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第8课时 一元二次方程及其应用
1.一元二次方程3x2+1=6x的一次项系数为6,二次项系数和常数项分别为 ( )
A.3,1 B.-3,-1
C.3,-1 D.-3x2,-1
2.(2024·石家庄正定县模拟)一元二次方程2x(x+1)=3(x+1)的解是 ( )
3
A.x=-1 B.x=
2
3
C.x =-1,x = D.无实数解
1 2
2
3.若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x ,x ,则x x 的值是 ( )
1 2 1 2
A.3 B.-3 C.-4 D.4
2±√4-4×3×(-1)
4.若x= 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c= ( )
2×3
A.-2 B.4 C.2 D.0
5.将一元二次方程x2+4x-1=0化成形如(x+p)2=q的形式,则p+q的值为 ( )
A.7 B.3 C.-5 D.10
6.若a,b是方程x2-2 024x+2=0的两个实数根,则ab(a+b)的值为 ( )
A.-4 048 B.-2 024
C.4 048 D.2 024
7.(2024·邯郸丛台区模拟)问题“解方程x2-3x+3=0”,嘉嘉说“其中一个解是 x=1”,淇淇说“方程
有两个实数根,这两个实数根的和为 3”,珍珍说“b2-4ac<0,此方程无实数根”,判断下列结论正确
的是 ( )
A.嘉嘉说得对 B.淇淇说得对
C.珍珍说得对 D.三名同学说法都不对
8.(2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每
次降价的百分率为 ( )
A.20% B.22%
C.25% D.28%
9.关于x的方程x2-2x+a=0(a为常数)无实数根,则点(a,a+1)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
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C.第三象限 D.第四象限
10.(2024·通辽)如图,小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭
舍,其面积为15 m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成),则BC长为 ( )
A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m
C.5 m D.3 m
11.(2024·巴中)已知方程x2-2x+k=0的一个根为-2,则方程的另一个根为 .
12.(2024·新疆)关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为
.
13.已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 .
14.(2024·泸州)已知 x ,x 是一元二次方程 x2-3x-5=0 的两个实数根,则(x -x )2+3x x 的值是
1 2 1 2 1 2
.
15.已知x ,x 是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
1 2
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x ,x 都是整数,求k的值.
1 2
16.(2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一
次函数关系,部分数据如表所示:
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)该商品日销售额能否达到2 600元?如果能,求出每件售价;如果不能,说明理由.
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1.(2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0,其中m,n满足m-2n=3,关于该方程根
的情况,下列判断正确的是 ( )
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
2.等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为( )
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
3.嘉淇在判断一元二次方程4x2-12x+m=0根的情况时,把m看成了它的相反数,得到方程有两个相
等的实数根,则原方程4x2-12x+m=0有根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.有一个根是3
4.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,
因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根
是-2和-5.则原来的方程是 ( )
A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0
C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0
5.(2024·河北三模)若关于x的一元二次方程(x-a)2=4的两个根均为正整数,写出满足条件的一个a
的值为 .
6.如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在
边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
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【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:3x2+1=6x,
3x2+1-6x=0,
-3x2+6x-1=0,
∵一次项系数是6,
∴二次项系数是-3,常数项是-1.故选B.
3
2.C 解析:原方程变形,得(x+1)·(2x-3)=0,解得x=-1,x= .故选C.
1 2
2
3.A 解析:∵一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x,x,∴xx=3.故选A.
1 2 1 2
4.D 解析:由题意知,a=3,b=-2,c=-1,
∴a+b+c=3-2-1=0.故选D.
5.A 解析:x2+4x-1=0,x2+4x=1,x2+4x+4=5,(x+2)2=5,
∴p=2,q=5,∴p+q=2+5=7.故选A.
6.C 解析:∵a,b是方程x2-2 024x+2=0的两个实数根,
-2 024 2
∴a+b=- =2 024,ab= =2,
1 1
∴ab(a+b)=2×2 024=4 048.故选C.
7.C 解析:方程x2-3x+3=0中,a=1,b=-3,c=3,
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×3=-3<0,
此时方程无实数根,珍珍说得对.故选C.
8.C 解析:设每次降价的百分率为x,由题意,得48(1-x)2=27,
1 7
解得x= =25%,x= (舍去).故选C.
1 2
4 4
9.A 解析:∵关于x的方程x2-2x+a=0(a为常数)无实数根,
∴Δ=(-2)2-4×1×a=4-4a<0,解得a>1,
∴点(a,a+1)在第一象限.故选A.
1
10.C 解析:设BC长为x(00,解得k< .
4 4
13.-4 解析:把x=m代入方程得m2+4m-1=0,即m2+4m=1,
∴(m+5)(m-1)=m2-m+5m-5=m2+4m-5=1-5=-4.
14.14 解析:∵x,x 是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,
1 2
∴x+x =3,xx=-5.
1 2 1 2
∴(x-x)2+3xx= +x x+ =(x+x )2-xx=32-(-5)=9+5=14.
1 2 1 2 x2 1 2 x2 1 2 1 2
1 2
15.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,
解得k>1.
(2)∵10,
∴原方程有两个不相等的实数根.故选C.
2.C 解析:x2-10x+21=0,
(x-3)(x-7)=0,
解得x=3,x=7,
1 2
当等腰三角形的边长是3、3、7时,3+3<7,不符合三角形的三边关系,应舍去;
当等腰三角形的边长是7、7、3时,符合三角形的三边关系,这个三角形的周长是7+7+3=17.故选C.
3.A 解析:∵a=4,b=-12,c=-m,
∴Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×(-m)=144+16m=0,
∴m=-9,
∴原方程为4x2-12x-9=0,
Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×(-9)=288>0,
3±3√2
∴方程有两个不相等的实数根x= .故选A.
2
4.B 解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0),
b c
由题知,- =6+1=7, =-2×(-5)=10,
a a
∴b=-7a,c=10a,
∴原来的方程为ax2-7ax+10a=0,
当a=1时,方程为x2-7x+10=0.故选B.
5.4(答案不唯一) 解析:∵(x-a)2=4,
∴x-a=±2,∴x=a±2,
∵两个根均为正整数,∴a>2,故可以取a=4(答案不唯一).
6.解:(1)设矩形ABCD的边AB=x m,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.
根据题意,得x(72-2x)=640,
化简,得 x2-36x+320=0,
解得 x=16,x=20,
1 2
当x=16时,72-2x=72-32=40(m),
当x=20时,72-2x=72-40=32(m).
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答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2 的羊圈.
(2)不能,理由如下:由题意,得x(72-2x)=650,
化简,得 x2-36x+325=0,
Δ=(-36)2-4×325=-4<0,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到 650 m2.
7
