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备战 2024 中考数学一轮复习
第二章方程（组）与不等式
（组）
第 2 讲一元二次方程
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 2 讲一元二次方程
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 一元二次方程的解
考向二 解一元二次方程
考向三 一元二次方程根的判别式
考向四 含参问题
考向五 根与系数关系
考向六 一元二次方程在实际问题中的应用
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第 2 讲一元二次方程
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理
（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考
察最值问题,年年考查,分值为20分左右,预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题
型,为避免丢分,学生应扎实掌握.
→➊考点精析←
一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二
次方程．
2．一般形式： （其中 为常数， ），其中 分别叫做
二次项、一次项和常数项， 分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意 ，因为当 时，不含有二次项，
即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须
只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法：适合于 或 形式的方程．
2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右
边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成
的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即 ；（2）确定 的值；
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（3）求出 的值；（4）将 的值代入 即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成 的形式，可得 或
．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式：一元二次方程 是否有实数根，由 的符号
来确定，我们把 叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当 时，方程 有两个不相等的实数根；
（2）当 时，方程 有1个（两个相等的）实数根；
（3）当 时，方程 没有实数根．
3．根与系数关系：对于一元二次方程 （其中 为常数， ），设
其两根分别为 ， ，则 ， ．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、
解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设 为原来量， 为平均增长率， 为增长次数，
为增长后的量，则 ；当 为平均下降率时，则有 ．
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2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率= ×100％．
3．面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形 长为 ，宽为 ，空白“回形”道路的宽为 ，则
阴影部分的面积为 ．
（2）类型2：如图2所示的矩形 长为 ，宽为 ，阴影道路的宽为 ，则空白部分
的面积为 ．
（3）类型3：如图3所示的矩形 长为 ，宽为 ，阴影道路的宽为 ，则4块空白
部分的面积之和可转化为 ．
图1 图2 图3
4. 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
1
∴m= n（n−1）
2
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比
赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
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∴m=n（n−1）
→➋真题精讲←
考向一 一元二次方程的解
紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
1．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知 是一元二次方程 的
一个根，则 的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】首先把x=1代入 ，解方程可得m=2，m=-1，再结合一元
1 2
二次方程定义可得m的值
【解析】解：把x=1代入 得： =0，解得：m=2，
1
m=﹣1
2
∵ 是一元二次方程，∴ ，∴ ，∴ ，故选：
B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于
0．
考向二 解一元二次方程
一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
形如 的方程，可直接开方求解，则 ，
直接开平
方法
因式分解 可化为 的方程，用因式分解法求解，则 ，
法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为 ，再直接开方
配方法
求解
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公式法 利用求根公式：
2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴ 或
∴ ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
3．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x＝2，x＝3
1 2
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x＝2，x＝3．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
4．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方正确
的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【解析】解： 移项得 ，二次项系数化1的 ，
配方得 即 故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号
的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
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【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
5．（2020·四川乐山·中考真题）已知 ，且 ．则 的值是
_________．
【答案】4或-1
【分析】将已知等式两边同除以 进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程
即可得．
【解析】 将 两边同除以 得：
令 则 因式分解得： 解得 或
即 的值是4或 故答案为：4或 ．
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形
是解题关键．
考向三 一元二次方程根的判别式
对于方程 ， ，①若 ，方程有两个不相等的实数
根；②若 ，方程有两个相等的实数根；③若 ，方程没有实数根．
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于 的一元二次方程 的根的情况
是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数 的取值有关
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出 ，即
可得出答案．
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【详解】解：∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实
数根；当 时，方程无实数根．
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程 ．在下面的四组条件中
选择其中一组 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②， ， ；选③， ，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解： 中 ，
① 时， ，方程有两个相等的实数根；
② 时， ，方程有两个不相等的实数根；
③ 时， ，方程有两个不相等的实数根；
④ 时， ，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择② 时，
，
，
，
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， ；
选择③ 时，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键
是掌握：对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
考向四 含参问题
8．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相
等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若
，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根．
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9．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程 有实数解，则m的取
值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】由于关于 的一元二次方程 有实数根，根据一元二次方程根与系数
的关系可知 ，且 ，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，且 ，
解得， ，且 .
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 与根的
关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两
个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二
次方程没有实数根．
10．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若 是关x的方程 的解，则
的值为___________．
【答案】2019
【分析】将 代入方程，得到 ，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵ 是关x的方程 的解，
∴ ，即： ，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，
是解题的关键．
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11．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，用配方法解方程．
【答案】(1) 且 ；(2) ，
【分析】（1）根据题意，可得 ，注意一元二次方程的系数问题，
即可解答，
（2）将 代入 ，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得： ，
解得 且 ；
（2）解：当 时，原方程变为： ，
则有： ，
，
，
方程的根为 ， ．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法
解一元二次方程是解题的关键．
12．（2020·四川南充·中考真题）已知 ， 是一元二次方程 的
两个实数根．
（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，
请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
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【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可
得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x＋x＝2，xx＝k＋2，结合 ，即可得出
1 2 1 2
关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【解析】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴ 解得 ；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵ ，∴ 即 ，解得 ．
又由（1）知： ，∴ ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当
△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 ，找出关
于k的方程．
考向五 根与系数关系
设一元二次方程 的两根分别为 ， ，则 ，
．
13．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程 两根为 ，
且 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
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【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后即可确定两个根，再由根
与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 两根为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
14．（2020·河南中考真题）定义运算： ．例如
．则方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【解析】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，故选
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根
的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2023·天津·统考中考真题）若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程 中的 ，
是方程 的两个根，
， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数
的关系是解题关键．
16．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知 、 是方程 的两根，则代数式
的值为_________．
【答案】
【分析】根据 、 是一元二次方程 的两个根，则有 ，求解即
可．
【详解】解：由题意得
，
原式 ．
故答案： ．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
17．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
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(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
【答案】(1)见解析；(2) 的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
解得 或 ．
∴ 的值为1或 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方
程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
考向六 一元二次方程在实际问题中的应用
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中
分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出
的方程的解是否符合实际问题．
18．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计
公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设
2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（
）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出
一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条
宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是
（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为
的矩形的面积，根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取
其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为
的矩形的面积，
依题意得：
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解得： ， （不合题意，舍去），
∴小路宽为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
20．（2020·辽宁大连·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算
法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几
步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则
可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即
可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣
12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确
列出一元二次方程是解题的关键．
21．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位 个，并按
计划逐月增长，预计八月份将提供岗位 个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平
均增长率为 ，根据题意，可列方程为___________．
【答案】
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意列出一元二次
方程，即可求解．
【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意得，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
22．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部
分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购
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买图书的费用是7200元，求 年买书资金的平均增长率．
【答案】
【分析】设 年买书资金的平均增长率为 ，根据2022年买书资金 2020年买书
资金 建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设 年买书资金的平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
答： 年买书资金的平均增长率为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
23．（2020·山东滨州·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，
若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1
元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千
克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元 时，每千克水果售价为 元或
元；（3）当该优质水果每千克售价为 元时，获得的月利润最大
【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水
果售价为 元，根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为 元，每千克水果售价为
元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【解析】解： 当售价为 元/千克时，每月销售量为
千克.
设每千克水果售价为 元，由题意，得
即 整理，得
配方，得 解得
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当月销售利润为元 时，每千克水果售价为 元或 元
设月销售利润为 元，每千克水果售价为 元，由题意，得
即 配方，得
， 当 时， 有最大值 当该优质水果每千克售价为 元时，获得的
月利润最大．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根
据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
24．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停
课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成
学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如
果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话
呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点 分表示第1名同学、第2
名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模
型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当 时，
对应的 ______．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
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【答案】（1）10，15；（2） ，1128；（3）20
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出 ，再代入 可求出当 时对
应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵ ，∴ ，
当 时， ．故答案为： ；1128．
（3）依题意，得： ，化简，得： ，
解得： （不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是
解题的关键．
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