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专题 09 不等式（组）及其应用【九大题型】
【题型1 不等式的基本性质】..................................................................................................................................2
【题型2 一元一次不等式及其解法】......................................................................................................................4
【题型3 不等式组的解法及数轴表示】..................................................................................................................5
【题型4 求不等式组的特殊解】..............................................................................................................................8
【题型5 根据不等式（组）的解集确定字母系数的值或取值范围】...............................................................10
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式】...................................................13
【题型7 中考最热考法之结合新定义考查含参不等式问题】...........................................................................17
【题型8 中考最热考法之结合代数推理考查一元一次不等式的实际应用】...................................................21
【题型9 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元一次不等式组】.....................................................25
【知识点 不等式（组）】
1.定义
定义1：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式
子也是不等式。
定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1。
定义6：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数x都不能使
不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2.不等式的性质
性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ 。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
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性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜ 。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
对于不等式组，应先求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，找出解集的公共部分。
3.不等式(组)与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：答。
【题型1 不等式的基本性质】
【例1】（2023·北京·统考中考真题）已知a−1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．−1<−a<a<1 B．−a<−1<1<a
C．−a<−1<a<1 D．−1<−a<1<a
【答案】B
【分析】由a−1>0可得a>1，则a>0，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：a−1>0得a>1，则a>0，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1<a，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
【变式1-1】（2023·四川德阳·统考中考真题）如果a>b，那么下列运算正确的是（ ）
a b
A．a−3<b−3 B．a+3<b+3 C．3a<3b D． <
−3 −3
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵a>b，
a b
∴a−3>b−3，a+3>b+3，3a>3b， < ，
−3 −3
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D
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【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，
不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同
时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式1-2】（2023·山东临沂·统考中考真题）在实数a,b,c中，若a+b=0,b−c>c−a>0，则下列结论：
①|a|>|b|，②a>0，③b<0，④c<0，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出b>c>a，即可判断②③，根据b=−a，代入已
知条件得出c<0，即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵a+b=0
∴|a|=|b|，故①错误，
∵a+b=0,b−c>c−a>0
∴b>c>a，
又a+b=0
∴a<0,b>0，故②③错误，
∵a+b=0
∴b=−a
∵b−c>c−a>0
∴−a−c>c−a
∴−c>c
∴c<0，故④正确
或借助数轴，如图所示，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键．
【变式1-3】（2023·浙江杭州·统考中考真题）已知数轴上的点A,B分别表示数a,b，其中−1<a<0，
0<b<1．若a×b=c，数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】B
【分析】先由−1<a<0，0<b<1，a×b=c，根据不等式性质得出a<c<0，再分别判定即可．
【详解】解：∵−1<a<0，0<b<1，
∴a<ab<0
∵a×b=c
∴a<c<0
A、0<b<c<1，故此选项不符合题意；
B、a<c<0，故此选项符合题意；
C、c>1，故此选项不符合题意；
D、c<−1，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由−1<a<0，0<b<1，a×b=c得出a<c<0是解
题的关键．
【题型2 一元一次不等式及其解法】
【例2】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）不等式x−2≤1的最大整数解是 ．
【答案】3
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．
【详解】解：不等式x−2≤1的解集是x≤3，
则不等式x−2≤1的最大整数解是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
【变式2-1】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）不等式x+8<4x−1的解集是（ ）
1
A．x<3 B．x>3 C．x<−3 D．x>−
3
【答案】B
【分析】先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可．
【详解】解：x+8<4x−1，
移项，合并同类项得：−3x<−9，
未知数系数化为1得：x>3，故B正确．
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故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确
计算．
【变式2-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）不等式x−1<√5的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数．
【详解】解：x−1<√5，
x<√5+1
∴正整数解为：1，2，3，有3个，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
【变式2-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图
所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
【详解】解：x−1≤m解得x≤m+1，
由数轴得：m+1=3，
解得：m=2，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
【题型3 不等式组的解法及数轴表示】
【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知点M(1−2m，m−1)在第一象限，则m的取值范围在数轴上表
示正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．根据第一象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出各不等式的
解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点M(1−2m，m−1)在第一象限，
∴¿，
由①得m<0.5，由②得，m>1，
∴不等式组的解集为空集．
在数轴上表示为：
故选：D．
【变式3-1】（2023·广东广州·统考中考真题）不等式组¿的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式2x≥x−1，得x≥−1，
x+1 2x
解不等式 > ，得x<3，
2 3
∴不等式组的解集为−1≤x<3，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为
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空心点．
【变式3-2】（2023·江苏·统考中考真题）解不等式组¿，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【答案】−1<x≤2，整数解为：0，1，2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案．
【详解】解：¿，
由①得，x≤2，
由②得，x>−1，
故不等式组的解集为：−1<x≤2，
在解集在数轴上表示出来为：
它的整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集，
注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变．
【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考中考真题）解不等式组¿请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是________．
【答案】(1)x<3
(2)x≥−1
(3)见解析
(4)−1≤x<3
【分析】（1）直接解不等式①即可解答；
（2）直接解不等式①即可解答；
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（3）在数轴上表示出①、②的解集即可；
（3）数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：2x−4<2，
2x<6
x<3．
故答案为：x<3．
（2）解：3x+2≥x，
2x≥−2
x≥−1．
故答案为：x≥−1．
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：由图可知原不等式组的解集是−1≤x<3．
故答案为：−1≤x<3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是
解答本题的关键．
【题型4 求不等式组的特殊解】
【例4】（2023·广东东莞·塘厦初中校考二模）不等式组¿的整数解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确
定整数解及其个数即可．
【详解】解：¿，
解①得x<5，
解②得x≥2．
则不等式组的解集是：2≤x<5．
则整数解是2、3、4，共有3个．
故选C．
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵
循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
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【变式4-1】（2023·四川凉山·统考中考真题）不等式组¿的所有整数解的和是 ．
【答案】7
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．
【详解】解：¿，
由①得：5x−3x>−3−2，
∴2x>−5，
5
解得：x>− ；
2
由②得：x−2≤14−3x，
整理得：4x≤16，
解得：x≤4，
5
∴不等式组的解集为：− <x≤4，
2
∴不等式组的整数解为：−2，−1，0，1，2，3，4；
∴−2+(−1)+0+1+2+3+4=7，
故答案为：7
【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题
的关键．
【变式4-2】（2023·四川乐山·统考三模）满足不等式组¿的整数是 ．
【答案】1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集，即可求解．
【详解】解：¿ ，
解不等式①得：x≥1，
3
解不等式②得：x＜ ，
2
3
则不等式组的解集为：1≤x< ，
2
∴不等式组的整数解为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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【变式4-3】（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）已知三角形的两边长分别是1、2，第三边
为整数且为不等式组¿的解，求这个三角形的周长．
【答案】5
【分析】分别解不等式，得出整数解，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：¿
解不等式①得x<3．
解不等式②得x≥0
∴0≤x<3
∴不等式的整数解为0、1、2
∵2−1<x<2+1
∴x取2
∴三角形周长为1+2+2=5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，三角形的三边关系，正确的求得不等式的整数解是解题的关键．
【题型5 根据不等式（组）的解集确定字母系数的值或取值范围】
【例5】（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的
整数对(m,n)共有（ ）
A．42对 B．36对 C．30对 D．11对
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知
得出关于m、n的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出m、n的值．
【详解】解：¿，
m
解不等式①得：x≥ ，
6
n
解不等式②得：x< ，
5
m n
∴不等式组的解集是 ≤x< ，
6 5
∵关关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，
m n
∴0< ≤1，3< ≤4，
6 5
∵m、n为整数，
∴m=1、2、3、4、5、6，n=16、17、18、19、20，
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6×5=30，
所以适合这个不等式组的整数对(m,n)共有30对，
故选：C．
【变式5-1】（2023·湖南·统考中考真题）若关于x的不等式组¿有解，则在其解集中，整数的个数不可能
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m=2，0，-1，
得出整数解的个数，即可求解．
6−m
【详解】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x＜ ，
2
m
解不等式4x﹣m＞0，得：x＞ ，
4
∵不等式组有解，
m 6−m
∴ ＜ ，
4 2
解得m＜4，
1
如果m＝2，则不等式组的解集为 ＜x＜2，整数解为x＝1，有1个；
2
如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；
1 7
如果m＝﹣1，则不等式组的解集为− ＜x＜ ，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；
4 2
故选C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
a x+a
【变式5-2】（2023·重庆·模拟预测）若关于x的方程 +1= 的解为负数，且关于y的不等式组¿无
x+1 x−1
解，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
【答案】2
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整
数a的值之积．
【详解】解：将分式方程去分母得：
a(x−1)+(x+1)(x−1)=(x+a)(x+1)，
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解得：x=−2a−1，
∵解为负数，
∴−2a−1<0，
1
∴a>− ，
2
∵当x=1时，a=−1；x=−1时，a=0，此时分式的分母为0，
1
∴a>− 且a≠0；
2
将不等式组¿整理得：¿，
∵不等式组¿无解，
∴a≤2，
1
∴a的取值范围为：− <a≤2且a≠0，
2
∴满足条件的整数a的值为：1，2，
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及
明确不等式组解集的取法是解题的关键．
1−ax 1
【变式5-3】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如果关于x的分式方程 +2= 有整数
x−2 2−x
解，且关于x的不等式组¿的解集为x＞4，那么符合条件的所有整数a的值之和是（ ）
A．7 B．8 C．4 D．5
【答案】C
1−ax 1
【分析】解关于x的不等式组¿，结合解集为x＞4，确定a的范围，再由分式方程 +2= 有整数
x−2 2−x
解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求出所有符合条件的值之和即可．
1−ax 1
【详解】由分式方程 +2= 可得1﹣ax+2（x﹣2）＝﹣1
x−2 2−x
2
解得x＝ ，
2−a
1−ax 1
∵关于x的分式方程 +2= 有整数解，且a为整数
x−2 2−x
∴a＝0、3、4
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关于x的不等式组¿整理得¿
∵不等式组¿的解集为x＞4
∴a≤4
于是符合条件的所有整数a的值之和为：0+3+4＝7
故选C．
【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集
中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组）】
【例6】（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组¿
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4−2(2x−1)>3x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；任务二：x≥−1，−1≤x<1
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵−7x>−7，
∴x<1；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是
x<1；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；
任务二：2−3x≤4−x，
−3x+x≤4−2，
−2x≤2，
x≥−1；
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又x<1，
∴不等式组的解集为：−1≤x<1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，
注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
【变式6-1】（2023·贵州贵阳·校考一模）下面是小星解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x−1 8+3x
− ≤−1．
2 5
解：去分母，得5(x−1)−2(8+3x)≤−10，第一步
去括号，5x−5−16+6x≤−10，第二步
移项，得5x+6x≤−10+5+16，第三步
合并同类项，得11x≤11，第四步
系数化为1，得x≤1．第五步
填空：①上述解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
【答案】①不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变（不等式的基础性质2）；
②二，去括号时，括号前面是“-”，括号中的第二项没有变号．
【分析】去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
【详解】解：①不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变（不等式的基本性质
2）；
②二、去括号时，括号前面是“-”，括号中的第二项没有变号．
【点睛】本题考查了考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤
化系数为1．
【变式6-2】（2023·浙江杭州·校考一模）以下是圆圆解不等式组¿的过程：
解：由①，得x＜﹣2．
由②，得3﹣x＞1+2x
所以x＞4
所以原不等式组无解．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有，正确过程见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和方法求解即可．
【详解】解：有错误，正确解答过程如下：
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¿
由①得，x>−2
2
由②得，x<
5
2
所以原不等式组的解集为−2<x< ．
5
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握解一元一次不等式．
2x+1 x+2
【变式6-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小颖同学解一元一次不等式 − <2的解
3 6
答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得2(2x+1)−(x+2)<12，…………第一步
去括号，得4x+2−x+2<12，……………第二步
移项、合并同类项，得3x<8，……………第三步
8
两边都除以3，得x< …………………第四步
3
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是 ；
②第二步变形所依据的运算律是 ；
③第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
【答案】任务一：①不等式两边同时乘以一个正数，不等式不改变方向；②；乘法分配律；②二；去括号
时数字2前面的符号没有变号；任务二：x<4
【分析】任务一：①根据不等式的性质求解即可；②根据解题步骤可知运用了乘法分配律；③根据去括号
法则可知在第二步去括号时数字2前面的符号没有变号；任务二：按照解一元一次不等式的步骤解不等式
即可．
【详解】解：任务一：①以上运算步骤中，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等式不改变
方向，
故答案为：不等式两边同时乘以一个正数，不等式不改变方向；
②第二步变形所依据的运算律是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
③第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时数字2前面的符号没有变号，
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故答案为：二；去括号时数字2前面的符号没有变号；
2x+1 x+2
任务二： − <2
3 6
去分母得：2(2x+1)−(x+2)<12，
去括号得：4x+2−x−2<12，
移项，合并同类项得：3x<12，
系数化为1得：x<4．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，含乘方的有理数混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算方
法是解题的关键．
【题型7 中考最热考法之结合新定义考查含参不等式（组）问题】
【例7】（2023·辽宁·统考中考真题）对x，y定义一种新的运算F，规定：F（x，y）＝¿时，若关于正数x
的不等式组¿恰好有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．−3≤m<5 B．5<m<7 C．9≤m<10 D．11≤m<12
【答案】D
【分析】分类讨论0<x<2和x≥2的情况即可求解．
【详解】解：①0<x<2时：
由¿得¿
由2−x>5得：x<−3（舍去）
②x≥2时：
由¿得¿
解得：7<x≤m−2
∵不等式组¿恰好有2个整数解
∴9≤m−2<10
解得：11≤m<12
故选：D
【点睛】本题考查根据不等式组的解集情况确定参数的取值范围．掌握不等式组的求解步骤是解题关键．
【变式7-1】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b，若关于x的不
等式组¿的解集为x>6，则a的取值范围是 ．
【答案】a≤2
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为x>6确定a的取值范
围即可．
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【详解】解：根据新定义关于x的不等式组¿可化为：¿
解不等式①可得：x>6
解不等式①可得：x>3a
因为该不等式组的解集为x>6
∴3a≤6，解得：a≤2．
故答案为：a≤2．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
【变式7-2】（2023·山东·中考真题）阅读理解
定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组
为该不等式的“子集”．如：¿的解集为−3≤x<4，2x−1>−9的解为x>−4，∵−3≤x<4在x>−4的
范围内，∴一元一次不等式组¿是一元一次不等式2x−1>−9的“子集”．
问题解决
（1）不等式组：①¿，②¿，③¿中，是不等式2x>3的“子集”的是_________；（填序号）
（2）若关于x的不等式组¿是关于x的不等式2x−k<2的“子集”，求k的取值范围；
问题拓展
（3）若关于x的不等式组¿的解集不是关于x的不等式(m−5)x<m−5的“子集”，直接写出m的取值范
围是___________．
【答案】【小问1】③
【小问2】k>4
【小问3】m>5或4<m<5
【分析】（1）分别求出每一个不等式组的解集，再根据新定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出不等式组和不等式的解集，再根据不等式组¿是关于x的不等式2x−k<2的“子集”，得到关
于k的不等式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
3
【详解】解：不等式2x>3的解集为x> ，
2
①¿的解集为x>1，
3
∵x>1不在x> 的范围内，
2
∴一元一次不等式组¿不是一元一次不等式2x>3的“子集”．
2
②¿的解集为x≤ ，
3
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2 3
∵x≤ 不在x> 的范围内，
3 2
∴一元一次不等式组¿不是一元一次不等式2x>3的“子集”．
③¿的解集为2<x≤5，
3
∵2<x≤5在x> 的范围内，
2
∴一元一次不等式组¿是一元一次不等式2x>3的“子集”．
故答案为：③
（2）解：¿的解集为2.5<x≤3，
k+2
2x−k<2的解集为x< ，
2
∵一元一次不等式组¿是关于x的不等式2x−k<2的“子集”，
k+2
∴ >3，
2
解得：k>4；
（3）解：¿的解集为5−m≤x<m−2，
当m−5>0，即m>5时，
(m−5)x<m−5的解集为x<1，
∵关于x的不等式组¿的解集不是关于x的不等式(m−5)x<m−5的“子集”，
∴m−2>1，解得：m>3，
∴此时m>5；
当m−5<0，即m<5时，
(m−5)x<m−5的解集为x>1，
∵关于x的不等式组¿的解集不是关于x的不等式(m−5)x<m−5的“子集”，
∴5−m<1，解得：m>4，
∴此时4<m<5；
综上所述，m的取值范围是m>5或4<m<5．
故答案为：m>5或4<m<5
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键．
【变式7-3】（2023·云南·统考中考真题）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称
该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x−6=0的解为x=3，不等式组¿的解集为
2<x<5．因为2<3<5，所以称方程2x−6=0为不等式组¿，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组¿的“相伴方程”的是______；（填序号）
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①x−1=0；②2x+1=0；③−2x−2=0．
(2)若关于x的方程2x−k=2是不等式组¿的“相伴方程”，求k的取值范围；
2x−1
(3)若方程2x+4=0， =−1都是关于x的不等式组¿的“相伴方程”，其中m≠2，求m的取值范围．
3
【答案】(1)①②
(2)k取值范围为3<k≤4
(3)m的取值范围为2<m≤3
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
5 2+k
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出 < ≤3，再去求不等式组的解集即可；
2 2
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m<2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m>2时，
求出不等式组的解集，再判断即可．
【详解】（1）解不等式组¿，得−1<x<2，
解方程x−1=0得：x=1；
1
解方程2x+1=0得：x=− ；
2
解方程−2x−2=0得：x=−1，
1
∵−1<1<2，−1<− <2，−1=−1，
2
∴①②是不等式组¿的“相伴方程”，
故答案为：①②；
5
（2）解不等式组¿得： <x≤3，
2
2+k
解方程2x−k=2得：x= ，
2
∵关于x的方程2x−k=2是不等式组¿的“相伴方程”，
5 2+k
∴ < ≤3，
2 2
解得：3<k≤4，
即k的取值范围是3<k≤4；
（3）解方程2x+4=0得x=−2，
2x−1
解方程 =−1得x=−1，
3
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2x−1
∵方程2x+4=0， =−1都是关于x的不等式组¿的“相伴方程”， m≠2，
3
所以分为两种情况：①当m＜2时，不等式组为¿，
此时不等式组的解集是x>1，不符合题意，舍去；
②当m>2时，不等式组的解集是m−5≤x<1，
所以根据题意得：¿，
解得：2<m≤3，
所以m的取值范围是2<m≤3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得
出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
【题型8 中考最热考法之结合代数推理考查一元一次不等式的实际应用】
【例8】（2023·河南·统考中考真题）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为 ；
（2）该小组人数的最小值为 ．
【答案】 5 7
【分析】①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解．
【详解】解：①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：
¿，且a=3，
解得：y＜6，
∵x、y均为整数，
∴初二学生人数的最大值为5；
故答案为：5；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：
¿，
当a=1时，
即有：¿，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：¿，
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此时团队总人数为：x+ y+z+a=3+1+2+1=7（人）；
当a=2时，
即有：¿，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：¿，
此时小组总人数最小值为：x+ y+z+a=3+1+3+2=9（人），
可知随着老师的人数增加，小组总人数也增加，
即该小组人数最小值为7人；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．
【变式8-1】（2023·宁夏·中考真题）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文
学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ．
【答案】6
【分析】根据题中给出阅读过《三国演义》的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过《西游记》的人数
的取值范围，然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，得出阅读过《水浒传》的人数的取值范围，
即可得出答案.
【详解】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b，（a,b均为整数）
依题意可得：
a>b
{b>4且a,b均为整数
a<8
可得：4<b<7，
∴b最大可以取6；
故答案为6.
【点睛】本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求b的最大值，
则可通过题中不等关系得出b是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可.
【变式8-2】（2023·四川·统考中考真题）为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠 、三色堇、蔷
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薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：
a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；
b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；
c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．
①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为 ：
②一个花坛花盆数量的最小值为 ．
【答案】 6 12
【分析】设三色堇x盆，四季海棠y盆，
①根据4<y<x<8, x,y都是整数，可得四季海棠盆数的最大值为6．
②设蔷薇m盆，可得m<y<x<2m,由m与2m中间至少有两个整数，可知m>2,
即当m=3时，3<y<x<6,一个花坛花盆数量最小，即可求出答案．
【详解】解：设三色堇x盆，四季海棠y盆，
①根据已知得：4<y<x<2×4,即4<y<x<8,
∵x,y都是整数，
∴x最大值为7，y最大值为6，
∴四季海棠盆数的最大值为6．
故答案为：6．
②设蔷薇m盆，则一个花坛花盆数量是(m+x+ y)盆，
根据题意得：m<y<x<2m,
∵m,x,y都是整数，
∴2m−m>2（m与2m中间至少有两个整数），
∴m>2,
∴当m=3时，3<y<x<6,
此时y=4,x=5,一个花坛花盆数量最小，最小值是3+4+5=12（盆）
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了不等式的应用类问题，解题的关键是根据题意列出不等式，并能根据实际问题求
出符合条件的解．
【变式8-3】（2023·四川内江模拟预测）某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个
条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
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（iii）教师人数的两倍多于男学生人数
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ；
②该小组人数的最小值为 ．
【答案】 6 12
【分析】①设男生有x人，女生有y人，且x＞y，根据题意列出不等式组，即可求解；
②男生有m人，女生有n人，教师有t人，根据题意列出不等式组，即可求解．
【详解】解：①设男生有x人，女生有y人，且x＞y，根据题意得：
¿，¿，
解得：4<x<8,4<y<8，
∵x、y均为整数，且x＞y，
∴x=6或7，y=5或6；
∴女学生人数的最大值为6
故答案为：6
②设男生有m人，女生有n人，教师有t人，根据题意得：
¿，
解得：t<m<2t,t<n<2t，
∵m，n，t均为整数，且m＞n，
∴t<n<m<2t，
∴2t−t>2，即t＞2，
∴t的最小值为3，
当t=3时，n=4，m=5，
∴m+n+t=5+4+3=12．
故答案为：12
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．
【题型9 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组）】
【例9】（2023·湖南益阳·统考中考真题）已知x满足不等式组¿，写出一个符合条件的x的值 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】求出不等式组的解集即可得．
【详解】解：¿，
解不等式②得：x≤2，
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则不等式组的解集为−1<x≤2，
因此，一个符合条件的x值是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
【变式9-1】（2023·江苏扬州·统考一模）若不等式组¿无解，a的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】3
【分析】根据不等式组无解，可列出关于a的不等式组，解之得出a的范围，进而在范围内选出一个数即可．
【详解】解：由¿，解得¿，
又由不等式组¿无解，得到a≥2，
所以a的值可以是3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查根据不等式解集求代数问题，根据不等式组无解，得出a的范围是解题的关键.
【变式9-2】（2023·河南商丘·校考一模）从下列不等式中，任选两个不等式组成一个不等式组，解该不等
式组，并把其解集表示在数轴上．
x+2 x−1
①2x>3x；②3(x+2)−1≥5−2(x−2)；③8x+1≤5x−3；④ − ≥0；⑤−3x<0．
5 4
【答案】选择不等式②③组成不等式组，不等式组无解，数轴表示见解析（答案不唯一）
【分析】选择不等式②③组成不等式组，然后求解即可．
【详解】解：选择不等式②③组成不等式组，
3(x+2)−1≥5−2(x−2)②
{
8x+1≤5x−3③
4
解不等式②得：x≥ ，
5
4
解不等式③得：x≤− ，
3
解集在数轴上表示如下：
不等式组无解．
∴【点睛】本题主要考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法及在数轴上表示解集是解题的关键．
【变式9-3】（2023·河南郑州·一模）已知不等式组¿的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的
值 ．
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【答案】-1（答案不唯一）
【分析】先把m当作已知条件求出各不等式的解集，再根据已知数轴上表示的不等式的解集列出关于m的
不等式，求出m的取值范围，写出符合条件的一个m的值即可．
【详解】解：¿，
由①得，x＜2m+1，
由②得，x＜﹣2，
∵由数轴上不等式的解集可知x＜﹣2，
3
∴2m+1≥﹣2，m≥− ，
2
∴m可以等于-1．
故答案为：-1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了利用不等式组的解集求参数的取值，理解题意结合图形求得m的取值范围是解决本题
的关键．
25
