第03讲不等式及性质（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 03 讲 不等式及性质
【基础知识网络图】
绝对值不等式
扩 充
不 等 重要不等式
式
柯西不等式
基本不等式
基 本
不 等
式
最大（小）值问题
基本不等式的应用
【基础知识全通关】
知识点01：两个重要不等式及几何意义
1．重要不等式：
如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”）.
2．基本不等式：
如果 是正数，那么 （当且仅当 时取等号“=”）.【要点诠释】
和 两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 时取等号”。
（ 3 ） 可 以 变 形 为 ： ， 可 以 变 形 为 ：
.
3.如图， 是圆的直径，点 是 上的一点， , ，过点 作
交圆于点D，连接 、 .
易证 ，那么 ，即 .
a+b a+b
≥√ab
2 2
这个圆的半径为 ，它大于或等于 ，即 ，其中当且仅当点 与圆心
重合，即 时，等号成立.
【要点诠释】
a+b
2
√ab
1.在数学中，我们称 为 的算术平均数，称 为 的几何平均数. 因此基本
不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
a+b
2
√ab
2.如果把 看作是正数 的等差中项， 看作是正数 的等比中项，那么基本
不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点02：用基本不等式 求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
知识点03：几个常见的不等式
a 2 +b 2 ≥2ab(a,b∈R)
1） ，当且仅当a=b时取“=”号。
a+b
≥√ab(a,b∈R+)
2
2） ，当且仅当a=b 时取“=”号。
a b 1
+ ≥2 (a⋅b>0) a+ ≥2(a>0)
b a a
3） ；特别地： ；
√a2 +b2 a+b 2ab
≥ ≥√ab≥
4）
2 2 a+b
(a+b)
(1
+
1)
≥4(a,b∈R+)
a b
5） ；
a 3 +b 3 +c 3 ≥3abc(a,b,c∈R+)
6） ；
a+b+c≥3√ 3 abc(a,b,c∈R+)
7）
知识点04：绝对值不等式的性质
1. ；
2. ；
知识点05：柯西不等式
1. 二维形式的柯西不等式：
（1）向量形式：
⃗α,⃗β ⃗β
设 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量或存在实数 k，使⃗α=k⃗β
时，等号成立。
（2）代数形式：
(a2 +b2 )(c2 +d2 )≥(ac+bd) 2
①若a、b、c、d都是实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等
号成立；
②若a、b、c、d都是正实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等
号成立；
③若a、b、c、d都是实数，则 ，当且仅当ac=bd时，等号
成立；
【要点诠释】
柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；
（3）三角形式：
x ,x ,y ,y ∈R √x2 +y2 + √x2 +y2 ≥ √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2
设 1 2 1 2 ，则 1 1 2 2 1 2 1 2 。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：
a ,a ,a ,b ,b ,b (a2 +a2 +a2 )(b2 +b2 +b2 )≥(a b +a b +a b ) 2
若 1 2 3 1 2 3都是实数，则 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
b =0,(i=1,2,3) a=kb(i=1,2,3)
，当且仅当 i 或存在实数k，使得 i i 时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：
a ,a ,a ,⋯,a ,b ,b ,b ,⋯,b ,
若 1 2 3 n 1 2 3 n 都是实数，则
(a2 +a2 +⋯+a2 )(b2 +b2 +⋯+b2 )≥(a b +a b +⋯+a b ) 2
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n ，
b =0,(i=1,2,⋯,n) a=kb(i=1,2,⋯,n)
当且仅当 i 或存在实数k，使得 i i 时，等号成立。
【拓展】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒对称性 a>b⇔b<a ⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒
可加性 a>b⇔ a ＋ c> b ＋ c ⇔
⇒ac>bc
可乘性 注意c的符号
⇒ac<bc
同向可加性 ⇒ a ＋ c> b ＋ d ⇒
同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒
可乘方性 a>b>0⇒ a n > b n(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数
微思考
1．两个正数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示 如果a>b>0，则>.
2．非零实数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示 如果ab>0且a>b，则<.
如果a>0>b，则>.
【考点研习一点通】
考点01：基本不等式 求最值问题
1．设 ，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
当且仅当 即 时取等号.
【答案】D【变式1】已知 , 且 ，求 的最小值及相应的 值.
【解析】∵ , ∴ , 又 ,
∴
当且仅当 即 时取等号
∴ 当 时， 取最小值 .
【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.
（1） ；
5
y=2x2
+
x
（2） (2) ， ；
(3) ，
1
y=x+
√2x−1
(4) ， ；
y=2x√100−x2
(5) ，
【解析】（1）∵ ，∴ ，∴
当且仅当 ，即 时取等号
∴ 时，
(2) ∵ ，∴2x2 = 5 x= √ 3 5 y = 3 √ 3 100
2x 4 min 2
当且仅当 即 时， .
(3) ∵ ，∴
∴
5 250
x= y =
6 max 27
当且仅当 即 时， .
1 1 1 1 1 1
x> y=x+ = [2x−1+ + ]+
2 √2x−1 2 √2x−1 √2x−1 2
(4) ∵ ， ∴ ∴
3√ 1 1 1
3
¿ (2x−1) ⋅ + =2
2 √2x−1 √2x−1 2
1
2x−1=
√2x−1
当且仅当 即 时， .
(5) ∵ ，∴
∴
x=5√2
当且仅当 即 时，
【变式3】已知 且 ，求 的最小值.
【解析】方法一： 且
∴ （ 当 且 仅 当 即
时等号成立）.
∴ 的最小值是16.
方法二：由 ，得 ，
∵ ，∴∴
当且仅当 即 时取等号，此时
∴ 的最小值是16.
方法三：由 得 ，∴
∴
当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值是16.
考点02：利用基本不等式证明不等式
2.已知 ， ， ，求证： ， ， 中至少有
一个小于等于 .
证明：假设 则有
〔＊〕
又∵
与〔＊〕矛盾
【变式1】已知 、 、 都是正数，求证：
【解析】
∵ 、 、 都是正数
∴ （当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）（当且仅当 时，取等号）
∴ （当且仅当 时，取等号）
即 .
【变式2】已知 、 都是正数，求证： 。
【解析】∵ 、 都是正数 ，∴ ， ，
∴ （当且仅当 即 时,等号成立）
故 .
考点03：利用绝对值不等式求最值
3. 不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ；
【解析】设 ，则 对 恒成立 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴实数 的取值范围是 .
【变式1】求 的最值
【解析】由 得： ，
∴
∴ 的最小值为 ，最大值为6.
【变式 2】不等式 对 恒成立，则常数 的取值范围是
；
【解析】设 ，则 对 恒成立 ，
∵ ，∴ 的最大值为 ，
∴实数 的取值范围是 .
考点04：利用柯西不等式求最值
y=√2x+1+√3 y+4+√5z+6
4. 设 ，求函数 的最大值．
【解析】∵
∴根据柯西不等式
，
√2x+1+√3 y+4+√5z+6≤2√30
故 .
37 28 22
x= , y= ,z=
6 9 15
当且仅当 ，即 时等号成立，
y =2√30
此时， max
y=5√x−1+√10−2x
【变式1】求函数 的最大值．
【解析】函数的定义域为[1，5]，且y>0，
y=5×√x−1+√2×√5−x
¿ √52 +（√2） 2 × √ （√x−1） 2 +（√5−x） 2
¿6√3
5√x−1=√10−2x
当且仅当 时，等号成立，
35
x=
27 6√3
即 时函数取最大值，最大值为 .
【考点易错】
易错题型01 比较两个数(式)的大小
1 (1)(2022·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与
N的大小关系是( )A．M>N B．M≥N
C．M<N D．M≤N
【答案】 A
【解析】 因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝a2＋a＋1＝2＋>0，所以M>N.
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
【答案】 B
【解析】 令函数f(x)＝，则f′(x)＝，
易知当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
因为e<3<4<5，
所以f(3)>f(4)>f(5)，
即c<b<a.
(3)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
【答案】 eπ·πe<ee·ππ
【解析】 ＝＝π－e，
又0<<1,0<π－e<1，
∴π－e<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ.
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【变式】
已知x>0，y>0，M＝，N＝，则M和N的大小关系为( )
A．M>N B．M<N
C．M＝N D．以上都有可能
【答案】 A
【解析】 因为x>0，y>0，所以M－N＝－＝＝>0，即M>N.
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
【答案】 M>N
【解析】 方法一 M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝＝
＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 020)>f(2 021)，即M>N.
易错题型02 不等式的基本性质
2 (1)(2022·新乡模拟)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )
A．若a<b，c<d，则ac<bd
B．若ab>0，bc－ad>0，则－<0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
【答案】 C
【解析】 若0<a<b,0<c<d，则ac<bd，故选项A错误；若ab>0，bc－ad>0，则>0，即－
>0，故选项 B 错误；若 a>b，c>d，则－d>－c，所以 a－d>b－c，故选项 C 正确；若
c>d>0，则>>0，若a>b>0，则>，故选项D错误．
(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是( )
A.<
B．|a|＋b>0
C．a－>b－
D．ln a2>ln b2
【答案】 AC
【解析】 由<<0，可知b<a<0.
A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即A正确；
B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；
D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义
域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意
前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对
数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
【变式】(1)若2m>2n，则下列结论一定成立的是( )
A.> B．m|m|>n|n|
C．ln(m－n)>0 D．πm-n<1
【答案】 B
【解析】 ∵2m>2n，
可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立．
(2)(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A． B.>
C.> D．ac3<bc3【答案】 ABC
【解析】 因为y＝ 在(0，＋∞)上是增函数，所以 ；
因为y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以>；
因为－＝>0，所以>；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立．
易错题型03 不等式性质的综合应用
3 (1)已知－1<x<4,2<y<3，则 x－y 的取值范围是________，3x＋2y 的取值范围是
________．
【答案】 (－4,2) (1,18)
【解析】 ∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
(2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ∵4<b<9，∴<<，
又3<a<8，∴×3<<×8，
即<<2.
【变式】 (1)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是( )
A．－3<<－1 B．－1<<－
C．－2<<－1 D．－1<<－
【答案】 A
【解析】 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－2a－c，因为a>b>c，
所以－2a－c<a，即3a>－c，解得>－3，
将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，
即a<－c，得<－1，所以－3<<－1.
(2)已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
【巩固提升】
1、（2022届山东省泰安市高三上期末）已知 均为实数，则下列命题正确的是（
）A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 则
【答案】BC
【解析】
若 ， ，则 ，故A错；
若 ， ，则 ，化简得 ，故B对；
若 ，则 ，又 ，则 ，故C对；
若 ， ， ， ，则 ， ， ，故D错；
故选：BC．
2、若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中
正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】 C
【解析】方法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝
ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即
①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在
定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
3．已知a∈(0,1)，a∈(0,1)，记M＝aa，N＝a＋a－1，则M与N的大小关系是( )
1 2 1 2 1 2
A．M<N B．M>N
C．M＝N D．不确定
【答案】 B
【解析】 M－N＝aa－(a＋a－1)
1 2 1 2
＝aa－a－a＋1＝(a－1)(a－1)，
1 2 1 2 1 2
又a∈(0,1)，a∈(0,1)，
1 2
∴a－1<0，a－1<0.
1 2
∴(a－1)(a－1)>0，即M－N>0，∴M>N.
1 2
4、（2022·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4
b bm

C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则a am
【答案】AD
【解析】
ab0 a2 b2
对于A，若 ，根据不等式的性质则 ，故A正确；
a 2 b2 ab44
对于B，当 ， 时， ，显然B错误；
c=0 ac2 bc2
对于C，当 时， ，故C错误；
b bm bamabm bam
  
对于D，a am aam aam，
bam
0
因为 ， ，所以 ， ，所以aam
a b0 m0 ba0 am0
b bm b bm
 0 
所以a am ，即a am 成立，故D正确．
故选AD．
方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断
需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘
以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，
当两边同时取倒数后不等号方向不变等.
5．(多选)已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是( )
A．ab>ac B．c(b－a)>0
C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0
【答案】 ABD
【解析】 由c<b<a且ac<0知a>0且c<0，b的正负不确定，
由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立；
∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；
当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立；
又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立．
6．(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已
知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.则下列判断正确的
有( )
A．b>c>f B．b>e>f
C．c>e>f D．b>e>c
【答案】 ABD
【解析】 因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，
所以e－c>c－e，所以e>c，
又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，
所以c－f>f－c，所以c>f，
所以e>c>f，所以C错误；
又因为a＋e<b，所以a<b，e<b，
所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以ABD正确.
7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设 ， ，
则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
当 ，满足条件．但 不成立，故A错误，当 时， ，故B错误，
， ，则 ，故C正确，
， ，故D正确.
故选：CD．
8、（2022江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）.
1 1

A．若ab，则b a
a b

B．若ab0，cd 0，则d c
c c

C．若ab0，且c0，则a2 b2
1 1

D．若ab，且a b ，则ab0
【答案】BCD
【解析】
1 1

选项A：当取a1，b1时，b a ，∴本命题是假命题.
1 1
  0
选项B：已知a b0，cd 0，所以 d c ，
a b a b
  
∴ d c ，故d c ，∴本命题是真命题.
1 1
ab0a2 b2 00 
选项C： a2 b2 ，c c

∵c0，∴a2 b2 ，∴本命题是真命题.
1 1 1 1 ba
   0 0
选项D：a b a b ab ，
ab ba0 ab0
∵ ，∴ ，∴ ，∴本命题是真命题.
故选：BCD
9、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
【答案】[5，10]
【解析】方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋
n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
10、设 那么 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】：由题设得
∴ ，∴
11、(2022·天津模拟)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
【答案】C
【解析】：∵－<α<，∴－π<2α<π.
∵－<β<，∴－<－β<，
∴－<2α－β<.
又α－β<0，α<，∴2α－β<.
故－<2α－β<.方法总结：求代数式的取值范围
一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围
12．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
【答案】 >
【解析】 M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，
故M>N.
13．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是________(填序号)．
①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2.
【答案】 ②③
【解析】 当a>0，b<0时，>0>，故①不正确；
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确．
14．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分
别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡
蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为
更优惠)________．(在横线上填甲或乙即可)
【答案】 乙
【解析】 由题意得甲购买产品的平均单价为＝，乙购买产品的平均单价为＝，由条件得
a≠b.
∵－＝>0，
∴>，
即乙的购买方式更优惠．
15．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a，a，a，a}满足a∈(0,1)，
1 2 3 4 1
a∈(1,2)，a∈(2,3)，则a 的取值范围是________．
2 3 4
【答案】 (2，9)
【解析】 设等比数列{a，a，a，a}的公比为q，
1 2 3 4
由a∈(0,1)，a∈(1,2)，a∈(2,3)可知，
1 2 3
0<a<1①，1<aq<2②，2<aq2<3③，
1 1 1
由③÷②可得1<q<3，
③÷①可得q2>2，即q>或q<－，
②÷①可得q>1，
所以<q<3，所以a＝aq∈(2，9)．
4 3
16．已知a＋b>0，试比较＋与＋的大小．
【解析】解 ＋－＝＋
＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴≥0.∴＋≥＋.
17．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
(2)已知c>a>b>0，求证：>.
【解析】证明 (1)∵bc≥ad，>0，∴≥，
∴＋1≥＋1，∴≤.
(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴<，
又∵c>0，∴<，∴<，
又c－a>0，c－b>0，∴>.
18．(多选)若0<a<1，b>c>1，则( )
A.a>1 B.>
C．ca－1<ba－1 D．loga<loga
c b
【答案】 AD
【解析】 对于A，∵b>c>1，∴>1.∵0<a<1，则a>0＝1，故正确．
对于B，若>，则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0<a<1，b>c>1矛盾，故错误．
对于C，∵0<a<1，∴a－1<0.∵b>c>1，∴ca－1>ba－1，故错误．
对于D，∵0<a<1，b>c>1，∴loga<loga，故正确．
c b
19．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
【答案】 ①6 ②12
【解析】 设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得且x，y，z均为
正整数．
①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时
z＝3，y＝4.
∴该小组人数的最小值为12.
20．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系
为( )
A．a<b≤c B．b≤c<a
C．b<c<a D．b<a<c
【答案】 A
【解析】 c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，
又b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
两式相减得2b＝2＋2a2即b＝1＋a2，
∴b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，∴b>a，∴a<b≤c.
21．观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
(1)若两组数a，a 与b，b，且a≤a，b≤b，则ab＋ab≥ab＋ab 是否成立，试证
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
明．
(2)若两组数a，a，a 与b，b，b 且a≤a≤a，b≤b≤b，对ab＋ab＋ab，ab＋
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2
ab＋ab，ab＋ab＋ab 进行大小顺序(不需要说明理由)．
2 1 3 3 1 1 2 2 3 3
【解析】解 (1)成立，证明如下：
∵ab＋ab－(ab＋ab)＝a(b－b)＋a(b－b)＝(a－a)(b－b)，
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2
又a≤a，b≤b，∴(a－a)(b－b)≥0，即ab＋ab≥ab＋ab.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
(2)ab＋ab＋ab≤ab＋ab＋ab≤ab＋ab＋ab.
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3
22、设a>b>0，试比较与的大小．
【解析】解法一(作差法)：
－＝
＝ ．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以 >0，所以>．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以>0，>0．
所以＝ ＝＝1＋>1．
所以>．
23、若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p<q B．p≤q
C．p>q D．p≥q
【答案】： B
【解析】(作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.
综上，p≤q.故选B.