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第 01 讲 反比例函数及其图像与性质
课程标准 学习目标
1. 掌握反比例函数定义，能够判断反比例函数，根据
①反比例函数的定义 反比例函数求值，建立确定反比例函数关系式。
②反比例函数的图像与性质 2. 熟练掌握反比例函数图像的画法，掌握反比例函数
的性质，能够熟练应用。
知识点01 反比例函数的定义
1. 反比例函数的定义：
一般地，形如 的函数叫做反比例函数。
2. 反比例函数的三种形式：
① ；② ；③ 。
考点题型：①判断反比例函数关系。②根据反比例函数定义求值。③建立反比例函数确定反比例函数
解析式。
【即学即练1】
1．正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为 105m3，
设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t
满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系【即学即练2】
2．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝
【即学即练3】
3．函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【即学即练4】
4．若函数y＝（n﹣2） 是反比例函数，则n为（ ）
A．±2 B．2
C．﹣2 D．以上都不对
【即学即练5】
5．如图的电路图中，用电器的电阻R是可调节的，其范围为110～220 ，已知电压U＝220V，下列描述中
错误的是（ ）
Ω
A．P与R成反比例：
B．P与R成反比例：
C．电阻R越大，功率P越小
D．用电器的功率P的范围为220～440W
知识点02 反比例函数的图像
1. 反比例函数的图像画法：
反比例函数的图像画法与一次函数二次函数类似，分三个步骤进行，① ；② ；
③ 。反比例函数的图像是 。分别位于两个象限。
（1）若 时，则反比例函数的图像位于第 象限
（2）若 时，则反比例函数的图像位于第 象限
考点题型：①画反比例函数图像。②根据 的值判断函数图像。
【即学即练1】
6．在同一坐标系中画出函数 和 的图象．【即学即练2】
7．反比例函数y＝ 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】
8．反比例函数y＝ （a＜b）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
知识点03 反比例函数的图像与性质
1. 反比例函数的性质：
反比例函数的图像在平面直角坐标系的两个象限。
①若 时，则反比例函数的图像位于第一、三象限，此时在每一支上 随 的增大而 。
②若 时，则反比例函数的图像位于第二、四象限，此时在每一支上 随 的增大而 。
考点题型：①反比例函数图像与性质的熟练应用。
【即学即练1】
9．下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
10．对于反比例函数y＝ ，下列判断正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，3）B．图象在第二、四象限
C．不论x为何值，y＞0
D．图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小
【即学即练3】
11．若反比例函数y＝ 的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ．
【即学即练4】
12．若反比例函数y＝ 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
知识点03 反比例函数的对称性
1. 反比例函数的对称性：
反比例函数即是中心对称图形，也是轴对称图形。
①中心对称：反比例函数是中心对称图形。对称中心为 ，反比例函数与正比例函数的两个
交点一定关于 对称。
②轴对称图形：反比例函数是轴对称图形，若反比例函数的 ，则函数的对称轴是 象
限的角平分线；若反比例函数的 ，则对称轴是 象限的角平分线。
考点题型：①利用反比例函数的对称性求值。
【即学即练1】
13．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝ 的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【即学即练2】
14．反比例函数 的图象经过点A（2，﹣4），则当x＝﹣2时，y的值为（ ）
A．﹣4 B． C． D．4
题型01 反比例函数的定义
【典例1】下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．xy＝3 D．y＝3x
【典例2】
下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．3xy＝2
【典例3】
下列关系式中的两个量成反比例的是（ ）
A．圆的面积与它的半径
B．正方形的周长与它的边长
C．路程一定时，速度与时间
D．长方形一条边确定时，周长与另一边
【典例4】
下列式子中，成反比例关系的是（ ）
A．圆的面积与半径
B．速度一定，行驶路程与时间
C．平行四边形面积一定，它的底和高
D．一个人跑步速度与它的体重
题型02 根据反比例函数的定义求值
【典例1】
函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【典例2】
已知函数y＝（m+2）x 是反比例函数，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±6
【典例3】
若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0
【典例4】
当m取何值时， 是关于x的反比例函数？题型03 反比例函数图像与其他函数图像
【典例1】
在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝ 的图象在同一坐标系中可能为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】
若ab＜0，则一次函数y＝ax+b与反比例函数 在同一直角坐标系中的图象大致可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
函数 和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A． B． C． D．
【典例5】
函数y＝ax2﹣a与 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型04 反比例函数的性质
【典例1】
关于反比例函数y＝ 的图象性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象经过点（1，3）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y随x的增大而减小
【典例2】
若反比例函数 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k≥2 D．k≤2
【典例3】
若反比例函数y＝ 的图象在一、三象限，则m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例4】
在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＞0 C．k≥3 D．k＜3【典例5】
已知反比例函数y＝﹣ ，下列说法中错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣4）
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称
D．y随x的增大而增大
【典例6】
已知反比例函数 图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
已知反比例函数y＝（k﹣1）x|k|﹣5的图象在第一、三象限内，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．±4
题型05 根据反比例函数图像的性质求函数值的大小关系
【典例1】
已知三点P （x ，y ），P （x ，y ），P （1，﹣2）都在反比例函数 的图象上，若x ＜0＜x ，则下
1 1 1 2 2 2 3 1 2
列式子正确的是（ ）
A．y ＜y ＜0 B．y ＜0＜y C．y ＞y ＞0 D．y ＞0＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【典例2】
已知（﹣5，y ）（﹣1，y ），（2，y ）都在双曲线 y＝ （k＞0）上，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 3 2 1
【典例3】
已知点A（﹣3，y ），B（﹣1，y ），C（3，y ）都在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
【典例4】
已知点A（x ，y ），B（x ，y ） 在反比例函数 的图象上，且x ＜0＜x ，则下列结论一定正确的是
1 1 2 2 1 2
（ ）A．y +y ＜0 B．y +y ＞0 C．y ﹣y ＜0 D．y ﹣y ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
题型06 反比例函数的对称性
【典例1】
如图，过原点的一条直线与反比例函数 （k≠0）的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为（3，﹣
5），则B点的坐标为（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣5，3） C．（﹣3，+5） D．（+3，﹣5）
【典例2】
如图，双曲线y＝ 与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【典例3】
如图，直线 与双曲线 相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1， ） D．（ ，﹣1）
【典例4】
如图所示，正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另
1
一个交点坐标是 ．1．下面的三个问题中都有两个变量：
①面积一定的等腰三角形，底边上的高y与底边长x；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度y与铺设天数x．
其中，变量y与变量x满足反比例函数关系的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．反比例函数y＝（2m﹣1）x 的图象在第二，四象限，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．﹣ 或
3．反比例函数 （m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B． C． D．m≥
4．已知反比例函数y＝ ，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（1，2）
B．y的值随x值的增大而减小
C．图象在第一、三象限内
D．若x＞1，则0＜y＜2
5．对于反比例函数y＝ 的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称
6．正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
7．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数 （k为常数）的图象上，则下列判断正确
的是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
8．反比例函数y＝ 与二次函数y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．9．当m＝ 时，函数y＝（m2+2m） 是反比例函数．
10．如图，反比例函数y＝ （k＜0）的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点坐标为（﹣
2，1），那么B点的坐标为 ．
11．若反比例函数y＝ 的图象不经过第一象限，则k的取值范围是 ．
12．已知反比例函数 的图象上两点A（﹣3，y ），B（﹣1，y ），若y ＜y ，则m的取值范围是
1 2 1 2
．
13．已知函数 ．
（1）若y是关于x的正比例函数，求m的值；
（2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
14．已知反比例函数 的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点A（﹣4，y ），B（﹣1，y ）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y ，y 的大小．
1 2 1 215．已知反比例函数 的图象经过点A（6，1）．
（1）求k的值；
（2）若点B（x，y）也在反比例函数 的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．
