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专题 05 一元一次不等式（组）
考点 1 一元一次不等式（组）
一、单选题
1．（2023年湖南省邵阳市中考数学真题）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分，再在数轴上表示即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
在数轴上表示如下：
，
故选A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的
方法解题是关键．
2．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）解不等式 ，下列在数轴上表示的解集正确的是
（ ）．
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为 的步骤求出解集，再把解集在数轴上
表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解．
【详解】解：
，
解集在数轴上表示为
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方法是解题的关
键．
3．（2020·广东·统考中考真题）不等式组 的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，
解不等式x−1≥−2（x＋2），得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x≤1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2023年广西壮族自治区中考数学真题） 在数轴上表示正确的是（ ）
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A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】在数轴上表示不等式的解集，需要确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若
边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；确定“方向”：对边界点a而言， 或 向右画， 或
向左画．
【详解】解： 在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知表示的方法是解题的关键．
5．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数
轴上表示为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得， ，
解得 ，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次
根式有意义的条件是解题关键．
6．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）关于 的一元一次不等式 的解集在数轴上的表示如图所
示，则 的值为（ ）
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A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
【详解】解： 解得 ，
由数轴得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
7．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）若关于x的不等式组 的解集为 ，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是 求出a的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵关于 的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
8．（2019·云南·统考中考真题）若关于x的不等式组 的解集为x＞a，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
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【答案】D
【分析】先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案.
【详解】 ，
由①得 ，
由②得 ，
又不等式组的解集是x＞a，
根据同大取大的求解集的原则，∴ ，
当 时，也满足不等式的解集为 ，
∴ ，故选D.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取
大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
9．（2023年四川省眉山市中考数学真题）关于x的不等式组 的整数解仅有4个，则m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解： ，
由②得： ，
解集为 ，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0， ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据
不等式组的解集得到 是解此题的关键．
二、填空题
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10．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）不等式 解集是 ．
【答案】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可得到答案．
【详解】解：
由①得： ，
由②得： ＞
所以不等式组的解集是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是不等式组的解法，掌握解不等式组的方法与步骤是解题的关键．
11．（2023湖南省株洲市中考数学真题）关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得出结果．
【详解】解： ，
移项，得 ，
系数化为1，得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．
12．（2023·辽宁丹东·校考一模）不等式组 的所有整数解是
【答案】0，1
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定
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出整数解．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
则不等式组的整数解为0，1．
故答案为：0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（2023年四川省凉山州数学中考真题）不等式组 的所有整数解的和是 ．
【答案】7
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
∴ ，
解得： ；
由②得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ， ，0，1，2，3，4；
∴ ，
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故答案为：7
【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题
的关键．
14．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整数
解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，
由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
∵关于y的分式方程 有非负整数解，
∴
解得： ，
即 且 ，
解得： 且
∴a的取值范围是 ，且
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∴a可以取：1，3，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
三、解答题
15．（2019·山东济南·统考中考真题）解不等式组 ，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集为 ；所有整数解为3、4．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解不等式组如下：
解①得： ；
解②得： ；
∴原不等式组的解集为 ；
∴原不等式组的所有整数解为3、4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集
求出不等式组的解集．
16．（2019·江苏苏州·统考中考真题）解不等式组： .
【答案】x<1.
【分析】利用解不等式方法分别解出两个不等式，最后求解集即可
【详解】解：由①得
由②得
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【点睛】本题考查不等式组的解法，最后两个不等式的解求公共解集是本题关键
17．（2023·北京海淀·统考二模）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可．
【详解】解：去分母，得 ．
移项，得 ．
合并，得 ．
解得 ．
在数轴上表示为：
．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解题的关键是：答这类题学生往往在解题时不注意性质3而出
错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方
向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以
或除以同一个负数不等号的方向改变．
18．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，
【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，找出整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集是 ；
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∴不等式组的整数解是 ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19．（2022·河北·统考中考真题）整式 的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意 ，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
【详解】（1）解：∵
当 时，
；
（2） ，由数轴可知 ，
即 ，
，
解得 ，
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的负整数值为 ．
【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
20．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）（1）解不等式组：
（2）金秋时节，新疆瓜果飘香．某水果店A种水果每千克5元，B种水果每千克8元，小明买了A、B两
种水果共7千克花了41元．A、B两种水果各买了多少千克？
【答案】（1） ；（2）购买A种水果5千克，则购买B种水果 千克
【分析】（1）先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可；
（2）设购买A种水果x千克，则购买B种水果 千克，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ；
（2）设购买A种水果x千克，则购买B种水果 千克，根据题意得：
，
解得： ，
∴ ，
∴购买A种水果5千克，则购买B种水果 千克．
【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及一元一次方程的应用，理解题意，熟练掌握运算法则及列出方
程是解题关键．
21．（2019·辽宁辽阳·统考中考真题）为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购
买7个足球和5个篮球的费用相同；购买40个足球和20个篮球共需3400元．
（1）求每个足球和篮球各多少元？
（2）如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？
【答案】（1）每个足球为50元，每个篮球为70元；（2）40个篮球
【分析】（1）设每个足球为 元，每个篮球为 元，根据等量关系即可列出二元一次方程组进行求解；
（2）设买篮球 个，则买足球（ ）个，根据题意列出不等式即可求出m的取值.
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【详解】解：（1）设每个足球为 元，每个篮球为 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每个足球为50元，每个篮球为70元；
（2）设买篮球 个，则买足球（ ）个，根据题意得：
，
解得： ．
∵ 为整数，
∴ 最大取40，
答：最多能买40个篮球．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系或
不等关系进行求解.
22．（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将
劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要
采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元在市场上
购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗
的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购
买最少花费多少钱．
【答案】(1)20元
(2)2250元
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗 捆，则购买B种菜苗 捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B
种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗 捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费
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多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
解得
检验：将 代入 ，值不为零，
∴ 是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗 捆，则购买B种菜苗 捆，费用为y元，
由题意可知： ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ，
∵y随m的增大而减小
∴当 时，花费最少，
此时
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
23．（2020·广东·统考中考真题）某社区拟建 ， 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 类摊位的占地
面积比每个 类摊位的占地面积多2平方米，建 类摊位每平方米的费用为40元，建 类摊位每平方米的
费用为30元，用60平方米建 类摊位的个数恰好是用同样面积建 类摊位个数的 ．
（1）求每个 ， 类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社拟建 ， 两类摊位共90个，且 类摊位的数量不少于 类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位
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的最大费用．
【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元
【分析】（1）设 类摊位占地面积 平方米，则 类占地面积 平方米，根据同等面积建立A类和B
类的倍数关系列式即可；
（2）设建 类摊位 个，则 类 个，设费用为 ，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总
费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．
【详解】解：（1）设每个 类摊位占地面积 平方米，则 类占地面积 平方米
由题意得
解得 ，
∴ ，经检验 为分式方程的解
∴每个 类摊位占地面积5平方米， 类占地面积3平方米
（2）设建 类摊位 个，则 类 个，费用为
∵
∴
，
∵110>0，
∴z随着a的增大而增大，
又∵a为整数，
∴当 时z有最大值，此时
∴建造90个摊位的最大费用为10520元
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关
键．
24．（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两
种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的
数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
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（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最
多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是
1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法
是解题的关键．
25．（2023·浙江·一模）关于x的不等式 的解集如图所示，则m等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】解关于 的不等式得 ，结合不等式解集可得关于 的方程，求解即可．
【详解】解：由不等式 得： ，
不等式解集为 ，
，
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解得： ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查解不等式的能力及在数轴上表示不等式解集，表示出不等式解集是前提，得到关于
的方程是关键．
26．（2021·山东临沂·统考中考真题）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原
则将解集在数轴上表示出来．
【详解】解：解不等式 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
系数化为得： ，
表示在数轴上如图：
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的
方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，
“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
27．（2021·四川遂宁·统考中考真题）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解，
准确在数轴上表示解集．
28．（2019·山东聊城·统考中考真题）若不等式组 无解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式 ，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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29．（2020·新疆·统考中考真题）不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得：
由②得：
不等式组的解集是
故选A．
【点睛】本题考查的是解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
30．（2020·湖北襄阳·中考真题）不等式组 中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为 ，即可选出答案．
【详解】解： ，
解不等式①：去括号，得 ，
移项，得 ，
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合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
解不等式②：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
故原不等式组的解集为 ．
故选A．
【点睛】本题考查不等式组，是中考的常考知识点，熟练掌握不等式组的解法是顺利解题的关键．
31．（2023·福建福州·福建省福州铜盘中学校考模拟预测）不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，分别求解两个不等式，再写出解集即可．
【详解】解： ，
由①可得： ，
由②可得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握不等式的性质，以及写出不等式组解集的口
诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
32．（2023·内蒙古包头·校考三模）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是
（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
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【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 是解题的关键．
33.（2023·内蒙古包头·校考三模）不等式组： 的正整数解为 ．
【答案】1，2，3
【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后从解集中选择正整数解即可解答．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为:
所以不等式组的正整数解为：1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，正确求得不等式组的解集
是解题关键．
34．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）不等式组 的解集为 ．
【答案】
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】 ，
解不等式①可得： ，
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解不等式②可得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解不等式，解本题的要点在于分别求解①，②不等式，从而得到答案．
35．（2020·湖南湘西·中考真题）不等式组 的解集为 ．
【答案】
【分析】分别解不等式即可得到不等式组的解集.
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
故答案为： .
【点睛】此题考查求不等式组的解集，正确解每个不等式求出不等式组的解集，熟记不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.
36．（2019·浙江绍兴·统考中考真题）不等式 的解为 .
【答案】
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【详解】移项得，3x≥4+2，
合并同类项得，3x≥6，
把x的系数化为1得，x≥2．
故答案为x≥2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
37．（2020·贵州黔东南·统考中考真题）不等式组 的解集为 ．
【答案】2＜x≤6
【分析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组
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的解集．
【详解】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式 x﹣1≤4﹣ x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6，
故答案为：2＜x≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小，大小小大中间找，大大小小找不
到的原则是解答此题的关键．
38．（2020·黑龙江·统考中考真题）若关于 的一元一次不等式组 有 个整数解，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案
即可．
【详解】解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x< ，
∴不等式组的解集是1＜x＜ ，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，
∴x只能取2和3，
∴ ，
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取
值范围．
39．（2023·广西·校联考二模）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：解不等式①得x≥-1
解不等式②得x≤3
∴不等式组的解集是﹣1≤x≤3，
其数轴上表示为：
故选B．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
40．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）不等式 解集是 ．
【答案】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可得到答案．
【详解】解：
由①得： ，
由②得： ＞
所以不等式组的解集是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是不等式组的解法，掌握解不等式组的方法与步骤是解题的关键．
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41．（2023·辽宁丹东·校考一模）不等式组 的所有整数解是
【答案】0，1
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定
出整数解．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
则不等式组的整数解为0，1．
故答案为：0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
42．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）若关于 的不等式组 的解集为 ，且关
于 的分式方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】24
【分析】根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，进而确定a的所以可
能的值，再求和即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
由于不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
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关于y的分式方程 的解为 ，且 ，
由于分式方程的解是非负整数，
∴整数a可能的值为3或8或13，
∴符合条件所有的整数a的和为：3+8+13=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，理解一元一次不等式组的解集以及分式方程的解是
解决问题的关键．
43．（2023·北京海淀·统考二模）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可．
【详解】解：去分母，得 ．
移项，得 ．
合并，得 ．
解得 ．
在数轴上表示为：
．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解题的关键是：答这类题学生往往在解题时不注意性质3而出
错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方
向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以
或除以同一个负数不等号的方向改变．
44．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，
【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，找出整数解即可．
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【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集是 ；
∴不等式组的整数解是 ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
45．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）解不等式组 请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式 ，得______ ；
(2)解不等式 ，得______ ；
(3)把不等式 和 的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______ ．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
【详解】（1）解不等式 ， ；
（2）解不等式 ， ；
（3）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来；
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（4）原不等式组的解集为 ．
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
46．（2023·河南商丘·统考二模）某学校为做好绿化、改善育人环境，准备购买 两种树苗在学校栽种．
已知1棵 种树苗比1棵 种树苗贵5元，用400元购买的 种树苗与用300元购买的 种树苗的数量相同．
(1)求购买1棵 种树苗和1棵 种树苗各需多少元；
(2)若该校计划购买 两种树苗共150棵，且 种树苗的数量不少于 种树苗的一半，则怎样购买可以使
购买费用最低，最低费用为多少？
【答案】(1)购买1棵 种树苗需要20元，购买1棵 种树苗需要15元
(2)当购买 种树苗50棵，购买 种树苗100棵时，购买费用最低，最低费用为2500元
【分析】（1）设1棵 种树苗 元，则1棵 种树苗 元，根据用400元购买的 种树苗与用300元
购买的 种树苗的数量相同，列出分式方程求解即可；
（2）设购买 种树苗 棵，则购买 种树苗 棵，购买费用为 元，先求出 的取值范围，再列
出关于 的一次函数的解析式，取最小值即可得到结果．
【详解】（1）解：设1棵 种树苗 元，则1棵 种树苗 元，
由题意得， ，
解得， ，
经检验 是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买1棵 种树苗需要20元，购买1棵 种树苗需要15元；
（2）解：设购买 种树苗 棵，则购买 种树苗 棵，购买费用为 元，
种树苗的数量不少于 种树苗的一半，
，
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，
由题意得， ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 去的最小值，最小值为 ，
此时， ，
答：当购买 种树苗50棵，购买 种树苗100棵时，购买费用最低，最低费用为2500元．
【点睛】本题主要卡超了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等
量或不等关系是解题的关键．
47．（2023·河北保定·统考二模）太阳能是一种新型能源，与传统能源相比有着高效、清洁和使用方便等
特点．某地区有20户居民安装了甲、乙两种太阳能板进行光伏发电，这不仅解决了自家用电问题，还能产
生一定的经济价值．已知2片甲种太阳能板和1片乙种太阳能板一天共发电280度；1片甲种太阳能板和2
片乙种太阳能板一天共发电260度．
(1)求每片甲、乙两种太阳能板每天的发电量．
(2)设20户居民中有m户居民安装甲种太阳能板，且甲种太阳能板数量不多于乙种太阳能板数量的3倍，
若20户居民安装的太阳能板每天的发电总量为W度，求W与m的函数关系，并求W的最大值．
【答案】(1)每片甲种太阳能板每天的发电量为100度，每片乙种太阳能板每天的发电量为80度
(2) ，最大值为1900
【分析】（1）设每片甲种太阳能板每天的发电量为 度，每片乙种太阳能板每天的发电量为 度，建立二
元一次方程求解即可；
（2）得出 ，再利用函数的增减性来求解．
【详解】（1）解：设每片甲种太阳能板每天的发电量为 度，每片乙种太阳能板每天的发电量为 度．
由题意，得 ，
解得 ．
答：每片甲种太阳能板每天的发电量为100度，每片乙种太阳能板每天的发电量为80度．
（2）解：由题意得 ．
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，解得 ．
随着 的增大而增大，
当 时， 有最大值，
此时 度．
【点睛】本题考查了二元一次方程，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或函数解析
式．
48．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）解不等式组： ．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
49．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）解不等式组：
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组的解法，利用不等式组解集的求解法则即可得到答案．
【详解】解： ，
由①得 ；
由②得 ；
原不等式组的解集为 ．
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【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟记“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了”是解决问题的关键．
50．（2023·广东珠海·校考三模）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每
个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【答案】（1）篮球、足球各买了20个，40个；（2）最多可购买篮球32个.
【分析】(1)设篮球、足球各买了 ， 个，根据等量关系：篮球、足球共60个，篮球、足球共用4600元，
列出方程组，解方程组即可得；
(2)设购买了 个篮球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列出不等式进行求解即可.
【详解】(1)设篮球、足球各买了 ， 个，根据题意，得
，
解得 ，
答：篮球、足球各买了20个，40个；
(2)设购买了 个篮球，根据题意，得
，
解得 ，
∴最多可购买篮球32个.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关
系列出方程或不等式是解题的关键.
51．（2023·西南大学附中校考三模）若关于x的不等式组 的解集为 ，关于y的分式方程
有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】利用给出的不等式组，可得x的范围，进而得出a的范围，再利用分式方程的解的特征，得到a
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的取值范围，综合考虑即可得到a的个数，然后相加即可得出答案．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵不等式组 解集为 ，
∴ ，
得 ，
∵ ，
∴ ，
∵分式方程 有有非负整数解，
∴ ，且
解得 且a为奇数， ，
∴ 且 ，a为奇数，
∴符合条件的整数a有 ，
∴符合条件的所有整数a的和为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式
方程．
52．（2023·江苏无锡·校考二模）（1）解方程：x2﹣6x+4=0；
（2）解不等式组 .
【答案】（1）3± ；（2）﹣1≤x＜3
【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．
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【详解】（1）△=36﹣16=20
∴x= =3±
（2）
由①得：x＜3
由②得：x≥﹣1
∴﹣1≤x＜3
【点睛】此题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，掌握相关知识是解题关键．
53．（2023·浙江·一模）解不等式组： ．
【答案】
【分析】先求出各个不等式的解集，然后即可得出不等式组的解集
【详解】解：解 得， ，
解 得， ．
∴原不等式组的解集为： ．
【点睛】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共
部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
54．（2022·湖南怀化·统考中考真题）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．
【详解】解：
由①得 ，
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由②得 ，
该不等式组的解集为 ，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法步骤及用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握相关解法步骤是
解决问题的关键．
55．（2022·湖南怀化·统考中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：
件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵
5元．
(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨
衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过
5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关
于a的函数关系式．
(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
【答案】(1)每件雨衣 元，每双雨鞋 元
(2)
(3)最多可购买 套
【分析】（1）根据题意，设每件雨衣 元，每双雨鞋 元，列分式方程求解即可；
（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套 元，根据费用=单价×套数即可得出结论；
（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式 ，求解后根据实际意义取值即可．
【详解】（1）解：设每件雨衣 元，每双雨鞋 元，则
，解得 ，
经检验， 是原分式方程的根，
，
答：每件雨衣 元，每双雨鞋 元；
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（2）解：根据题意，一套原价为 元，下降20%后的现价为 元，则
；
（3）解： ，
购买的套数在 范围内，
即 ，解得 ，
答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买 套．
【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用
题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的
关键．
56.（2022·浙江宁波·统考中考真题）计算
(1)计算： ．
(2)解不等式组：
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；
（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以原不等式组的解是 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；
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大大小小找不到是解题的关键．
57.（2021·海南·统考中考真题）（1）计算： ；
（2）解不等式组 并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
【答案】（1） ；（2） ．解集在数轴上表示见解析．
【分析】（1）先计算有理数的乘方、化简绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再计算有理数的混合运
算即可得；
（2）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
；
（2） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则这个不等式组的解集是 ．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查了有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂、解一元一次不等式组，熟练掌握各运算
法则和不等式组的解法是解题关键．
58．（2021·四川广元·统考中考真题）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足
球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为
150元/个．
（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球
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数量的 ．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%
收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学
校到哪家商场购买花费少？
【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9
个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮
球，9个足球到乙商场购买花费少．
【分析】（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购
买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的 ”列出不等式组，求解即可；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，
解得，
∵x是整数，
∴x=9，10或11
∴20-x=12，10或9
故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，
在甲商场花费： 元；
在乙商场花费： 元；
∴要使学校到甲商场花费最少，则有：
解得，
∵ ，且x是整数，
∴x=9,
即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足
球到乙商场购买花费少．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根
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据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解．
59.（2021·浙江宁波·统考中考真题）（1）计算： ．
（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到 ，再解出②，得到 ，由大小小大中间取得到解集．
【详解】解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以原不等式组的解是 ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式
基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．
60．（2021·江苏连云港·统考中考真题）解不等式组： ．
【答案】x 2
【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可．
【详解】解：解不等式3x﹣1 x+1，得：x 1，
解不等式x+4 4x﹣2，得：x 2，
∴不等式组的解集为x 2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法”
是解答本题的关键.
61．（2021·江苏连云港·统考中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消
毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 ，请设计出最
省钱的购买方案，并求出最少费用．
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【答案】（1） 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元；（2）购进 种消毒液67瓶，购进
种23瓶，最少费用为676元
【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，由一次函数的增减性，即可确
定方案．
【详解】解：（1）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元．
由题意得： ，解之得， ，
答： 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元．
（2）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元．
则 ，
∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值．
又 ，∴ ．
由于 是整数， 最大值为67，
即当 时，最省钱，最少费用为 元．
此时， ．
最省钱的购买方案是购进 种消毒液67瓶，购进 种23瓶．
【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解
题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
62．（2020·福建·统考中考真题）解不等式组：
【答案】 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．
【详解】解：由①得 ，
，
．
由②得 ，
，
．
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∴原不等式组的解集是 ．
【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质．
63．（2019·江苏苏州·统考中考真题）解不等式组： .
【答案】x<1.
【分析】利用解不等式方法分别解出两个不等式，最后求解集即可
【详解】解：由①得
由②得
【点睛】本题考查不等式组的解法，最后两个不等式的解求公共解集是本题关键
64．（2020·湖南怀化·中考真题）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板
电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出
所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【答案】（1）y=-100x+10000；（2）共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑
13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台,乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，采购甲型电脑
12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【分析】(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
(2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取
最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可.
【详解】（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000；
（2）由题意得： ，
解得 ，
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∵x为正整数，
∴x=12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台,乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y=-100x+10000，且-100<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=12时，y最大值= ，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据
题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
65．（2023·湖北孝感·校考三模）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐
款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需
680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
【答案】(1)A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元
(2)A种防疫物品最少购买200件
【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品30件，B种物
品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元”，即可得出关于x、y的
二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品 件，根据总价、单价、数量的关系，结合
总费用不超过4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得 ，
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解得 ．
答：A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元；
（2）解：设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品 件，
依题意，得： ，
解得： ，
∴m的最小值为200．
答：A种防疫物品最少购买200件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
66．（2023·山东·统考一模）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家
喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价
比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
(1)求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
(2)该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出 ，“雪容融”售
出 后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个
降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
【答案】(1)文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个
(2) 的最小值为8
【分析】（1）设文旅店订购“雪容融”的数量为 个，从而可得订购“冰墩墩”的数量为 个，再根
据两种吉祥物的花费和订购单价建立方程，解方程即可得；
（2）先求出文旅店的总收入，再根据“要保证文旅店总利润不低于6060元”建立一元一次不等式，解不
等式即可得．
【详解】（1）解：设文旅店订购“雪容融”的数量为 个，则订购“冰墩墩”的数量为 个，
由题意得： ，
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解得 ，符合题意，
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个；
（2）解：由题意得：文旅店销售“冰墩墩”的收入为
（元），
销售“雪容融”的收入为 （元），
则 ，
解得 ，
答： 的最小值为8．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
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