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专题 1.2 有理数的运算
目录
有理数的加法运算.............................................................................................................................1
有理数的加法应用.............................................................................................................................3
有理数加法综合运用.........................................................................................................................4
有理数的减法运算.............................................................................................................................7
有理数的混合运算.............................................................................................................................9
有理数混合运算应用.......................................................................................................................12
有理数混合运算应用.......................................................................................................................13
有理数的乘法...................................................................................................................................16
倒数...................................................................................................................................................17
有理数相乘的正负问题...................................................................................................................18
有理数的乘法运算律.......................................................................................................................19
有理数乘法综合运用.......................................................................................................................20
有理数的除法法则...........................................................................................................................22
有理数除法与绝对值.......................................................................................................................23
乘方的概念.......................................................................................................................................24
乘方与非负性...................................................................................................................................26
用科学记数法...................................................................................................................................27
有理数综合运算...............................................................................................................................28
乘方综合运用...................................................................................................................................32
有理数的加法运算
（1）有理数加法法则：
同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
（2）相关运算律
交换律: ； 结合律 .
【例1】计算 ，结果正确的是
A．2 B． C．8 D．
【解答】解： ，故选： ．
【变式训练1】 的计算结果是
A．8 B． C．4 D．
【解答】解：
．
故选： ．
【变式训练2】温度由 上升 是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： ，
则温度由 上升 是 ，
故选： ．
【变式训练3】计算：
A．4 B． C．10 D．
【解答】解：原式
．
故选： ．
【例2】计算： ．
【解答】解：
．
【变式训练1】计算： ．
【解答】解：．
．
【解答】解：原式
．
【变式训练2】计算：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
有理数的加法应用
【例3】如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批
发价格为2.7元 斤）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
与前一天
的价格涨
跌情况
（元
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元 斤？本周哪天该农产品的批
发价格最低，批发价格是多少元 斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【解答】解：（1）星期一的价格： （元 ；
星期二的价格： （元 ；星期三的价格： （元 ；
星期四的价格： （元 ；
星期五的价格： （元 ；
星期六的价格： （元 ；
星期日的价格： （元 ；
故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；
本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元．
（2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元， ， （元 ，
答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元．
【变式训练1】某集团公司对所属甲、乙两分厂上半年经营情况记录如下：（其中“ ”表
示盈利，“ ”表示亏损，单位：亿元）
月份 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
甲厂 0
乙厂 0
（1）计算二月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
（2）分别计算甲、乙两个工厂上半年平均每月盈利或亏损多少亿元？
【解答】解：（1） ，
所以二月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元．
（2）甲厂： （亿元），
乙厂： （亿元），
所以甲厂上半年平均每月盈利0.4亿元，乙厂上半年平均每月亏损0.2亿元．
【变式训练2】下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京
时间早的时数），如北京时间的上午 时，东京时间的10点已过去了1小时，现在已
是 ．
（1）如果现在是北京时间 ，那么现在的纽约时间是多少？（2）此时（北京时间 小明想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？为什么？
（3）如果现在是芝加哥时间上午 ，那么现在北京时间是多少？
城市 时差 时
纽约
巴黎
东京
芝加哥
【解答】解：（1） ，
故现在的纽约时间是前一天晚上8点；
（2） ，
故此时是当天凌晨2点，所以不适合；
（3） ，
故现在北京时间是21点．
【变式训练3】列式写答案：
某自行车厂计划平均每天生产自行车 200辆，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划
量有出入．下表是该厂某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
（1）根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆？
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？
（3）根据记录的数据可知该厂本周实际共生产自行车多少辆？
【解答】解：（1）由题意，得
（辆 ，
答：该厂星期三生产自行车214辆；
（2）由题意，得
最多的一天是周五，最少的一天是周四，
（辆
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车25辆；
（3）由题意，得（辆
答：该厂本周实际共生产自行车1410辆．
有理数加法综合运用
【例4】如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把 到 这6个连续整数分别填入
图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和 都相等，那么 的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
，
故选： ．
【变式训练1】小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆“游戏，现在
将 、12、 、14、15、 、 、13分别填入图中的圆圆内，使横、竖以及内外两围
上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中 的值为
A．12或 B． 或13 C．12或 D． 或11
【解答】解：设空白处的数值分别为 ， ，如图，由题意得： ，
．
．
．
可填的数字有 ， ，13，
只有当 ， 时，上述等式成立，
， 或
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综上， 的值为 或12
故选： ．
【变式训练2】如图，四个有理数 ， ， ， 在数轴上对应的点分别为 ， ， ，
，若 ，则 ， ， ， 四个数中负数有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：
与 互为相反数．
原点为 ．
则在原点左侧的数有三个．
即 ， ， ， 四个数中负数有3个．故选： ．
【变式训练3】在一次数学活动课上，老师将 共十个整数依次写在十张不透明的卡片
上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面
朝下）．他先打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随
机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结
果分别是：甲12、乙4、丙15、丁6、戊根据以上信息，判断错误的是
A．丙同学的两张卡片上的数字是7和8
B．戊同学的两张卡片上的数字是8和10
C．丁同学的两张卡片上的数字是2和4
D．甲同学的两张卡片上的数字是5和7
【解答】解：乙同学是1，3；
丁同学是2，4；
甲同学是5，7；
丙同学是6，9；
戊同学是8，10；
故选： ．
有理数的减法运算
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：
【例5】 的值是
A．1 B． C．2021 D．
【解答】解：
．故选： ．
【变式训练1】计算
A．0 B． C．5 D．
【解答】解：
．
故选： ．
【变式训练2】计算 的结果等于
A． B．2 C． D．6
【解答】解： ，
故选： ．
【变式训练3】计算：
A． B． C．13 D．3
【解答】解： ．
故选： ．
【例6】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练1】计算： ．
【解答】解：．
【变式训练2】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
；
（5）原式
．
有理数的混合运算
【例7】计算 的结果等于
A． B．11 C．5 D．2
【解答】解： ，
故选： ．
【变式训练1】能与 相加得0的是
A． B． C． D．
【解答】解： 的相反数为 ，
所以 能与 相加得
故选： ．
【变式训练2】算式 之值为何？
A． B． C． D．【解答】解：
．
故选： ．
【变式训练3】下列运算错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，故 正确；
，故 错误；
，故 正确；
，故 正确．
故选： ．
【例8】计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【变式训练1】计算：（能简算的要简算）（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练2】计算：
（1） ．
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）．
【变式训练3】计算：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
有理数混合运算应用
【例9】在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负
数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是 的计算过程，则图2表示的过
程是在计算
A． B．C． D．
【解答】根据题意可知一横表示10，一竖表示1，
图2表示： ．
故选： ．
【变式训练1】实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观
测点的相对高度如 为90米表示观测点 比观测点 高90米），然后用这些相对高
度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得
是 米．
90米 80米 米 50米 米 40米
A．210 B．130 C．390 D．
【解答】解：
（米 ，
故选： ．
【变式训练2】一个热气球在200米的空中停留，然后它依次上升了15米， 米， 米
这个热气球此时停留在 米．
【解答】解： （米 ，
即这个热气球此时停留在187米．
故答案为：
【变式训练3】庄河十二月份某天上午10时气温为 ，过4小时后气温上升了 ，又过
了3小时气温又下降 ，则此时的气温是 ．
【解答】解：由题意可列：故答案为：7
有理数混合运算应用
【例10】一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记
录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
停靠 起点站 中间 中间 中间 中间 中间 中间 终点
站 第1站 第2站 第3站 第4站 第5站 第6站 站
上下车 0
人数 0
（1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人；
（2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人；
（4）从表中你还能知道什么信息？
【解答】解：（1）中间第1站上车8人、下车3人；
中间第2站上车2人、下车4人；
中间第3站上车4人，没有人下车；
中间第4站上车1人、下车7人；
中间第5站上车6人、下车9人；
中间第6站没有人上车，下车7人；
（2）中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是为： （人 ，第5站停车时车上人
数是： （人 ；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
故答案为：（1）1，7； （2）6，3； （3）24，22； （4）如起点站上车21人（答案
不唯一）．
【变式训练1】如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产
品的批发价格为2.7元 斤）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
与前一天
的价格涨
跌情况
（元注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元 斤？本周哪天该农产品的批
发价格最低，批发价格是多少元 斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【解答】解：（1）星期一的价格： （元 ；
星期二的价格： （元 ；
星期三的价格： （元 ；
星期四的价格： （元 ；
星期五的价格： （元 ；
星期六的价格： （元 ；
星期日的价格： （元 ；
故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；
本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元．
（2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元， ， （元 ，
答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元．
【变式训练2】随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小亮家中买了一
辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以 为标准，多于
的记为“ ”，不足 的记为“ ”，刚好 的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
0
路程
（1）请求出这7天中平均每天行驶多少千米？
（2）若每行驶 需用汽油4升，汽油价6.8元 升，计算小亮家这7天的汽油费用大约
是多少元？
【解答】解：（1） ，
（千米），答：这七天平均每天行驶50千米；
（2） （元 ，
（元 ，
答：估计小明家一个月的汽油费用是190.4元．
【变式训练3】小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股票若
干股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单
位：元）．
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌（元
（1）星期五收盘时，该股票每股多少元？
（2）这周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
【解答】解：（1）根据题意得： （元 ；
答：星期五收盘时，该股票每股33元；
（2）一周的股价分别为：32（元 ； （元 ； （元 ；
（元 ； （元 ；
这周内该股票收盘时的最高价是33元，最低价是31.5元．
有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数
决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相
乘，有一个因数为0，积就为0．
【例11】计算 的结果是
A． B．3 C． D．12
【解答】解：原式．
故选： ．
【变式训练1】计算 的结果是
A．6 B． C．5 D．
【解答】解：
．
故选： ．
【变式训练2】计算 的结果等于
A．4 B． C． D．21
【解答】解：原式
．
故选： ．
【变式训练3】计算 的结果是
A．8 B． C．2 D．
【解答】解：
．
故选： ．
倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地， ，就说 的倒数是
【例12】 的倒数是A． B． C． D．
【解答】解： 的倒数是 ，
故选： ．
【变式训练1】2022的倒数是
A． B．2022 C． D．
【解答】解：2022的倒数是 ，
故选： ．
【变式训练2】下列互为倒数的是
A．3和 B． 和2 C．3和 D． 和
【解答】解： ．因为 ，所以3和 是互为倒数，因此选项 符合题意；
．因为 ，所以 与2不是互为倒数，因此选项 不符合题意；
．因为 ，所以3和 不是互为倒数，因此选项 不符合题意；
．因为 ，所以 和 不是互为倒数，因此选项 不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】 的倒数是
A． B． C． D．6
【解答】解： 的倒数是 ．
故选： ．
有理数相乘的正负问题
【例13】已知两个有理数 ， ，如果 且 ，那么
A． ，B． ，
C． 、 同号
D． 、 异号，且正数的绝对值较大
【解答】解： ，
， 异号，
，
正数的绝对值较大，
故选： ．
【变式训练1】 ， ，则有
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，
、 同号，
又 ，
， ．
故选： ．
【变式训练2】有这样三个数，它们的积是负数，它们的和是正数，则这三个数中负数的个
数为
A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．2个
【解答】解：有这样三个数，它们的积是负数，它们的和是正数，则这三个数中负数的个
数为1个．
故选： ．
【变式训练3】若 ， ，那么这两个数
A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定
【解答】解： ， 、 同号，
， 、 都是负数，
故选： ．
有理数的乘法运算律
【例14】用简便方法计算：（1）
（2）
【解答】解：（1）
（2）
【变式训练1】计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
【变式训练2】用简便方法计算
（1）
（2）
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【变式训练3】用简便方法计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．有理数乘法综合运用
【例15】若 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值为2
（1）直接写出 ， ， 的值；
（2）求 的值．
【解答】解：（1） 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值为2，
， ， ．
（2）当 时， ；
当 时， ．
【变式训练1】设 和 互为相反数， 和 互为倒数， 的倒数等于它本身，试化简：
．
【解答】解： 和 互为相反数， 和 互为倒数， 的倒数等于它本身，
， ， ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
故代数式的值为：0或 ．
【变式训练2】已知 和 互为相反数， 和 互为倒数， 是绝对值等于2的数，求式子
．
【解答】解： 和 互为相反数， 和 互为倒数， 是绝对值等于2的数，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
若 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值等于 2，则关于 的方程
的解是多少？
【解答】解： 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值等于2，
， ， ，
，整理得： ，
解得： ．
有理数的除法法则
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即
【例16】计算 的结果是
A． B．2 C．18 D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练1】计算 的结果等于
A． B．3 C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练2】计算：
A．2 B． C．18 D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练3】计算 的结果等于
A． B． C．7 D．
【解答】解： ．
故选： ．【例17】计算： ．
【解答】解：
．
【变式训练1】计算： ．
【解答】解：
．
计算： ．
【解答】解：原式
．
有理数除法与绝对值
【例18】已知 、 为有理数，且 ，则 的值是
A．3 B． C． D．3或
【解答】解： ，
， 时， ，
， 时， ，综上所述， 的值是3或 ．
故选： ．
【变式训练1】 的值是
A． B． C． 或 D．3或1
【解答】解： 、 、 都是正数时， ，
、 、 有两个正数时， ，
、 、 有一个正数时， ，
、 、 都是负数时， ，
综上所述， 的值是 或 ．
故选： ．
【变式训练2】 的值为
A． B． C． 或 D．以上都不对
【解答】解：当 、 、 都是正数时，原式 ；
当 、 、 中只有一个负数时，原式 ；
当 、 、 中有2个负数时，原式 ；
当三个都是负数时，原式 ．
故选： ．
【变式训练3】已知 ， 都是非零数，则 的值为
A． 或3 B．1 C． D． 或【解答】解：当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
故选： ．
乘方的概念
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an
看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂
是正数；0的任何正整数次幂都是0．
【例19】计算 的结果是
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练1】 等于
A． B．2 C． D．4
【解答】解：原式 ，
故选： ．
【变式训练2】下列计算结果最小的是
A． B． C． D．【解答】解： ， ， ， ，
，
故选： ．
【变式训练3】计算：
A． B． C．1 D．2
【解答】解：
．
故选： ．
【例20】
A． B． C． D．
【解答】解：原式 ，
故选： ．
【变式训练1】 表示的意义是
A． B．
C． D．
【解答】解： 表示3个 相乘，
表示的意义是 ，
故选： ．
【变式训练2】计算 个A．81 B． C． D．
【解答】解：原式
．
故选： ．
【变式训练3】计算
A． B． C． D．
【解答】解：原式 ．
故选： ．
乘方与非负性
【例21】若 与 互为相反数，则 的值是
A． B．1 C．2021 D．
【解答】解： 与 互为相反数，
，
， ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练1】若 与 互为相反数，则 的结果为
A．16 B． C．8 D．
【解答】解： 与 互为相反数，
，
， ，
， ，．
故选： ．
【变式训练2】若 ，则 的值为
A．1 B． C．0 D．2
【解答】解： ，
， ，
解得 ， ，
．
故选： ．
【变式训练3】若 ，则 的值是
A． B．0 C．1 D．2022
【解答】解：根据题意得 ， ，
解得 ， ，
则 ．
故选： ．
用科学记数法
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，
n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
【例22】2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记
数法表示为A． B． C． D．
【解答】解：1.2万 ．
故选： ．
【变式训练1】2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数
超过 78400000 人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将
“78400000”用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练2】根据世界卫生组织的统计，截止 10月28日，全球新冠确诊病例累计超过
4430万，用科学记数法表示这一数据是
A． B． C． D．
【解答】解：4430万 ．
故选： ．
【变式训练3】2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器
成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000
公里．数字192000000用科学记数法表示为A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
有理数综合运算
【例23】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练1】计算 ．
【解答】解：原式 ．
【变式训练2】计算
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】解： （1）
；（2）
；
（3）
；
（4）
．
【变式训练3】计算：
【解答】解：原式 ，
，
，．
【变式训练4】计算：
【解答】解：原式
．
．
【变式训练5】计算
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）．
【变式训练6】计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【变式训练7】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
乘方综合运用
【例24】已 知 ： ， 互 为 相 反 数 ， ， 互 为 倒 数 ， 的 绝 对 值 是 2 ， 求
的值．
【解答】解：由已知可得， ， ， ；
当 时，
当 时，【变式训练1】已知 、 互为相反数且 ， 、 互为倒数， 的绝对值是最小的正
整数，求 的值．
【解答】解： 、 互为相反数且 ，
；
、 互为倒数，
；
的绝对值是最小的正整数，
，
【变式训练2】若 ， 互为相反数， ， 互为倒数， ，求 的值．
【解答】解：由题意得： ， ， ，
原式 ．
【变式训练3】若 、 互 为 相 反 数 ， 、 互 为 倒 数 ， 的 绝 对 值 为 2 ， 求
的值．
【解答】解：根据题意得： ， ， 或 ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．1．若 、 、 、 是正整数，且 ， ，下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知： ，
由① ②，得 ，得 ．
故选： ．
2．
A． B． C．1 D．5
【解答】解：原式 ．
故选： ．
3．已知 ， ，且 ，则 的值是
A． B． C． 或 D． 或3
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 只能取 ．
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
故选： ．
4．计算 的结果是
A． B．1 C． D．3
【解答】解：原式 ，
故选： ．
5．北方某地区冬季某日最高气温 ，最低 ，则最高气温比最低气温高A． B． C． D．
【解答】解：
，
故选： ．
6．某地一天早晨的气温是 ，中午温度上升了 ，半夜比中午又下降了 ，则半
夜的气温是
A． B． C． D．
【解答】解：
．
答：半夜的气温是 ．
故选： ．
7． 的倒数是
A． B． C． D．
【解答】解： ， 的倒数是： ．
故选： ．
8． 的倒数是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，的倒数是 ，
故选： ．
9．已知 ， ，且 ，则 ．
【解答】解： ， ，
， 或 ， ，
，
， ，
，
故答案为： ．
10．已知 ， ， 是三个互不相等的整数，且 ，则 的最小值等于
．
【解答】解：不妨设 ，
， ， 是三个互不相等的整数，且 ，
， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ，
或 ， ，
当 ， ， 时，
此时 的值最小，最值为 ，
故答案为： ．
11．已知 ， ，且 ，则 ．
【解答】解： ， ，， ，
，
与 异号，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
故答案为： ．
12．如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高
度相差 9259.4 3 ．
【解答】解： ．
故两处高度相差 ．
故答案为：9259.43．
13．若两个有理数 、 满足 ，则称 、 互为“吉祥数”．如5和3就是一对
“吉祥数”．回答下列问题：
（1）求 的“吉祥数”；
（2）若 的“吉祥数”是 ，求 的值；
（3） 和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）根据“吉祥数”的定义可得，
的吉祥数为 ，
的吉祥数为13；
（2）由题意得， ，解得 ，
答： 的值是4；
（3）能，
由题意得， ，
则 ，
和9可以互为“吉祥数”．
14．计算： ．
【解答】解：原式
．
15．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算： ．
解：原式
．
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算： ．
【解答】解：原式
．
