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专题 09 不等式（组）及其应用【九大题型】
【题型1 不等式的基本性质】..................................................................................................................................2
【题型2 一元一次不等式及其解法】......................................................................................................................4
【题型3 不等式组的解法及数轴表示】..................................................................................................................5
【题型4 求不等式组的特殊解】..............................................................................................................................8
【题型5 根据不等式（组）的解集确定字母系数的值或取值范围】...............................................................10
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式】...................................................13
【题型7 中考最热考法之结合新定义考查含参不等式问题】...........................................................................17
【题型8 中考最热考法之结合代数推理考查一元一次不等式的实际应用】...................................................21
【题型9 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元一次不等式组】.....................................................25
【知识点 不等式（组）】
1.定义
定义1：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式
子也是不等式。
定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1。
定义6：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数x都不能使
不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2.不等式的性质
性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ 。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
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性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜ 。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
对于不等式组，应先求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，找出解集的公共部分。
3.不等式(组)与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：答。
【题型1 不等式的基本性质】
【例1】（2023·北京·统考中考真题）已知a−1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．−1<−a0可得a>1，则a>0，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：a−1>0得a>1，则a>0，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1b，那么下列运算正确的是（ ）
a b
A．a−3b，
a b
∴a−3>b−3，a+3>b+3，3a>3b， < ，
−3 −3
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D
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【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，
不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同
时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式1-2】（2023·山东临沂·统考中考真题）在实数a,b,c中，若a+b=0,b−c>c−a>0，则下列结论：
①|a|>|b|，②a>0，③b<0，④c<0，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出b>c>a，即可判断②③，根据b=−a，代入已
知条件得出c<0，即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵a+b=0
∴|a|=|b|，故①错误，
∵a+b=0,b−c>c−a>0
∴b>c>a，
又a+b=0
∴a<0,b>0，故②③错误，
∵a+b=0
∴b=−a
∵b−c>c−a>0
∴−a−c>c−a
∴−c>c
∴c<0，故④正确
或借助数轴，如图所示，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键．
【变式1-3】（2023·浙江杭州·统考中考真题）已知数轴上的点A,B分别表示数a,b，其中−11，故此选项不符合题意；
D、c<−1，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由−13 C．x<−3 D．x>−
3
【答案】B
【分析】先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可．
【详解】解：x+8<4x−1，
移项，合并同类项得：−3x<−9，
未知数系数化为1得：x>3，故B正确．
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故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确
计算．
【变式2-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）不等式x−1<√5的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数．
【详解】解：x−1<√5，
x<√5+1
∴正整数解为：1，2，3，有3个，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
【变式2-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图
所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
【详解】解：x−1≤m解得x≤m+1，
由数轴得：m+1=3，
解得：m=2，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
【题型3 不等式组的解法及数轴表示】
【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知点M(1−2m，m−1)在第一象限，则m的取值范围在数轴上表
示正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．根据第一象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出各不等式的
解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点M(1−2m，m−1)在第一象限，
∴¿，
由①得m<0.5，由②得，m>1，
∴不等式组的解集为空集．
在数轴上表示为：
故选：D．
【变式3-1】（2023·广东广州·统考中考真题）不等式组¿的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式2x≥x−1，得x≥−1，
x+1 2x
解不等式 > ，得x<3，
2 3
∴不等式组的解集为−1≤x<3，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为
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空心点．
【变式3-2】（2023·江苏·统考中考真题）解不等式组¿，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【答案】−1−1，
故不等式组的解集为：−1−3−2，
∴2x>−5，
5
解得：x>− ；
2
由②得：x−2≤14−3x，
整理得：4x≤16，
解得：x≤4，
5
∴不等式组的解集为：− − ，
2
∵当x=1时，a=−1；x=−1时，a=0，此时分式的分母为0，
1
∴a>− 且a≠0；
2
将不等式组¿整理得：¿，
∵不等式组¿无解，
∴a≤2，
1
∴a的取值范围为：− 3x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；任务二：x≥−1，−1≤x<1
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵−7x>−7，
∴x<1；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是
x<1；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；
任务二：2−3x≤4−x，
−3x+x≤4−2，
−2x≤2，
x≥−1；
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又x<1，
∴不等式组的解集为：−1≤x<1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，
注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
【变式6-1】（2023·贵州贵阳·校考一模）下面是小星解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x−1 8+3x
− ≤−1．
2 5
解：去分母，得5(x−1)−2(8+3x)≤−10，第一步
去括号，5x−5−16+6x≤−10，第二步
移项，得5x+6x≤−10+5+16，第三步
合并同类项，得11x≤11，第四步
系数化为1，得x≤1．第五步
填空：①上述解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
【答案】①不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变（不等式的基础性质2）；
②二，去括号时，括号前面是“-”，括号中的第二项没有变号．
【分析】去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
【详解】解：①不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变（不等式的基本性质
2）；
②二、去括号时，括号前面是“-”，括号中的第二项没有变号．
【点睛】本题考查了考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤
化系数为1．
【变式6-2】（2023·浙江杭州·校考一模）以下是圆圆解不等式组¿的过程：
解：由①，得x＜﹣2．
由②，得3﹣x＞1+2x
所以x＞4
所以原不等式组无解．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有，正确过程见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和方法求解即可．
【详解】解：有错误，正确解答过程如下：
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¿
由①得，x>−2
2
由②得，x<
5
2
所以原不等式组的解集为−25得：x<−3（舍去）
②x≥2时：
由¿得¿
解得：76，则a的取值范围是 ．
【答案】a≤2
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为x>6确定a的取值范
围即可．
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【详解】解：根据新定义关于x的不等式组¿可化为：¿
解不等式①可得：x>6
解不等式①可得：x>3a
因为该不等式组的解集为x>6
∴3a≤6，解得：a≤2．
故答案为：a≤2．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
【变式7-2】（2023·山东·中考真题）阅读理解
定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组
为该不等式的“子集”．如：¿的解集为−3≤x<4，2x−1>−9的解为x>−4，∵−3≤x<4在x>−4的
范围内，∴一元一次不等式组¿是一元一次不等式2x−1>−9的“子集”．
问题解决
（1）不等式组：①¿，②¿，③¿中，是不等式2x>3的“子集”的是_________；（填序号）
（2）若关于x的不等式组¿是关于x的不等式2x−k<2的“子集”，求k的取值范围；
问题拓展
（3）若关于x的不等式组¿的解集不是关于x的不等式(m−5)x4
【小问3】m>5或43的解集为x> ，
2
①¿的解集为x>1，
3
∵x>1不在x> 的范围内，
2
∴一元一次不等式组¿不是一元一次不等式2x>3的“子集”．
2
②¿的解集为x≤ ，
3
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2 3
∵x≤ 不在x> 的范围内，
3 2
∴一元一次不等式组¿不是一元一次不等式2x>3的“子集”．
③¿的解集为2 的范围内，
2
∴一元一次不等式组¿是一元一次不等式2x>3的“子集”．
故答案为：③
（2）解：¿的解集为2.53，
2
解得：k>4；
（3）解：¿的解集为5−m≤x0，即m>5时，
(m−5)x1，解得：m>3，
∴此时m>5；
当m−5<0，即m<5时，
(m−5)x1，
∵关于x的不等式组¿的解集不是关于x的不等式(m−5)x4，
∴此时45或45或42时，
求出不等式组的解集，再判断即可．
【详解】（1）解不等式组¿，得−11，不符合题意，舍去；
②当m>2时，不等式组的解集是m−5≤x<1，
所以根据题意得：¿，
解得：2b
{b>4且a,b均为整数
a<8
可得：42,
即当m=3时，32（m与2m中间至少有两个整数），
∴m>2,
∴当m=3时，32，即t＞2，
∴t的最小值为3，
当t=3时，n=4，m=5，
∴m+n+t=5+4+3=12．
故答案为：12
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．
【题型9 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组）】
【例9】（2023·湖南益阳·统考中考真题）已知x满足不等式组¿，写出一个符合条件的x的值 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】求出不等式组的解集即可得．
【详解】解：¿，
解不等式②得：x≤2，
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则不等式组的解集为−13x；②3(x+2)−1≥5−2(x−2)；③8x+1≤5x−3；④ − ≥0；⑤−3x<0．
5 4
【答案】选择不等式②③组成不等式组，不等式组无解，数轴表示见解析（答案不唯一）
【分析】选择不等式②③组成不等式组，然后求解即可．
【详解】解：选择不等式②③组成不等式组，
3(x+2)−1≥5−2(x−2)②
{
8x+1≤5x−3③
4
解不等式②得：x≥ ，
5
4
解不等式③得：x≤− ，
3
解集在数轴上表示如下：
不等式组无解．
∴【点睛】本题主要考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法及在数轴上表示解集是解题的关键．
【变式9-3】（2023·河南郑州·一模）已知不等式组¿的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的
值 ．
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【答案】-1（答案不唯一）
【分析】先把m当作已知条件求出各不等式的解集，再根据已知数轴上表示的不等式的解集列出关于m的
不等式，求出m的取值范围，写出符合条件的一个m的值即可．
【详解】解：¿，
由①得，x＜2m+1，
由②得，x＜﹣2，
∵由数轴上不等式的解集可知x＜﹣2，
3
∴2m+1≥﹣2，m≥− ，
2
∴m可以等于-1．
故答案为：-1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了利用不等式组的解集求参数的取值，理解题意结合图形求得m的取值范围是解决本题
的关键．
25
