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2026年中考数学一轮复习 一元二次方程
一．选择题（共13小题）
1．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，
则下列结论错误的是（ ）
A．a﹣c＝0 B．b﹣2c＝0 C．2a﹣b＝0 D．b2﹣ac＝0
1
2．关于x的一元二次方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
4
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠1 D．k≥﹣1且k≠1
3．某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（即每两队之间赛一场），计划安排 21场比赛，应邀请
多少队参加比赛？设应有x队参加比赛，根据题意，可列方程为（ ）
1
A．x2＝21 B． x(x−1)=21
2
1
C．
x2=21
D．x（x﹣1）＝21
2
4．若a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根，则2a2﹣12a+2033的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
5．若正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的根的情况是
（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
6．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率
为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．k＝0 B．k＝0或k＝﹣1 C．k＝0或k＝1 D．k＝﹣1或k＝1
8．定义运算：a※b＝a2﹣2ab﹣b．例如：4※2＝42﹣2×4×2﹣2＝﹣2．则方程x※2＝﹣4的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
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D．无实数根
9．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x ＝2．则另一个根为（ ）
1
A．x ＝2 B．x ＝1 C．x ＝﹣2 D．x ＝﹣1
2 2 2 2
11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅
相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多 6尺8寸，门对角线的长
度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，若设门的高为x尺，
则根据题意可列方程为（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2＝（x﹣6.8）2＝102
12．如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
13．一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+a＝0，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的
是（ ）
A．a+c＝0 B．b+c＝0 C．a﹣b＝0 D．a﹣c＝0
二．填空题（共11小题）
14．已知a，b，c都是正整数，并且a+b+c＝55，a﹣bc＝﹣8，则abc的最大值等于 ，
最小值等于 ．
15．已知f（x）＝ax2﹣1（x R），若关于x的方程f（x）＝x与f（f（x））＝x都有解，且两个方
程的解完全相同，则实数∈a的取值范围是 ．
2 2
16．已知x ，x 是一元二次方程x2+√mx+n＝0的两个实数根，且x 2+x 2+（x +x ）2＝3， + =5
1 2 1 2 1 2 x2 x2
1 2
，则m＝ n＝ ．
17．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）
x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣
1）．理解运用：如果 x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或
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x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣10x+3＝0的解为 ．
18．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ ．
{x+ y=a {x =a {x =a
19．方程组 的两组解是 1 1和 2 2，则a a ﹣b b ＝ ．
xy=b y =b y =b 1 2 1 2
1 1 2 2
20．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0 的根 x ＝ ，x ＝
1 2
．
21．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝ ．
22．如果 m，n是两个不相等的实数，且满足 m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，那么代数式 2m2+4n2﹣
4n+1999＝ ．
√b √a
23．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b +a = ．
a b
24．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子
的容积是400cm3，则原铁皮的边长为 ．
三．解答题（共6小题）
25．计算
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）x2﹣3x＝x﹣3．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等实数根，求m的值及方程的根．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x ，x ，且x2+x2=2，求m的值．
1 2 1 2
28．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件
降价x元．
（1）根据题意，填表：
每件利润（元） 销售量（件） 利润（元）
降价前 44 20 880
降价后 ① ②
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
29．在平面内，两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，…，由此，我们可以得到直线
交点数量与直线条数之间的规律．那么直线将平面分成的区域的数量与直线的条数是否有同样的
规律呢？
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【提出问题】n条直线最多将平面分成多少个区域？
【实验探究】准备一张白纸，在白纸上依次画直线，将有关信息记录在表中：
摆放方式 直线条数 最多可以把平面分成的区域数
① 1 2
②
2
3
4
（1）将表格补充完整；
（2）求出10条直线最多可以将平面分成多少个区域？
（3）假设平面足够大，最少使用多少条直线，可以把平面分成121个区域？
30．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是
小明同学用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的过程：
解：移项，得x2﹣2x＝1，
配方，得x2﹣2x+1＝1+1，
所以（x﹣1）2＝2，
直接开平方，得x−1=±√2，
所以 ．
x =1+√2，x =1−√2
1 2
【问题解决】
（1）小明配方的依据是 ．
A．完全平方公式
B．平方差公式
C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程：2x2+12x﹣4＝0．
【拓展应用】
（3）已知x是实数，求代数式x2﹣2x+5的最小值．
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2026年中考数学一轮复习 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，
则下列结论错误的是（ ）
A．a﹣c＝0 B．b﹣2c＝0 C．2a﹣b＝0 D．b2﹣ac＝0
【答案】D
【分析】根据题意得出b＝a+c，a＝b﹣c，c＝b﹣a，再由有两个相等的实数根可知Δ＝0，即可
得出本题答案．
【解答】解：∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，a＝b﹣c，c＝b﹣a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，故A正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，a＝b﹣c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b﹣c）c＝（b﹣2c）2＝0，
∴b﹣2c＝0，故选项B正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，c＝b﹣a，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（b﹣a）＝b2﹣4ab+4a2＝（b﹣2a）2＝0，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故选项C正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
又∵a≠0，b＝a+c，
∴a＝c≠b，
∴b2﹣ac≠0，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式．熟练掌握该知识点是关键．
1
2．关于x的一元二次方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
4
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠1 D．k≥﹣1且k≠1
【答案】C
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【分析】根据一元二次方程根的判别式与一元二次方程的定义得出关于k的不等式，求出实数k
的取值范围即可．
1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0有实数根，
4
1
∴Δ＝（k+1）2﹣4（k2﹣1）× ≥0且k2﹣1≠0，
4
解得k＞﹣1且x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程的定义，根据题意得出关于 k的
不等式是解题的关键．
3．某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（即每两队之间赛一场），计划安排 21场比赛，应邀请
多少队参加比赛？设应有x队参加比赛，根据题意，可列方程为（ ）
1
A．x2＝21 B． x(x−1)=21
2
1
C．
x2=21
D．x（x﹣1）＝21
2
【答案】B
【分析】设应有x队参加比赛，则每队参加（x﹣1）场比赛，根据计划安排21场比赛，列出方程．
【解答】解：设应有x队参加比赛，则每队参加（x﹣1）场比赛，
1
由题意得， x（x﹣1）＝21．
2
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列出方程．
4．若a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根，则2a2﹣12a+2033的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】根据已知易得：a2﹣6a+4＝0，从而可得a2﹣6a＝﹣4，然后代入式子中进行计算，即可
解答．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根，
∴a2﹣6a+4＝0，
∴a2﹣6a＝﹣4，
∴2a2﹣12a+2033＝2（a2﹣6a）+2033＝2×（﹣4）+2033＝﹣8+2033＝2025，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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5．若正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的根的情况是
（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
【答案】B
【分析】根据正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，可知k＜0，再根据一元二次方程x2﹣x+k
＝0，可以计算出Δ的正负情况，从而可以判断该方程根的情况．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，
∴k＜0，
∵一元二次方程x2﹣x+k＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×k＝1﹣4k＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查正比例函数的性质、根的判别式，解答本题的关键是求出Δ的正负情况．
6．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率
为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【答案】A
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件
日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是
解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．k＝0 B．k＝0或k＝﹣1 C．k＝0或k＝1 D．k＝﹣1或k＝1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，计算判
别式并解方程即可确定k的值．
【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣2k）2﹣4k＝0，
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∴4k2﹣4k＝4k（k﹣1）＝0，
∴k＝0或k﹣1＝0，
解得：k＝0或k＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝
b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相
等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
8．定义运算：a※b＝a2﹣2ab﹣b．例如：4※2＝42﹣2×4×2﹣2＝﹣2．则方程x※2＝﹣4的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．无实数根
【答案】A
【分析】利用新定义得到x2﹣4x+2＝0，然后Δ＜0可根据判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得x2﹣2×2x﹣2＝﹣4，
即x2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的
关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜
0时，方程无实数根是解决问题的关键．
9．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式列式求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m≥0，
∴m≤1，
∴四个选项中，只有D选项满足题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），
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若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数
根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
10．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x ＝2．则另一个根为（ ）
1
A．x ＝2 B．x ＝1 C．x ＝﹣2 D．x ＝﹣1
2 2 2 2
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得结论．
【解答】解：设一元二次方程x2﹣3x+m＝0的另一个根为x ，
2
∵x +x ＝3，x ＝2，
1 2 1
∴x ＝1．
2
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅
相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多 6尺8寸，门对角线的长
度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，若设门的高为x尺，
则根据题意可列方程为（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2＝（x﹣6.8）2＝102
【答案】B
【分析】高是x尺，则宽为（x﹣6.8）尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用
勾股定理即可列出方程．
【解答】解：设门的高为x尺，则宽为（x﹣6.8）尺，根据勾股定理得，
x2+（x﹣6.8）2＝102，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解题的关键．
12．如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】A
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【分析】把x＝﹣1代入方程求出m即可．
【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，
∴1+m+3＝0，
∴m＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程根的定义．
13．一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+a＝0，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的
是（ ）
A．a+c＝0 B．b+c＝0 C．a﹣b＝0 D．a﹣c＝0
【答案】D
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出b，代入已知等式消去b
得到关系式，即可作出判断．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+a＝0，且方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，b＝2a，
∴4a2﹣4ac＝0，
∵a≠0，
∴a﹣c＝0．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式的意义是解本题
的关键．
二．填空题（共11小题）
14．已知a，b，c都是正整数，并且a+b+c＝55，a﹣bc＝﹣8，则abc的最大值等于 200 9 ，最
小值等于 71 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件a+b+c＝55，a﹣bc＝﹣8，把两个方程组成方程组，利用减法消去未知数
a后，再用含c的代数式表示b，最后根据已知条件a，b，c都是正整数进行讨论，得到a，b，c
的值，再计算出abc最大值和最小值即可．
{a+b+c=55
【解答】解：∵ ，
a−bc=−8
∴b+c+bc＝63，
b+bc＝63﹣c，
63−c 64
b= = −1，
1+c 1+c
∵a，b，c都是正整数，
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∴当 c＝1时，b＝31，a＝23，
当 c＝3时 b＝15，a＝37，
当 c＝7时 b＝7，a＝41，
abc最大是 7×7×41＝2009，
abc最小的是 1×31×23＝713，
故答案为：2009，713．
【点评】此题主要考查了方程组的加减消元法和数学中的分类讨论思想的综合运用，做题时要注
意分类讨论时要考虑全面，又要符合条件，此题综合性较强，难度较大．
15．已知f（x）＝ax2﹣1（x R），若关于x的方程f（x）＝x与f（f（x））＝x都有解，且两个方
∈
1 3
程的解完全相同，则实数a的取值范围是 − ≤a≤ ．
4 4
1 3
【答案】− ≤a≤ ．
4 4
【分析】分a＝0与a≠0进行讨论，当a≠0时，结合一元二次方程的根的判别式与条件两个方程
可知a2x2+ax﹣a+1＝0要么没有实根，要么实根是方程ax2﹣x﹣1＝0的根，计算即可得．
【解答】解：∵f（x）＝x，
∴ax2﹣x﹣1＝0，
∵f（f（x））＝x，
∴a（ax2﹣1）2﹣x﹣1＝0，
即a3x4﹣2a2x2﹣x+a﹣1＝0，
∴（ax2﹣x﹣1）（a2x2+ax﹣a+1）＝0，
由题意可知ax2﹣x﹣1＝0有实根，
①当a＝0时，有f（x）＝﹣1，即x＝﹣1，
令f（f（x））＝x，即f（﹣1）＝﹣1＝x，符合要求；
②当a≠0时，f（x）＝x有解，
则Δ＝1+4a≥0，
1
解得a≥− ，
4
要满足题意，此时a2x2+ax﹣a+1＝0要么没有实根，要么实根是方程ax2﹣x﹣1＝0的根，
若a2x2+ax﹣a+1＝0没有实根，
则Δ＝a2﹣4a2（1﹣a）＜0，
3
解得a＜ ；
4
若a2x2+ax﹣a+1＝0有实根且实根是方程ax2﹣x﹣1＝0的根，
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则由方程ax2﹣x﹣1＝0，得a2x2＝ax+a，
代入a2x2+ax﹣a+1＝0，有2ax+1＝0，
1
解得x=− ，
2a
1 1
再代入得 + −1=0，
4a 2a
3
∴a= ，
4
1 3
综上所述，a的取值范围是− ≤a≤ ；
4 4
1 3
故答案为：− ≤a≤ ．
4 4
【点评】本题考查一元二次方程与x轴的交点问题及方程的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2 2
16．已知x ，x 是一元二次方程x2+√mx+n＝0的两个实数根，且x 2+x 2+（x +x ）2＝3， + =5
1 2 1 2 1 2 x2 x2
1 2
1
，则m＝ n＝ ﹣ 1 ．
2
【答案】见试题解答内容
【分析】由x ，x 是一元二次方程x2+√mx+n＝0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出
1 2
x +x 与x x ，且得到根的判别式大于等于0，得到m大于4n，将已知的两等式变形后代入得到关
1 2 1 2
于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+√mx+n＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x =−√m，x x ＝n，b2﹣4ac＝m﹣4n≥0，即m≥4n，
1 2 1 2
化 简 得 ： x 2+x 2+ （ x +x ） 2 ＝ 2 （ x +x ） 2﹣ 2x x ＝ 2m﹣ 2n ＝ 3① ，
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2(x +x ) 2−4x x 2m−4n
+ = 1 2 1 2= = 5②，
x2 x2 (x x ) 2 n2
1 2 1 2
由①得：2m＝2n+3③，
3
③代入②整理得：（5n﹣3）（n+1）＝0，解得：n= 或﹣1，
5
3 21 1
当n= 时，m= （不合题意，舍去）；当n＝﹣1时，m= ，
5 10 2
1
则m= ，n＝﹣1．
2
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1
故答案为： ；﹣1
2
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2
b c
﹣4ac≥0时，方程有解，设两根分别为x ，x ，则有x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
17．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）
x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣
1）．理解运用：如果 x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或
x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
−3+√13 −3−√13
解决问题：求方程x3﹣10x+3＝0的解为 x ＝ 3 ， x = ， x = ．
1 2 2 3 2
−3+√13 −3−√13
【答案】x ＝3，x = ，x = ．
1 2 2 3 2
【分析】根据题例，把方程x3﹣10x+3＝0先转化为x3﹣（9+1）x+3＝0的形式，再求解．
【解答】解：x3﹣10x+3＝0，
x3﹣（9+1）x+3＝0，
x3﹣9x﹣x+3＝0，
x（x2﹣9）﹣（x﹣3）＝0，
x（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x2+3x﹣1）＝0．
∴x﹣3＝0或x2+3x﹣1＝0．
解方程x﹣3＝0得x ＝3．
1
解方程x2+3x﹣1＝0得
−3+√13 −3−√13
x = ，x = ．
2 2 3 2
−3+√13 −3−√13
故答案为：x ＝3，x = ，x = ．
1 2 2 3 2
【点评】本题考查了高次方程和一元二次方程的解法，看懂和理解给出的内容是解决本题的关键．
18．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ 7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，
n2+2n﹣1＝0，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
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∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为
b c
x ，x ，则x +x =− ，x •x = ，也考查了一元二次方程的解．
1 2 1 2 a 1 2 a
{x+ y=a {x =a {x =a
19．方程组 的两组解是 1 1和 2 2，则a a ﹣b b ＝ 0 ．
xy=b y =b y =b 1 2 1 2
1 1 2 2
【答案】0．
【分析】首先二元二次方程组是无法直接处理的，所以可以通过代入消元转化成一元二次方程，
再结合题目要求的是a a ，b b ，刚好可以应用一元二次方程根与系数得以求解．
1 2 1 2
{x+ y=a ①
【解答】解： ，
xy=b ②
由①得：y＝a﹣x ③，
将③代入②，得：x（a﹣x）＝b，
整理，得：x2﹣ax+b＝0，
∴由韦达定理，得：x x ＝b，x +x ＝a，
1 2 1 2
∵y＝a﹣x，
∴y y ＝（a﹣x ）（a﹣x ）＝a2﹣a（x +x ）+x x
1 2 1 2 1 2 1 2
＝a2﹣a2+b＝b，
{x =a {x =a
1 1 2 2
∵ ， ，
y =b y =b
1 1 2 2
∴a a ﹣b b ＝x x ﹣y y ＝b﹣b＝0．
1 2 1 2 1 2 1 2
故答案为：0．
【点评】本题以二元二次方程组为载体，主要是考查学生在课本内二元一次方程组的代入消元法
的理解、对二元二次方程组转化为一元二次方程能力、见两根乘积联想韦达定理的能力．很好地
体现了转化思想地应用．
20．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x ＝ ﹣ 1+√17 ，x ＝ ﹣ 1−√17 ．
1 2
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【答案】见试题解答内容
【分析】先观察再确定方法解方程，此题首先要化简，然后选择配方法较简单，因为二次项的系
数为1．
【解答】解：化简得，
x2+2x﹣16＝0
∴x2+2x＝16
∴（x+1）2＝17
∴x ＝﹣1+√17，x ＝﹣1−√17．
1 2
【点评】解此题的关键是先化简，再选择适宜的解题方法．求根公式法和配方法适用于任何一元
二次方程，配方法对于二次项的系数为1方程要简单些．
21．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设a2+b2＝t（t≥0），则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程得到 t即
a2+b2的值．
【解答】解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，
整理，得
（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
则a2+b2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变
量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
22．如果 m，n是两个不相等的实数，且满足 m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，那么代数式 2m2+4n2﹣
4n+1999＝ 201 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，可知m，n是x2﹣2x
﹣1＝0两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝2，又m2＝2m+1，n2＝2n+1，
利用它们可以化简2m2+4n2﹣4n+1999＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+1999＝4m+2+8n+4﹣4n+1999
＝4（m+n）+2005，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，
所以m，n是x2﹣2x﹣1＝0两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝2，
又m2＝2m+1，n2＝2n+1，
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则2m2+4n2﹣4n+1999
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+1999
＝4m+2+8n+4﹣4n+1999＝4（m+n）+2005
＝4×2+2005＝2013．
故填空答案：2013．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根
之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
√b √a 21
23．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b +a = − √2 ．
a b 2
【答案】见试题解答内容
【分析】由a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b可知a、b可看作方
程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，继而知a+b＝﹣5，ab＝2，且a＜0，b＜0，将其代入到原式
b√ab a√ab b2√ab+a2√ab √ab[(a+b) 2−2ab]
=− − =− =− 可得答案．
a b ab ab
【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，
则a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
b√ab a√ab
则原式=− −
a b
b2√ab+a2√ab
=−
ab
√ab[(a+b) 2−2ab]
=−
ab
√2×(25−4)
=−
2
21
=− √2，
2
21
故答案为：− √2．
2
【点评】本题主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据 a、b满足的
等式判断出a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根且a+b＝﹣5，ab＝2，a＜0，b＜0
是解题的关键．
24．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子
的容积是400cm3，则原铁皮的边长为 1 8 cm ．
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【答案】18cm．
【分析】本题可设原铁皮的边长为x cm，将这块正方形铁皮四个角各剪去一个边长为4cm的小
正方形，做成一个无盖的盒子后，盒子的底面积变为（x﹣2×4）2，其高则为4cm，根据体积公式
可列出方程，然后解方程求出答案即可．
【解答】解：设原铁皮的边长为x cm，
依题意列方程得（x﹣2×4）2×4＝400，
即（x﹣8）2＝100，
所以x﹣8＝±10，
x＝8±10．
所以x ＝18，x ＝﹣2（舍去）．
1 2
答：原铁皮的边长为18cm．
故答案为：18cm．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，通常把实际问
题转换为方程求解，但应注意考虑解得合理性，即考虑解的取舍．
三．解答题（共6小题）
25．计算
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）x2﹣3x＝x﹣3．
1
【答案】（1）x =−2，x =− ；
1 2 2
（2）x ＝3，x ＝1．
1 2
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）2x2+5x+2＝0，
（x+2）（2x+1）＝0，
x+2＝0或2x+1＝0，
1
∴x =−2，x =− ；
1 2 2
（2）x2﹣3x＝x﹣3，
x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝3，x ＝1．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、
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求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等实数根，求m的值及方程的根．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进
而可求出方程的根．
【解答】解：由题意可知Δ＝0，即（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
当m＝4时，原方程化为x2﹣4x+4＝0，
解得x ＝x ＝2．
1 2
所以原方程的根为x ＝x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方
程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x ，x ，且x2+x2=2，求m的值．
1 2 1 2
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）m＝1．
【分析】（1）由题意得Δ＝4＞0即可证明方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得x +x ＝2m﹣2，x x =m2−2m，再将x2+x2=2变形得到关于m
1 2 1 2 1 2
的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x2+x2=(x +x ) 2−2x x =2，
1 2 1 2 1 2
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝2，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m ＝m ＝1，
1 2
即m＝1．
【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程根的判别式；掌握这两个知识点是关键．
28．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件
降价x元．
（1）根据题意，填表：
每件利润（元） 销售量（件） 利润（元）
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降价前 44 20 880
降价后 ① ②
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；
（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可．
【解答】解：（1）根据题意，填表：
每件利润（元） 销售量（件） 利润（元）
降价前 44 20 880
降价后 44﹣x 20+5x
（2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，
整理得：（x﹣4）（x﹣36）＝0，
解得：x＝4或x＝36，
则应降价4元或36元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
29．在平面内，两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，…，由此，我们可以得到直线
交点数量与直线条数之间的规律．那么直线将平面分成的区域的数量与直线的条数是否有同样的
规律呢？
【提出问题】n条直线最多将平面分成多少个区域？
【实验探究】准备一张白纸，在白纸上依次画直线，将有关信息记录在表中：
摆放方式 直线条数 最多可以把平面分成的区域数
① 1 2
②
2 4
3 7
4 1 1
（1）将表格补充完整；
（2）求出10条直线最多可以将平面分成多少个区域？
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（3）假设平面足够大，最少使用多少条直线，可以把平面分成121个区域？
【答案】（1）4，7，11；
（2）出10条直线最多可以将平面分成56个区域；
（3）最少使用15条直线，可以把平面分成121个区域．
【分析】（1）根据图形计算求解；
（2）根据（1）中的推理，计算求解；
（2）根据（2）中的结论列方程求解．
【解答】解（1）根据图形得：当有1条直线时，分成2个区域，
当有2条直线时，最多分成2+2＝4个区域，
当有3条直线时，最多分成2+2+3＝7个区域，
当有4条直线时，最多分成2+2+3+4＝11个区域，
……，
n(n+1)
当有n条直线时，最多分成2+2+3+4+……+n＝[1+ ]个区域，
2
故答案为：4，7，11；
(1+10)×10
（2）当有10条直线时，最多分成2+2+3+……+10= +1＝56个区域，
2
答：出10条直线最多可以将平面分成56个区域；
（3）设最少使用x条直线，可以把平面分成121个区域，
(1+x)x
由题意得： +1＝121，
2
解得：x＝15或x＝﹣16（不合题意，舍去），
答：最少使用15条直线，可以把平面分成121个区域．
【点评】本题考查了一元二方程的应用，找到规律列方程是解题的关键．
30．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是
小明同学用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的过程：
解：移项，得x2﹣2x＝1，
配方，得x2﹣2x+1＝1+1，
所以（x﹣1）2＝2，
直接开平方，得x−1=±√2，
所以x =1+√2，x =1−√2．
1 2
【问题解决】
（1）小明配方的依据是 A ．
A．完全平方公式
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B．平方差公式
C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程：2x2+12x﹣4＝0．
【拓展应用】
（3）已知x是实数，求代数式x2﹣2x+5的最小值．
【答案】（1）A；（2）x =−3+√11，x =−3−√11；（3）4．
1 2
【分析】（1）根据运算过程即可解答；
（2）结合配方法将原式变形为（x+3）2＝11，再利用直接开平方法计算即可；
（3）利用配方法将原式化简为（x﹣1）2+4≥4，结合（x﹣1）2＞0，即有（x﹣1）2+4≥4，则当
x＝1时，代数式x2﹣2x+5的最小值是4．
【解答】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成x2﹣2x+1，即（x+1）2，右边变成2，则
依据是完全平方公式．
故答案为：A；
（2）2x2+12x﹣4＝0，
移项得：2x2+12x＝4，
二次项系数化为1得：x2+6x＝2，
配方得x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，
直接开平方得x+3=±√11，
所以x =−3+√11，x =−3−√11；
1 2
（3）x2﹣2x+5＝x2﹣2x+1+4＝（x﹣1）2+4，
∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2＞0，
∴（x﹣1）2+4≥4，
∴当x＝1时，
∴（x﹣1）2+4≥4有最小值4，即代数式x2﹣2x+5的最小值是4．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知
识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键．
21
