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专题 17.2 勾股定理的应用
◆ 思想方法
数形结合思想：是把数、式图形结合起来用代数的方法分析图形，图形的来直观的理解数、式的关
系，称作数形结合。数形结合思想是中学一个重要的思想方法，其对解题和分析问题有很大的意义。有些
时候通过题意直接分析题求解时很不直观，不能直接找到突破口；或者求解时计算量很大、很费时间；或
者有时根本就无法求解。这个时候就要求我们学会分析转化题意的能力了，因此恰当的运用数形结合思想
就显得很有必要了，灵活的运用属性思想不仅可以化解题目难度，还可以做到快、准等意想不到的收获。
◆ 典例分析
【典例1】背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，
其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，
AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面
积之间的关系，可得到勾股定理：
S =______，
梯形ABCD
S =______，
△EBC
S =______，
四边形AECD
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千
米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使
得PC=PD，求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81 (0<x<16)
【思路点拨】
小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接CD，过点C作AD的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得
CD．
（2）作CD的垂直平分线，交AB于点P，分别在Rt△APD和Rt△PBC中用勾股定理表示出CP与PD联
立方程求解即可．
知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．
【解题过程】
解：小试牛刀：
1
S = a(a+b)，
梯形ABCD 2
1
S = b(a−b)，
△EBC 2
1
S = c2，
四边形AECD 2
1 1 1
则它们满足的关系式为： a(a+b)= b(a−b)+ c2．
2 2 2
知识运用：
（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AB=EC=40，
AE=BC=16，
∴ED=9，
有勾股定理得到：
DE2+CE2=CD2（千米）
∴CD=❑√DE2+CE2=41
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接CD，作CD的垂直平分线交AB于点P，
设AP=x千米，则BP=(40−x)千米，
在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=x2+242 ，
在 中， ，
Rt△BPC CP2=BP2+BC2=(40−x) 2+162
∵PC=PD，
∴ ，
x2+242=(40−x) 2+162
解得，x=16，
即AP=16千米．
知识迁移：
如图3，过AB作点C的对称点C′，连接DC′交AB于点P，
过C′作C′E∥AB，
根据对称性：AE=BC′=BC=3，
设PB=x，则AP=16−x，有勾股定理得，
，
PC′=PC=❑√x2+9．
DP=❑√(16−x) 2+81
∴代数式 的最小值为：
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81
．
DC′=DP+PC′=❑√DE2+EC′2=20
◆ 学霸必刷
1．（2023上·山东威海·七年级校联考期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若
PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是
（ ）米
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B
离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是
（ ）
A．5❑√29cm B．25cm C．5❑√37cm D．16cm
3．（2023下·山东潍坊·七年级统考期中）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的
A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的
过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（ ）A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大
4．（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯
子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，
顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
5．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水
果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计
算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
6．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）如图，老农门前有一块三角形土地，AB=5m，BC=6m，
AC=7m，这块土地面积是 ．
7．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，
如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在
正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是
cm
8．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点
B，C构成等腰三角形(AB=AC)．图甲是梯子两脚架夹角A为90°时的示意图，图乙是由图甲当点B与点
C的距离缩小120cm，而点A与地面的距离增大40cm时的示意图，若点A与地面的距离为170cm时，则
此时点B与点C的距离是 cm．
9．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）某校把一块形状为直角三角形的
废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=120m，BC=50m．线段CD是一条水渠，且D点在
边AB上，已知水渠的造价为130元/m，问：当水渠的造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少
元？
10．（2023下·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图所示，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两
只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都
是15m，求树高AB的距离．
11．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽
着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下
列问题：
（1）根据题意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；
（2）若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．
12．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，
当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，
当身高1.9m的成年人CD与感应灯A的水平距离为4m时，感应灯刚好亮；当身高0.9m的小朋友EF与感应
灯A的水平距离为3m时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离AB的长．13．（2023上·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置
在桌面上，AB=BC=6cm，CD=16cm；
（1）一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
（2）为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷
子的最大长度是多少？
14．（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两
村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产
品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．
15．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决
几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板
离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为
1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千AD的长度；
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千AD往前推送多少米？
16．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为
100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
（1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
（2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距
A中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否
超速，并说明理由．
17．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受
到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆
心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路
线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处
测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一
部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．（1）求B处离岛C的距离；
（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间．
19．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30
海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东75°方向航行，1小时后，甲船接到
命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东60°方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相
遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲船从B处行至小岛C的速度．
20．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图某货船以20海里/
ℎ
的速度将一批重要的物资由A处
运往正西方向的B处，经16ℎ 的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门的通知，一台风中
心、以40海里/
ℎ
的速度由A处向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响.
（❑√3≈1.73）问 ：（1）B处是否会受到台风的影响？请说明理由.
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时以内卸完货物？
（3）如果B处受到台风影响，那么求出影响的时间.
