文档内容
微专题 08 一次不等式(组)及不等式的应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 不等式的基本性质
(1)定义：用不等号(如：“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”)连接而成的数学式
子叫做不等式
(2)基本性质1：若a＞b，b＞c，则①
(3)基本性质2：若a＞b，则a±c＞b±c；若a＜b，则a±c ② b±c
a b
(4)基本性质3：若a＜b，c＞0，则ac ③ bc， ④ ；若a＜b，c＜0，
c c
a b
则ac ⑤ bc， ⑥
c c
2. 一元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
(2)解集的表示
解集 在数轴上的表示 总结
x＜a
在数轴上表示解集时，要注意：“＞”或“＜”是
x＞a
空心圆圈，“≥”或“≤”是实心圆点；小于向
x≤a
左，大于向右
x≥a
3. 一元一次不等式组的解法及解集表示(6年6考)
类型(a＞b) 在数轴上的表示 口诀 解集
第 1 页 共 10 页{x≥a
同大取大 x≥a
x＞b
{x＜a
同小取小 x≤b
x≤b
{x≤a
大小、小大取中间 b≤x≤a
x≥b
{x＞a
大大、小小取不了 无解
x＜b
4. 一元一次不等式的实际应用(6年3考)
(1)列不等式解应用题的基本步骤：审题→设未知数→列不等式→解不等式→检
验→作答
(2)解决不等式的实际应用问题时，常见的关键词与不等号的对应表：
常见关键词 不等号
大于，多于，超过，高于 ＞
小于，少于，不足，低于 ＜
至少，不低于，不小于，不少于 ⑦
至多，不高于，不大于，不超过 ⑧
练考点
1. 若x＞y，则下列结论中不一定成立的是( )
A. x－1＞y－1
B. x＋2＞y＋2
C. x2＞y2
x y
D. － ＜－
3 3
x－1
2. 解不等式 ＜x－2.
3
{ x－1<2
3. 解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来.
－3x－1≤2
第3题图
第 2 页 共 10 页4. 品茗茶园要划分一片长方形土地种植龙井茶，若要给这块地围一圈栅栏，且
栅栏的总长度不超过10 km，已知此长方形土地宽比长少1 km，设宽为x km，
则可列不等式为 .
5. 小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件.已知每本笔记本3元，每支钢笔
8元.则小真最多能买 支钢笔.
高频考点
考点1 不等式的基本性质
例1 (2024广州)若a＜b，则( )
A. a＋3＞b＋3 B. a－2＞b－2 C. －a＜－b D. 2a＜2b
变式1 (2024佛山模拟)若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，则a的取值范围是( )
A. a＞3 B. a＜3 C. a≥3 D. a≤3
考点2 一元一次不等式(组)的解法及解集表示(6年6考)
例2 (2024河南)下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无解的是( )
A. x＞2 B. x＜0 C. x＜－2 D. x＞－3
{ 2x－1≥1
变式2 (2024浙江)不等式组 的解集在数轴上表示为( )
3(2－x)＞－6
考点3 一元一次不等式的实际应用(6年5考)
例3 某商店销售笔记本和笔袋两种文具.
(1)若商店计划购进两种文具共10个，若要求购买的笔记本的数量至少是笔袋的
4倍，则购买笔记本的数量至少为多少本？
(2) 张老师准备用200元购买笔记本、笔袋共30个，并将这些文具奖给期末进步
的学生.已知笔记本每本5元，笔袋每个8元，则张老师最多能购买多少个笔袋？
第 3 页 共 10 页(3)笔记本的进价为2元，出售时标价为5元，后来由于该文具积压，商店准备
打折出售，但要保证利润率不低于5％，则至多可打几折？
真题及变式
命题点1 一元一次不等式(组)的解法及解集表示(6年6考)
{x－2>1
1. (2023广东8题3分)一元一次不等式组 的解集为( )
x<4
A. －1＜x＜4 B. x＜4 C. x＜3 D. 3＜x＜4
{ 2－3x≥－1
2. (2020广东8题3分)不等式组 的解集为( )
x－1≥－2(x+2)
A. 无解 B. x≤1 C. x≥－1 D. －1≤x≤1
3. (2024广东12题3分)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则
这个不等式组的解集是 .
第3题图
{2x－4>3(x－2)
4. (2021广东18题6分)解不等式组 x－7 .
4x＞
2
命题点2 一元一次不等式的实际应用(6年3考)
5. (2023广东14题3分·北师八下随堂练习改编)某商品进价4元，标价5元出售，
商家准备打折销售，但其利润率不能少于10％，则最多可打 折.
5.1 变设问——将最多可打折变为最多可降价
第 4 页 共 10 页某商品的进价为4元，标价6元出售.商店准备降价销售，但其利润率不能少于
20％，则最多可降价 元.
6. (2019广东21题7分)某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球
共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
(1)若购买这两类球的总金额为4 600元，求篮球、足球各买了多少个？
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
新考法
7. [真实问题情境](2024江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放
数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本？
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
第7题图
8. [注重过程性](人教七下阅读与思考改编)阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明
某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2.
证明：∵x＞y且x，y均为正数，
∴x2＞ ，xy＞ ，(不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方
向不变)
∴x2＞y2.(不等式的传递性)
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整；
第 5 页 共 10 页a＋b
(2)尝试证明：若a＜b，则 ＜b.
2
第 6 页 共 10 页考点精讲
①a＞c ②＜ ③＜ ④＜ ⑤＞ ⑥＞ ⑦≥ ⑧≤
教材改编题练考点
1. C
2. 解：去分母，得x－1＜3(x－2)，
去括号，得x－1＜3x－6，
移项，合并同类项，得－2x＜－5，
5
系数化为1，得x＞ .
2
3. 解：解不等式x－1＜2，得x＜3，
解不等式－3x－1≤2，得x≥－1，
∴该不等式组的解集为－1≤x＜3，
将解集在数轴上表示如解图.
第3题解图
4. 2x＋2(x＋1)≤10 【解析】∵此长方形土地宽比长少1 km，∴长为(x＋1)
km，又∵栅栏的长度不超过10 km，∴可列不等式为2x＋2(x＋1)≤10.
5. 8 【解析】设小真购买x支钢笔，则购买(20－x)本笔记本，根据题意，得8x
＋3(20－x)≤100，解得x≤8，∴x的最大值为8，即小真最多能买8支钢笔.
高频考点
例1 D 【解析】由题知，a＜b，两边同时加上3，得a＋3＜b＋3，则A不符
合题意；两边同时减去2，得a－2＜b－2，则B选项不符合题意；两边同时乘
－1，得－a＞－b，则C选项不符合题意；两边同时乘2，得2a＜2b，则D选项
符合题意.
变式1 D 【解析】∵若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，∴a－3≤0，∴a≤3.
第 7 页 共 10 页例2 A 【解析】∵－x＞1，∴x＜－1，∴选项中的与x＜－1组成的不等式组
无解的是x＞2.
变式2 A 【解析】解不等式2x－1≥1，得x≥1，解不等式3(2－x)＞－6，得x
＜4，∴不等式组的解集为1≤x＜4，解集在数轴上表示如选项A所示.
例3 解：(1)设购买笔记本的数量为x本，则购买笔袋的数量为(10－x)个，
根据题意可得x≥4(10－x)，解得x≥8，
∴购买笔记本的数量至少为8本；
(2)设购买笔袋的数量为x个，则购买笔记本的数量为(30－x)本，
50
根据题意可得8x＋5(30－x)≤200，解得x≤ ，
3
∵x为正整数，
∴张老师最多能购买笔袋16个；
(3)设打x折出售，
x
根据题意可得5× －2≥2×5％，解得x≥4.2，
10
∴至多可打4.2折.
真题及变式
{x－2>1①
1. D 【解析】令 ，解不等式①得x＞3，∴该不等式组的解集为3＜x
x<4②
＜4.
2. D 【解析】解不等式2－3x≥－1得x≤1，解不等式x－1≥－2(x＋2)得x≥－1，
∴不等式组的解集是－1≤x≤1.
3. x≥3
{2x－4>3(x－2)①
4. 解：令 x－7 ，
4x＞ ②
2
解不等式①，得x＜2， (2分)
解不等式②，得x＞－1， (4分)
∴原不等式组的解集为－1＜x＜2. (6分)
第 8 页 共 10 页5. 8.8 【解析】设这种商品打x折销售，根据题意可列不等式5×0.1x－
4≥4×10％，解得x≥8.8，∴该商品最多可以打8.8折.
6－x－4
变式5.1 1.2 【解析】设该商品可降价x元，根据题意，得
4
×100％≥20％，解得x≤1.2，∴最多可降价1.2元.
6. 解：(1)设买了x个篮球，y个足球， (1分)
{ x＋y=60
由题意得 ，(2分)
70x+80 y＝4600
{x=20
解得 . (3分)
y=40
答：篮球买了20个，足球买了40个； (4分)
(2)设购买了a个篮球，则购买了(60－a)个足球，
由题意得70a≤80×(60－a)，(5分)
解得a≤32， (6分)
答：最多可购买32个篮球. (7分)
7. 解：(1)设书架上数学书有x本，语文书有y本，
{ x＋y=90
由题意，得 ，
0.8x+1.2y=84
{x=60
解得 ，
y=30
答：书架上数学书有60本，语文书有30本；
一题多解法
设书架上数学书有x本，则语文书有(90－x)本，
由题意，得0.8x＋1.2(90－x)＝84，
解得x＝60，
∴90－x＝30(本).
答：书架上数学书有60本，语文书有30本；
(2)设数学书还可以摆m本，
由题意，得10×1.2＋0.8m≤84，
解得m≤90.
第 9 页 共 10 页答：数学书最多还可以摆90本.
8. (1)解：补全证明过程如下：
证明：∵x＞y且x，y均为正数，
∴x2＞xy，xy＞y2，(不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变)
∴x2＞y2；(不等式的传递性)
(2)证明：∵a＜b，
a＋b
∴a＋b＜b＋b，∴ ＜b.
2
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