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专题 19 统计与概率
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：统计
知识模块二：概率
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（7大基础考点）
考点一： 统计图
考点二： 与平均数、中位数、众数、方差有关的计算
考点三： 统计量的选择
考点四： 根据概率公式计算概率
考点五： 列举法求概率
考点六： 画树状图法/列表法求概率
考点七：由频率估计概率
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）
重难点一： 几何概率
重难点二： 游戏公平性
重难点三： 统计图与数据分析综合
重难点四： 概率与统计综合
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（4大易错点）
易错点1： 混淆总体、个体、样本、样本容量
易错点2： 对平均数、中位数、众数的概念理解不到位
易错点3： 对概率的定义理解不到位
易错点4： 混淆放回与不放回实验知识模块一：统计
知识点一：普查与抽样调查
概念 优缺点 举例
普查 为特定的目的对全部考 优点：收集到的数据全面、准确. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件.
察对象进行的调查，叫 缺点：一般花费多、工作量大，耗 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的
做全面调查. 时长. 时间.
抽取一部分对象进行调 优点：调查范围小，花费少、工作 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的
抽 样 查，根据调查样本数据 量较小，省时. 杀伤半径等.
调查 推断全体对象的情况叫 缺点：抽取的样本是否具有代表 2）调查某批中性笔的使用寿命.
抽样调查. 性，直接关系到对总体估计的准确 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生
程度. 情况.
知识点二：总体、个体、样本及样本容量
分类 概念 注意事项 举例
总体 所要调查的全体对 考察一个班学生的身高，那么总 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进
象 体就是指这个班学生身高的全 行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，体，不能错误地理解为学生的全 从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么:
体为总体.
总体指的是2.3万名学生的数学成绩；
个体 总体中的每一个考 总体包括所有的个体.
察对象 个体指的是每一个学生的数学成绩；
样本 从总体中抽取的部 样本是总体的一部分，一个总体 样本指的是2000名学生的数学成绩；
分个体 中可以有许多样本，样本能够在
一定程度上反映总体. 样本容量是2000.
样本 样本中个体的数目 一般地，样本容量越大，通过样
容量 （无单位） 本对总体的估计越精确.
知识点三：数据的分析
n个数的和 x +x +⋅⋅⋅+x
平均数
定义：一般地，如果有n个数x 1，x 2，…，x n，那么x =
数的个数
= 1 2
n
n ，读作“
拔”.
优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数.
缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
x w +x w +⋅⋅⋅+x w
定义：若n个数x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，…，w ，则 1 1 2 2 n n ，叫做这n个
加权平均数 1 2 n 1 2 n w +w +⋅⋅⋅+w
1 2 n
数的加
权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫
做这组数据的中位数.
中位数 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来
描述数据的集中趋势.
缺点：不能充分地利用各数据的信息.
定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
众数 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复
出现时，众数往往更能反映问题.
缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
定义：在一组数据x ，x ，…，x 中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，
1 2 n
1
记作 s2 .计算公式是：s2= [(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2 ].
n
方差
意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，
数据的波动性越小.
定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差.
极差 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体
数据的实际波动情况.√[(x1−x) 2+(x2−x) 2+...+(xn−x) 2
定义：方差的算术平方根,即s=
标准差 n
【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
知识点四：统计图/表的应用
统计 图形 优点 缺点 常见结论
图
条形 1）能清楚地表示出每 对于条形统计图，人们习惯 各组数量之和=总
统计 个项目中的具体数目. 于由条形柱的高度看相应的 数
图 2）易于比较数目之间 数据，即条形柱的高度与相
的差别. 应的数据成正比，若条形柱
的高度与数据不成正比，就
容易给人造成错觉.
扇形 能清楚地表示出各部分 在两个扇形统计图中，若一 各部分百分比之和
统计 在总体中所占的百分 个统计图中的某一个量所占 =100%；
图 比. 的百分比比另一个统计图中
的某个量所占的百分比多，
各部分圆心角的度
这样容易造成第一个统计量
数=相应百分比
比第二个统计量大的错误理
×360°
解.
折线 能清楚的反映各数据的 在折线图中，若横坐标被 各种数量之和=样
统计 变化趋势. “压缩”，纵坐标被“放 本容量
图 大”，此时的折线统计图中
的统计量变化量变化明显，
反之，统计量变化缓慢.
频数 直观显示各组频数的分 各组数量之和=样
分布 布情况，易于显示各组 本容量;
直方 之间频数的差别
图
各组频率之和=1;
步骤：
①计算数据的最大值与
数据总数×相应的
最小值的差.
频率=相应的频数
②选取组距，确定组
数.
③确定各组的分点.
④列频数分布表.
⑤画出频数直方图.
知识模块二：概率
知识点一：确定事件与随机事件
类别 定义 举例确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情 在一个只装有红球的袋子中摸
定 事件 称为必然事件. 球，摸出红球.
事
不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些 在一个只装有红球的袋子中摸
件
事件 事情称为不可能事件. 球，摸出白球.
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事 在一个装有红球和白球的袋子
（随机事件） 情称为不确定事件（又叫随机事件）. 中摸球，摸出白球.
知识点二：概率的定义
概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为
P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事
件时， 0＜P(A)＜1.
【注意事项】
1）概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发
生的可能性小；
2）在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算.
知识点三：概率的计算方法1.公式法
概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ，即 .
用 求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
2.列举法
定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可
通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等.
3.列表法
定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.4.画树状图法
定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树
状图法.
5.用频率估计概率
一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，
摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值.
考点一： 统计图
1．（2024·甘肃·中考真题）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023年
中国农村网络零售额情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
2．（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，
班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全
班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
3．（2024·江西·中考真题）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空
气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天
4．（2024·广东广州·中考真题）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地
50个公园的用地面积，按照0<x≤4，4<x≤8，8<x≤12，12<x≤16，16<x≤20的分组绘制了如图所
示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．a的值为20
B．用地面积在8<x≤12这一组的公园个数最多
C．用地面积在4<x≤8这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
考点二： 与平均数、中位数、众数、方差有关的计算
5．（2024·四川雅安·中考真题）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分
别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是92 B．中位数是84.5
C．平均数是84 D．方差是13
6．（2024·四川广元·中考真题）在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，
95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是947．（2024·四川宜宾·中考真题）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们
某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正
确的是（ ）
A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为75
8．（2023·广东广州·中考真题）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的
本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为10 B．平均数为10 C．方差为2 D．中位数为9
考点三： 根据要求选择合适的统计量
9．（2023·湖北荆州·中考真题）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量
（单位：kg）分别为x ,x ,…,x ，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（
1 2 10
）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差
C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
10．（2020·湖南郴州·中考真题）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm
24 24.5 25 25.5 26 26.5
）
销售数量（双） 2 7 18 10 8 3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
11．（2024·河南郑州·模拟预测）歌唱比赛有9位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高
分和一个最低分，这样做，不受影响的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
12．（2024·福建泉州·模拟预测）某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，
他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按6:4的比例确定各人的最后得分，然后
录用得分最高的候选人．最终被录用的是（ ）
测试成绩
项目
甲 乙 丙 丁8
笔试 70 75 90
0
8
面试 90 85 70
0
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点四： 根据概率公式计算概率
13．（2024·湖北·中考真题）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简
介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其
中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 ．
14．（2024·甘肃兰州·中考真题）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1
个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有
盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
15．（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方
案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球
有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球
获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
16．（2024·四川·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，
参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机
3
抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为 ，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
5
考点五： 列举法求概率
17．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③
AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（ ）2 1 1 5
A． B． C． D．
3 2 3 6
18．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的
笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的
颜色都不匹配的概率是 ．
19．（2023·湖南·中考真题）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三
位数是5的倍数的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
考点六： 画树状图法/列表法求概率
20．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年
级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字
分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随
机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明
胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
21．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营
市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查
了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：
0≤x<1；B档：1≤x<2；C档：2≤x<3；D档：3≤x<4；E档：4≤x）．调查的八年级男生、女生劳
动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的
中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法
求所选两名学生恰好都是女生的概率．
22．（2024·江苏宿迁·中考真题）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的
研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大
王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
(1)小刚选择线路A的概率为________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
考点七： 由频率估计概率
23．（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）
24．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
25．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，
将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球
200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．重难点一： 几何概率
26．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内
各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
3 2 1 √2
A． B． C． D．
4 3 2 2
27．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AO的中点．过点C作
CE⊥AO交A´B于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部
分的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
28．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，
以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正
方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P ，停在空白部分的概率为P ，则P 与P 的大小关系
1 2 1 2
为（ ）
A．P <P B．P =P C．P >P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
29．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率
为 ．
重难点二： 游戏公平性
30．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标
有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数
字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
31．（2024·四川眉山·二模）四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图
说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．
32．（2024·江苏连云港·二模）如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，
小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．
（1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）；
（2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．重难点三： 统计图与数据分析综合
33．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞
赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数 方
中位数（分） 众数（分） 优秀率
（分） 差
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ，b= ，c= ；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结
合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
34．（2024·湖北·中考真题）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，
并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组：
A组(0≤x<5)，B组(5≤x<10)，C组(10≤x<14)，D组(x≥14)．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求A组人数，并补全条形统计图；
(2)估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；
(3)从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
35．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商
家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该
平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评
价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．
（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．
统计量
商家
中位数 众数 平均数 方差甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b x 1.24
（3）直接写出表中a和b的值，并求x的值；
（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪
一家？说明你的观点．
36．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队
员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数 7 7 7 8
77 76 84 91 78 79
据 8 2 5 5
7 7 9 7
82 76 91 76 75 85
8 9 1 4
9 7 7 8
75 80 75 87 76 77
1 7 5 5
整理、描述数据
7 8
成绩/分 72 74 75 76 78 79 80 82 84 87 91
7 5
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
(1)表格中的a=______；b=______；c=______；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标
应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
(3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图
法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
重难点四： 概率与统计综合
37．（2024·海南·中考真题）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情
背景介绍
况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3.8≤x<4.0 3
4.0≤x<4.2 24
4.2≤x<4.4 18
4.4≤x<4.6 12
4.6≤x<4.8 9
4.8≤x<5.0 9
5.0≤x<5.2 15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“4.8≤x<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：
4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为
_______人；
(4)视力在“3.8≤x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的
概率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
38．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安
全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和
（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，
90，95，90，95，95．
【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表
分 8 9
80 90 100
数 5 5
人
3 3 a b 3
数
【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量 平均
中位数 众数 方差
班级 数
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 p 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请补全条形统计图：
(2)填空：m=______，n=______；
(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽
取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
易错点1： 混淆总体、个体、样本、样本容量
1．（2023·山东聊城·中考真题）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安
全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生2．（2024·湖南长沙·模拟预测）为了了解某市2023年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考
生的成 绩进行统计．在这个问题中，有下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每
个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说
法正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
易错点2： 对平均数、中位数、众数的概念理解不到位
1．（2024·四川巴中·中考真题）一组数据−10,0,11,17,17,31，若去掉数据11，下列会发生变化的是
（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
2．（2024·四川达州·中考真题）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据
污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
易错点3： 对概率的定义理解不到位
1．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下
列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
1
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
2
易错点4： 混淆放回与不放回实验
1．（2024·北京·中考真题）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它
差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
2．（2024·山西·中考真题）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都
相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红
球的概率是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D．
3 3 9 9
