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第 7 讲 不等式与不等式组 答案解析（教师版）
第一部分 知识点梳理
知识点1 不等式的概念及性质
1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立
的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的基本性质
理论依据 式子表示
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数
性质1 若 ，则
（或式子），不等号的方向不变
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正
性质2 数，不等号的方向不变 若 ， ，则 或
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负
性质3 数，不等号的方向改变 若 ， ，则 或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不
等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数
轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。
知识点2 一元一次不等式
1.一元一次不等式.不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 次，这样
的不等式叫一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤ 系数化为 1 （注意不
等号方向是否改变）。
知识点3 一元一次不等式组
1.一元一次不等式组.一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等
式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3.一元一次不等式组的解法.先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解
集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。
4.几种常见的不等式组的解集 a，b是常数，且 ，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表所示
（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组 数轴表示 解集 口诀
第 1 页 共 28 页（其 中）
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
知识点4 不等式（组）的实际应用
列不等式（组）解应用题的基本步骤：
①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设
计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用
“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。
【易错点归纳】
1. 不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2. 运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质 2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数,不等号要改变方向。
3. 一元一次不等式满足的条件：
①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
第 2 页 共 28 页第二部分 考点突破
考点1不等式的概念及性质
1．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水， ，都加入c克水
后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数 ，不等式
方向不变，即可求解．
【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为 克和 克，
∴加入 克水后，两杯水的质量变为 克和 克，
∵ ，
∴ ，
故选：A
2．（2023·四川德阳·中考真题）如果 ，那么下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式
子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的
两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2024·广东广州·中考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性
质逐项判断即可得．
第 3 页 共 28 页【详解】解：A．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符题意；
B．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符题意；
C．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）若 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边
同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号
方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解： ，
A、 ，故错误，该选项不合题意；
B、 ，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出 ，故错误，该选项不合题意；
D、 ，故正确，该选项符合题意；
故选：D．
5．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即
可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第 4 页 共 28 页∴ ，选项B错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，选项A错误，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，选项C正确，符合题意；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，选项D错误，不符合题意；
故选：C
6．（2024·上海·中考真题）如果 ，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号
的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．两边都加上 ，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
B．两边都加上 ，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；
D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；
故选：C．
7．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
第 5 页 共 28 页【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，互为相反数的
两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当 时，原式才正确，据此可
判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D．
【详解】解；A、若 ，则 ，原说法错误，不符合题意；
B、若 ，则 ，原说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；
D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
8．（2023·山东济南·中考真题）实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得： ，所以 ，
∴ ，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出 是解题的关键.
9．（2023·北京·中考真题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 可得 ，则 ，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解： 得 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
第 6 页 共 28 页故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
10．（2022·江苏南京·中考真题）已知实数 ， ， ，下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由 不一定有 ，例如 ，满足 ，但是 ，故此选项
不符合题意；
B、当 时， 无意义，故此选项不符合同意；
C、由 不一定有 ，例如 ，满足 ，但是 ，故此选项不符合题意；
D、由 可以得到 ，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等
号的方向改变．
11．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若 ，则 ”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据 ，可得出 ，进而可判
断出若 ，则 是假命题．
【详解】解：
，∵
∴若 ，则 是假命题，
∴故答案为：假．
12．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点 、 分别表示实数 、 ，则 ．（填
“>”、“=”或“<”）
【答案】
第 7 页 共 28 页【分析】由图可得： ，再根据不等式的性质即可判断．
【详解】解：由图可得： ，
由不等式的性质得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
考点2一元一次不等式与不等式组
13．（2025·福建·中考真题）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示
出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
，
∴ ；
在数轴上表示如图：
故选C．
14．（2025·吉林·中考真题）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
解一元一次不等式，通过移项即可求解．
【详解】解： 不等式为 ，
移项，得： ，
第 8 页 共 28 页不等式 的解集为 ．
故选：A．
15．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：A、原不等式组的解集为 ，不符合题意；
B、原不等式组无解，符合题意；
C、原不等式组的解集为 ，不符合题意；
D、原不等式组的解集为 ，不符合题意；
故选：B．
16．（2025·山西·中考真题）不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不
等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得： ；
解不等式 ，得： ，
∴不等式组的解集为： ；
故选C．
17．（2024·贵州·中考真题）不等式 的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式解集在数轴上的表示；根据不等式解集在数轴上表示即可；注意不包含的端
点要有空心圆圈表示，包含的端点要用实心点表示．
【详解】解：不等式 的解集在数轴上的表示为
第 9 页 共 28 页；
故选：C．
18．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组
的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组 的解集在数轴上表示是：
故选：C．
19．（2025·浙江·中考真题）不等式组 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键．
先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【详解】解： ，
由①得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
第 10 页 共 28 页故答案为： ．
20．（2025·上海·中考真题）不等式组 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式
组的解集．
【详解】解：
由①，得： ；
由②，得： ；
∴不等式组的解集为： ；
故答案为： ．
21．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小
小找不到”是解题关键．
先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴原不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
22．（2025·四川自贡·中考真题）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
【答案】 ，见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，先分别解不等式组中
的两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可．
第 11 页 共 28 页【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为： ．
23．（2024·西藏·中考真题）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数
轴上即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
将解集表示在数轴上如图：
．
24．（2025·北京·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
第 12 页 共 28 页【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为 ．
25．（2025·陕西·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
由①得， ；
由②得， ，
∴原不等式组的解集为： ．
26．（2025·江苏扬州·中考真题）解不等式组 ，并写出它的所有负整数解．
【答案】不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等
式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为 ．
27．（2025·重庆·中考真题）求不等式组： 的所有整数解．
【答案】 ， ，
第 13 页 共 28 页【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解
不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ；
解不等式②，得： ；
∴不等式组的解集为 ．
所以该不等式组的所有整数解是 ， ， ．
28．（2025·江苏连云港·中考真题）解不等式组
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小
取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集为 ．
29．（2025·江苏苏州·中考真题）解不等组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ．
不等式组的解集是 ．
30．（2025·甘肃·中考真题）解不等式组：
第 14 页 共 28 页【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同
小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集．正确求出每一个不等式解集是基
础，熟知确定不等式组解集的原则是解答此题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得 ，
不等式组的解集为 ．
31．（2025·天津·中考真题）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析
(4)
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，
（1）根据移项，合并同类项即可得解；
（2）根据移项，合并同类项即可得解；
（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“ ”空心圆点向右画折线，“ ”实心圆点向右画折线，
“ ”空心圆点向左画折线，“ ”实心圆点向左画折线，据此画出图形；
（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到，据此确定不等式组的解集；
解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．
【详解】（1）解：移项，得： ，
合并同类项，得： ，
第 15 页 共 28 页∴解不等式①，得： ，
故答案为： ；
（2）移项，得： ，
合并同类项，得： ，
∴解不等式②，得： ，
故答案为： ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4）原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
32．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次方程组 ，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
【答案】 ； ； ；见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，
【详解】解： ，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为： ，
第 16 页 共 28 页故答案为： ； ；
考点3不等式与不等式组的应用
33．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道
题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对
的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【答案】C
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为 道，根据得分规则建立不等式，解不等式后
求解x的最小整数值即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为 道．
根据题意得： ，
解得： ，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对12道题．
故选：C．
34．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单
笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件 商品，立减了20元；乙在该商场单笔购
买2件 商品与1件 商品，立减了30元．若 商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消
费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值
【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元，
∴2件 商品的原价满足： ，
∵乙在该商场单笔购买2件 商品与1件 商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元，
∴ ，
∴ 时，B有最小值为1即可；
故选：A
第 17 页 共 28 页35．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小
亮爸爸行驶在最高限速 的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时
32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、
绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小
亮爸爸以不低于 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则
车速v（ ）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是
解题的关键．
利用路程 速度 时间，结合小亮爸爸以不低于 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、
绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出车速 的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得： ，
解得： ，
车速 的取值范围是 ．
故答案为： ．
36．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买 两种型
号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买 个 型号的新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共 元；购买 个 型号的
新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共 元．
材料二：据统计该社区需购买 两种型号的新型垃圾桶共 个，但总费用不超过 元，且 型
第 18 页 共 28 页号的新型垃圾桶数量不少于 型号的新型垃圾桶数量的 ．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求 两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
【答案】任务一： 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元；任务
二：有三种购买方案：①购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；②购买
种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；③购买 种型号的新型垃圾桶 个，
购买 种型号的新型垃圾桶 个；任务三：购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾
桶 个更省钱，最低购买费用是 元．
【分析】任务一：设 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元，根据题
意列出方程组即可求解；
任务二：设购买 种型号的新型垃圾桶 个，则购买 种型号的新型垃圾桶 个，根据题意列出不
等式组，解不等式组求出 的取值范围即可求解；
任务三：由 种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买 种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据
此解答即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意
是解题的关键．
【详解】解：任务一：设 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
答： 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元；
任务二：设购买 种型号的新型垃圾桶 个，则购买 种型号的新型垃圾桶 个，
由题意得， ，
解得 ，
∵ 为整数，
第 19 页 共 28 页∴ 或 或 ，
∴有三种购买方案：①购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；
②购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；
③购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；
任务三：∵ 种型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买 种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，
即购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个更省钱，
∴最低购买费用为 元，
答：购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个更省钱，最低购买费用是
元．
37．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价
高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过
11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是 元和 元
(2)A种纪念品购进 件，B种纪念品购进 件，两种纪念品使总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是 元，利用数量 总价 单价，结合“用
600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可；
（2）设购买a件A种纪念品，总费用为 元，利用总价 单价 数量，可得出关于a的一次函数，求出a
的取值范围，根据函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为 元，则B种纪念品的单价为 元，
，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为 元，
答：纪念品A、B的单价分别是 元和 元．
（2）解：设A种纪念品购进 件，总费用为 元，
则 ，
第 20 页 共 28 页又∵ ，
解得 ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，购买这两种纪念品使总费用最少，
这时A种纪念品购进 件，B种纪念品购进 件，两种纪念品使总费用最少．
38．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种
中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号
中国结，则需用绳13米．
(1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
(2)春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编
织多少个大号中国结？
【答案】(1)编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米
(2)该中学最多编织15个大号中国结
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设编织1个大号中国结需用绳 米，编织1个小号中国结需用绳 米，根据编织2个大号中国结和4
个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳13米，再建立方程
组解题即可；
（2）设春浩中学编织 个大中国结，则编织 个小中国结，根据编织这两种中国结的用绳长不超
过165米，再建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳 米，编织1个小号中国结需用绳 米，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米．
（2）解：设该中学编织 个大号中国结．
根据题意，得 ，
第 21 页 共 28 页解得： ，
答：该中学最多编织15个大号中国结．
39．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为
125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80
元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方
程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，
2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品 件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出
m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得， ，
解得 或 （舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为 ；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品 件，
由题意得， ，
∴ ，
解得 ，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
40．（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千
克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少
千克？
第 22 页 共 28 页(2)妈妈让小明再到这家商店买 两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．
设小明买A水果 千克．
①若这两种水果按标价出售，求 的取值范围；
②小明到这家商店后，发现 两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1
千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的 出
售．）若小明合计付款48元，求 的值．
【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克
(2)① ；②
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用；
（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合
计付款46元．再建立方程组解题即可；
（2）①设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，
合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千
克，根据不同的优惠方式可得 ，再解方程即可.
【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千克，
∴ ，
解得： ，
∴结合实际可得： ；
②设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千克，
∴ ，
解得： .
第 23 页 共 28 页41．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买 ， 两种香料．已知 种材
料的单价比 种材料的单价多3元，且购买4件 种材料与购买6件 种材料的费用相等．
(1)求 种材料和 种材料的单价；
(2)若需购买 种材料和 种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买 种材料多少件？
【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
(2)最多能购买 种材料20件．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．
（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设最多可以购买 种材料m件，则购买 种材料 件，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，
依题意 ，
解得 ，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）解：设最多可以购买 种材料m件，则购买 种材料 件，
依题意得： ．
解得 ．
∴m的最大值为20．
答：最多能购买 种材料20件．
42．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共
50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的
总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
第 24 页 共 28 页设可购买这种型号的水基灭火器 个，则购买干粉灭火器 个，根据学校购买这两种灭火器的总价
不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器 个，则购买干粉灭火器 个，
根据题意得： ，
解得： ，
为整数，
取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
43．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费
用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按
每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，
则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
(2)购进A商品的件数最多为20件
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购
进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为 件，根据利润不低于1770元且购进B
商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为 件，
由题意得， ，
第 25 页 共 28 页解得 ，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
44．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充
电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少 万元，且用 万元购买A型充电桩与用 万元购买B
型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买 个A，B型充电桩，购买总费用不超过 万元，且B型充电桩的购买数量不少
于A型充电桩购买数量的 ．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】(1)A型充电桩的单价为 万元，B型充电桩的单价为 万元
(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个；方案二：购买A型充电桩
个，购买B型充电桩 个；方案三：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个；方案三总费用最少．
【分析】（1）根据“用 万元购买A型充电桩与用 万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求
解；
（2）根据“购买总费用不超过 万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 ”列
不等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为 万元，则A型充电桩的单价为 万元，由题意可得：
,
解得 ，
经检验： 是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为 万元，B型充电桩的单价为 万元；
（2）解：设购买A型充电桩 个，则购买B型充电桩 个，由题意可得：
，解得 ，
∵ 须为非负整数，
∴ 可取 ， ， ，
第 26 页 共 28 页∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为 （万元）；
方案二：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为 （万元）；
方案三：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为 （万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分
式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
45．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快
递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台 B型机器人台 总费用（单位：万
数 数 元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多?
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次
不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算
结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 台，先求出a的取值范围，再得出每天
第 27 页 共 28 页分拣快递的件数 当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得 ，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 台，
∴ ，
∴ ，
∵每天分拣快递的件数 ，
∴当 时，每天分拣快递的件数最多为 万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
第 28 页 共 28 页
