第03讲不等式及性质（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 03 讲 不等式及性质 【基础知识网络图】 绝对值不等式 扩 充 不 等 重要不等式 式 柯西不等式 基本不等式 基 本 不 等 式 最大（小）值问题 基本不等式的应用 【基础知识全通关】 知识点01：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果 是正数，那么 （当且仅当 时取等号“=”）.【要点诠释】 和 两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 时取等号”。 （ 3 ） 可 以 变 形 为 ： ， 可 以 变 形 为 ： . 3.如图， 是圆的直径，点 是 上的一点， , ，过点 作 交圆于点D，连接 、 . 易证 ，那么 ，即 . a+b a+b ≥√ab 2 2 这个圆的半径为 ，它大于或等于 ，即 ，其中当且仅当点 与圆心 重合，即 时，等号成立. 【要点诠释】 a+b 2 √ab 1.在数学中，我们称 为 的算术平均数，称 为 的几何平均数. 因此基本 不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a+b 2 √ab 2.如果把 看作是正数 的等差中项， 看作是正数 的等比中项，那么基本 不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点02：用基本不等式 求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 知识点03：几个常见的不等式 a 2 +b 2 ≥2ab(a,b∈R) 1） ，当且仅当a=b时取“=”号。 a+b ≥√ab(a,b∈R+) 2 2） ，当且仅当a=b 时取“=”号。 a b 1 + ≥2 (a⋅b>0) a+ ≥2(a>0) b a a 3） ；特别地： ； √a2 +b2 a+b 2ab ≥ ≥√ab≥ 4） 2 2 a+b (a+b) (1 + 1) ≥4(a,b∈R+) a b 5） ； a 3 +b 3 +c 3 ≥3abc(a,b,c∈R+) 6） ； a+b+c≥3√ 3 abc(a,b,c∈R+) 7） 知识点04：绝对值不等式的性质 1. ； 2. ； 知识点05：柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式： ⃗α,⃗β ⃗β 设 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量或存在实数 k，使⃗α=k⃗β 时，等号成立。 （2）代数形式： (a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd) 2 ①若a、b、c、d都是实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等 号成立； ②若a、b、c、d都是正实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等 号成立； ③若a、b、c、d都是实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等号 成立； 【要点诠释】 柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式： x ,x ,y ,y ∈R √x2 +y2 + √x2 +y2 ≥ √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 设 1 2 1 2 ，则 1 1 2 2 1 2 1 2 。 2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）： a ,a ,a ,b ,b ,b (a2 +a2 +a2 )(b2 +b2 +b2 )≥(a b +a b +a b ) 2 若 1 2 3 1 2 3都是实数，则 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 b =0,(i=1,2,3) a=kb(i=1,2,3) ，当且仅当 i 或存在实数k，使得 i i 时，等号成立。 3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： a ,a ,a ,⋯,a ,b ,b ,b ,⋯,b , 若 1 2 3 n 1 2 3 n 都是实数，则 (a2 +a2 +⋯+a2 )(b2 +b2 +⋯+b2 )≥(a b +a b +⋯+a b ) 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n ， b =0,(i=1,2,⋯,n) a=kb(i=1,2,⋯,n) 当且仅当 i 或存在实数k，使得 i i 时，等号成立。 【拓展】 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 (a∈R，b>0) 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔ a ＋ c> b ＋ c ⇔ ⇒ac>bc 可乘性 注意c的符号 ⇒ac b ＋ d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ a n > b n(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 微思考 1．两个正数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？ 提示 如果a>b>0，则>. 2．非零实数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？ 提示 如果ab>0且a>b，则<. 如果a>0>b，则>. 【考点研习一点通】 考点01：基本不等式 求最值问题 1．设 ，则 的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 当且仅当 即 时取等号. 【答案】D【变式1】已知 , 且 ，求 的最小值及相应的 值. 【解析】∵ , ∴ , 又 , ∴ 当且仅当 即 时取等号 ∴ 当 时， 取最小值 . 【变式2】求下列函数的最大（或最小）值. （1） ； 5 y=2x2 + x （2） (2) ， ； (3) ， 1 y=x+ √2x−1 (4) ， ； y=2x√100−x2 (5) ， 【解析】（1）∵ ，∴ ，∴ 当且仅当 ，即 时取等号 ∴ 时， (2) ∵ ，∴2x2 = 5 x= √ 3 5 y = 3 √ 3 100 2x 4 min 2 当且仅当 即 时， . (3) ∵ ，∴ ∴ 5 250 x= y = 6 max 27 当且仅当 即 时， . 1 1 1 1 1 1 x> y=x+ = [2x−1+ + ]+ 2 √2x−1 2 √2x−1 √2x−1 2 (4) ∵ ， ∴ ∴ 3√ 1 1 1 3 ¿ (2x−1) ⋅ + =2 2 √2x−1 √2x−1 2 1 2x−1= √2x−1 当且仅当 即 时， . (5) ∵ ，∴ ∴ x=5√2 当且仅当 即 时， 【变式3】已知 且 ，求 的最小值. 【解析】方法一： 且 ∴ （ 当 且 仅 当 即 时等号成立）. ∴ 的最小值是16. 方法二：由 ，得 ， ∵ ，∴∴ 当且仅当 即 时取等号，此时 ∴ 的最小值是16. 方法三：由 得 ，∴ ∴ 当且仅当 时取等号， ∴ 的最小值是16. 考点02：利用基本不等式证明不等式 2.已知 ， ， ，求证： ， ， 中至少有 一个小于等于 . 证明：假设 则有 〔＊〕 又∵ 与〔＊〕矛盾 【变式1】已知 、 、 都是正数，求证： 【解析】 ∵ 、 、 都是正数 ∴ （当且仅当 时，取等号） （当且仅当 时，取等号）（当且仅当 时，取等号） ∴ （当且仅当 时，取等号） 即 . 【变式2】已知 、 都是正数，求证： 。 【解析】∵ 、 都是正数 ，∴ ， ， ∴ （当且仅当 即 时,等号成立） 故 . 考点03：利用绝对值不等式求最值 3. 不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ； 【解析】设 ，则 对 恒成立 ， ∵ ， ∴ 的最小值为 ， ∴实数 的取值范围是 . 【变式1】求 的最值 【解析】由 得： ， ∴ ∴ 的最小值为 ，最大值为6. 【变式 2】不等式 对 恒成立，则常数 的取值范围是 ； 【解析】设 ，则 对 恒成立 ， ∵ ，∴ 的最大值为 ， ∴实数 的取值范围是 . 考点04：利用柯西不等式求最值 y=√2x+1+√3 y+4+√5z+6 4. 设 ，求函数 的最大值． 【解析】∵ ∴根据柯西不等式 ， √2x+1+√3 y+4+√5z+6≤2√30 故 . 37 28 22 x= , y= ,z= 6 9 15 当且仅当 ，即 时等号成立， y =2√30 此时， max y=5√x−1+√10−2x 【变式1】求函数 的最大值． 【解析】函数的定义域为[1，5]，且y>0， y=5×√x−1+√2×√5−x ¿ √52 +（√2） 2 × √ （√x−1） 2 +（√5−x） 2 ¿6√3 5√x−1=√10−2x 当且仅当 时，等号成立， 35 x= 27 6√3 即 时函数取最大值，最大值为 . 【考点易错】 易错题型01 比较两个数(式)的大小 1 (1)(2022·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与 N的大小关系是( )A．M>N B．M≥N C．M0，所以M>N. (2)若a＝，b＝，c＝，则( ) A．ae时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 因为e<3<4<5， 所以f(3)>f(4)>f(5)， 即c0，y>0，M＝，N＝，则M和N的大小关系为( ) A．M>N B．M0，y>0，所以M－N＝－＝＝>0，即M>N. (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． 【答案】 M>N 【解析】 方法一 M－N＝－ ＝ ＝ ＝>0. ∴M>N. 方法二 令f(x)＝＝ ＝＋， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 020)>f(2 021)，即M>N. 易错题型02 不等式的基本性质 2 (1)(2022·新乡模拟)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( ) A．若a0，bc－ad>0，则－<0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 【答案】 C 【解析】 若00，bc－ad>0，则>0，即－ >0，故选项 B 错误；若 a>b，c>d，则－d>－c，所以 a－d>b－c，故选项 C 正确；若 c>d>0，则>>0，若a>b>0，则>，故选项D错误． (2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是( ) A.< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 【答案】 AC 【解析】 由<<0，可知b0，所以<0，>0.故有<，即A正确； B中，因为b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误； C中，因为b－>0，所以a－>b－，故C正确； D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义 域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误． 思维升华 判断不等式的常用方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意 前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对 数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 【变式】(1)若2m>2n，则下列结论一定成立的是( ) A.> B．m|m|>n|n| C．ln(m－n)>0 D．πm-n<1 【答案】 B 【解析】 ∵2m>2n， 可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立． (2)(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( ) A． B.> C.> D．ac3； 因为－＝>0，所以>； 当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立． 易错题型03 不等式性质的综合应用 3 (1)已知－1b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是( ) A．－3<<－1 B．－1<<－ C．－2<<－1 D．－1<<－ 【答案】 A 【解析】 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，b＝－2a－c，因为a>b>c， 所以－2a－c－c，解得>－3， 将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c， 即a<－c，得<－1，所以－3<<－1. (2)已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________． 【答案】 【解析】 ∵0<β<，∴－<－β<0， 又0<α<，∴－<α－β<， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<. 【巩固提升】 1、（2022届山东省泰安市高三上期末）已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 则 D．若 则 【答案】BC 【解析】 若 ， ，则 ，故A错； 若 ， ，则 ，化简得 ，故B对； 若 ，则 ，又 ，则 ，故C对； 若 ， ， ， ，则 ， ， ，故D错； 故选：BC． 2、若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中 正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】 C 【解析】方法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D. 方法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即 ①正确； ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； ③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0， 所以a－＞b－，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在 定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 3．已知a∈(0,1)，a∈(0,1)，记M＝aa，N＝a＋a－1，则M与N的大小关系是( ) 1 2 1 2 1 2 A．MN C．M＝N D．不确定 【答案】 B 【解析】 M－N＝aa－(a＋a－1) 1 2 1 2 ＝aa－a－a＋1＝(a－1)(a－1)， 1 2 1 2 1 2 又a∈(0,1)，a∈(0,1)， 1 2 ∴a－1<0，a－1<0. 1 2 ∴(a－1)(a－1)>0，即M－N>0，∴M>N. 1 2 4、（2022·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ） A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4 b bm  C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则a am 【答案】AD 【解析】 ab0 a2 b2 对于A，若 ，根据不等式的性质则 ，故A正确； a 2 b2 ab44 对于B，当 ， 时， ，显然B错误； c=0 ac2 bc2 对于C，当 时， ，故C错误； b bm bamabm bam    对于D，a am aam aam， bam 0 因为 ， ，所以 ， ，所以aam a b0 m0 ba0 am0 b bm b bm  0  所以a am ，即a am 成立，故D正确． 故选AD． 方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断 需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘 以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数， 当两边同时取倒数后不等号方向不变等. 5．(多选)已知cac B．c(b－a)>0 C．cb20且c<0，b的正负不确定， 由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立； ∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立； 当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立； 又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立． 6．(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已 知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋fc>f B．b>e>f C．c>e>f D．b>e>c 【答案】 ABD 【解析】 因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f， 所以e－c>c－e，所以e>c， 又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋ff－c，所以c>f， 所以e>c>f，所以C错误； 又因为a＋ee>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以ABD正确. 7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设 ， ， 则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】 当 ，满足条件．但 不成立，故A错误，当 时， ，故B错误， ， ，则 ，故C正确， ， ，故D正确. 故选：CD． 8、（2022江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）. 1 1  A．若ab，则b a a b  B．若ab0，cd 0，则d c c c  C．若ab0，且c0，则a2 b2 1 1  D．若ab，且a b ，则ab0 【答案】BCD 【解析】 1 1  选项A：当取a1，b1时，b a ，∴本命题是假命题. 1 1   0 选项B：已知a b0，cd 0，所以 d c ， a b a b    ∴ d c ，故d c ，∴本命题是真命题. 1 1 ab0a2 b2 00  选项C： a2 b2 ，c c  ∵c0，∴a2 b2 ，∴本命题是真命题. 1 1 1 1 ba    0 0 选项D：a b a b ab ， ab ba0 ab0 ∵ ，∴ ，∴ ，∴本命题是真命题. 故选：BCD 9、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 【答案】[5，10] 【解析】方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋ n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 故5≤f(－2)≤10. 10、设 那么 的取值范围是____________． 【答案】 【解析】：由题设得 ∴ ，∴ 11、(2022·天津模拟)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( ) A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π C．－<2α－β< D．0<2α－β<π 【答案】C 【解析】：∵－<α<，∴－π<2α<π. ∵－<β<，∴－<－β<， ∴－<2α－β<. 又α－β<0，α<，∴2α－β<. 故－<2α－β<.方法总结：求代数式的取值范围 一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围 12．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”) 【答案】 > 【解析】 M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0， 故M>N. 13．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是________(填序号)． ①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2. 【答案】 ②③ 【解析】 当a>0，b<0时，>0>，故①不正确； 由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确； 当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确． 14．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分 别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡 蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为 更优惠)________．(在横线上填甲或乙即可) 【答案】 乙 【解析】 由题意得甲购买产品的平均单价为＝，乙购买产品的平均单价为＝，由条件得 a≠b. ∵－＝>0， ∴>， 即乙的购买方式更优惠． 15．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a，a，a，a}满足a∈(0,1)， 1 2 3 4 1 a∈(1,2)，a∈(2,3)，则a 的取值范围是________． 2 3 4 【答案】 (2，9) 【解析】 设等比数列{a，a，a，a}的公比为q， 1 2 3 4 由a∈(0,1)，a∈(1,2)，a∈(2,3)可知， 1 2 3 02，即q>或q<－， ②÷①可得q>1， 所以0，试比较＋与＋的大小． 【解析】解 ＋－＝＋ ＝(a－b)·＝. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0， ∴≥0.∴＋≥＋. 17．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤； (2)已知c>a>b>0，求证：>. 【解析】证明 (1)∵bc≥ad，>0，∴≥， ∴＋1≥＋1，∴≤. (2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0. ∵a>b>0，∴<， 又∵c>0，∴<，∴<， 又c－a>0，c－b>0，∴>. 18．(多选)若0c>1，则( ) A.a>1 B.> C．ca－1c>1，∴>1.∵00＝1，故正确． 对于B，若>，则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0c>1矛盾，故错误． 对于C，∵0c>1，∴ca－1>ba－1，故错误． 对于D，∵0c>1，∴logax>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6. ②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时 z＝3，y＝4. ∴该小组人数的最小值为12. 20．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系 为( ) A．a0，∴b>a，∴a1×6＋3×5， 1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5. (1)若两组数a，a 与b，b，且a≤a，b≤b，则ab＋ab≥ab＋ab 是否成立，试证 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 明． (2)若两组数a，a，a 与b，b，b 且a≤a≤a，b≤b≤b，对ab＋ab＋ab，ab＋ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 ab＋ab，ab＋ab＋ab 进行大小顺序(不需要说明理由)． 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3 【解析】解 (1)成立，证明如下： ∵ab＋ab－(ab＋ab)＝a(b－b)＋a(b－b)＝(a－a)(b－b)， 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 又a≤a，b≤b，∴(a－a)(b－b)≥0，即ab＋ab≥ab＋ab. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 (2)ab＋ab＋ab≤ab＋ab＋ab≤ab＋ab＋ab. 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3 22、设a>b>0，试比较与的大小． 【解析】解法一(作差法)： －＝ ＝ ． 因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0． 所以 >0，所以>． 解法二(作商法)： 因为a>b>0，所以>0，>0． 所以＝ ＝＝1＋>1． 所以>． 23、若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( ) A．pq D．p≥q 【答案】： B 【解析】(作差法)p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p