点A时，求k的值．
(2)如图2，当 时，直线 与线段 存在交点P（不与点A，B重合），且 ，求m的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是对一次图数
图象和性质的掌握；
（1）根据A，B关于y轴对称可求出m的值，再把点A的坐标代入 中即可求出k的值；
（2）先求出点P横坐标，再根据点P不与点A，B重合，且 ，求出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵点 ， ，A，B关于y轴对称，
∴ ，解得：
∴∵直线 经过点A，
∴ ，解得 ．
（2）当 时，即 ，解得 ，即
∵ ， ， ，点P不与点A，B重合
∴ ，解得：
∴m的取值范围是 ．
【典例6】（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线 经过点 、点 ，点P是x轴上一个
动点，过点C、P作直线 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)已知点A(9,0)，当 时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m，点M(x ,y )，N(x ,y )是直线 上任意两个点，若 时，有 ，请直
1 1 2 2
接写出m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识．
（1）由待定系数法可求解析式；（2）求出 ，设点 ，由面积公式可求解；
（3）结合图象可求解．
【详解】（1）解：设直线 的表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵ 、点 在直线 上，
∴
解得
∴ ；
（2）∵ ，A(9,0)，
∴ ，
过点C作 轴于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点 ，∴ ，
∴ 或 ，
∴P的坐标为 或 ；
（3）过点C作 轴于E，
∵ ，
∴ ，
∵ 的图象是y随x的增大而减小， 经过 ，
∴当点P在 的左侧时，符合题意，
∴ ．
【典例7】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在x上，
在y轴上， 的长分别是 的两个根（ ）， 于点E，交AB于点
D．动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度 向点C运动，到点C停止，过点P作 的
平行线，交 于点M，令 的面积为s．
(1)求点B的坐标；
(2)求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在直线 上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为 或 或
【分析】题目主要考查解一元二次方程，一次函数的应用及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运
用这些知识点进行分情况分析是解题关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据坐标与图形求解即可；
（2）根据题意得出运动总的时间为7秒，然后分两部分求出面积与t的函数关系式即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质得出 ， ，然后分三种情况分析：当 时，
当 时，当 时，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
解得： ，
∵ 的长分别是 的两个根（ ），
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ；
（2）由（1）得： ，
∴点P在AB上的运动时间为 秒，在 上的运动时间为3秒，运动总的时间为7秒，
当点P在AB上运动时，即 时，
，∴ ；
当点P在 上运动时，即 时，
，
∴ ；
综上可得： ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
过点P作 的平行线，交 于点M，
∴点M在线段 上，
当 时，如图所示：过点M作 轴交AB于H，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 即 ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图所示：过点M作 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图所示：过点M作 轴，
同理得综上可得：点M的坐标为 或 或 ．
【典例8】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，梯形 的下底 在x轴的正半
轴上，线段 ， 的长是方程 的两个根，且 ， ，边长为3的正
方形 在梯形右侧，边 也在x轴的正半轴上，点N与点C重合．
(1)求线段 所在直线的解析式
(2)点N从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿折线段 向终点O运动，正方形 也随
之运动．设运动时间为t秒，连结 、 ，求 的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变
量t的取值范围
(3)在（2）的条件下，是否存在使 的面积等于 的面积的情况？若存在，直接写出运动时间t的
值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)(3)存在；9或 或
【分析】（1）解方程 求出 进而求出点P坐标即可求直线的解析式；
（2）分点N在 上、点N在AB上、点N在 上时三种情况分别求出对应的函数解析式；
（3）分点N在边 上运动时，点N在边 上运动时，点N在边 上运动时三种情况依次求解.
【详解】（1）解：解方程 得， ，
，
，
梯形 是等腰梯形，
，
作 轴于E，作 轴于F，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
设直线 为 ，
得 ，
，
；
（2）解：①点N在边 上运动时，如图，延长 交 于D，
于D，
，
，
，
此时 的面积 ；
②点N在边 上运动时，
如图，延长 交 于D，
于D，
， ，
此时 的面积 ；
③点N在边 上运动时，
如图，延长 交 于D，于D，
，
， ，
此时 的面积 ；
综上所述， 的面积S与运动时间t的函数关系式为：
；
（3）解：存在；
①点N在边 上运动时，当 两点重合时， 的面积最小， ，
此时 面积最大， ，此时没有符合题意的 ；
②点N在边 上运动时，
，解得 ，符合题意；
③点N在边 上运动时，
Ⅰ点Q在 上方时，
的高为 ，，
解得 ，
，符合题意；
Ⅱ点Q在 下方时，
的高为 ，
，
解得 ，
，符合题意；
综上所述，存在使 的面积等于 的面积的情况，
t的值为9或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质，解直角三角形，一次函数图象上
点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，学会运用分类讨论、数形结
合的思想解决数学问题．
【典例9】（2024·江苏常州·模拟预测）在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特
殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，
勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边
形”．请你根据以上定义，回答下列问题：(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形 中，点 、 分别在边 、 上，连接 ， ， ， ，若 ，
证明：四边形 为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点 在线段 上且 ，是否存在点
在第一象限，使得四边形 为“双直四边形”，若存在；求出所有点 的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)②③
(2)证明见详解；
(3) 或
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，
灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可；
（2）证明 ，得到 ，由余角的性质可证 ，可得结论；
（3）根据“双直四边形”的定义分当 时，当 时，当 时三种情况讨论，
分别求出点 的坐标即可．
【详解】（1）解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等．
故①不正确．
∵“双直四边形”的对角线互相垂直，∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半．
故②正确．
中心对称的四边形是平行四边形，再根据“双直四边形”的定义得到四边形是正方形．
故③正确；
故答案为：②③；
（2）证明：设 与 交于点 ，
正方形 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 为“双直四边形”．
（3）解：设如图②，设 与 交于点 ，
点 ， ，
， ，， ，
，
，
，
点 ，
四边形 是“双直四边形”，
，
，
，即点 是 的中点，
点 ， ，
点 ，
设直线 的表达式为 ，
，
解得： ，
直线 的表示为： ，
当 ，点 的横坐标为 ，
，
点 ，
当 时，
， ，
是 的垂直平分线，，
，
，
，
点 ，
当 时，如图③，过点 作 于点 ， 于点 ，
是 的垂直平分线，
，
平分 ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
即点 坐标为 ，
代入 ，
得 ，
为 ，
综上所述，点 的坐标 或
【典例10】（2024·重庆江津·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，E是 的中点，点P沿着折线 （从A点开始运动到B点结束）运动，当点P的运动路程为x时，记 ．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在直角坐标系内画出y的图象，并写出y的性质；
(3)结合函数图象，直接写出当 时，x的取值范围．（结果取精确值）
【答案】(1)
(2)图象见解析，性质： ，y随x的增大而减小； ，y随x的增大
而增大； ，y随x的增大而减小
(3) 或
【分析】（1）根据中点定义得到 ，当 时， ， ，得到 ；当
时， ，得到 ；当 时， ， ，得到 ；
（2）在 中，取 两点，得到 的图象，y随x的增大而减小；在
中，取 两点，得到 的图象，y随x的增大而增大；在
中，取 两点，得到 的图象，y随x的增大而减小；
（3）当 时，在 中，求得 ，得到 ；在 ，求得，得到 ；在 中，求得 ，得到 ；即得 或
．
【详解】（1）解：∵矩形 中， ， ， ，E是
的中点，
∴ ，
当 时，如图1，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图2，
∵ ，
∴ ；
当 时，如图3，
∵ ， ，
∴
；
∴ ；
（2）解：在 中，
当 时， ； 当 时， ；连接 两点，
得到 的图象，
y随x的增大而减小；
在 中，当 时， ；
连接 两点，
得到 的图象，
y随x的增大而增大；
在 中，当 时， ，
连接 两点，
得到 的图象，
y随x的增大而减小．如图：
（3）解：当 时，
在 中， ，
解得， ，
∴ ；
在 中， ，
解得， ，∴ ；
在 中， ，
解得， ，
∴ ．
故 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，一次函数图象和
性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，是解决问题的关键．
【典例11】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线
交x轴于点A，交y轴于点 C，点B在x轴负半轴上，连接 ， ．
(1)如图1，求直线 的解析式；
(2)如图1，点P在线段 上，点Q在线段 上， ，点P的横坐标为t，过点Q作 轴交
于点 D，连接 ， 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范
围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作 交 于点E，过点D作 于点G， 交
于点F，连接 交y轴于点M，连接 ， 求点 F的坐标．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）先求出 ， ，根据 ，算出 ，根据待定系数法即可求解；
（2）先求出 ， ，求出 ，即可表示出 ，即可求解；
（3）如图，延长 至点 K，使 ，连接 ．根据 ， ，得出
， ， ，证明 ，得出 ，过点M作
于L，算出 ，证明 ，得出 ，过点 E 作 轴于点
N，证明 ，解出 延长 交x轴于点R，证明 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
设 解析式为 ，，
，
∴ 解析式为 ；
（2）解：∵P的横坐标为t，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴于Q，
∴D的横坐标为 ，
将 代入 中， ，
，
，
的面积为S，
，
∴ ；
（3）解： 如图，延长 至点 K，使 ，连接 ．∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点M作 于L，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
过点 E 作 轴于点 N，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得
延长 交x轴于点R，
∵ 于点 G，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数综合，结合相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定，全等三
角形的性质和判定，三角函数解直角三角形知识点，数形结合、画出图象分析、推理和计算是解题的关键．
【典例12】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴的正半轴
交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形 是平行四边形，线段 的长
是一元二次方程 的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段 的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交 于点G，点E在第一象限， ，
连接 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角
边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出 的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12个，【分析】（1）先解方程求出 ，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标；
（2）过点E作 于点H，求出 ，然后证明 ，即可得到
，然后求出 得正切值即可；
（3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：解方程 得 ， ，
∴ ，即点A的坐标为 ，
把 代入 得 ，
∴ ，点D的坐标为 ；
（2）解：过点E作 于点H，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）如图，当 时，有 个，
解：∵ ，
∴ ，
由（2）得 ， ，
∴ ，
∴点N得坐标为 ；
当 时，有 个，如图，当 时，有 个，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 与O重合，
故点 得坐标为 ，
综上所述，点 的个数为 个，和点N的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和
性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【典例13】．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于直线l和线段 ，
给出如下定义：若线段 关于直线l的对称图形是 的弦 （ ， 分别为P，Q的对应点），则称
线段 是 关于直线l的“对称弦”．(1)如图，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．线段 ， ， 中，是 关于直
线 的“对称弦”的是
(2) 是 关于直线y=kx(k≠0)的“对称弦”，若点C的坐标为 ，且 ，直接写出点D
的坐标；
(3)已知直线 和点 ，若线段 是 关于直线 的“对称弦”，且
，直接写出 的最值和相应b的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)最小值： ， ；最大值： ，
【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；
（2）根据题意可得直线y=kx(k≠0)垂直平分 ， ，结合点 的坐标，推得点 在 上，即可得
出点 是 与 交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点 、 的坐标；
（3）结合（2）可得点 是点 与 交点，先求出直线 与 ， 轴的交点坐标，求解
，再画出图形，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如图所示：∴ 关于直线 的“对称弦”的是线段 ；
（2）解：设点 ， 关于直线y=kx(k≠0)的对称点为 ， ，
∴直线y=kx(k≠0)垂直平分 ， ，
∵ 是 关于直线y=kx(k≠0)的“对称弦”，
∴ ， 在 上，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
即点 在 上，
∵直线y=kx(k≠0)经过圆心 ，
∴点 也在 上，
∵ ，
故点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，如图： 与 交于点 与点 ；
连接 ， ，
∵ ，
即 是等边三角形，
故点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为0，同理，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 ；
（3）解：设点 关于直线 的对称点为 ，
∴直线 垂直平分 ，
∵线段 是 关于直线 的“对称弦”，
∴ 在 上，
由（2）可得点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
又∵ ，即 ；
令直线 与 ， 轴交于点 ， ，如图：
令 ，则 ，即点 ， ，
令 ，则 ，即点 ， ，
∴ ，
∴ ，记 与 轴的交点为 ，而 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上，记 与格线的切点为 ，连接 ， ，
∴ 轴，即 轴，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
过 作 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
此时 最小，为 ，
设直线 表达式为y=mx+n，
把 ， 代入，
解得 ，
则直线 为 ，
∴直线与 轴的交点坐标为 ，
由轴对称的性质可得： ，
∴ ，
解得： ；
当 在 的右边时， 最大，如图，同理可得： ，
则 最大值为： ，
此时 ，
同理可得： ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形
的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．
【典例14】（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与y
轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式及点D坐标；(2)点N是y轴负半轴上的一点且 ，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接 ， 与抛物线
的对称轴交于点M，连接 ，当 平分 时，求点Q坐标；
(3)如图，直线 交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当 与 全等时，请直接写出点
P坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）用待定系数法，直接将 代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D
的坐标即可；
（2）由 平分 ， 平行 即可求出 ，继而得出 点坐标，由直线 解析式即
可求出与抛物线交点坐标 即可．
（3）由 三点的坐标可得 三边长，由 坐标可得 和 中 ，则另两组边对
应相等即可，设 点坐标为 ；利用两点间距离公式即列方程求解．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，
∴顶点D的坐标为 ；
（2）解：如图1，设对称轴与 轴交于点 ，平分 ，
，
又 ，
，
，
．
由（1）可知对称轴为直线 ，则
在 中， ， ．
，
； ．
①当 时，直线 解析式为： ，
联立 得 ．
解得： ， ，
点 在对称轴右侧的抛物线上运动，
，
②当 时，直线 解析式为： ，同理可求： ，
综上所述：点 的坐标为： 或 ；
（3）解：由题意可知： ，C(0,−3)， ，
，
，
，
直线 经过 ，C(0,−3)，
直线 解析式为 ，
抛物线对称轴为 ，而直线 交对称轴于点 ，
坐标为 ；
，
设 点坐标为 ，则 ， ，
，
∴ 与 全等，有两种情况，
当 ， ，即 时，
，
解得： ， ，
即 点坐标为 或 ．
当 ， ，即 时，，
解得： ， ，
即 点坐标为(2,1)或 ．
综上所述，点P的坐标为 或 或(2,1)或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．
【典例15】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数 的图像过点 和点 ．
(1)求 和 的值；
(2)将直线 向上平移得到直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，交 于点 ，若 ，
求直线 的解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)点 的坐标为 或 或【分析】（1）将 和点 两点，代入函数 ，得到二元一次方程组，求解即可
得到答案；
（2）先利用待定系数法求出直线 的解析式为，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，设
，则 ， ，进而得到 ， ，再根据 ，
求出 的值，得到点 的坐标，设直线 的解析式为 ，利用待定系数法，即可求出直线 的
解析式；
（3）由直线 的解析式，求得 ， ，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当
点 为直角顶点时；②当点 为直角顶点时；③当点 为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求
出点 的坐标．
【详解】（1）解：函数 的图像过点 和点 ，
，
解得： ，
， ；
（2）解：由（1）可知， ，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，设 ，则 ， ，
， ，
，
即 ，
解得： ， （舍），
，
直线 由直线 沿 轴向左平移得到，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（3）解：存在，点 的坐标为 或 或 ，理由如下：
直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，解得： ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，①当点 为直角顶点时，此时 ， ，
过点 作 轴于点 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点 在第二象限，
；
②当点 为直角顶点时，此时 ， ，
过点 作 轴于点 ，
同①理可得， ，
， ，
，
点 在第二象限，
；③当点 为直角顶点时，此时 ， ，
过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
，
四边形 是矩形，
，即 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
矩形 是正方形，
，
，
，
，
点 在第二象限，
；综上可知，第二象限内存在点 ，使得 为等腰直角三角形，点 的坐标为 或 或
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形
的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
【典例16】（2024·四川雅安·模拟预测）将一长方形纸片 放在直角坐标系中，O为原点，点C在x
轴上， ．
(1)如图1，在 上取一点E，将 沿 折叠，使点O落在 边上的点D，求线段 ．
(2)如图2，在 边上选取适当的点M，F，将 沿 折叠，使点O落在 边上的点 处，
过点D，作 垂直于 于点G，交 于点T．
①求证： ；
②设 ，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示．
(3)在（2）的条件下，当 时，点P在直线 上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M， ，Q，P
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)①见解析；②(3)存在， 或 或
【分析】（1）由折叠的性质可知， ， ，由勾股定理得， ，
则 ，设 ，则 ，由勾股定理得， ，即 ，计算
求解即可；
（2）①由折叠的性质可知， ， ，证明 ，四边形 是矩形，则
， ， ，可得 ，进而可证 ；②由
，可得 ， ，由勾股定理得， ，即
，整理作答即可；
（3）当 时， ，即 ， ，则 ， ，以M， ，
Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分当 为对角线时， ，如图1， ， 重合；
当 为边， 为对角线时， ，如图1， ， 重合；当 为边， 为边时，
，如图1， ，三种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：∵长方形 ，
∴ ，
由折叠的性质可知， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，∴线段 的长为4．
（2）①证明：由折叠的性质可知， ， ，
∵ ， ，
∴ ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，即 ，
整理得， ；
（3）解：当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵以M， ，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当 为对角线时， ，如图1， ， 重合，
∴ ，由平移的性质可得， ；
当 为边， 为对角线时， ，如图1， ， 重合，则 ，
由平移的性质可得， ；
当 为边， 为边时， ，如图1， ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
∴ 直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得， ，
∴ ；
综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M， ，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为
或 或 ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平
行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股
定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质是解题的关
键．
【典例17】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形M上任意两点之间的
距离的最大值，称为该图形的“郡园长”，点P为图形M上任意一点，如果点P到直线l的距离恰好等于
图形M的“郡园长”，那么点P称为直线l的“郡园点”．
图1 图2
(1)已知图形M为线段 ，其中 ， ，则该图形M的“郡园长”为______；
(2)如图1，x轴上方有一个等腰直角三角形 ， ， 轴，顶点A在y轴上，且在 上
方， ，点P是线段 上一点，且点P是x轴的“郡园点”，求 的面积；
(3)如图2，以 ，B(−2,0)， ， 为顶点的正方形 上始终存在点P，使得点P
是直线 的“郡园点”．请直接写出b的取值范围．
【答案】(1)
(2)1
(3) 或
【分析】（1）直接运用两点间的距离公式求解即可；
（2）先说明线段 的“郡园长”为线段 的长度，即 ；点P到x轴的距离与到线段 的距离相等，
设 与y轴的交点为D，再说明点P到x轴的距离等于 ，即 ；在 中，运用
勾股定理可得 ，进而求得 ，然后根据三角形面积公式求解即可；（3）如图：连接： ，由正方形的性质可得正方形 中的对角线最大，即为 ，即点P到直
线l的距离为 ；当点P在点A处时，即 ，过 作 于Q， ，然后求得 ；将
向上平移至 ，使过 作 且 ，求得 ，再结合直线l不能经过正
方形内部以及平移的性质即可解答．
【详解】（1）解：由于线段两点间的距离最大，即线段的长度为“郡园长”，
所以 为“郡园长”．
故答案为： ．
（2）解：∵点P是线段 上一点，
∴线段 的“郡园长”为线段 的长度，即 ，
∵点P到x轴的距离与到线段 的距离相等，
设 与y轴的交点为D，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点P是线段 上一点，
∴点P到x轴的距离等于 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得： (舍去负值)，∴ ，
∴ ．
（3）解：如图：连接： ，
∵正方形 中的对角线最大，
∴“郡园长”为对角线 ，
∴点P到直线l的距离为
当点P在点A处时，即 ，过 作 于Q， ，
设l与x轴交于M，与y轴交于N，则 时， ； 时， ；
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ， ，
∴Q在y轴上与N重合，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
将 向上平移至 ，使过 作 且 ，
则 在 与 之间时，正方形 上始终存在点P使得P到 的距离为 ，即点P是l的
“郡园点”；
∵ ，
∴ ，
∴C，A，Q共线，
∴ ，
∵ ，
∴ 共线，
∴ ，
过 作 轴于K，则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： (舍弃负值)，
∴ ，
∴ ，将点 代入 可得： ，
∴ ，
∵l由 向上平移，
∴ ，即 ，
∵l由 向上平移，
∴ ，即 ，
∵ 与点A重合， 与点C重合，
∴ 时，直线l经过正方形 内部，不符合题意；
∴b的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、正方形的性质、三角形的性质、求一次函数解析式、一次函数
图像的平移等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
【典例18】．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一
点，点Q在 的延长线上，使得 ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，
例如：如图1， 是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为
点Q在线段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，______是图形 的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形 的
“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为顶点的
等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；
（2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，根据直线 上存在点P是图
形 的“延长2分点”，得到直线 与 有交点，进而得到当 过点 时，
值最小，进行求解即可；
（3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，得到 与 有交点，求出 与
相切以及 与 相切，两种情况求出 的临近值，即可得出结果．
【详解】（1）解：作线段 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵点 是图形 的“延长2分点”，
∴点 在线段 上，
∵ 在线段 上，
∴ 是图形 的“延长2分点”；
故答案为： ；
（2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”，
∴直线 与 有交点，
∴当 过点 时， 值最小，
把 ，代入 ，得： ，∴ 的最小值为 ；
（3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”，
∴当 与 有交点时，满足题意，
当 与 相切时，如图，则： 或 ，
∴ 时，满足题意；
当 与 相切时，且切点为 ，连接 ，则： ，∵ 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ， ， ，
∴ 轴，
∴ ，
∵以 为圆心，半径为1的 ，
∴ 点在直线 上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性
强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
