第03讲不等式及性质（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 03 讲 不等式及性质 【基础知识网络图】 绝对值不等式 扩 充 不 等 重要不等式 式 柯西不等式 基本不等式 基 本 不 等 式 最大（小）值问题 基本不等式的应用 【基础知识全通关】 知识点01：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果 是正数，那么 （当且仅当 时取等号“=”）.【要点诠释】 和 两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 时取等号”。 （ 3 ） 可 以 变 形 为 ： ， 可 以 变 形 为 ： . 3.如图， 是圆的直径，点 是 上的一点， , ，过点 作 交圆于点D，连接 、 . 易证 ，那么 ，即 . a+b a+b ≥√ab 2 2 这个圆的半径为 ，它大于或等于 ，即 ，其中当且仅当点 与圆心 重合，即 时，等号成立. 【要点诠释】 a+b 2 √ab 1.在数学中，我们称 为 的算术平均数，称 为 的几何平均数. 因此基本 不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a+b 2 √ab 2.如果把 看作是正数 的等差中项， 看作是正数 的等比中项，那么基本 不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点02：用基本不等式 求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 知识点03：几个常见的不等式 a 2 +b 2 ≥2ab(a,b∈R) 1） ，当且仅当a=b时取“=”号。 a+b ≥√ab(a,b∈R+) 2 2） ，当且仅当a=b 时取“=”号。 a b 1 + ≥2 (a⋅b>0) a+ ≥2(a>0) b a a 3） ；特别地： ； √a2 +b2 a+b 2ab ≥ ≥√ab≥ 4） 2 2 a+b (a+b) (1 + 1) ≥4(a,b∈R+) a b 5） ； a 3 +b 3 +c 3 ≥3abc(a,b,c∈R+) 6） ； a+b+c≥3√ 3 abc(a,b,c∈R+) 7） 知识点04：绝对值不等式的性质 1. ； 2. ； 知识点05：柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式： ⃗α,⃗β ⃗β 设 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量或存在实数 k，使⃗α=k⃗β 时，等号成立。 （2）代数形式： (a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd) 2 ①若a、b、c、d都是实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等 号成立； ②若a、b、c、d都是正实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等 号成立； ③若a、b、c、d都是实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等号 成立； 【要点诠释】 柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式： x ,x ,y ,y ∈R √x2 +y2 + √x2 +y2 ≥ √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 设 1 2 1 2 ，则 1 1 2 2 1 2 1 2 。 2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）： a ,a ,a ,b ,b ,b (a2 +a2 +a2 )(b2 +b2 +b2 )≥(a b +a b +a b ) 2 若 1 2 3 1 2 3都是实数，则 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 b =0,(i=1,2,3) a=kb(i=1,2,3) ，当且仅当 i 或存在实数k，使得 i i 时，等号成立。 3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： a ,a ,a ,⋯,a ,b ,b ,b ,⋯,b , 若 1 2 3 n 1 2 3 n 都是实数，则 (a2 +a2 +⋯+a2 )(b2 +b2 +⋯+b2 )≥(a b +a b +⋯+a b ) 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n ， b =0,(i=1,2,⋯,n) a=kb(i=1,2,⋯,n) 当且仅当 i 或存在实数k，使得 i i 时，等号成立。 【拓展】 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 (a∈R，b>0) 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔ a ＋ c> b ＋ c ⇔ ⇒ac>bc 可乘性 注意c的符号 ⇒ac b ＋ d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ a n > b n(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 微思考 1．两个正数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？ 提示 如果a>b>0，则>. 2．非零实数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？ 提示 如果ab>0且a>b，则<. 如果a>0>b，则>. 【考点研习一点通】 考点01：基本不等式 求最值问题 1．设 ，则 的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知 , 且 ，求 的最小值及相应的 值. 【变式2】求下列函数的最大（或最小）值. （1） ； 5 y=2x2 + x （2） (2) ， ； (3) ，1 y=x+ √2x−1 (4) ， ； y=2x√100−x2 (5) ， 【变式3】已知 且 ，求 的最小值. 考点02：利用基本不等式证明不等式 2.已知 ， ， ，求证： ， ， 中至少有 一个小于等于 . 【变式1】已知 、 、 都是正数，求证： 【变式2】已知 、 都是正数，求证： 。 考点03：利用绝对值不等式求最值 3. 不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ； 【变式1】求 的最值【变式 2】不等式 对 恒成立，则常数 的取值范围是 ； 考点04：利用柯西不等式求最值 y=√2x+1+√3 y+4+√5z+6 4. 设 ，求函数 的最大值． y=5√x−1+√10−2x 【变式1】求函数 的最大值． 【考点易错】 易错题型01 比较两个数(式)的大小 1 (1)(2022·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与 N的大小关系是( ) A．M>N B．M≥N C．M0，y>0，M＝，N＝，则M和N的大小关系为( ) A．M>N B．M0，bc－ad>0，则－<0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> (2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是( ) A.< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 【变式】(1)若2m>2n，则下列结论一定成立的是( ) A.> B．m|m|>n|n| C．ln(m－n)>0 D．πm-n<1 (2)(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( ) A． B.> C.> D．ac3b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是( ) A．－3<<－1 B．－1<<－ C．－2<<－1 D．－1<<－ (2)已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________． 【巩固提升】 1、（2022届山东省泰安市高三上期末）已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则C．若 则 D．若 则 2、若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中 正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 3．已知a∈(0,1)，a∈(0,1)，记M＝aa，N＝a＋a－1，则M与N的大小关系是( ) 1 2 1 2 1 2 A．MN C．M＝N D．不确定 4、（2022·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ） A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4 b bm  C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则a am 5．(多选)已知cac B．c(b－a)>0 C．cb2c＋d＋f，a＋b＋fc>f B．b>e>f C．c>e>f D．b>e>c 7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设 ， ， 则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 8、（2022江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）. 1 1  A．若ab，则b a a b  B．若ab0，cd 0，则d cc c  C．若ab0，且c0，则a2 b2 1 1  D．若ab，且a b ，则ab0 9、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 10、设 那么 的取值范围是____________． 11、(2022·天津模拟)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( ) A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π C．－<2α－β< D．0<2α－β<π 12．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”) 13．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是________(填序号)． ①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2. 14．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分 别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡 蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为 更优惠)________．(在横线上填甲或乙即可) 15．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a，a，a，a}满足a∈(0,1)， 1 2 3 4 1 a∈(1,2)，a∈(2,3)，则a 的取值范围是________． 2 3 4 16．已知a＋b>0，试比较＋与＋的大小． 17．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤； (2)已知c>a>b>0，求证：>. 18．(多选)若0c>1，则( ) A.a>1 B.> C．ca－11×6＋3×5， 1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5. (1)若两组数a，a 与b，b，且a≤a，b≤b，则ab＋ab≥ab＋ab 是否成立，试证 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 明． (2)若两组数a，a，a 与b，b，b 且a≤a≤a，b≤b≤b，对ab＋ab＋ab，ab＋ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 ab＋ab，ab＋ab＋ab 进行大小顺序(不需要说明理由)． 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3 22、设a>b>0，试比较与的大小． 23、若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( ) A．pq D．p≥q