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第 07 讲 一元二次方程
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 一元二次方程的相关概念
题型01 识别一元二次方程
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
题型03 一元二次方程的一般式
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
考点二 解一元二次方程
题型01 用直接开平方法解一元二次方程
题型02 利用配方法解一元二次方程
题型03 利用因式分解法解一元二次方程
题型04 利用公式法解一元二次方程
题型05 利用换元法解一元二次方程
题型06 选用合适的方法解一元二次方程
题型07 错看或错解一元二次方程问题
题型08 配方法的应用
题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况
题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况
题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
题型12 应用根的判别式证明方程根的情况
题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
考点三 一元二次方程根与系数的关系
题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值
题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负
题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围
题型07 与根与系数有关的新定义问题
题型08 构造一元二次方程求代数式的值
题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
考点四 一元二次方程的应用
题型01 分裂（传播）问题
题型02 碰面（循环）问题
题型03 增长率问题
题型04 营销问题
题型05 工程问题
题型06 行程问题
题型07 与图形有有关的问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
本考点内容以考查一元二
一元二次方程的相
理解一元二次方程的相关概念. 次方程的相关概念、解一元二次
关概念
方程、根的判别式、韦达定理
理解配方法，能用配方法、公式
（根与系数的关系）、一元二次
法、因式分解法解数字系数的一元二次方
一元二次方程的解 方程的应用题为主，既有单独考
程；
法 查，也有和二次函数结合考察最
会用一元二次方程根的判别式判别
值问题，年年考查，分值为15分
方程是否有实根及两个实根是否相等；
左右.
一元二次方程的根 了解一元二次方程的根与系数的关
预计2024年各地中考还将
与系数的关系 系.
继续考查上述的几个题型，复习
过程中要多注意各基础考点的巩
固，特别是解法中公式法的公
一元二次方程的应 能根据具体问题的实际意义，检验
用 方程解的合理性. 式，不要和后续二次函数顶点坐
标的纵坐标公式记混了．
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考点一 一元二次方程的相关概念
概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程 一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)，
的相关概念 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解.
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1. 如果明确了ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，
即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.
3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.
4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数
时,应先将方程化为一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2．
题型01 识别一元二次方程
【例1】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2−1=0 B．2x+ y=1 C．x+ =3 D．4x+5=6x
x
【答案】A
【提示】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫
一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含
未知数的项的最高次数是2．
【变式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x−y=0 B．ax2+2x−3=0
C．x2+2x+5=x(x−1) D．x2−1=0
【答案】D
【提示】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元
二次方程，逐项提示判断即可．
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【详解】解：A、x2+x−y=0，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、ax2+2x−3=0，当a=0时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、x2+2x+5=x(x−1)整理后得3x+5=0，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、x2−1=0，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程叫一元二次方程”是解题的关键．
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
【例2】（2023 南阳市一模）关于x的方程(m+1)x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．−1 B．3 C．1 D．1或−1
【答案】C
【提示】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程(m+1)x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，
∴|m|+1=2且m+1≠0，
解得：m=1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整
式方程是一元二次方程是解题的关键．
【变式2-1】（2022上·辽宁沈阳·九年级期中）方程(m−2)xm2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方
程，则m= ．
【答案】−2
【提示】根据一元二次方程的定义知，m2−2=2，且m−2≠0，据此可以求得m的值．
【详解】解：∵方程(m−2)xm2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m2−2=2，且m−2≠0，
解得m=−2；
故答案是：−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是
2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关
键．
题型03 一元二次方程的一般式
【例3】（2022上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程3x2=5x−1写成一般形式，
下列等式正确的是（ ）
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A．3x2−5x−1=0 B．3x2+5x−1=0
C．3x2−5x+1=0 D．3x2+5x+1=0
【答案】C
【提示】把等号右边的式子移到等号左边即可解题．
【详解】解：3x2=5x−1
移项得：3x2−5x+1=0
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握移项变号的基本步骤．
【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4x2+8x=25化成
ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，−25 C．4，8，−25 D．1，2，25
【答案】C
【提示】将4x2+8x=25移项化为一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：4x2+8x−25=0，
∴a=4，b=8，c=−25，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键．
【变式3-2】．（2021上·山西晋中·九年级阶段练习）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它
的一个根为2，则该方程为 ．
【答案】x2−2x=0/-2x+x2=0
【提示】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0．
故答案为：x2-2x=0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
【变式3-3】（2023集贤县·九年级期中）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的常数项是
0，则a的值为（ ）
1
A．1 B．−1 C．1或−1 D．
2
【答案】B
【提示】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．
【详解】解：由题意，¿，
解得：a=−1，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
【例4】（2022·广东·中考真题）若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a= ．
【答案】1
【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程x2−2x+a=0，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，
就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式4-1】（2021·湖南长沙·中考真题）若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为 ．
【答案】−1
【提示】将x=3代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将x=3代入方程x2−kx−12=0得：32−3k−12=0，
解得k=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数
取值的其他隐含条件.
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
【例5】（2023·甘肃陇南·一模）关于x的一元二次方程2xa−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【提示】根据一元二次方程的概念可求出a的值，根据解为x=1可求出m的值，由此即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程2xa−2+m=4，
∴a−2=2，解得，a=4，
∴一元二次方程2x2+m=4，
∵解为x=1，
∴2×12+m=4，解得，m=2，
∴a+m=4+2=6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的方法是解题的关键．
【变式5-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）如果x=−1是方程x2+mx+n=0的一个根，那么m、n的大
小关系是（ ）
A．m>n B．m=n C．m0
∴m>n．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，n的关系式，是解题的关键．
【变式5-2】（2023渭南市月考）若关于x的方程ax2+bx−1=0的一个解为x=1，则2023−a−b=
．
【答案】2022
【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=1，再求代数式的值．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx−1=0得a+b−1=0，
即a+b=1，
所以2023−a−b=2023−(a+b)=2023−1=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键．
【变式5-3】（2023·广东佛山·校考一模）已知a是方程2x2−5x−7=0的一个根，则代数式4a2−10a的
值是 ．
【答案】14
【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出2a2−5a−7=0即可解答；
【详解】解：∵a是方程2x2−5x−7=0的一个根，
∴2a2−5a−7=0，
整理得，2a2−5a=7，
∴4a2−10a=2(2a2−5a)=14，
故答案是：14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的概
念是解题的关键．
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
【例6】（2022·广西贵港·中考真题）若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个
根及m的值分别是（ ）
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A．0，−2 B．0，0 C．−2，−2 D．−2，0
【答案】B
【提示】直接把x=−2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，
把x=−2代入x2+2x+m=0，则
(−2) 2+2×(−2)+m=0，
解得：m=0；
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x =−2，x=0，
1
∴方程的另一个根是x=0；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
【变式6-1】（2023宁德市一模）关于x的一元二次方程x2−2kx−5=0的一个根是1，则这个方程的另一
个根是 ．
【答案】−5
【提示】根据方程的一个根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∴关于x的一元二次方程x2−2kx−5=0的一个根是1，
∴1−2k−5=0，
∴k=−2，
∴x2+4x−5=0，
解得x =1，x =−5，
1 2
∴方程的另一个根是-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．
【变式6-2】（2023遵义市第十一中三模）若关于x的一元二次方程x2−kx−2=0的一个根为x=1，则这
个一元二次方程的另一个根为 ．
【答案】-2
【提示】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
【详解】解：将x=1代入一元二次方程x2−kx−2=0有：1−k−2=0，k=-1，
方程x2+x−2=0
(x+2)(x−1)=0
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
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【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其
中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
考点二 解一元二次方程
基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，
得到的两个解就是原方程的解.
特征 步骤
直接 2 b
形如ax =b 2
1）方程两边同时除以a，得x =
开平 （a≠0）的一元 a
二次方程 √b √b
方法 2）两边分别开方得x1= =，x2= -
a a
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
解 可配成 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
一 2
配方 (mx+a) =b 2
元 (mx+a) =b（b≥0）的形式；
形式的
二 法
一元二次方程
4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解.
次
方 解 【注意】：①当b <0时，方程无解
程 法
−a±√b
的
②当b≥0时，方程的根是x=
方 m
法
可化成 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
因式 (ax+b)(cx+d)=0 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
分解 形式的 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
法 一元二次方程 4）求解.
口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其
化为整数，方便计算)；
2
2）求出b -4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
公式 适用所有
2
3）如果b -4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
法 一元二次方程
−b±√b2−4ac
x= ；
2a
4）最后求出x ，x
1 2。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
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1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
根的判别式 一般地，式子b2−4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别
式，通常用 希 Δ腊表字示，母即Δ=b2−4ac.
Δ＞0 −b±√b2−4ac
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根:x=
根的情况 2a
与判别式
Δ=0 b
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根：x =x =−
的关系 1 2 2a
Δ＜0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根
1. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且
它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含
有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
2
3. 求根公式的使用条件：a≠0且b -4ac≥0.
4. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
5. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
3）没有实数根时, Δ<0.
6. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
题型01 用直接开平方法解一元二次方程
【例1】（2023·天津西青·二模）方程(x+6) 2−9=0的两个根是（ ）
A．x =3，x =9 B．x =−3，x =9
1 2 1 2
C．x =3，x =−9 D．x =−3，x =−9
1 2 1 2
【答案】D
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【提示】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：(x+6) 2−9=0，
(x+6) 2=9，
∴x+6=±3，
∴x =−3,x =−9，
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程(x−2) 2=3的两根为a、b，且a>b，则2a+b的值
为 ．
【答案】6+√3/√3+6
【提示】先利用直接开平方法解方程得到a=2+√3，b=2−√3，然后把它们代入2a+b中计算即可．
【详解】解：(x−2) 2=3，
x−2=±√3，
解得x =2+√3．x =2−√3，
1 2
∵方程(x−2) 2=3的两根为a、b，且a>b，
∴a=2+√3，b=2−√3，
∴2a+b=2(2+√3)+2−√3=6+√3．
故答案为：6+√3．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式1-2】（2023·齐齐哈尔市模拟）解关于x的方程： 4(2x−5) 2=9(3x−1) 2．
7
【答案】x =− ，x =1
1 5 2
【提示】变形后利用直接开方法解方程即可．
2 2
【详解】整理得：[2(2x−5)] =[3(3x−1)] ，
∴2(2x−5)=±3(3x−1)，
∴2(2x−5)=3(3x−1)或2(2x−5)=−3(3x−1)，
7
∴x =− ，x =1．
1 5 2
【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进
行计算即可．
题型02 利用配方法解一元二次方程
【例2】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．(x+1) 2=3 B．(x+1) 2=6 C．(x−1) 2=3 D．(x−1) 2=6
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【答案】C
【提示】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【变式2-1】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为
(x+a) 2=b的形式，则a+b的值为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
【答案】B
【提示】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵3x2+6x−1=0，
1
∴3x2+6x=1，x2+2x=
，
3
1 4
则x2+2x+1= +1，即(x+1) 2= ，
3 3
4
∴a=1，b= ，
3
7
∴a+b= ．
3
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
【变式2-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程2x2−12x+1=0配方成(x−m) 2=n的形式，下列
配方结果正确的是（ ）
17 17
A．(x+3) 2=17 B．(x+3) 2= C．(x−3) 2=17 D．(x−3) 2=
2 2
【答案】D
【提示】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即
可求解．
【详解】解：2x2−12x+1=0，
1
二次项化系数为1得：x2−6x+ =0，
2
1
移项得：x2−6x=−
，
2
1
配方得：x2−6x+9=9−
，
2
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17
整理得：(x−3) 2= ，
2
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【变式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2−4x−3=0，配方得(x+m) 2=7，常数m的值是
．
【答案】−2
【提示】根据配方法的一般步骤先把常数项−3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的
平方，即可得出答案．
【详解】解：x2−4x−3=0，
x2−4x=3，
x2−4x+4=3+4，
(x−2) 2=7，
则m=−2．
故答案为：−2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把
常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
题型03 利用因式分解法解一元二次方程
【例3】（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是 ．
【答案】x =2，x =−7
1 2
【提示】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：x−2=0或x+7=0，
∴x =2或x =−7，
1 2
故答案为：x =2或x =−7．
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
【变式3-1】（2023惠阳区模拟预测）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，
则该三角形的周长为 ．
【答案】13
【提示】利用因式分解法解方程，得到x =4，x =9，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角
1 2
形的周长即可.
【详解】解：∵x2−13x+36=0，
∴(x−4)(x−9)=0，
∴x =4，x =9，
1 2
∵3+6=9，
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∴x =9不符合题意，舍去；
2
∴三角形的周长为：3+6+4=13；
故答案为：13.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长
度，以及掌握三角形的三边关系.
【变式3-2】（2023·江苏南京·二模）解方程：x(x−6)=−4(x−6)．
【答案】x =6,x =−4
1 2
【提示】先移项，然后利用因式分解法可进行求解．
【详解】解：x(x−6)=−4(x−6)
x(x−6)+4(x−6)=0
(x−6)(x+4)=0
解得：x =6,x =−4．
1 2
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
题型04 利用公式法解一元二次方程
【例4】（2023·甘肃陇南·一模）用公式法解方程x2−4x−11=0时，Δ＝（ ）
A．−43 B．−28 C．45 D．60
【答案】D
【提示】Δ＝b2−4ac，给a、b、c赋值并代入求值即可．
【详解】解：x2−4x−11=0，
∵a=1，b=−4，c=−11，
∴Δ＝(−4) 2−4×1×(−11)=60．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【变式4-1】（2023·江苏无锡·一模）方程x2−3x=1的解是 ．
3+√13 3−√13
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【提示】利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵x2−3x=1，
∴x2−3x−1=0，
∴a=1，b=−3，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×1×(−1)=13>0，
−b±√b2−4ac 3±√13
∴x= = ，
2a 2
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3+√13 3−√13
解得x = ，x = ，
1 2 2 2
3+√13 3−√13
故答案为：x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式4-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）方程x2+2x−2=0的解是 .
【答案】x =−1+√3,x =−1−√3
1 2
【提示】利用公式法计算即可．
【详解】∵x2+2x−2=0，
a=1,b=2,c=−2,Δ=b2−4ac=22−4×1×(−2)=12＞0
−2±√12
∴x= ，
2
∴x =−1+√3,x =−1−√3
1 2
故答案为：x =−1+√3,x =−1−√3．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键．
【变式4-3】（2023长岭县模拟）一元二次方程x2−3x+2=0根的判别式的值为 ．
【答案】1
【提示】首先找出一元二次方程x2−3x+2=0中a=1，b=−3，c=2，然后根据根的判别式Δ=b2−4ac
计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2−3x+2=0中a=1，b=−3，c=2，
∴ Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×1×2=1，
故答案是：1．
【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式Δ=b2−4ac．
题型05 利用换元法解一元二次方程
【例5】（2023·浙江宁波·校考一模）已知(a2+b2) 2 −a2−b2−6=0，求a2+b2的值为 ．
【答案】3
【提示】把a2+b2看作一个整体，设a2+b2= y，利用换元法得到新方程y2−y−6=0，求解即可．
【详解】解：设a2+b2= y，
据题意，得y2−y−6=0，
解得y =3，y =−2，
1 2
∵a2+b2≥0，
∴y =−2不符合题意舍去，
2
∴a2+b2= y=3．
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故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将a2+b2看作一个整体，熟练应用换元法．
【变式5-1】（2023罗湖区模拟预测）若(x2+ y2+3)(x2+ y2−3)=16，则x2+ y2= ．
【答案】5
【提示】设x2+ y2=m，把原方程化为关于m的一元二次方程，解方程求出m，根据非负数的性质即可获得
答案．
【详解】解：设x2+ y2=m，则原方程变形为(m+3)(m−3)=16，
即m2−9=16，
解得m =5，m =−5，
1 2
∵x2+ y2≥0，
∴x2+ y2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及非负数的性质，熟练掌握解一元二次方程的一般方法和
步骤是解题的关键．
【变式5-2】我们知道方程x2+2x−3=0的解是x =1，x =−3，现给出另一个方程
1 2
(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0，它的解是（ ）
A．x =1，x =3 B．x =1，x =−3
1 2 1 2
C．x =−1，x =3 D．x =−1，x =−3
1 2 1 2
【答案】D
【提示】把方程(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果．
【详解】把方程(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
∴2x+3=1或2x+3=−3，
∴x =−1，x =−3．
1 2
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键．
【变式5-3】（2023·四川绵阳·二模）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程
a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7的解为 ．
x … −3 0 1 3 5 …
y … 7 −8 −9 −5 7 …
【答案】x =−1，x =3
1 2
【提示】利用抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程ax2+bx+c=7的解为x =−3，x =5，再把方程
1 2
a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7看作关于(2x−1)的一元二次方程，则2x−1=−3或2x−1=5，然后解两个
一次方程即可．
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【详解】解：由表值值数据得x=−3或x=5时，y=7，
∴一元二次方程ax2+bx+c=7的解为x =−3，x =5，
1 2
把方程a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7看作关于(2x−1)的一元二次方程，
∴2x−1=−3或2x−1=5，
解得x =−1，x =3，
1 2
即一元二次方程a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7的解为x =−1，x =3．
1 2
故答案为：x =−1，x =3．
1 2
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交
点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数的性质．
题型06 选用合适的方法解一元二次方程
【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2−4x−5=0．
【答案】x =−1,x =5．
1 2
【提示】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
x2−4x=5，
∴x2−4x+4=5+4，
∴(x−2) 2=9，
两边开平方，得
x−2=±3，
∴x =−1,x =5．
1 2
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
【变式6-1】（2023·广东广州·一模）解方程(x−2) 2=4．
【答案】x =4，x =0；
1 2
【提示】直接开平方求解即可得到答案；
【详解】解：两边开平方可得，
x−2=±2，
即x=±2+2，
∴x =2+2=4，x =−2+2=0，
1 2
∴方程的解为：x =4，x =0；
1 2
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及选择适当
的解法求解．
【变式6-2】（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程
(1)9x2−(x−1) 2=0
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(2)x2−4x−1=0
(3)2x2−x−3=0
【详解】（1）解：9x2−(x−1) 2=0，
(3x) 2−(x−1) 2=0，
(3x+x−1)(3x−x+1)=0，
(4x−1)(2x+1)=0，
2x+1=0或4x−1=0，
1 1
∴x =− ，x = ；
1 2 2 4
（2）x2−4x−1=0，
x2−4x+4=4+1，
(x−2) 2=5，
x−2=±√5，
∴x =2+√5，x =2−√5；
1 2
（3）2x2−x−3=0，
(2x−3)(x+1)=0，
2x−3=0或x+1=0，
3
∴x = ，x =−1．
1 2 2
题型07 错看或错解一元二次方程问题
【例7】（2022·浙江温州·一模）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
整理得，x2﹣4x＝﹣3 整理得，x2﹣4x＝﹣3
移项得，（x﹣3）（x﹣1）
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1
两边同时除以 ＝0
b2﹣4ac＝28 ∴（x﹣2）2＝﹣1
（x﹣1）得，x＝3 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0
4±√28 ∴x﹣2＝±1
∴x＝ ＝2±√7 ∴x＝1，x＝3
2 ∴x＝1，x＝3 1 2
1 2
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【提示】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；
B.化为一般式，利用公式法解答；
C.利用配方法解答；
D.利用因式分解法解答
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【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；
C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确，
故选：D
【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知
识是解题关键．
【变式7-1】下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整．
解方程： (x−3) 2=4x2
解： x−3=2x …第一步
x−2x=3⋯ 第二步
x=−3⋯ 第三步
(1)提示：第 步开始出现错误；
(2)改正：
【答案】(1)一；
(2)改正见解析
【提示】（1）开方时忽略一种情况，第一步出现错误；
（2）先开方，分两种情况再移项，合并同类项，求出解即可．
【详解】（1）两边同时开方，得x−3=2x或x−3=−2x，所以第一步错误．
故答案为：一；
（2）(x−3) 2=4x2 ，
开方，得x−3=2x 或 x−3=−2x ，
x−2x=3或x+2x=3
−x=3或3x=3
所以x =−3 ， x =1 .
1 2
【点睛】本题主要考查了用直接开方法求一元二次方程的解，掌握直接开方法解一元二次方程的步骤时解
题的关键．
【变式7-2】（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3(x−3)=(x−3) 2的过程如下框：
小霞：
小敏：
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
两边同除以(x−3)，得
提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
3=x−3，
则x−3=0或3−x−3=0，
则x=6．
解得x =3，x =0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
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【提示】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小霞：
小敏：
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
两边同除以(x−3)，得
提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
3=x−3，
则x−3=0或3−x−3=0，
则x=6．
解得x =3，x =0．
（×） 1 2
（×）
正确解答：3(x−3)=(x−3) 2
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
提取公因式，得(x−3)[3−(x−3)]=0，
去括号，得(x−3)(3−x+3)=0，
则x−3=0或6−x=0，
解得x =3，x =6．
1 2
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
【变式7-3】（2023·山西晋中·模拟预测）（1）计算：sin45°+tan45°−2cos60°．
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
x2−2x=1 第一步
x2−2x+1=1，即(x−1) 2=1第二步
x−1=±1 第三步
x =0，x =2 第四步
1 2
任务一：
①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 ，依据的一个数学公式是 ；第
步开始出现错误；
任务二：
②请你直接写出该方程的正确解．
√2
【答案】（1） ；（2）①配方法，完全平方公式，二；②x =1+√2,x =1−√2
2 1 2
【提示】（1）代入特殊角的三角函数值，再按实数的运算顺序计算；
（2）根据小明同学的解答步骤提示即可．
√2 1
【详解】解：（1）原式= +1−2×
2 2
√2
= +1−1
2
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√2
= ；
2
（2）任务一：
上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式；第二步
开始出现错误；
任务二：正确的解法为：
x2−2x=1，
x2−2x+1=2，即(x−1) 2=2，
x−1=±√2，
所以x =1+√2,x =1−√2．
1 2
故答案为：配方法，完全平方公式，二，x =1+√2,x =1−√2．
1 2
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式7-4】（2023上·北京东城·九年级期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2−4x−p=0 (p>0)
的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
2x2−4x−p=0
解：移项，得：2x2−4x=p．①
p
二次项系数化为1，得：x2−2x=
．②
2
p
配方，得x2−2x+1=
．③
2
p
即(x−1) 2= .
2
∵p>0，
√ p
∴x−1=± ．④
2
√2p √2p
∴x =1+ ，x =1− ．⑤
1 2 1 2
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】(1)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
2+√2p+4 2−√2p+4
(2)不正确，解答从第③步开始出错，x = ，x =
1 2 2 2
【提示】（1）根据等式的性质2即可写出依据；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【详解】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）不正确，解答从第③步开始出错，
正确的步骤为：
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p
配方，得x2−2x+1= +1．③
2
p+2
即(x−1) 2=
2
∵p>0，
√ p+2
∴x−1=± ．④
2
2+√2p+4 2−√2p+4
∴x = ，x = ．⑤
1 2 2 2
2+√2p+4 2−√2p+4
此方程的解为x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．
题型08 配方法的应用
【例8】（2023上·江西九江·九年级阶段练习）【课本再现】
材料一：解方程：x2+8x−9=0．
解：把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9．
两边都加42，得x2+8x+42=9+42，即(x+4) 2=25．
两边开方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=−5，
所以x =1，x =−9．
1 2
在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配
方法．
材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题．
例如：x2−6x+10=(x2−6x+9)−9+10=(x−3) 2+1．
∵(x−3) 2≥0，
∴(x−3) 2+1≥1，即x2−6x+10有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程x2−4x−2=0，配方后可变形为（ ）
A．(x−4) 2=8 B．(x−4) 2=6 C．(x−2) 2=2 D．(x−2) 2=6
（2）利用配方法求−x2−6x+5的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程x2+ y2+2x−4 y+5=0，求(x−2) y的值．
【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9
【提示】（1）利用解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答；
（2）利用材料二的思路进行计算，即可解答；
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（3）利用配方法进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）x2−4x−2=0，
x2−4x=2，
x2−4x+4=2+4，
(x−2) 2=6，
故答案为：D；
（2）−x2−6x+5
=−(x2+6x)+5
=−(x2+6x+9−9)+5
=−(x+3) 2+9+5
=−(x+3) 2+14，
∵−(x+3) 2≤0，
∴−(x+3) 2+14≤14，即−x2−6x+5有最大值14；
（3）∵x2+ y2+2x−4 y+5=0，
∴x2+2x+1+ y2−4 y+4=0，
∴(x+1) 2+(y−2) 2=0，
∴x+1=0，y−2=0，
∴x=−1，y=2，
∴(x−2) y=(−1−2) 2=9．
【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程−配方法，偶次方的非负性，准确熟练地
进行计算是解题的关键．
【变式8-1】（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……
中都有着广泛的应用．
例如：若代数式M=a2−2ab+2b2−2b+2，
利用配方法求M的最小值：M=a2−2ab+2b2−2b+2
=a2−2ab+b2+b2−2b+1
=(a−b) 2+(b−1) 2+1
∵(a−b) 2≥0，(b−1) 2≥0，
∴当a=b=1时，代数式M有最小值为1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+_________；
(2)若代数式M=a2+4a+6，求M的最小值；
(3)已知a2+2b2+c2−2ab−2b−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
【答案】(1)9
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(2)2
(3)4
【提示】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）利用配方法将M配成完全平方的形式，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用平方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【详解】（1）解：∵(a+3) 2=a2+6a+9，
∴横线上可添加常数“9”；
（2）M=a2+4a+6=(a+2) 2+2，
∴当a=−2时，M有最小值为2；
（3）∵a2+2b2+c2−2ab−2b−4c+5=0，
∴a2−2ab+b2+b2−2b+1+c2−4c+4=0
∴(a−b) 2+(b−1) 2+(c−2) 2=0，
∴a=b=1，c=2，
∴a+b+c=1+1+2=4
【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况
【例9】（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程2x2−5x+6=0的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【答案】A
【提示】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个
不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
【变式9-1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x−2=0 B．x2−2x=0
C．x2+x+5=0 D．x2−2x+1=0
【答案】C
【提示】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．Δ=1+8=9>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．Δ=4>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．Δ=1−20=−19<0，方程没有实数根，符合题意；
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D．Δ=4−4=0，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数
根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
【变式9-2】（2020·安徽·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1=2x B．x2+1=0
C．x2−2x=3 D．x2−2x=0
【答案】A
【提示】根据根的判别式逐一判断即可．
【详解】A.x2+1=2x变形为x2−2x+1=0，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.x2+1=0中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.x2−2x=3整理为x2−2x−3=0，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.x2−2x=0中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
【变式9-3】（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于x的方程x2−2x+ =0有
两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【提示】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4a>0，
∴a<1，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等
的实数根.
题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况
【例10】（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程x2−3kx−2=0实数根的情况，下列判断正确的是
（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
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C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【提示】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程x2−3kx−2=0，
∵Δ=(−3k) 2−4×1×(−2)=9k2+8>0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不
相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
【变式10-1】（2020·山东潍
⇔
坊·中考真题）关于x的一元二次方程x2
⇔
+(k−3)x+1−k=0根的情况，下列
说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【提示】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别
式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【详解】△=(k-3)2-4(1-k)
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=(k-1)2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无
实数根．上面的结论反过来也成立．
题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
【例11】（2022·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的
值为（ ）
1 1
A．−4 B．− C． D．4
4 4
【答案】C
【提示】利用方程有两个相等的实数根，得到Δ=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
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∴12−4m=0，
1
解得m= ，故C正确．
4
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实
数根时Δ>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0，正确掌握此三
种情况是正确解题的关键．
【变式11-1】（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数
根，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a>−1且a≠0 C．a≥−1且a≠0 D．a>−1
【答案】B
【提示】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方
程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
【变式11-2】（2022·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，则k的值
可以是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
【答案】A
【提示】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×1×(−k)=4+4k<0，
∴k<−1，
故选：A.
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
【变式11-3】（2023绵阳市模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的
取值范围是 ．
【答案】k＞−1且k≠0．
【提示】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=22−4k×(−1)=4+4k>0，
解得k>−1．
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又∵该方程为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k>−1且k≠0．
故答案为：k>−1且k≠0．
【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程
的定义是解题的关键．
题型12 应用根的判别式证明方程根的情况
【例12】（2022上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程
x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m<1
【提示】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论；
（2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解．
【详解】（1）证明：Δ=m2−4(m−1)=(m−2) 2
∵无论m取何值，(m−2) 2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由原方程得：(x+1)(x+m−1)=0，
解得x =−1，x =1−m，
1 2
∵方程有一个根为正数，−1<0，
∴1−m>0，
∴m<1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和
运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键．
【变式12-1】（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=±1
【提示】（1）根据根的判别式Δ=b2−4ac，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出α+β=2，由α+2β=5即可解出α，β，再根据α⋅β=−3m2，即可得到m的
值．
【详解】（1）Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1⋅(−3m2 )=4+12m2，
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∵12m2≥0，
∴4+12m2≥4>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个实数根α，β，
由根与系数关系可知，α+β=2，α⋅β=−3m2，
∵α+2β=5，
∴α=5−2β，
∴5−2β+β=2，
解得：β=3，α=−1，
∴−3m2=−1×3=−3，即m=±1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
【变式12-2】（2022·北京朝阳·一模）已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)a的值为3
【提示】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式为△=△=b2−4ac，进行化简即可
证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【详解】（1）证明：∆=(−a) 2−4(a−1)=a2−4a+4=(a−2) 2，
∵(a−2) 2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：设该方程的一个根为x，则另外一个根为2 x ，
1 1
则¿，
a
由①得x = ，
1 3
代入②可得：2a2−9a+9=0，
3
解之得a =3，a = ，
1 2 2
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以a=3．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关
键．
【变式12-3】（2023·广东江门·二模）已知关于x的方程x2+(3k−2)x−6k=0．
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
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【答案】(1)见解析
(2)14
【提示】（1）计算方程的根的判别式，若Δ=b2−4ac≥0，则方程总是有实数根；
（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b、c的值后，再求出△ABC的周长，注意
两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【详解】（1）证明：∵ Δ=b2−4ac
=(3k−2) 2−4⋅(−6k)
=9k2−12k+4+24k
=9k2+12k+4
=(3k+2) 2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，b=c，Δ=0，
∴(3k+2) 2=0，
2
解得：k=− ，
3
此时原方程化为x2−4x+4=0，
∴x =x =2，即b=c=2，
1 2
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=6为腰，则b，c中一边为腰，
把x=6代入方程，62+6(3k−2)−6k=0，
∴k=−5，
则原方程化为x2−8x+12=0，
(x−2)(x−6)=0，
∴x =2，x =6，
1 2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2，
∴周长为6+6+2=14．
【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系
定理检验．
题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围
【例13】（2023·河南信阳·校考三模）关于x的一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，则m的取值
范围是（ ）
A．m<4且m≠3 B．m>4 C． m≥4 D．m≤4且m≠3
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【答案】D
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的定义得出−4m+16≥0，m−3≠0，然后求
出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，
∴Δ=(−2) 2−4(m−3)×1=−4m+16≥0，
∴m≤4，
又∵m−3≠0，
∴m≠3．
∴m≤4且m≠3．
故选：D．
【点睛】本题主要考在一元二次方程根的情况，同时考查二次项系数不为零这一隐含条件，解题的关键是
熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相
等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9
【变式13-1】（2022株洲市二中二模）若关于x的方程kx2−3x− =0有实数根，则实数k的取值范围
4
是（ ）
A．k=0 B．k≥−1且k≠0 C．k≥−1 D．k>−1
【答案】C
【提示】根据题意分两种情况：当k≠0时，根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0求解；当k=0，原方程
9
即为−3x− =0，即可求解．
4
9
【详解】解：当k≠0时，∵关于x的方程kx2−3x− =0有实数根，
4
∴Δ≥0，
即(−3) 2−4k⋅ ( − 9) ≥0且k≠0，
4
解得：k≥−1且k≠0；
9 3
当k=0时，原方程即为−3x− =0，有实数根x=− ；
4 4
综上，实数k的取值范围是k≥−1
故答案为：k≥−1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，属于常考题型，熟知Δ≥0时，一元二次方程有两个
实数根是解题的关键．
【变式13-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实
1 2
数根．
(1)求m的取值范围；
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6
(2)是否存在实数m，满足(x −1)(x −1)=− ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
1 2 m−7
【答案】(1)m≤5
(2)存在，4
【提示】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解；
b c
（2）根据一元二次方程根与系数的关系：x +x =− ,x ·x = 即可求解．
1 2 a 1 2 a
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实数根，
1 2
∴Δ=(−6) 2−4×1×(2m−1)=40−8m≥0，
解得m≤5；
（2）解：存在．理由如下：
由根与系数的关系得x +x =6,x ·x =2m−1
1 2 1 2
6
∵(x −1)(x −1)=−
1 2 m−7
6
即x ·x −(x +x )+1=−
1 2 1 2 m−7
6
即2m−1−6+1=− ，化简m2−10m+24=0，
m−7
解得m =4，m =6，
1 2
经检验m =4，m =6都是原方程的解，
1 2
∵m≤5，
∴m=4．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的范围以及根与系数的关系．熟记相关结论是解
题关键．
【变式13-3】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+3x+2k−1=0有两个实数
根x ，x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x2−x2=3√5，求k的值．
1 2
13
【答案】(1)k≤
8
(2)1
【提示】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出
k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x +x =−3、x x =2k−1，将其代入x2−x2=3√5中，即可得出关于
1 2 1 2 1 2
k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+2k−1=0有两个实数根x ，x ．
1 2
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴Δ=32−4(2k−1)≥0，
13
解得：k≤ ．
8
（2）∵x 、x 是方程x2+3x+2k−1=0的解，
1 2
∴x +x =−3，x x =2k−1．
1 2 1 2
∵x2−x2=3√5，
1 2
∴x −x =−√5，
1 2
∴(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =5，
1 2 1 2 1 2
∴(−3) 2−4(2k−1)=5，
即8−8k=0，
解得：k=1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）牢记“当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x −x =√5，找出关于k的一元
1 2
一次方程．
【变式13-4】（2023·浙江·模拟预测）已知三个关于x的方程x2−x+m=0,(m−1)x2+2x+1=0和
(m−2)x2+2x−1=0．若其中至少有两个方程有实根，求实数m的取值范围．
1
【答案】m≤ 或1≤m≤2
4
【提示】分类讨论：①当m=1时，②当m=2时，③当m≠1，m≠2时，分别求出m的取值范围即可．
【详解】解：①当m=1时，方程(m−1)x2+2x+1=0和(m−2)x2+2x−1=0有解；
②当m=2时，方程(m−1)x2+2x+1=0和(m−2)x2+2x−1=0有解；
1
③当m≠1，m≠2时，第一个方程有根则：Δ=(−1) 2−4m≥0，解得：m≤ ；
4
第二个方程有根则：Δ=22−4(m−1)≥0，解得：m≤2，
第三个方程有根则：Δ=4+4(m−2)≥0，解得：m≥1，
当每两个方程都有解时，有¿或¿或¿，
1
解得：m≤ 或1≤m≤2．
4
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数
根．
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
【例14】（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算a∗b，对于任意实数a，b满足a∗b=(a+b)(a−b)−1，
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其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6，若x∗k=x（k
为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【提示】将x∗k按照题中的新运算方法展开，可得x∗k=(x+k)(x−k)−1，所以x∗k=x可得
(x+k)(x−k)−1=x，化简得：x2−x−k2−1=0，Δ=(−1) 2−4×1⋅(−k2−1)=4k2+5，可得Δ>0，
即可得出答案.
【详解】解：根据新运算法则可得：x∗k=(x+k)(x−k)−1=x2−k2−1，
则x∗k=x即为x2−k2−1=x，
整理得：x2−x−k2−1=0，
则a=1,b=−1,c=−k2−1，
可得：Δ=(−1) 2−4×1⋅(−k2−1)=4k2+5
∵k2≥0，
∴4k2+5≥5；
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能
出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
【变式14-1】（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情⊗况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【提示】先根据新定义得到关于x的方程为x2−(k−3)x+1−k=0，再利用一元二次方程根的判别式求解
即可．
【详解】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=(k−3) 2−4(1−k)=k2−6k+9−4+4k=(k−1) 2+4>0，
∴方程x2−(k−3)x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为
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x2−(k−3)x+1−k=0是解题的关键．
【变式14-2】（2020·河南·中考真题）定义运算：m☆n=mn2−mn−1．例如
:4☆2=4×22−4×2−1=7．则方程1☆x=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【提示】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：1☆x=x2−x−1=0,
∵a=1,b=−1,c=−1,
∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−1)=5＞0,
∴ 原方程有两个不相等的实数根，
故选A.
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握
以上知识是解题的关键．
考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x 和x ，则x ，x 与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
1 2 1 2
b c
x +x ＝− ； x •x ＝
1 2 a 1 2 a
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 2
3）差的绝对值 | x
1
- x
2
|= √(x
1
−x
2
) 2=√(x
1
+x
2
) 2−4x
1
x
2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)= x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
【36淘 1 宝 . 店 如 铺 果 ： 方 向 程 阳百 x2 分 +p 百 x+ 】 q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q.
2. 以两个数 x 1 ,x 2 为根的一元二次方程（二 次 项 1）是系x2 数-（为x 1+ x 2 ）x+ x 1 •x 2 ＝0.
3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q.
2. 以两个数 x 1 ,x 2 为根的一元二次方程（二 次 项 1）是系x2 数-（为x 1+ x 2 ）x+ x 1 •x 2 ＝0.
3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、
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题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值
【例1】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，x ，
1 2
若x =−1，则a−x2−x2 的值为（ ）
1 1 2
A．7 B．−7 C．6 D．−6
【答案】B
【提示】根据根与系数关系求出x =3，a=3，再求代数式的值即．
2
【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，x ，
1 2
∴x +x =2，
1 2
∵x =−1，
1
∴x =3，
2
∴x ·x =-a=-3，
1 2
∴a=3，
∴a−x2−x2=3−9−1=−7．
1 2
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数
式的值是解题关键．
【变式1-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，则
2 m+3n
− 的值是（ ）
m−n m2−n2
1 1
A．−3 B．−2 C．− D．−
3 2
【答案】C
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，然后将分式化简，代入m+n=−3即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，
∴m+n=−3，
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2 m+3n
∴ −
m−n m2−n2
2(m+n)−(m+3n)
=
(m+n)(m−n)
2m+2n−m−3n
=
(m+n)(m−n)
m−n
=
(m+n)(m−n)
1
=
m+n
1
=− ，
3
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
√b √a
【变式1-2】（2023汉寿县一模）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，则a +b 的值
a b
是（ ）
A．−2√3 B．−3√2 C．3√2 D．2√3
【答案】A
√b √a
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得到a+b=−5，ab=3，可知a<0，b<0，将a +b 化
a b
简为−2√ab，代入ab=3即可得出结论．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，
∴a+b=−5，ab=3，
∴a<0，b<0，
√b √a √ab √ab
∵a +b =a +b =−2√ab
a b |a| |b|
√b √a
∴a +b =−2√3，
a b
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关系得到
a+b=−5，ab=3是解答本题的关键．
【变式1-3】（2022·湖南娄底·中考真题）已知实数x ,x 是方程x2+x−1=0的两根，则x x = ．
1 2 1 2
【答案】−1
【提示】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．
【详解】解：∵ 实数x ,x 是方程x2+x−1=0的两根，
1 2
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−1
∴x x = =−1,
1 2 1
故答案为：−1
c
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“x x = ”是解本题的关键．
1 2 a
【变式1-4】（2021·湖北黄冈·一模）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x，x，则x＋x﹣xx
1 2 1 2 1 2
的值等于 ．
【答案】2
【提示】先根据根与系数的关系得x+x＝3，xx＝1，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
【详解】解：根据根与系数的关系得：
x+x＝3，xx＝1，
1 2 1 2
∴x+x﹣xx＝3﹣1＝2．
1 2 1 2
故答案为：2．
b
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x =−
1 2 1 2 a
c
，xx = ．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
1 2 a
【变式1-5】（2021·湖北孝感·一模）已知方程x2−4x−1=0的两根为x ,x ，则(1−x )(1−x )=
1 2 1 2
．
【答案】−4
【提示】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可．
【详解】解：方程x2−4x−1=0的两根为x ,x ，
1 2
所以，x +x =4，x ⋅x =−1，
1 2 1 2
(1−x )(1−x )=1−(x +x )+x x ，
1 2 1 2 1 2
把x +x =4，x ⋅x =−1代入得，
1 2 1 2
原式=1−4−1=−4，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数关系，求出两根
之和、两根之积，把所求式子变形，整体代入求值．
求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根
积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果.
题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
【例2】（2023潜江市模拟）若α、β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为
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（ ）
A．−13 B．12 C．14 D．15
【答案】B
【提示】根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则
5 1
2α2+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β= ，α⋅β=− ，然后利用整体代
2 2
入的方法计算即可．
【详解】解：∵α为2x2−5x−1=0的实数根，
∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，
5 1
∴ α+β= ，α⋅β=− ，
2 2
∴ 2α2+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1=5× 5 +3× ( − 1) +1= 25 − 3 +1=12，
2 2 2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若x 、x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
【变式2-1】（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则
m3+m2n
的值为 ．
3m−1
【答案】3
【提示】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出
m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
m3+m2n m2 (m+n)
∴ = =−(m+n)=3，
3m−1 −m2
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．也考查了一元二次方程的解．
1 2 a 1 2 a
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【变式2-2】（2021·四川成都·中考真题）若m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则
m2+4m+2n的值是 ．
【答案】-3．
【提示】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m−1=0，则m2+2m=1，根据根与系数的关系得出
m+n=−2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，
∴m2+2m−1=0，m+n=−2
∴m2+2m=1，
∴m2+4m+2n
=m2+2m+2m+2n
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若x ,x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
1 2
b c
两根时，x +x =− ,x x = ，也考查了一元二次方程的解．
1 2 a 1 2 a
题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
【例3】（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式
1 2
x3−2022x +x2
的值是（ ）
1 1 2
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【提示】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，
1 2
∴x 2−2022=x ，x x =−2022，x +x =1
1 1 1 2 1 2
x3−2022x +x2 =x (x 2−2022)+x 2=x 2+x 2=(x +x ) 2−2x x =1−2×(−2022) =4045
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
【变式3-1】（2023连云港市检测）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（
）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【答案】D
【详解】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根,
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∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8β+6
=8（α+β）+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+β=2,
∴原式=8×2+14
=30,
故选D.
【变式3-2】（2021上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，
则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【答案】D
【提示】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用
降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程x2−x−1=0的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行
整式的运算是解题的关键．
【变式3-3】（2021·湖北武汉·中考真题）已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根，则代数式
2a3−6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【提示】先根据已知可得a2−3a−5=0，b2−3b=5，a+b=3，然后再对2a3−6a2+b2+7b+1变形，最
后代入求解即可．
【详解】解：∵已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴a2−3a−5=0，b2−3b=5，a+b=3
∴2a3−6a2+b2+7b+1=2a(a2−3a−5)+(b2−3b)+10(a+b)+1=0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形
成为解答本题的关键．
【变式3-4】已知α、β是方程x2+x−1=0的两根，则α4β−β3+5的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【提示】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，
再对所求式子变形整理，求出答案即可．
【详解】解：∵α、β是方程x2+x−1=0的两根，
∴α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，
∴α4β−β3+5
=α3×(−1)−β3+5
=−α(1−α)−β(1−β)+5
=−α+α2−β+β2+5
=−α+1−α−β+1−β+5
=−2(α+β)+7
=−2×(−1)+7
=9，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c
b c
为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
【变式3-5】（2020·浙江杭州·九年级专题练习）已知α，β是方程x2+2x−1=0的两根，则α3+5β+10的
值为 ．
【答案】-2
【提示】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得α2+2α−1=0，α＋β=-2，然后将原代数式
“降次”，并利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵α，β是方程x2+2x−1=0的两根，
∴α2+2α−1=0，α＋β=-2
∴α2=1−2α
∴α3+5β+10
=α2 ⋅α+5β+10
=(1−2α)⋅α+5β+10
【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=α−2α2+5β+10
=α−2(1−2α)+5β+10
=α−2+4α+5β+10
=5(α+β)+8
=5×（-2）＋8
=-2
故答案为：-2．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程解的定义和
一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．
题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
【例4】（2022·四川泸州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x ，x ，若
1 2
(x +1)(x +1)=3，则m的值为（ ）
1 2
A．−3 B．−1 C．−3或3 D．−1或3
【答案】A
【提示】利用根与系数的关系以及Δ=(2m−1) 2−4m2≥0求解即可．
【详解】解：由题意可知：¿，且Δ=(2m−1) 2−4m2≥0
∵(x +1)(x +1)=x ⋅x +x +x +1=3，
1 2 1 2 1 2
∴m2+(2m−1)+1=3，解得：m=−3或m=1，
1
∵Δ=(2m−1) 2−4m2≥0，即m≤ ，
4
∴m=−3，
故选：A
1
【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出m≤ ，再利
4
用根与系数的关系求出m=−3或m=1（舍去）．
【变式4-1】（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实
数根为x ,x ，且满足x x =2，则x +x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2
【答案】B
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x ,x ，
1 2
∴x +x =−2m,x ⋅x =m2−m，Δ=(2m) 2−4(m2−m)=4m>0
1 2 1 2
∴m>0，
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∵ x x =2，即m2−m=2，
1 2
解得m=2或−1，
∴m=2，
∴x +x =−2×2=−4，
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x ,x ，那么x +x =− ，x x = ；也就是说，对于任何一个有实
1 2 1 2 a 1 2 a
数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于
常数项除以二次项系数所得的商．
【变式4-2】（2022·广东佛山·二模）若a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，且a2
＋b2＝12，则k的值是（ ）
A．−1 B．3 C．−1或3 D．−3或1
【答案】A
【提示】先根据a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，求出Δ =4k2−16k≥0，由
一元二次方程根与系数关系得到a＋b＝2k，ab＝4k，利用a2＋b2＝12，求出k的值，再代入Δ =4k2−16k
验证即可．
【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，
∴Δ=(−2k) 2−4×1×4k
=4k2−16k≥0
a＋b＝2k，ab＝4k
a2+b2
=(a+b) 2−2ab
=(2k) 2−2×4k
=4k2−8k
∴4k2−8k＝12
解得k =−1，k =3
1 2
当k =−1时，
1
Δ =4k2−16k
=4×(−1) 2−16×(−1)
=20>0
∴k =−1符合题意，
1
当k =3时，
2
Δ =4k2−16k
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=4×32−16×3
=−12<0
∴k =3不符合题意，应舍去，
2
综上，k的值是﹣1．
故选：A
【点睛】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x，x 是一元二次方程ax2+bx+c
1 2
b c
＝0（a≠0）的两根时，x+x＝− ，xx＝ ．
1 2 a 1 2 a
【变式4-3】（2019·广东广州·中考真题）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根
x ,x ，(x −x +2)(x −x −2)+2x x =−3，则k的值（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【详解】解：由根与系数的关系，得：
x +x ＝k－1，x x ＝－k+2，
1 2 1 2
由(x −x +2)(x −x −2)+2x x =−3，得：
1 2 1 2 1 2
(x −x ) 2−4+2x x =−3，
1 2 1 2
即(x +x ) 2－4x x −4+2x x =−3，
1 2 1 2 1 2
所以，(k−1) 2−4−2(−k+2)=−3，
化简，得：k2=4，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根，
所以，△＝(k−1) 2−4(−k+2)＝k2+2k−7>0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
【变式4-4】（2022·四川内江·中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
1 2
x x
2+ 1
＝x2+2x﹣1，则k的值为 ．
x x 1 2
1 2
【答案】2
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
x x 22−2(k−1)
再根据
2+ 1
＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
x x 1 2 k−1
1 2
【详解】解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
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∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
x x
∵
2+ 1
＝x2+2x﹣1，
x x 1 2
1 2
(x +x ) 2−2x x
∴ 1 2 1 2＝2（x+x）﹣k，
x x 1 2
1 2
22−2(k−1)
∴ ＝4﹣k，
k−1
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与
系数的关系是解题的关键．
【变式4-5】（2022·四川巴中·中考真题）α、β是关于x的方程x2−x+k−1=0的两个实数根，且
α2−2α−β=4，则k的值为 ．
【答案】−4
【提示】α2−2α−β=α2−α−(α+β)=4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，
得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵α、β是方程x2−x+k−1=0的根
∴α2−α+k−1=0，α+β=1
∴α2−2α−β=α2−α−(α+β)=−k+1−1=−k=4
∴k=-4
故答案是-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中
需注意的问题是本题的解题关键．
题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负
【例5】（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程(x−1)(x+2)=ρ2（ρ为常数）根的情况下，下列结论
中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【提示】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的
关系判断根的正负即可．
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【详解】解：(x−1)(x+2)=ρ2，
整理得：x2+x−3−ρ2=0，
∴Δ=12−4(−3−ρ2)=4ρ2+13>0，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为x 、x ，
1 2
∵x +x =−1，x x =−3−p2
1 2 1 2
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相
等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与
b c
系数的关系：x +x =− ，x x =
1 2 a 1 2 a
【变式5-1】（2023秦淮区9年纪月考）已知x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正
1 2
确的是（ ）
A．x≠x B．x+x＞0 C．x•x＞0 D．x＜0，x＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【提示】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x≠x，结论A正确；B、根据
1 2
根与系数的关系可得出x+x=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系
1 2
可得出x•x=﹣2，结论C错误；D、由x•x=﹣2，可得出x＜0，x＞0，结论D错误．综上即可得出结论．
1 2 1 2 1 2
【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x≠x，结论A符合题意；
1 2
B、∵x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
1 2
∴x+x=a，
1 2
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确，不符合题意；
C、∵x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
1 2
∴x•x=﹣2，结论C错误，不符合题意；
1 2
D、∵x•x=﹣2，
1 2
∴x＜0，x＞0，结论D错误，不符合题意．
1 2
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”
是解题的关键．
【变式5-2】（2021·江苏南京·一模）关于x的方程3x2−7x+4=0的根的情况，下列结论中正确的是
（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
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【答案】A
【提示】根据根的判别式，根与系数的关系进行判断即可．
【详解】3x2−7x+4=0
a=3,b=−7,c=4
∴Δ=b2−4ac=49−48=1>0
∴原方程有两个不相等的实数根，设两根分别为x ,x
1 2
c 4
∵x x = = >0
1 2 a 3
∴x ,x 同号
1 2
b 7
∵x +x =− = >0
1 2 a 3
∴x >0,x >0
1 2
即原方程有两个正根．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式5-3】关于x的方程(x−2)(x+1)=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
【答案】C
【提示】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为x2−x−2−p2=0，
∴Δ=(−1) 2−4(−2−p2)=1+8+4 p2=4 p2+9>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为x ,x ，则根据根与系数的关系可知：x ⋅x =−2−p2<0，
1 2 1 2
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围
【例6】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）已知关于x的一元二次方程x2−6x+(2m+1)=0的两
个实数根为x 、x ，且2x x +x +x ≥20，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．m≥3 B．m≤−4 C．3≤m≤4 D．−3≤m≤4
【答案】C
【提示】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：Δ=36−4(2m+1)≥0，
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∴m≤4，
∵x +x =6，x x =2m+1，
1 2 1 2
∴2(2m+1)+6≥20，
∴m≥3，
∴3≤m≤4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式以
及根与系数的关系，本题属于基础题型．
【变式6-1】（2023·四川绵阳·三模）已知关于x的方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根x ，
1
x ，且x =−1，00，
解得：k≠−13，
−k−9
∵x x = ，x =−1，
1 2 4 1
k+9
∴x =
2 4
又∵0x +x −4，则m的取值范围是 ；
1 2 1 2
5 1
【答案】− x +x −4，
1 2 1 2
3m−1
∴ >1−4，
2
5
解得：m>− ，
3
5 1
∴− 0，
∴x=10，
答：每轮感染中平均一个人传染10人；
（2）解：根据题意可得：
第三轮的患病人数为(10+1) 3=1331，
∵1331<1500，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过1500人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过1500人；
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．
【变式1-3】（2022上·云南红河·九年级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控
制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若
一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染
了几个人？
【答案】每轮传染中平均每个人传染了13个人
【提示】根据题意设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】根据题意设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意可得：
(1+x) 2=196，
解得x =13,x =−15（舍去），
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了13个人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
题型02 碰面（循环）问题
【例2】（2021·贵州毕节·中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式
（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
1
【提示】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了 x(x−1)场比赛，即可列出
2
方程，求解即可．
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
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1
x(x−1)=15，
2
x2−x−30=0，
解得：x =6,x =−5（舍），
1 2
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
【变式2-1】（2023上·云南昆明·九年级期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后
赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛
共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【答案】D
【提示】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：x(x−1)=240，
解得：x =16，x =−15（舍去），
1 1
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
【变式2-2】（2023上·广东惠州·九年级期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人
共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
1 1
A． x(x−1)=10 B．x(x−1)=10 C．x(x+1)=10 D． x(x+1)=10
2 2
【答案】A
【提示】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，并且每个人与其他人握手均重复
一次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，并且每个人与其他人握手均
重复一次，由此可得：
x(x−1)
=10，
2
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式2-3】某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
【答案】10
【提示】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出(x−1)张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90
张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出(x−1)张贺卡，
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根据题意得：x(x−1)=90，
解得：x =10，x =−9（不合题意，舍去），
1 2
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型03 增长率问题
【例3】（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快
递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200(1+x) 2=242 B．200(1−x) 2=242
C．200(1+2x)=242 D．200(1−2x)=242
【答案】A
【提示】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代
入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：200(1+x) 2=242，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
【变式3-1】（2022·安徽·校联考一模）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．
去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时
长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a(1−x) 2=70%a B．a(1+x) 2=70%a
C．a(1−x) 2=30%a D．30%(1+x) 2a=a
【答案】C
【提示】每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在
平均每周作业时长比去年上半年减少了70%”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
∵去年上半年平均每周作业时长为a分钟，
∴ 去年下半年平均每周作业时长为a(1−x)分钟，
今年上半年平均每周作业时长为a(1−x) 2分钟，
∵现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，
∴a(1−x) 2=(1−70%)a，
∴a(1−x) 2=30%a．
故选：C．
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【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解
题的关键．
【变式3-2】（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7
月的增长率相同，则增长率为 ．
【答案】20%
【提示】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元
二次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
25(1+x) 2=36
解得，x =0.2,x =−2.2（舍去）
1 2
所以，增长率为20%
故答案为：20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的
关键．
题型04 营销问题
【例4】（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销
售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总
利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【提示】根据“总利润=每瓶利润×日均销售量”列方程求解可得．
【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
(x−6)[160−20×(x−10)]=700 ，
解得x=11， x=13，
1 2
当x=11时，160−20×(x−10)=160−20×(11−10)=140 ，当x=13时，
1 2
160−20×(x−10)=160−20×(13−10)=100 ，且140＞100，
∵尽快减少库存，
∴每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列
出方程．
【变式4-1】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元
时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里
每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．(60−x)(200+8x)=8450 B．(20−x)(200+x)=8450
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C．(20−x)(200+40x)=8450 D．(20−x)(200+8x)=8450
【答案】D
【提示】利润=售价−进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x元，每星期可多卖
出8x件，从而列出方程即可．
【详解】解：原来售价为每件60元，进价为每件40元，利润为每件20元，又每件售价降价x元后，利润
为每件(20−x)元．
每降价1元，每星期可多卖出8件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为
(200+8x)．
根据题意得：(20−x)(200+8x)=8450，
故选：D．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是
解决问题的关键．
【变式4-2】（2022上·重庆·九年级重庆一中校考期中）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，
我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16
元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天
售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．(16−x−10)(200+80x)=1440 B．(16−x)(200+80x)=1440
C．(16−x−10)(200−80x)=1440 D．(16−x)(200−80x)=1440
【答案】A
【提示】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为(16−x−10)元，每天可售出(200+80x)袋，
利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为(16−x−10)元，每天可售出
(200+80x)袋，
依题意得：(16−x−10)(200+80x)=1440．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【变式4-3】（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，
2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加
15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20%
(2)18个
【提示】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据2019年投入资金×(1+x) 2=
2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
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（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等
于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1000(1+x) 2=1440，
解这个方程得，x =0.2，x =−2.2，
1 2
经检验，x=0.2=20%符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
由题意得：80×(1+15%)y≤1440×(1+20%)，
18
解得y≤18 ．
23
∵y为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应
的不等关系，列出正确的方程和不等式．
【变式4-4】（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20
套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3
月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措
施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万
元，则每套A产品需降价多少？
【答案】(1)50%
(2)1万元
【提示】（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可
得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
y
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+ ×20)套，根据总利润=每套的利润×销售数
0.5
量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20(1+x) 2=45，
解得：x =0.5=50%，x =−2.5（不合题意，舍去）．
1 2
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
y
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+ ×20)套，
0.5
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y
依题意，得：(2−y)(30+ ×20)=70，
0.5
整理，得：4 y2−5 y+1=0，
1
解得：y = ，y =1．
1 4 2
答∵尽量减少库存，
∴y=1．
答：每套A产品需降价1万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型05 工程问题
【例5】（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工
改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)m的值为10
【提示】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，
根据题意得，
30x+30(2x+30)=3600，
解得：x=30，
则2x+30=90，
答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
30(30+m+25)+(90−3m)(30+m)=3600+750，
整理得，m2−10m=0，
解得：m =10，m =0（舍去），
1 2
∴m的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
【变式5-1】（2022·重庆·重庆巴蜀中学校考一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门
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店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工
的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【提示】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一
次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设
“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量
之和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子
由题意得：¿解得： ¿
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子
由题意得：2×(200+150)+(200+100a)(8−a)+150(6−a)=3200+500
整理得：2a2−9a+10=0
解得：a =2，a =2.5，
1 2
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴ a=2
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关
键．
【变式5-2】（2022·重庆·校考一模）某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度
平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里
程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工
1
每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相同，
2
求a的值．
【答案】(1)4；
(2)2．
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【提示】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为(146−106−m)千米，利用隧道施工至少是桥梁
施工的9倍，列不等式求解即可；
（2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每
千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工
和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为(146−106−m)千米，
∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，
∴146−106−m≥9m，
解之得：m≤4，
∴桥梁施工最多是4千米．
（2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，
设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，
∵总成本为254亿元，
∴106x+36×3x+40x=254，
解之得：x=1，
由题意可知：二季度平地施工里程为106−7a千米，隧道施工里程为36−2a千米，桥梁施工里程为4+a
1
千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，10+ a
2
∵二季度总成本与一季度相同，
( 1 )
∴106−7a+(36−2a)×3+(4+a) 10+ a =254，
2
即a(a−2)=0，
解之得：a=0（舍去）或a=2，
故a=2．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是
根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次
方程求解．
题型06 行程问题
【例6】（2021·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙
东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲
的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．
甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
49
【答案】
2
【提示】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，利用勾股定
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理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入3t中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，则
依题意得：102+(3t) 2=(7t−10) 2，
整理得：40t2−140t=0，
7
解得：t = ，t =0（不合题意，舍去），
1 2 2
7 49 49
∴7t=7× = ，即甲走的步数是 ，
2 2 2
49
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
【变式6-1】（2021·安徽宣城·校考一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运
动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【提示】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得
甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多
少分钟．
n(n+3)
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
2
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
n(n+3)
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 +5n＝3×70，
2
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关
键．
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题型07 与图形有有关的问题
【例7】一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照
片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸
（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A．2(7+x)(5+x)=7×5 B．(7+x)(5+x)=2×7×5
C．2(7+2x)(5+2x)=7×5 D．(7+2x)(5+2x)=2×7×5
【答案】D
【提示】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为(7+2x)英寸，宽为(5+2x)英寸，然后
根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可．
【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为(7+2x)英寸，宽为(5+2x)英寸，
由题意得(7+2x)(5+2x)=2×7×5，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键．
【变式7-1】（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一
块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．
若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
A．(64−2x)(40−x)=64×40×80% B．(40−2x)(64−x)=64×40×80%
C．64x+2×40x−2x2=64×40×80% D．64x+2×40x=64×40×(1−80%)
【答案】A
【提示】设小路的宽为x 米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元
二次方程．
【详解】设小路的宽为x 米，则绿化区域的长为(64−2x)米，宽为(40−x)米，
∴(64−2x)(40−x)=64×40×80%
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想，
将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程．
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【变式7-2】（2023·河北衡水·二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个
相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示．
（1）若n=8，则矩形A的水平边长为 ；
（2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ；
（3）若矩形A，B的面积相等，则n= ．
25
【答案】 26 100+2m−12n
3
【提示】（1）根据图可得矩形A的长+3个小矩形宽=50，即可得到矩形A的水平边长；
（2）根据图可得矩形A的宽+3个小矩形宽=m，进而得到矩形A的竖直边长，即可得到答案；
（3）分别表示出矩形A，B的面积，根据矩形A，B的面积相等即可得到答案．
【详解】解：设矩形A的水平边长为a ，矩形A的竖直边长b ，
（1）由图可知a+3n=50，
∴a=50−3n=50−3×8=26；
（2）由（1）可知a=50−3n，
由图可知b=m−3n
∴ 矩形A的周长=2(a+b)=2[(50−3n)+(m−3n)]
=2(50+m−6n)=100+2m−12n；
（3）由题知，矩形A的面积=ab=(50−3n)(m−3n)；
由图知，矩形B的面积=2n⋅3n=6n2
∵ 矩形A，B的面积相等,
(50−3n)(m−3n)=6n2①
∵ 小矩形纸片长=m−2n，矩形A的水平边长为a=50−3n
由图可知小矩形纸片长=矩形A的水平边长
∴m−2n=50−3n ②
25
联立①②解得，n= （n=50舍去）．
3
25
故答案为：26；100+2m−12n； ．
3
【点睛】本题主要考查列多项式，多项式的值，一元二次方程，掌握解题的方法以及解方程的方法是解题
的关键．
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【变式7-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修
建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草．要使绿化面积为126平方米，则修建的路宽应是多
少米？
【答案】1米
【提示】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形
的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得：
(10−x)(15−x)=126，
解得：x =1，x =24（不合题意，舍去），
1 2
则道路的宽应为1米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最
左边是解题的关键．
【变式7-4】（2021深圳市模拟）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足
够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑
树的粗细），求花园面积S的最大值.
【答案】（1）12m或16m；（2）195m2.
【提示】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值；
（2）根据题意列出S和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大
值.
【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，
∴x（28﹣x）=192，
解得：x=12，x=16，
1 2
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答：x的值为12m或16m
（2）∵AB=xm，
∴BC=28﹣x，
∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28-x≥15，x≥6
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
【变式7-5】（2022上·江苏无锡·九年级期中）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形ABCD
空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，
且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、△DPN均为全等
的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，设EF＝HG＝MN＝PQ＝a米，竖向道路出口和横向
弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于MN和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ和HG之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】(1)1米；
1
(2)①− a2+25a+168；②a=14．
2
【提示】（1）设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方
程求解即可．
【详解】（1）解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得(30−2x)(20−x)=532．
整理，得x2−35x+34=0．
解得，x =1，x =34．
1 2
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∵34>20（不合题意，舍去），
∴x=1；
答：小道进出口的宽度应为1米；
（2）解：①剩余的种植花草区域的面积为：
1 1 1
(30−4)(20−2)−4× × (30−a)× (20−a)
2 2 2
1
=− a2+25a+168
2
②由100 ( − 1 a2+25a+168 ) =42000，得：
2
a2−50a+504=0，
解得：a =14,a =36（舍去）．
1 2
故a=14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，
注意根据实际意义舍根．
【变式7-6】（2023·安徽合肥·校考一模）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同
时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q
两点停止运动．设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
2
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？如果存在，求出相应的t值；如果不
3
存在，说明理由．
【答案】(1)t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形
(2)不存在，理由见解析
【提示】（1）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和
∠B的度数进行求解即可；
（2）先用△ABC的面积−△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，然后根据题意四边形APQC的面积
2
等于三角形ABC面积的 ，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有
3
解，那么求出的t值即可．
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【详解】（1）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=(3−t)cm，
在△PBQ中，BP=(3−t)cm，BQ=tcm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
1
当∠BQP=90°时，BQ= BP，
2
1
即t= (3−t)，t=1(秒)，
2
1
当∠BPQ=90°时，BP= BQ，
2
1
3−t= t，t=2(秒)，
2
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，
PM
在△BPM中，sin∠B= ，
PB
√3
∴PM=PB⋅sin∠B= (3−t)，
2
1 1 √3
∴S = BQ⋅PM= ⋅t⋅ (3−t)，
△PBQ 2 2 2
1 √3 1 √3
∴S =S −S = ×32× − ×t× (3−t)
四 边形APQC △ABC △PBQ 2 2 2 2
√3 3√3 9√3
= t2− t+ ，
4 4 4
2
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
3
2
则S = S ，
四边形APQC 3 △ABC
√3 3√3 9√3 2 1 √3
∴ t2− t+ = × ×32× ，
4 4 4 3 2 2
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∴t2−3t+3=0，
∵(−3) 2−4×1×3<0，
∴方程无解，
2
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ．
3
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、解一元二次方程，解直角三角形与三角形面积公式，根据题意
作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
【变式7-7】（2020上·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，点P是线段BD上一个动点，
∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P，P，且PP＝2，求a的值；
1 2 1 2
（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．
10√3
【答案】（1）BP＝2或12；（2）a＝10；（3）a＝ +8√2．
3
【提示】（1）证得△ABP∽△PDC，根据相似三角形的性质即可求得；
（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，根据相似三角形的性质得到x2﹣ax+24＝0，设方程的两个根为x，x，根据
1 2
根与系数的关系可知x+x＝a，x•x＝24，根据题意即可得到＝（x+x）2﹣4xx＝4，即可得到a2﹣4×24＝
1 2 1 2 1 2 1 2
4，解之即可；
4√3 8√3
（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°，解直角三角形求得BE＝2√3，DF＝ ，AE＝4√3，CF＝ ，根据
3 3
10√3 10√3
相似三角形的性质得到x2﹣（a﹣ ）x+32＝0，根据题意△＝（a﹣ ）2﹣4×1×32＝0，即可求解．
3 3
【详解】解：（1）∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°，
∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°，
∴∠A＝∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
BP AB BP 6
∴ ＝ ，即 ＝ ，
CD PD 4 14−BP
解得BP＝2或12；
（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，
由（1）可知△ABP∽△PDC，
AB BP 6 x
∴ ＝ ，即 ＝ ，
PD DC a−x 4
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∴x2﹣ax+24＝0，
设方程的两个根为x，x，根据根与系数的关系可知x+x＝a，x•x＝24，
1 2 1 2 1 2
∵PP＝2，
1 2
∴|x﹣x|＝2，
1 2
∴（x﹣x）2＝（x+x）2﹣4xx＝4，
1 2 1 2 1 2
∴a2﹣4×24＝4，
解得a＝±10（负数舍去），
∴a＝10；
（3）
作∠AEP＝∠CFP＝120°，
∴∠AEB＝∠CFD＝60°，
∵AB＝6，CD＝4，
√3 √3 4√3
∴BE＝ AB＝2√3，DF＝ CD＝ ，
3 3 3
8√3
∴AE＝2BE＝4√3，CF＝2DF＝
3
∵∠AEP＝∠CFP＝∠APC＝120°，
∴∠EAP＝∠CPF，
∴△EPA∽△FCP，
AE EP
∴ ＝ ，
PF FC
10√3
设EP＝x，则PF＝a﹣ ﹣x，
3
4√3 x
=
∴ 10√3 8√3 ，
a− −x
3 3
10√3
∴x2﹣（a﹣ ）x+32＝0，
3
∵△＝0，
10√3
∴（a﹣ ）2﹣4×1×32＝0，
3
∵a＞0，
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10√3
∴a＝ +8√2．
3
【点睛】本题为三角形动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程与几何知识的结合，一
元二次方程跟与系数的关系，一元二次方程根的判别式等，解决问题的关键是充分利用已知条件，通过相
似三角形对应边成比例列等式，成立方程．
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