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专题 08 一元一次不等式（组）的核心知识点精讲
1.会解一元一次不等式（组），理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想；
2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题。
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【题型1：不等式的性质】
【典例1】（2023•北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【答案】B
【解答】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故选：B．
1．（2023•德阳）如果a＞b，那么下列运算正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D． ＜
【答案】D
【解答】解：A、若a＞b，则a﹣3＞b﹣3，故A不符合题意；
B、若a＞b，则a+3＞b+3，故B不符合题意；
C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意；
D、若a＞b，则 ＜ ，正确，故D符合题意．
故选：D．
2．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
【答案】D
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
3．（2021•丽水）若﹣3a＞1，两边都除以﹣3，得（ ）
A．a＜﹣ B．a＞﹣ C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
【答案】A
【解答】解：∵﹣3a＞1，
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∴不等式的两边都除以﹣3，得a＜﹣ ，
故选：A．
4．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，
则 ＜ ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：a＞b，
∴当a＞0时，a2＞ab，
当a＝0时，a2＝ab，
当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误
∵a＞b，
∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，
当|a|＝|b|时，a2＝b2，
当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，故③结论错误；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴ ，故④结论正确；
∴正确的个数是1个．
故选：A．
【题型2：一元一次不等式（组）的解法】
【典例2】（2023•常州）解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【答案】﹣1＜x≤2，数轴见解答，整数解是：0，1，2．
【解答】解： ，
解不等式①得，x≤2，
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解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为
，
∴不等式组的整数解是：0，1，2．
1．（2023•陕西）解不等式组： ．
【答案】x＜2．
【解答】解：解第一个不等式可得x＜5，
解第二个不等式可得x＜2，
故原不等式组的解集为：x＜2．
2．（2023•湖州）解一元一次不等式组 ．
【答案】﹣1＜x＜2．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．
3．（2023•福建）解不等式组： ．
【答案】﹣3≤x＜1．
【解答】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥﹣3．
所以原不等式组的解集为﹣3≤x＜1．
【题型3：一元一次不等式（组）的应用】
【典例3】（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人
没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几
种租车方案？
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（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最
合算？
【答案】（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得： ，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
1．（2023•眉山）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正
气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共 100本，已知购买2
本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
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【答案】（1）甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）该校最多可以购买甲种书40本．
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
2．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买 3个篮球和2个排球，共需560元；
若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）最多可以购买5个篮球．
【解答】解：（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得： ，
解得 ，
∴每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，
根据题意得：120m+100（10﹣m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
3．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需
690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农
产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，
那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】（1）每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元；
（2）当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
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【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得： ，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣
10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
1．（2023•蒙城县三模）若a＜0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+5＜a+7 B．5a＞7a C．5﹣a＜7﹣a D．
【答案】D
【解答】解：A、a＜0，则a是负数，a+5＜a+7可以看作5＜7两边同时加上a，故A选项正确；
B、5a＞7a可以看作5＜7两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故B选项正确；
C、﹣a＜7﹣a是不等号两边同时加上﹣a，不等号不变，故C选项正确；
D、a＜0， 可以看作 两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故D选项错误．
故选：D．
2．（2023•喀什地区二模）不等式x+1≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
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【解答】解：解不等式x+1≤0得x≤﹣1，
在数轴上表示为： ．
故选：A．
3．（2023•衢州二模）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过 10m
以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x（m）应满
足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域，
∴ ＞ ，
故选：C．
4．（2023•四平模拟）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
【答案】B
【解答】解：由题意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故选：B．
5．（2023•辉县市二模）在平面直角坐标系中，点M（x﹣4，2x+1）在第二象限，则x的取值范围表示在
数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵点M（x﹣4，2x+1）在第二象限，
∴ ，
解得﹣ ＜x＜4，
故选：C．
6．（2023•梁子湖区模拟）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≤2
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【答案】C
【解答】解：
由第一个不等式可得：x＞a，
由第二个不等式可得：x≤2，
∵原不等式组无解，
∴a≥2，
故选：C．
7．（2023•长汀县模拟）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解： ，
解不等式2x﹣5＜1得x＜3，
解不等式3x+1≥2x得x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
8．（2023•南通二模）若关于x的不等式组 恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．2＜a≤3 B．2≤a＜3 C．2≤a≤3 D．2＜a＜3
【答案】B
【解答】解： ，
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x≤a，
∵关于x的不等式组 恰有1个整数解，
∴这个整数解是2，
∴2≤a＜3，
故选：B．
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9．（2023•金乡县一模）关于x的不等式组 恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
【答案】B
【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得： ，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴ ，解得10≤a＜12，
故选：B．
10．（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为500cm3的杯子中装有200cm3的水，将四颗相同的玻璃球放
入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．200+4x＜500 B．200+4x≤500
C．200+4x＞500 D．200+4x≥500
【答案】A
【解答】解：水的体积为200cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4x cm3，
根据题意得到：200+4x＜500．
故选：A．
11．（2023•舟山二模）在方程组 中，若未知数 x，y 满足 x+y＜0，则 m 的取值范围是
（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2
【答案】A
【解答】解： ，
①+②，得3x+3y＝4﹣2m，
∴ ，
又∵x+y＜0，
∴ ，
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解得m＞2，
故选：A．
12．（2023•龙游县校级一模）把m个练习本分给n个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分
5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n的值为 4 1 或 4 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得： ，
解得：40＜n＜42.5，
∵n为整数，
∴n的值为41或42．
故答案为：41或42．
13．（2023•朝阳区校级一模）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．
某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则
最多可打 8 折销售．
【答案】8．
【解答】解：设打x折，由题意，得：
，
解得：x≥8，
∴最多打8折出售，
故答案为：8．
14．（2023•黑龙江一模）若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是 m ＜ 4 ．
【答案】m＜4．
【解答】解： ，
由不等式①得x＜3，
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由不等式②得 ，
∵不等式组有解，
∴ ，
解得：m＜4，
故答案为：m＜4．
15．（2023•鼓楼区校级模拟）解不等式； ≥3（x﹣1）﹣6.5，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤4，数轴表示见解析部分．
【解答】解： ≥3（x﹣1）﹣6.5，
x+1≥6x﹣6﹣13，
∴x≤4．
数轴表示为：
16．（2023•闵行区二模）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣3≤x＜1．
【解答】解： ，
解①得x≥﹣3，
解②得x＜1，
所以不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
用数轴表示为：
17．（2023•广东模拟）某印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共40万本，且所有练习本当月全部卖出，其
中成本、售价如表所示．
品种 甲 乙
成本 1.2元/本 0.4元/本
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售价 1.6元/本 0.6元/本
（1）若该印刷厂五月份的利润为11万元，求生产甲、乙两种练习本分别是多少万本；
（2）某学校计划用7680元的经费到该印刷厂采购练习本．经商讨，该公司同意甲种练习本售价打九折，
乙种练习本不能让利．若学校能采购到1万本，且不超支，问最多能购买甲种练习本多少本？
【答案】（1）该印刷厂五月份生产甲种练习本15万本，生产乙种练习本25万本；
（2）最多能购买甲种练习本2000本．
【解答】解：（1）设该印刷厂五月份生产甲种练习本x万本，生产乙种练习本y万本，
根据题意得： ，
解得： ．
答：该印刷厂五月份生产甲种练习本15万本，生产乙种练习本25万本；
（2）设该学校购买m本甲种练习本，则购买（10000﹣m）本乙种练习本，
根据题意得：1.6×0.9m+0.6（10000﹣m）≤7680，
解得：m≤2000，
∴m的最大值为2000．
答：最多能购买甲种练习本2000本．
18．（2023•咸丰县一模）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3个A奖品和2个B
奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 ．购买预算金不超
过920元，请问学校有几种购买方案．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元．
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
依题意，得： ，
解得：10≤m≤12．
∵m为整数，
∴m＝10，11，12，
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∴40﹣m＝30，29，28．
∴学校有三种购买方案，方案一：购买A种奖品10个，B种奖品30个；方案二：购买A种奖品11个，
B种奖品29个；方案三：购买A种奖品12个，B种奖品28个．
1．（2023秋•龙泉市期中）若关于x的一元一次不等式（m﹣2）x≥m﹣2的解为x≤1，则m的取值范围是
（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＞2 D．m≥2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元一次不等式（m﹣2）x≥m﹣2的解为x≤1，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
故选：A．
2．（2023秋•浙江期中）若关于x的不等式组 的整数解共有四个，则a的取值范围是（ ）
A．3.5＜a≤4 B．3.5≤a＜4 C．3.5＜a＜4 D．3.5≤a≤4
【答案】A
【解答】解： ，
解不等式①得：x≥3，
∴不等式组的解集为3≤x＜2a﹣1，
∵不等式组的整数解共有四个，
∴6＜2a﹣1≤7，
解得：3.5＜a≤4．
故选：A．
3．（2023秋•拱墅区校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5个苹果，则还剩12个
苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小
朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ）
A．8（x﹣1）＜x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x
C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜x+12＜8
【答案】C
【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，
由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
故选：C．
4．（2023秋•南海区校级月考）如图，学校要在领奖台上铺红地毯，地毯每平米40元，至少花多少钱才
能铺满整个领奖台（ ）
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A．1200元 B．1320元 C．1440元 D．1560元
【答案】C
【解答】解：地毯在水平面上的面积为3×8＝24（m2），
地毯在竖直面上的面积为3×2＝6（m2），
所以，地毯的总面积为：2×6+24＝36（m2）．
铺满整个领奖台需要花：36×40＝1440（元）．
故选：C．
5．（2023春•那曲市期末）若关于x的一元一次不等式组 有解，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3 B．k＜3 C．k＜2 D．k≤2
【答案】B
【解答】解： ，
解①得x＜2，
解②得x＞k﹣1，
因为关于x的一元一次不等式组 有解，
所以k﹣1＜2，
解得k＜3．
故选：B．
6．（2023•凉州区校级开学）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了
答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）折．
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】B
【解答】解：设该自行车能打x折，
由题意得 ，
解得：x≥7，即最多可打7折．
故选：B．
7．（2023春•蜀山区校级月考）若关于x，y的方程组 的解满足x+y＜3，则m的所有非负整
数之和为（ ）
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A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解答】解： ，
①+②得：得6x+6y＝6m﹣6，
即x+y＝m﹣1，
∵x+y＜3，
∴m﹣1＜3，
∴m＜4，
则满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2，3，
它们的和为：0+1+2+3＝6
故选：D．
8．（2022 秋•海淀区校级期末）已知关于 x 的不等式 ax+b＞0 的解集是 x＜1，则关于 x 的不等式
的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＜﹣1或x＞5 C．x＜1或x＞5 D．x＞5
【答案】B
【解答】解：∵ax+b＞0的解集是x＜1，
∴a＜0，且﹣ ＝1，
∴ ＝﹣1，
∴不等式 ＞0等价于 或 ，
解得：x＞5或x＜﹣1，
故选：B．
9．（2023春•黄石期末）若不等式组 无解，则m应满足 m ≥ 7 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵不等式组 无解，
∴m≥7．
故答案为m≥7．
10．（2023 秋•濮阳期中）已知关于 x、y 的方程组 的解是正数，则 a 的取值范围是
．
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【答案】 ．
【解答】解：解方程组 ，
得： ，
∵x、y是正数，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
11．（2023秋•滨江区校级期中）定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.6]＝0，[1.3]＝1，[﹣1.2]＝
﹣2，[﹣3.5]＝﹣4．若[﹣2.5]•[2x﹣1]＝﹣6，则x的取值范围是 ≤ x ＜ 2 ．
【答案】 ≤x＜2．
【解答】解：[﹣2.5]•[2x﹣1]＝﹣6，
﹣3[2x﹣1]＝﹣6，
∴[2x﹣1]＝2，
则2≤2x﹣1＜3，
解得 ≤x＜2，
故答案为： ≤x＜2．
12．（2023秋•南岗区期中）对于三个互不相等的数a，b，c，我们规定用avg{a，b，c}表示这三个数的平
均数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如 ，max{2，3，﹣1}＝3，
如果avg{3，2x+1，4x﹣1}＝max{1，3x﹣1，5x﹣3}，那么，x＝ 0 或 ．
【答案】0或 ．
【解答】解：根据规定：
avg{3，2x+1，4x﹣1}
＝
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＝
＝2x+1，
∵x的求值范围不知，
∴max{1，3x﹣1，5x﹣3}＝1或3x﹣1或5x﹣3，
当max{1，3x﹣1，5x﹣3}＝1时，
2x+1＝1，
2x＝0，
x＝0，
3x﹣1＝﹣1，5x﹣3＝﹣3，
∵1＞﹣1＞﹣3，
∴1＞5x﹣3＞3x﹣1，成立；
当max{1，3x﹣1，5x﹣3}＝3x﹣1时，
2x+1＝3x﹣1，
﹣x＝﹣2，
x＝2，
3x﹣1＝5，5x﹣3＝7，
∵7＞5＞1，
∴3x﹣1不是最大数，故舍去；
当max{1，3x﹣1，5x﹣3}＝5x﹣3时，
2x+1＝5x﹣3，
﹣3x＝﹣4，
，
3x﹣1＝3，5x﹣3＝ ，
∵ ，
∴5x﹣3＞3x﹣1＞1，成立，
综上可知x＝0或 ，
故答案为：0或 ．
13．（2022春•科左中旗期末）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A
种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数
量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？
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（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货
方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设我校购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，由题意，得
，
∴解方程组得：
答：购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元．
（2）设我校购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，由题意，得
则 ，
解得 ，
解得：8≤y≤10
∵y为正整数
∴y＝8，9，10
答：共有3种进货方案；
（3）设总利润为W元，由题意，得
W＝20x+30y＝20（80﹣2y）+30y，
＝﹣10y+1600（20≤y≤25）
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝8时，W有最大值
W最大 ＝﹣10×8+1600＝1520（元）
答：当购进A种纪念品64件，B种纪念品8件时，可获最大利润，最大利润是1520元．
14.（2021春•沂源县期末）某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产
品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置
或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的
G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套 GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答
此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行 G型装置的
加工，且每人每天只能加工4个G型装置．
1．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
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2．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务？
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：设x人加工G型装置，y人加工H型装置，由题意可得：
解得： ，
6×32÷4＝48（套），
答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品．
（2）由题意可知：3（6x+4m）＝3（80﹣x）×4，
解得： ．
×4＝240（个），
6x+4m≥240
6× +4m≥240．
解得：m≥30．
答：至少需要补充30名新工人才能在规定期内完成总任务．
1．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣ m＞﹣ n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【答案】D
【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、﹣ m n，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
2．（2023•沈阳）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】B
【解答】解：不等式x≥1的解集在数轴上表示为：
故选：B．
3．（2023•阜新）不等式x+8＜4x﹣1的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣
【答案】B
【解答】解：移项得，x﹣4x＜﹣1﹣8，
合并同类项得，﹣3x＜﹣9，
x的系数化为1得，x＞3．
故选：B．
4．（2023•丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小
明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【答案】A
【解答】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
5．（2023•鄂州）已知不等式组 的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2023
【答案】B
【解答】解：由x﹣a＞2，得：x＞a+2，
由x+1＜b，得：x＜b﹣1，
∵解集为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，b﹣1＝1，
解得a＝﹣3，b＝2，
则（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
6．（2023•遂宁）若关于x的不等式组 的解集为x＞3，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
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【答案】D
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞a，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴a≤3．
故选：D．
7．（2023•日照）若点M（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围是 ﹣ 3 ＜ m ＜ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点M（m+3，m﹣1）在第四象限，
∴ ，
解不等式①得：m＞﹣3，
解不等式②得：m＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜m＜1，
故答案为：﹣3＜m＜1．
8．（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最
多可打 8. 8 折．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这种商品可以按x折销售，
则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4，
所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：该商品最多可以打8.8折，
故答案为：8.8．
9．（2023•大庆）若关于x的不等式组 有三个整数解，则实数a的取值范围为 ﹣ 3 ≤ a
＜﹣ 2 ．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．
【解答】解：解不等式3（x﹣1）＞x﹣6，得：x＞﹣1.5，
解不等式8﹣2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1，0、1，
则1≤a+4＜2，
解得﹣3≤a＜﹣2．
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故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
10．（2023•北京）解不等式组： ．
【答案】1＜x＜2．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜2，
∴原不等式组的解集为：1＜x＜2．
11．（2023•哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所
用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，
3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套
B款服装？
【答案】（1）每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）该服装厂最少需要生产60套B款服装．
【解答】解：（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，
根据题意得：1.8（100﹣m）+1.6m≤168，
解得：m≥60，
∴m的最小值为60．
答：该服装厂最少需要生产60套B款服装．
12．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，
决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买 2个篮球和3个足球共需费用
510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪
几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
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（2）方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采
购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴ ，
解得30≤x≤33 ，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
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