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方程与方程组
1.等式的两边同时加上(或减去)同一个 ，所得结果仍是等式.
等式的两边同时乘(或除以)同一个 ，所得结果仍是等式.
2.含有 的等式叫作方程.使方程左右两边的值相等的 叫作方程的解.求方程的 的过程叫作
解方程.只含有___________的方程叫作一元一次方程，其标准形式为_________
解一元一次方程的一般步骤：
① ; ② ; ③ ;④ ；⑤未知数的系数化为 1.
3.只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫作一元二次方程，其一般形式为
.其中 叫作二次项， 叫作一次项， 叫作常数项； 叫作二次项的系数，
叫作一次项的系数.
4.一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.(1)其中形如 的一元二次方程
就可用直接开平方的方法.(2)用配方法解一元二次方程(ax²+ bx+c=0(a≠0)的一般步骤:①化二次项系数 ，
即方程两边同时除以二次项系数；② ，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③ ，
即方程两边 一次项系数一半的平方；④化原方程为 的形式；⑤如果方程右边是非负数，即n≥0，
就可以用 求出方程的解;如果 n<0,则原方程 .(3)一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式
是 .(4)因式分解法的一般步骤：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成 的乘积；
③令 都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
5.关于x的一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 .
(1) ⇔一元二次方程 ax²+ bx+c=0(a≠0)有两个 的实数根,即 x 1,2 =.
¯
(2) ⇔一元二次方程有 相等的实数根，即
x₁=x₂=
.
(3) ⇔一元二次方程 ax²+ bx+c=0(a≠0) 实数根.
6.分母中含有 的有理方程叫作分式方程.解分式方程的一般步骤：(1)去分母，在方程的两边都乘
，约去分母，化成整式方程；(2)解这个 ；(3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，
使 为零的根是原方程的增根，必须舍去.
7.共含有 未知数的两个一次方程所组成的一组方程组叫作二元一次方程组.使二元一次方程组的
，叫作二元一次方程组的解.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元法和 消元法两种.
8.列方程(组)解应用题的一般步骤
(1) ：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，理清它们之间的关系;(2) :根据题意,
可采用 ,也可 ，必须写明单位，语言叙述要完整；(3) ：根据题中给出的条件，用含
有所设未知数的代数式表示其他未知数；利用列代数式时没有用过的等量关系，列出方程或方程组，一般列方程
的个数与所设未知数的个数相同；(4) ：应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解；(5) :
解应用题既要检验有无 ，又要检验是否 ，检验后作出符合题目要求的答案.
实战演练
1.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁
起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢?”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9
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天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇? 设经过 x 天相遇，根据题意可列方程为 (
)
(1 1)
A. + x=1
7 9
(1 1)
B. − x=1
7 9
C.(9-7)x=1
D.(9+7)x=1
2.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果
七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个? 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可
以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个? 设苦果有 x个，甜果有 y个，则可列方程组
为( )
{
x+ y=1000,
A. 4 11
x+ y=999
7 9
{
x+ y=1000,
B. 7 9
x+ y=999
4 11
{x+ y=1000,
C.
7x+9 y=999
{ x+ y=100,
D.
4x+11y=999
3.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为 96元，设平均每次降价的百
分率为x，根据题意，所列方程正确的是 ( )
A.150(1−x²)=96
B.150(1-x)=96
C.150(1−x)²=96
D.150(1-2x)=96
2 1
4.分式方程 = 的解是 ( )
x−3 x
A. x=1 B. x=-1
C. x=3 D. x=-3
5.某体育比赛的门票分 A 票和B 票两种,A 票每张x 元,B 票每张y 元.已知 10 张 A 票的总价与 19 张 B
票的总价相差320元，则 ( )
10x
A.| |=320
19 y
10 y
B.| |=320
19x
C.|10x-19y|=320
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D.|19x-10y|=320
6.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，
要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方.图2是一个未完成的幻
方，则x与y的和是 ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
7.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全
部，加起来总共是 33.若设这个数是 x，则所列方程为 ( )
2 1
A. x+ x+x=33
3 7
2 1 1
B. x+ x+ x=33
3 2 7
2 1 1
C. x+ x+ x+x=33
3 2 7
2 1 1
D.x+ x+ x− x=33
3 7 2
8.若方程 x²−2x+m=0没有实数根，则m的值可以是 ( )
A. -1 B.0
C.1 D. √3
9.用配方法解方程 x²−6x+5=0，配方后所得的方程是 ( )
A.(x+3)²=−4
B.(x−3)²=−4
C.(x+3)²=4
D.(x−3)²=4
10.关于x的方程(x-1)(x+ 2)=p²(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是 ( )
A.两个正根 B.两个负根
C.一个正根，一个负根 D.无实数根
11.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2021 年至2023年我国快递业务收入由 5 000 亿元
增加到 7 500亿元. 设我国 2021 年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为 ( )
A.5 000(1+2x)=7 500
B.5 000×2(1+x)=7 500
C.5000(1+x)²=7500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)²=7 500
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12.甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样 160人所用时间与乙采样
140 人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人? 设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 .
2 1
13方 程 = 的解为 .
x+5 x
14.关于x的一元二次方程. x²+2x+t=0有两个相等的实数根，则实数t 的值为 .
3x m
15.若关于x的分式方程 = +2的解为正数，则m的取值范围是 .
x−1 1−x
3x m+3
16.若关于 x的分式方程 = +1 有 增 根，则m= .
x−2 x−2
{2x−y=3,
17.解方程组: ①②
x+ y=6.
18.某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1 份甲种快餐和 2 份乙种快餐共需70
元，买2 份甲种快餐和 3 份乙种快餐共需120元.买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元?
19.某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级(1)班的4个小组制作 360面彩旗，后因1 个小组另有任务，
其余3个小组的每名学生要比原计划多做3 面彩旗才能完成任务.如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学
生多少名?
20.已知关于x的一元二次方程 x²+3x+k−2=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为 x₁，x₂，若 (x₁+1)(x₂+1)=−1,求 k的值.
x−1 3
21.解方程: − =1.
x+1 x2−1
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22.2021 年 7 月 1 日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈
出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).
压轴预测
1.《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得
甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌.如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组 (
)
{x+9=2(y−9),
A.
y+9=x
{x+9=2(y−9),
B.
y+9=x−9
{x+9=2y,
C.
y+9=x−9
{x+9=2y,
D.
y+9=x
2.关于x的方程x(x--1)=3(x--1),下列解法完全正确的是 ( )
A.两边同时除以(x-1)得,x=3
4±√28
B.整理得,.x²-4x=-3,∵a=1,b=-4, c=−3,b2−4ac=28,∴x= = 2±√7
2
C.整理得， x²−4x=−3,配方得， x²− 4x+2=−1,∴(x−2)²=−1,∴x− 2=±1,∴x₁=1,x₂=3
D.移项得，(x-3)(x--1)=0,∴x-3=0或x--1=0,∴x₁=3,x₂=1
3.若关于x的一元二次方程 kx²+(4k−1)x+3k--1=0的解都是整数，则正整数k的值为 .
4.受猪瘟疫情的影响,2023年猪肉价格不断走高，据统计2023年 9 月1 日猪肉价格比2023年年初上涨了
60%，某市民 2023年 9 月 1 日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱.
(1)2023年年初猪肉的价格为每千克多少元?
(2)某超市将进货价为每千克65 元的猪肉，按9 月1日的价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表
明猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1 560 元的利润，并且
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能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元?
参考答案
1.数或整式 不为0的数或整式
2.未知数 未知数的值 解未知数 次数都是1 ax+b=0(a≠0) ①去分母②去括号 ③移项 ④合并同类项
3.一个2 ax²+ bx+c=0(a≠0)ax² bx c a b
4.(1)(x+a)²=b
(2)①为1②移项 ③配方 同时加上
④(x+a)²=n ⑤直接开平方法 无解
−b±√b2−4ac
(3)x = (b2−4ac≥0)
1,2 2a
(4)①0 ②两个因式 ③这两个因式
5.△=b²−4ac
−b±√b2−4ac
(1)b²−4ac>0 不相等
2a
b
(2)b²−4ac=0 两个 −
2a
(3)b²−4ac<0 没有
6.未知数
(1)最简公分母
(2)整式方程
(3)最简公分母 最简公分母
7.两个 两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值 代入 加减
8.(1)审题
(2)设未知数 直接设未知数 间接设未知数
(3)列代数式和方程
(4)解方程或方程组
(5)检验，作答 增根 符合题意
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1 1 (1 1)
1. A 【解析】本题考查一元一次方程的应用.根据题意得 x+ x=1,即 + x=1,故选 A.
7 9 7 9
{
x+ y=1000,
2. A 【解析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组.根据题意，所列方程组为 4 11 故选 A.
x+ y=999,
7 9
3. C 【解析】本题考查根据实际问题列一元二次方程.由题知，第一次降价后每件售价为150(1-x)元，第二次
降价后每件售价为 150(1-x)² 元,所以可列方程 150(1- x)²=96,故选C.
4. D 【解析】本题考查解分式方程.等号两边同乘x(x-3),得2x=x-3,移项并合并同类项得x=-3,检验:当x=-3
时,x(x-3)=18≠0,故x=-3是原分式方程的解,故选 D.
5. C 【解析】本题考查由实际问题列二元一次方程.由题意得|10x-19y|=320,故选 C.
6. D
7. C 【解析】本题考查根据实际问题列一元一次方程、数学文化.若设这个数是x，则这个数的三分之二是
2 1 1
x,这个数的一半是 x，这个数的七分之一是 x，这个数的全部就是x，根据“加起来总共是33”可列得方程
3 2 7
2 1 1
x+ x+ x+x=33,故选 C.
3 2 7
8. D 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、不等式的解.由题意可知，方程 x²−2x+m=0没有实数根，
∴△<0,即( (−2)²−4m<0,解得 m>1，结合各选项知，m的值可以是 √3,故选 D.
9. D 【解析】本题考查对一元二次方程进行配方.已知方程 x²−6x+5=0可变形为 x²−6x=−5,两边同时
加上9,得 x²−6x+9=4,即 (x−3)²=4,∴将方程 x²−6x+5=0配方后得( (x−3)²=4,,故选 D.
将二次三项式进行配方，如果是一元二次方程，则在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方；如果是二
次函数，则在函数式中加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，这就是等式和代数式进行配
方的区别，要注意不能弄错.
10. C 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.原方程可化为
−2−p2
x²+x−2−p²=0,∴△=1²− 4(−2−p2)=9+4 p2>0,∵x ⋅x = <0,∴方程有一个正根，一个负根，故
1 2 1
选C.
11. C
160 140
12. = 【解析】本题考查根据实际问题列分式方程.根据题意，甲每小时采样x人，则乙每小时采
x x−10
160 140
样(x—10)人，∴甲采样160人所用时间为 小时，乙采样140人所用时间为 小时，∴可列分式方程为
x x−10
160 140
= .
x x−10
2 1
13. x=5 【解析】本题考查解分式方程.将方程 = 的等号两边同时乘公分母x(x+5),得2x=x+5,移项并合
x+5 x
并同类项,得x=5.检验:当x=5时,x(x+5)≠0，所以x=5是原分式方程的解.
14.1 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式.依题意， △=2²−4×1×t=0,,解得t=1.
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15. m<-2且m≠-3 【解析】本题考查分式方程的解法.去分母得3x=-m+2(x-1),去括号得3x=-m+2x-2,移项得
{−m−2−1≠0,
3x-2x=-m-2,合并同类项得x=-m-2.因为原分式方程的解为正数，所以 解得m<-2且m≠-3.
−m−2>0,
m+1
16.3 【解析】本题考查分式方程的增根.将分式方程化为整式方程得 3x=m+3+(x--2),解得 x= .
2
3x m+3 m+1
又∵关于 x的分式方程 = +1有增根，即x-2=0,解得 x=2,∴ =2,解得m=3.
x−2 x−2 2
分式方程的增根就是使分式的最简公分母为零的未知数的值.解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；
②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.
{x=3,
17.
y=3
解:①+②,得3x=9,
x=3.
将x=3代入②,得3+y=6,
y=3.
{x=3,
所以原方程组的解为
y=3.
18.30 20
解：设买一份甲种快餐需 x 元，买一份乙种快餐需 y元,
{ x+2y=70,
依题意得
2x+3 y=120,
{x=30,
解得
y=20.
答：买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需 20元.
19.10
解：设每个小组有学生x名，
360 360
根据题意得 − =3,
3x 4x
解得x=10.
经检验，x=10是原方程的解.
答：每个小组有学生10名.
17
20.(1)k≤ (2)3
4
(1)由△≥0列不等式求解即可；(2)根据根与系数的关系先表示出 x₁+x₂和x₁x₂,再代入所给式子，列方程即可
求得k的值.
解：(1)∵一元二次方程 x²+3x+k−2=0有实数根，∴△≥0.
∴ △=3²−4(k−2)=−4k+17≥0.
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17
解得 k≤ .
4
(2)方程的两个实数根分别为x₁,x₂,
∴x₁+x₂=−3,x₁x₂=k−2.
∴(x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1.
∴k-2-3+1=-1,
解得,k=3.
1
21.−
2
将分式方程转化为整式方程求解即可，最后检验整式方程的解是否为分式方程的根即可.
解： (x−1)²−3=x²−1.
x²−2x+1−3=x²−1,
-2x=1.
1
x=− .
2
1
经检验 x=− 是原方程的根.
2
22.5
根据题意设出未知数x，利用等量关系列出关于x的一元二次方程，求出方程的解，选取符合题意的未知数的
值，即为最小数.
解：设这个最小数为x.
根据题意,得x(x+8)=65.
解，得 x₁=5,x₂=−13(不符合题意，舍去).
答：这个最小数为5.
压轴预测
1. B 【解析】本题考查数学文化、二元一次方程组的实际应用.根据题意，甲有羊x只，乙有羊y只.由“甲
得乙羊九只，多乙一倍正当”可得x+9=2(y-9)，由“乙说得甲九只，两人羊数一样”可得y+9=x-9，∴可列方程组
{x+9=2(y−9),
为 故选 B.
y+9=x−9,
2. D 【解析】本题考查解一元二次方程.对于 A，不能两边同时除以(x-1),会漏根,故 A 错误;对于 B,c=3不
是-3，故B错误；对于C，配方时，等式两边应该同时加4，故C错误；对于D，利用因式分解法可知该步骤正确，
故D正确,故选 D.
3.1 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、解方程.∵方程kx²+(4k-1)x+3k-1=0 是一元二次方程,
∴k≠0,△=(4k−1)²−4k(3k−1)=16k²−8k+1− 12k²+4k=4k²−4k+1=(2k−1)²≥0,.
k的取值范
3k−1 1 1
kx²+(4k−1)x+3k−1=0 x₁=−1, x =− =−3+ .
围是k≠0.解方程 得 2 k k ∵方程的解都为整数，∴ 8为整
数,∴k=1.
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4.(1)50 (2)3
(1)设今年年初猪肉的价格为每千克x元，根据2019年9月1日猪肉的价格=2019年年初猪肉的价格×(1+上涨
率)，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设猪肉的售价应该下降 y元，则每日可售出
(100+10y)千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于 y的一元二次方程，解之取其较大值即可.
解：(1)设2023年年初猪肉的价格为每千克x元.
由题意可得(1+60%)x=80,
解得x=50.
答：2023年年初猪肉的价格为每千克50元.
(2)设猪肉的售价应该下降y元，
则每日可售出(100+10y)千克.
依题意,得(80-65-y)(100+10y)=1560,
整理得 y²−5 y+6=0,
解得y=2,y=3.
1 2
∵要让顾客得到实惠，
∴y=3.
答：猪肉的售价应该下降3元.
10
