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第 08 讲 一元一次不等式（组）及其应用
目 录
题型01 利用不等式的性质判断式子正负
题型02 根据点在数轴的位置判断式子正负
题型03 利用不等式的性质比较大小
题型04 利用不等式的性质确定参数的取值范围
题型05 不等式性质的应用
题型06 求一元一次不等式解集
题型07 利用数轴表示一元一次不等式解集
题型08 一元一次不等式整数解问题
题型09 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
与一元一次不等式有关的新定义问题
题型11 含绝对值的一元一次不等式
题型12 解一元一次不等式组
题型13 求不等式组整数解
题型14 由不等式组整数解求字母的取值范围
题型15 由不等式组的解集求参数
题型16 由不等式组有关的新定义问题
题型17 根据程序图解不等式组
题型18 不等式组与方程的综合
题型19 利用一元一次不等式解决实际问题
题型20 利用一元一次不等式组解决实际问题
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题型 01 利用不等式的性质判断式子正负
1．（2021·浙江丽水·统考中考真题）若−3a>1，两边都除以−3，得（ ）
1 1
A．a<− B．a>− C．a<−3 D．a>−3
3 3
【答案】A
【分析】利用不等式的性质即可解决问题．
【详解】解：−3a>1，
1
两边都除以−3，得a<− ，
3
故选：A．
【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
2．（2021·江苏泰州·校考模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．若ab，则−4a<−4b
C．若a>b，则1−a<1−b D．若a>b，则a+x>b+x
【答案】A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．
【详解】解：A、若ab，则−4a<−4b，此选项正确，不符合题意；
C、若a>b，则1−a<1−b，此选项正确，不符合题意；
D、若a>b，则a+x>b+x，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
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【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同
一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不
变．性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
3．（2022·内蒙古包头·中考真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
1 1
A．m−2− n C．n−m>0 D．1−2m<1−2n
2 2
【答案】D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都
乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴m−2>n−2，故本选项不合题意；
1 1
B、∵m＞n，∴− m<− n，故本选项不合题意；
2 2
C、∵m＞n，∴m−n>0，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴1−2m<1−2n，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真
弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不
仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
题型 02 根据点在数轴的位置判断式子正负
1．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成
立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【答案】A
【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
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∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1<|a|<2，2<|b|<3
∴|a|<|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵|a|<|b|
∴|a|−|b|<0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知
识．
2．（2022·北京东城·统考一模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a>b B．−ab，故B错误，不符合题意；
∵|b|<1<|a|<2，
∴|a|>|b|，故C错误，不符合题意；
∵a<−1，a+b<−1+b<0，
∴a+b<0，故D正确，符合题意；
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故选D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负，不等式的性质等
知识．解题的关键在于明确−20
【答案】D
【分析】先根据数轴的性质可得−2−2，此项错误，不符题意；
B、|a|>|b|，此项错误，不符题意；
C、−a>−b，此项错误，不符题意；
D、ab>0，此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、不等式的性质、有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
题型 03 利用不等式的性质比较大小
1 1
1．（2022·广东深圳·模拟预测）如果m是一个不等于−1的负整数，那么m， ，−m，− 这几个数从小
m m
到大的排列顺序是（ ）
1 1 1 1
A．m< <−m<− B．m< <− <−m
m m m m
1 1 1 1
C．−m<− − >0．
m
1 1
∴m< <− <−m．
m m
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．
a b
2．（2022·河北邯郸·校联考三模）如果a>b，那么一定有 < ，则m的取值可以是（ ）
m m
A．－10 B．10 C．0 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行求解．
a b
【详解】解：对a>b左右两边同时除以m，得 < ，不等号方向发生改变，所以m为负数．
m m
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
1 1
3．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则 ．（填
a b
“>”、“=”或“<”）
【答案】>
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【分析】由图可得：1 ，
a b
故答案为：>．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
1 1 1 1 1 1
4．（2019·安徽合肥·统考二模）观察下列不等式：① < ；② < ；③ < ···；
22 1×2 32 2×3 42 3×4
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第5个不等式：___________；
（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；
n+2 1
（3）利用上面的猜想，比较 和 的大小．
(n+1) 2 n
1 1 1 1 n+2 1
【答案】（1） < ；（2） < ；（3） < ．
62 5×6 (n+1) 2 n(n+1) (n+1) 2 n
【分析】(1)根据给出的不等式写出第5个不等式；
(2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答；
(3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小．
1 1
【详解】(1)① < ，
22 1×2
1 1
<
② ，
32 2×3
1 1
<
③ ，
42 3×4
⋯，
1 1
则第5个不等式为： < ，
62 5×6
1 1
<
故答案为： ；
62 5×6
1 1
<
(2)第n个不等式为： ，
(n+1) 2 n(n+1)
1 1
<
故答案为： ；
(n+1) 2 n(n+1)
n+2 1
(3) < ，
(n+1) 2 n
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其理由是：
1 1 1 1 1
由(2)得： < ，即 < − ，
(n+1) 2 n(n+1) (n+1) 2 n n+1
1 1 1
+ <
∴ ，
(n+1) 2 n+1 n
1 n+1 1
+ <
∴ ，
(n+1) 2 (n+1) 2 n
n+2 1
<
则 ．
(n+1) 2 n
【点睛】本题考查了数字的变化规律，不等式的性质，分式的化简计算，根据给出的不等式正确找出变化
规律是解题的关键．
1 1+1 1 1+1 3 3+1 4 4+1
5．（2023·浙江舟山·统考三模）观察： < ， < ， < ， < ．
2 2+1 3 3+1 4 4+1 7 7+1
b b+1 b b b+3
(1)猜想：当0”“＝”“<”填空）
a a+1 a a a+3
b b+n
(2)探究：当0−1时，b⩽c−1成立，则 的值是多少？
c−1
b
【答案】（1）a≤−1；（2）b−1时，可知a+1>0，根据不等式的性质可得b+2⩾c+1，即b⩾c−1，结合
b
b⩽c−1可知b=c−1，即可求出 的值.
c−1
【详解】解：（1）将b=−2, c=3代入不等式得
0≥(a+1)(3+1)，解得a≤−1
（2）当a<−2时，a+1<0
不等式(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)两边同除以(a+1)得
b+2≤c+1
∴b≤c−1
∴b−1时，a+1>0
不等式(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)两边同除以(a+1)得
b+2≥c+1
∴b≥c−1
又∵b≤c−1
∴b=c−1
b
∴ =1
c−1
【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
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题型 04 利用不等式的性质确定参数的取值范围
1. 若amn，则a的值可以是（ ）
1
A． B．−7 C．0.7 D．√7
7
【答案】B
【分析】根据不等式的性质3得出a＜0，再得出选项即可．
【详解】解：由am＜an得出m＞n是不等式的两边都除以a，并且不等号的方向改变了，
所以a＜0，
∴只有选项B中的-7＜0，选项A、选项C、选项D中的数都大于0，
即选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的
两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除
以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变．
2．（2021·山东聊城·统考中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．
【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题的关键．
3．（2022·江苏宿迁·统考三模）若不等式mx>3m，两边同除以m，得x>3，则m的取值范围为
．
【答案】m>0
【分析】由不等式的基本性质知m>0 ，据此可得答案．
【详解】解：若不等式mx>3m ，两边同除以m ，得x>3 ，
则m>0 ．
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故答案为：m>0 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
题型 05 不等式性质的应用
1．（2021·山东菏泽·统考三模）已知三个实数a，b，c满足a−2b+c=0，a+2b+c<0，下列结论正确的
是（ ）
A．b<0，b 2−ac≥0 B．b<0，b 2−ac≤0
❑ ❑
C．b>0，b 2−ac≥0 D．b>0，b 2−ac≤0
❑ ❑
【答案】A
a+c
【分析】先把a−2b+c=0变形为2b=a+c，然后整体代入a+2b+c<0即可求出b<0，把b= 代入
2
1
b2−ac进行化简成 (a−c) 2 ，即可判断b2−ac ≥0.
4
【详解】解：∵a−2b+c=0，
∴2b=a+c，
又a+2b+c<0，
∴4b<0，
∴b<0，
∵2b=a+c，
a+c
∴b= ，
2
a+c 2 a2 ac c2 a2 ac c2 1
∴b2−ac=( ) −ac= + + −ac= − + = (a−c) 2≥0 .
2 4 2 4 4 2 4 4
故选：A.
a+c
【点睛】此题考查了不等式的性质，完全平方公式等知识点，把b= 代入a+2b+c<0化简是解题的关
2
键.
2．（2022·北京西城·统考一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的
ab
面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S= 来估算叶面的面积，其中a，b分
k
别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组
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4
采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的 处
7
“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两
位）．
【答案】 > 1.27
ab 1 11
【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S= 1；根据S = b·3t+b·4t= bt和
k 叶子 2 2
ab 7t·b 7bt
S= = = ，列出方程，求出k即可．
k k k
【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S1，
1 11
∵S = b·3t+b·4t= bt
叶子 2 2
ab 7t·b 7bt
S= = =
k k k
11 7bt
∴ bt=
2 k
7bt 14
k= = ≈1.27
∴ 11 11
bt
2
故答案为：>，1.27．
【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解
题的关键．
3．（2022上·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且(6−x)a<(6−x)b，则x的取值范围是 ．
【答案】x>6
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：∵a>b，且(6−x)a<(6−x)b，
∴6−x<0，
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解得x>6．
故答案为：x>6．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
4．（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）已知实数a，b满足a2+b2=3+ab，则
(2a−3b) 2+(a+2b)(a−2b)的最大值为 ．
【答案】22
【分析】将(2a−3b) 2+(a+2b)(a−2b)化简可得5a2+5b2−12ab，将a2+b2=3+ab代入化简结果可得
原式=15+3ab，将a2+b2=3+ab两边加上2ab，得到(a+b) 2=3+3ab，根据平方的非负性解出ab的取值
范围，即可解答．
【详解】解：(2a−3b) 2+(a+2b)(a−2b)
=4a2−12ab+9b2+a2−4b2
=5a2−12ab+5b2
将a2+b2=3+ab代入得：原式=5(a2+b2)−12ab=15−7ab，
将a2+b2=3+ab两边加上2ab，
得：a2+b2+2ab=3+ab+2ab，即(a+b) 2=3+3ab，
∵(a+b) 2≥0，
∴3+3ab≥0，即ab≥−1，−ab≤1，
∴ 15−7ab=15+(−7ab)≤15+7=22
∴原式的最大值为22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，不等式的性质，根据完全平方公式得出ab的取值范围是
解题的关键．
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题型 06 求一元一次不等式解集
1．（2022·浙江金华·统考中考真题）解不等式：2(3x−2)>x+1．
【答案】x>1
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
【详解】解：2(3x−2)>x+1，
6x−4>x+1，
6x−x>4+1，
5x>5，
∴x>1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式解法的基本步骤是解题的关键．
1 1
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： (x−3)< −2x ．
2 3
11
【答案】x<
15
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
1 1
【详解】解： (x−3)< −2x
2 3
去分母，得3(x−3)<2−12x，
去括号，得3x−9<2−12x，
移项、合并同类项，得15x<11．
11
化系数为1，得x< ．
15
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
题型 07 利用数轴表示一元一次不等式解集
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）不等式2x+1>3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：2x+1>3
移项合并得：2x>2，
系数化1得：x>1，
表示在数轴上为∶
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键．
2．（2022·广西·中考真题）解不等式2x＋3≥－5，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】原不等式的解集为x≥−4；见解析
【分析】通过移项，合并同类项及不等式的两边同时除以2，进行求解并把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】移项，得2x≥−5−3，
合并同类项，得2x≥−8，
不等式的两边同时除以2，得x≥−4，
所以，原不等式的解集为x≥−4．
如图所示：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，及将解集在数轴上表示出来，熟练掌握解一元一次不等式的步骤
是解题的关键．
x−1 4x−5
3．（2022上·江苏苏州·七年级统考期末）解不等式 < −1，并把它的解集在数轴上表示出来．
2 3
13
【答案】x＞ ，数轴见解析
5
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
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【详解】解：去分母，得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5）﹣6，
去括号，得：3x﹣3＜8x﹣10﹣6，
移项，得：3x﹣8x＜﹣10﹣6+3，
合并同类项，得：﹣5x＜﹣13，
13
系数化为1，得：x＞ ，
5
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边
都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
题型 08 一元一次不等式整数解问题
1．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）不等式−3x>−9的正整数解有 个．
【答案】2
【分析】先求出不等式的解集，然后根据解集求其正整数解．
【详解】解：∵−3x>−9，
∴x<3，
∴正整数解是：1，2；共2个，
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化成1，注意，系数化为1时要考虑不等号的方向是否改变．
2m−mx 1
2．（2022上·广东梅州·九年级校考开学考试）已知关于x的不等式 > x−1．
2 2
(1)当m=1时，求该不等式的正整数解
(2)m取何值时，该不等式有解，并求出其解集
【答案】(1)1
(2)当m≠−1时，不等式有解，当m>−1时，原不等式的解集为x<2；当m<−1时，原不等式的解为x>2
【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；
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（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
【详解】（1）当m=1时，原不等式为∶
2−x 1
≥ x−1．
2 2
去分母，得∶
2−x>x−2．
解得x<2．
∴它的正整数解为1．
2m−mx 1
（2） > x−1．
2 2
去分母，得∶
2m−mx>x−2．
移项，合并同类项，得∶
(m+1)x<2(m+1)．
当m≠−1时，不等式有解，
当m>−1时，原不等式的解集为x<2；
当m<−1时，原不等式的解为x>2．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
x−12
3．（2022·北京朝阳·统考二模）解不等式x−5< ，并写出它的所有非负整数解．
3
3
【答案】x< ，不等式的所有非负整数解为0，1
2
【分析】去分母，移项、合并同类项，系数化为1即可，根据不等式的解集即可求得所有非负整数解．
【详解】解：3(x−5)2x−1的非负的整数解．
【答案】x+1,3
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
( 1 ) x
【详解】 1+ ÷
x−1 x2−1
x−1+1 (x+1)(x−1)
= ⋅
x−1 x
x (x+1)(x−1)
= ⋅
x−1 x
=x+1,
∵2+x>2x−1，
∴x<3，
∴此不等式的非负整数解有0，1，2，
当x=0，1时，分式无意义，
∴当x=2时，原式=2+1=3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
题型 09 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
1．（2020·甘肃天水·统考中考真题）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为(
)
A．−72的解集是x< ,则m的取值范围是（ ）.
m−2
A．m=2 B．m=0 C．m <2 D．m>2
【答案】C
【分析】先根据不等式的解集范围判断出（m-2）的正负性，再求出m的取值范围即可．
2
【详解】解：∵不等式（m-2）x＞2的解集是x< ，
m−2
根据“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变”，
∴m-2＜0，m＜2．
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
题型10 3．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的不等式3x−m≤0的正整数解有四个，求m的取值
范围．
【答案】12≤m<15
m
【分析】解不等式3x−m≤0, 得x≤ ，根据关于x的不等式3x−m≤0的正整数解有四个，得出
3
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m
4≤ <5，解不等式组即可求解．
3
【详解】解：解不等式3x−m≤0,
m
得x≤ ，
3
m
由题意得4≤ <5，
3
解得12≤m<15.
【点睛】本题考查了一元一次不等式（组）的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．已知一个不等
式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后
根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．
与一元一次不等式有关的新定义问题
1．（2021·内蒙古·统考中考真题）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3
的解集为x>−1，则m的值是（ ）
A．−1 B．−2 C．1 D．2
【答案】B
【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为
x>−1，所以与化简所求解集相同，可得出等式2m+3=−1，即可求得m．
【详解】解：由a⊗b=a−2b，
x⨂m=x−2m>3，
∴得：x>2m+3，
x⨂m>3解集为x>−1，
∵2m+3=−1
∴m=−2，
∴故选：B．
【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟
悉的不等式．
2．定义一种新运算：当a>b时，a∗b=ab+b；当a0，则x的取值
范围是（ ）
A．−11 D．x<−2或x>2
【答案】C
【分析】分当3>x+2，即x<1时，当31时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于x的
不等式进行求解即可．
【详解】解：当3>x+2，即x<1时，
∵ 3∗(x+2)>0，
∴3(x+2)+(x+2)>0，
∴3x+6+x+2>0，
∴x>−2，
∴−21时，
∵ 3∗(x+2)>0，
∴3(x+2)−(x+2)>0，
∴2x+4>0，
∴x>−2，
∴x>1；
综上所述，−21，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想
求解是解题的关键．
3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b=2a−3b．
如：1⊕5=2×1−3×5=−13，则不等式4⊕x<2的解集为是（ ）
A．x<2 B．x<−2 C．x>2 D．x>−2
【答案】C
【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解集．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：2×4-3x＜2，
移项合并得：3x＞6，
解得：x＞2．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．（2022下·江苏淮安·九年级统考期中）定义新运算：a*b＝3a+b，则不等式x*1＜-2的解集是 ．
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【答案】x<−1
【分析】根据新定义列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵a*b＝3a+b，
∴x*1=3x+1，
∴x*1＜-2即3x+1<−2，
解得x<−1，
故答案为：x<−1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，根据新定义列出不等式是解题的关键．
5x−4
5．（2021·河南南阳·统考三模）定义一种新运算：aⓍb＝b（a＜b）．若 Ⓧ1＝1，则x的取值范围
2
是 ．
6
【答案】x<
5
5x−4
【分析】根据aⓍb＝b（a＜b），把 Ⓧ1＝1转化为不等式，解不等式可得答案；
2
5x−4 5x−4
【详解】解：由题意 Ⓧ1＝1则 <1，
2 2
所以5x-4<2,
6
所以x< ,
5
6
故答案为x< ．
5
【点睛】本题考查了新定义和不等式的解法，把新定义转化为不等式是解题的关键．
6．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=mn−3n，例如
4☆2=4×2−3×2=8−6=2，请根据上述知识解决下列问题．
(1)x☆2>4，求x取值范围；
( 1)
(2)若x☆ − =3，求x的值；
4
(3)若方程x☆□=x−6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数．
【答案】(1)x>5
(2)x=−9
5
(3)
2
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【分析】（1）根据题意列出不等式进行计算即可；
（2）根据题意列出方程进行计算即可；
（3）设□中的常数为y，根据题意列出关于y的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵x☆2>4，
∴2x−3×2>4，
解得：x>5．
( 1)
（2）解：∵x☆ − =3，
4
1 ( 1)
∴− x−3× − =3，
4 4
解得：x=−9．
（3）解：设□中的常数为y，根据题意得：
xy−3 y=x−6，
∵此方程的一个解为x=1，
∴y−3 y=1−6，
5
解得：y= ．
2
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不
等式或方程．
题型 11 含绝对值的一元一次不等式
1. 先阅读，再完成练习
一般地，数轴上表示数x的点与原点的距离，叫做数x的绝对值，记作|x|．
|x|＜3，x表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距
离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；
|x|＞3，x表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数或大于3的数，它们到原
点距离大于3，所以x＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．
解答下面的问题：
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（1）不等式|x|＜5的解集为________，不等式|x|＞5的解集为________．
（2）不等式|x|＜m（m＞0）的解集为________．不等式|x|＞m（m＞0）的解集为________．
（3）解不等式|x−3|＜5．
（4）解不等式|x−5|＞3．
【答案】（1）﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；（2）﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；（3）﹣2＜x＜8；（4）x
＞8或x＜2．
【分析】（1）根据题意可得答案；
（2）根据题意可得答案；
（3）将x−3作为整体得−5＜x−3＜5，解之即可；
（4）将x−5作为整体得x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，解之即可．
【详解】解：（1）不等式|x|＜5的解集为﹣5＜x＜5，
不等式|x|＞5的解集为x＜﹣5或x＞5，
故答案为：﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；
（2）不等式|x|＜m（m＞0）的解集为﹣m＜x＜m，
不等式|x|＞m（m＞0）的解集为x＜﹣m或x＞m，
故答案为：﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；
（3）|x−3|＜5，
∴﹣5＜x﹣3＜5，
∴﹣2＜x＜8；
（4）|x−5|＞3，
∴x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，
∴x＞8或x＜2．
【点睛】此题考查含绝对值的不等式，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决
所给出的题目，所以正确理解阅读材料的解题方法才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的几何意义
问题，数形结合利用数轴来理解是关键．
2. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面
我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式 的解集
（1）探究 的几何意义
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如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为 ，由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离
为 ，
可记为：A＇O= ．将线段A＇O向右平移一个单位，得到线段AB，，此时点A对应的数为 ，点B
的对应数是1，
因为AB= A＇O，所以AB= ．
因此， 的几何意义可以理解为数轴上 所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程 =2的解
因为数轴上3与 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为
（3）求不等式 的解集
因为 表示数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离
小于2的点所对应的数 的范围．
请在图②的数轴上表示 的解集，并写出这个解集
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探究二：探究 的几何意义
（1）探究 的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为 ，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点
坐标（ ），Q点坐标（ ），|OP|= ，|OQ|= ，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则
因此 的几何意义可以理解为点M 与原点O（0,0）之间的距离OM
（2）探究 的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为 ，由探究（二）（1）可知，
A＇O= ，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，
此时A的坐标为（ ），点B的坐标为（1,5）．
因为AB= A＇O，所以 AB= ，因此 的几何意义可以理解为点A（
）与点B（1,5）之间的距离．
（3）探究 的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4） 的几何意义可以理解为：_________________________.
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拓展应用：
（1） + 的几何意义可以理解为：点A 与点E 的距离
与点AA 与点F____________（填写坐标）的距离之和．
（2） + 的最小值为____________(直接写出结果)
【答案】探究一（3） 解集为：
探究二（3）（ ）拓展应用（1）（ ） （2）5
【详解】试题分析：探究一（3）： 的解集就是数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离
小于2的点所对应的数，利用数轴可知
探究二（3）：根据题目信息， 的几何意义可以理解为点A（ ）与点B（
）之间的距离．
拓展应用：根据题目信息知是与点F（ ）的距离之和．
+ 表示点A 与点E 的距离与点A 与点F（
）的距离之和．∴最小值为E 与点F（ ）的距离5.
试题解析：探究一
（3）
解集为：
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探究二（3）
如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为 ，
由探究（二）（1）可知， A＇O= ，
将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（ ），点B的坐标为（ ）．
因为AB= A＇O，所以 AB= ，
因此 的几何意义可以理解为点A（ ）与点B（ ）之间的距离．
拓展应用
（1）（ ） （2）5
题型 12 解一元一次不等式组
1．（2022·山东滨州·统考中考真题）把不等式组¿中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
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【详解】¿
解①得x>−3，
解②得x≤5，
∴不等式组的解集为−3−1；
解不等式②，得x≤8；
所以不等式组的解集为−14x+2的解集为x＜1，确定解集，求整数解即可．
2 3
x x−1
【详解】∵ ≥ 的解集为x≥-2，3(x+1)>4x+2的解集为x＜1，
2 3
∴¿的解集为-2≤x＜1；
所有的整数解为-2，-1,0．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集的整数解，熟练解不等式，准确确定不等式组的解
集是解题的关键．
题型 14 由不等式组整数解求字母的取值范围
1．（2022·江苏南通·统考二模）已知关于x的不等式组¿的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进
而求得整数a最小值．
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【详解】解：¿，
解①得x− ．
2
3
则不等式组的解集是− 0
5．（2021·四川泸州·统考中考真题）关于x的不等式组{ 恰好有2个整数解，则实数a的取值范
x−2a<3
围是 ．
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1
【答案】00①
【详解】解：{
x−2a<3②
3
解①得x> ，
2
解②得x<3+2a，
3
不等式组的解集是 1 D．m≥1
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大大小小找不到”得出关于m的不等式，解之即可．
【详解】解：∵¿，
解得：¿，
∵不等式无解，
∴m≥1，
故选：D
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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2．（2022牡丹区三模）关于x的不等式组¿的解是x<3，那么a的取值范围是 ．
【答案】a≥3
【分析】先解第一个不等式得到x＜3，由于不等式组的解集为x＜3，则利用同大取大可得到a的范围．
【详解】解：¿，
解①得x＜3，
而不等式组的解集为x＜3，
所以a≥3．
故答案为：a≥3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到．
3．（2023·黑龙江·校联考一模）若关于x的不等式组¿有解，则m的取值范围是 ．
【答案】m<4/4>m
5+m 5+m
【分析】先分别解出两个不等式得x<3，x> ，再根据不等式组有解可得 <3，解这个不等式即
3 3
可．
【详解】解：¿
由不等式①得x<3，
5+m
由不等式②得x> ，
3
∵不等式组有解，
5+m
∴ <3，
3
解得m<4，
故答案为：m<4．
【点睛】本题考查利用一元一次不等式组有解求字母参数的取值范围，解题关键是列出关于字母参数的不
等式．
题型 16 由不等式组有关的新定义问题
1．（2022·河南驻马店·统考三模）定义一种新运算：a⊙b=ab+2a，则不等式组¿的负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【答案】B
【分析】根据新运算的定义将不等式组¿变形成¿，解不等式组，找出其中的负数解即可；
【详解】解：由题意可知：
¿变形成¿，
解不等式组可知不等式组的解集为：−3＜x≤2
∴负整数解为：−2，−1，有2个，
故选：B
【点睛】本题考查解不等式组中的整数解，解题的关键是将¿变形成¿，掌握解不等式组的方法，
2．（2023下·河南南阳·九年级统考阶段练习）定义一种运算：a⊗b=a−ab，例如：
3⊗2=3−3×2=−3，根据上述定义，不等式组¿的解集是 ．
【答案】2≤x≤3
【分析】根据a⊗b=a−ab，可以将不等式组不等式组¿可以转化为¿，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，不等式组¿可以转化为¿，
解得2≤x≤3，
故答案为：2≤x≤3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等
式组．
3．（2021·河北·校联考模拟预测）定义新运算“★”和“#”如下：a★b=ab+b，a#b=ab−a2．例如：
1★2=1×2+2=4，1#3=1×3−12=2．
1 1
（1）计算：[(− )★(− )]#6；
2 3
(−2)★x<0
（2）已知{ 是关于x的不等式组，求该不等式组的所有整数解的中位数．
3#(−x)≥−21
37
【答案】（1）− ；（2）2.5．
36
【分析】（1）根据a★b=ab+b，a#b=ab−a2化简计算即可；
（2）先根据a★b=ab+b，a#b=ab−a2化简得到以一元一次不等式组，然后解一元一次不等式组，再
根据解集求解即可．
1 1
【详解】解：（1）[(− )★(− )]#6
2 3
1 1 1
=[(− )×(− )+(− )]#6
2 3 3
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1
=(− )#6
6
1 1 2
=(− )×6−(− )
6 6
37
=− ；
36
(−2)★x<0
（2）根据a★b=ab+b，a#b=ab−a2，不等式{
3#(−x)≥−21
−2x+x<0①
可化为：{
−3x−9≥−21②
解不等式①得：x>0，
解不等式②得：x≤4，
∴其解集为030
51 39
解得： 4
解不等式{ ，
y−4≤3(y+4)
y5
2．（2022上·重庆·九年级重庆南开中学校考期末）如果关于x的不等式组{ 所有整数解中非负
2x+5≥x+3
my−2 30
整数解有且仅有三个，且关于y的分式方程 − =13有正整数解，则符合条件的整数m有
y−2 y−2
（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】解不等式组和分式方程得出关于x的范围，根据不等式组有且仅有非负整数解和分式方程的解为
正整数解得出m的范围，继而可得整数m的个数．
m−5
【详解】解：解不等式m−4x>5，得：x< ，
4
解不等式2x+5≥x+3，得：x≥−2，
∵不等式组有且仅有三个非负整数解，
m−4
∴2< ≤3，
4
解得：120，且 ≠2，即m≠16，
m−13 m−13
解得：m>13且m≠16，
综上，13−5，且a+5是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数
2
a的值，最后求和．
3x−2≥2(x+2)①
【详解】解：{
a−2x<−5②
解不等式①得，x≥6，
5+a
解不等式②得，x>
2
∵不等式组的解集为：x≥6
5+a
∴ <6
2
∴a<7
y+2a 3 y−8
解分式方程 + =2得
y−1 1−y
y+2a 3 y−8
− =2
y−1 y−1
∴y+2a−(3 y−8)=2(y−1)
a+5
整理得y= ，
2
a+5
∵y−1≠0, 则 ≠1,
2
∴a≠−3,
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∵分式方程的解是正整数，
a+5
∴ >0
2
∴a>−5，且a+5是2的倍数，
∴−5b，下列结论中一定正确的是（ ）
1 1
A．|a|>|b| B． > C．a2>b2 D．a3>b3
a b
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由a>b不一定有|a|>|b|，例如a=0，b=−1，满足a>b，但是|a|=0<|b|=1，故此选项
不符合题意；
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1 1
B、当ab=0时， > 无意义，故此选项不符合同意；
a b
C、由a>b不一定有a2>b2，例如a=0，b=−1，满足a>b，但是a2=0b可以得到a3>b3，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
2．（2023·北京·统考中考真题）已知a−1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．−1<−a0可得a>1，则a>0，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：a−1>0得a>1，则a>0，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1c−a>0，则下列结论：①
|a|>|b|，②a>0，③b<0，④c<0，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出b>c>a，即可判断②③，根据b=−a，代入已
知条件得出c<0，即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵a+b=0
∴|a|=|b|，故①错误，
∵a+b=0,b−c>c−a>0
∴b>c>a，
又a+b=0
∴a<0,b>0，故②③错误，
∵a+b=0
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∴b=−a
∵b−c>c−a>0
∴−a−c>c−a
∴−c>c
∴c<0，故④正确
或借助数轴，如图所示，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键．
4．（2023·山东济南·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．ab>0 B．a+b>0
C．a+3b+3,−3a<−3b，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出−370+12n B．52+15n<70+12n
C．52+12n>70+15n D．52+12n<70+15n
【答案】A
【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，把相关数值代入即
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可；
【详解】解：根据题意得，
52+15n>70+12n，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
8．（2023·浙江宁波·统考中考真题）不等式组¿的解在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：¿，
由①得x>−1；
由②得x≤1；
∴原不等式组的解集为−13，则a的取值范围是（ ）
A．a>3 B．a<3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是x>3求出a的取值范围即可．
【详解】解：¿
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x>a，
∵关于x的不等式组¿的解集为x>3，
∴a≤3，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）已知不等式组¿的解集是−12+a，
解不等式②得：x2√2，写出a的一个整
数值 ．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+ y>2√2代入，然后解关于a的不等式的解集即
可得出答案．
【详解】将两个方程相减得x+ y=a−3，
∵x+ y>2√2，
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∴a−3>2√2，
∴a>3+2√2，
∵4<8<9，
∴2<2√2<3，
∴5<2√2+3<6，
∴a的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
15．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）不等式x−2≤1的最大整数解是 ．
【答案】3
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．
【详解】解：不等式x−2≤1的解集是x≤3，
则不等式x−2≤1的最大整数解是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
16．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组¿，至少有2个整数解，且关于y的分式方
a−1 4
程 + =2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
y−2 2−y
【答案】4
a−1
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y= ，
2
由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：¿
解不等式①得：x≤5，
a
解不等式②得：x≥1+ ，
2
a
∴不等式的解集为1+ ≤x≤5，
2
∵不等式组至少有2个整数解，
a
∴1+ ≤4，
2
解得：a≤6；
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a−1 4
∵关于y的分式方程 + =2有非负整数解，
y−2 2−y
∴a−1−4=2(y−2)
a−1
解得：y= ，
2
a−1 a−1
即 ≥0且 ≠2，
2 2
解得：a≥1且a≠5
∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5
∴a可以取：1，3，
∴1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的不等式组¿所有整数解的和为14，则整数a的值为
．
【答案】2或−1
【分析】根据题意可求不等式组的解集为a−1a−1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：a−1m>−3
【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。
【详解】解：∵点M(m+3,m−1)在第四象限，
∴¿，
解得−3m≥−3
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得m的取值范围．
【详解】解：解不等式组¿得：−5x−6，得：x>−1.5，
解不等式8−2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为−1，0、1，
则1≤a+4<2，
解得−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
22．（2023·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组¿并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】−1−1·，
解不等式②，得：x≤2，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
−10，则w随m的增大而增大，
∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根
据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
25．（2023·河南·统考中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；
所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
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(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健
身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一
件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算
(2)400元
(3)当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二当00.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当300≤a<600时，a−80<0.8a，解得300≤a<400，
即：当300≤a<400时，活动二更合算，
③当600≤a<900时，a−160<0.8a，解得600≤a<800，
即：当600≤a<800时，活动二更合算，
综上：当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论
的应用．
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26．（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组¿
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4−2(2x−1)>3x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；任务二：x≥−1，−1≤x<1
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵−7x>−7，
∴x<1；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是
x<1；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；
任务二：2−3x≤4−x，
−3x+x≤4−2，
−2x≤2，
x≥−1；
又x<1，
∴不等式组的解集为：−1≤x<1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，
注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
(
a2
)
a2
27．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值： a− ÷ ，其中a的值从不等式组
a2−1 a2−1
−10，
∴w随x的增大而增大．
∴当x=210时，w有最大值3630．
∵3630>3480，
∴w的最大值为3630，此时600−x=390．
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是
对分段函数的理解和正确求出最大值．
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