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专题 07 一元二次方程
考点 1 一元二次方程
一、单选题
1．（2021·青海西宁·统考中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020
年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意2019年用水总量为 亿立方米，2020年用水总量为 亿立
方米，从而可得x满足的方程．
【详解】解：由题意可得：
2019年用水总量为 亿立方米，
2020年用水总量为 亿立方米，
所以 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解年平均降低率的含义．
2．（2023年天津市中考数学真题）若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程 中的 ，
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是方程 的两个根，
， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关
键．
3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上 ，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上 ，即
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
4．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）已知 ，则 的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】D
【分析】 变形为 ，将 变形为 ，然后整体代入
求值即可．
【详解】解：由 得： ，
∴
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，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将
变形为 ．
5．（2020·四川巴中·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a
的最大整数解是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
解得 ，
则a的最大整数值是0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的
判别式.
6．（2022·西藏·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值
范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞ 且m≠1 D．m≥ 且m≠1
【答案】D
【分析】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方程有实根，△≥0，综合以上两方面进行计算即可．
【详解】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
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解得：m≥ 且m≠1．
故选D．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次方程的系数不为
0这一条件．
7．（2023年北京市中考数学真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ．
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解
根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方
程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
8．（2023年吉林省中考数学真题）一元二次方程 根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式 求出答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
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9．（2023年河南省中考数学真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】对于 ，当 , 方程有两个不相等的实根，当 , 方程有两个相等的实
根， , 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
10．（2023年上海市中考数学真题）在分式方程 中，设 ，可得到关于y的整式
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则原方程可变形为 ，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设 ，则原方程可变形为 ，
即 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
11．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．
某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长
率记作x，则方程可以列为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意知第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x，列方程为
，化简求解即可．
【详解】解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x
故根据题意列方程式为：
化简得：
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的表示每天的票房．
12．（2020·广西贵港·中考真题）一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出 ＝13＞0，进而可找出该方程有两个不相等的实数根．
【详解】∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，△
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
△
13．（2023年湖北省武汉市数学真题）已知 ，计算 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把 代入原式即可求出答案．
【详解】解：
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=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= =1，
故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
二、填空题
14．（2021·山东德州·中考真题）方程x2=4x的解 ．
【答案】x=0或x=4
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为
0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x=0，x=4，
1 2
故答案为：x=0或x=4．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.
15．（2020·四川阿坝·中考真题）若m2﹣2m﹣1=0，则代数式2m2﹣4m+3的值为 ．
【答案】5
【分析】先求出m2﹣2m的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解．
【详解】解：由m2﹣2m﹣1=0得m2﹣2m=1，
所以，2m2﹣4m+3=2（m2﹣2m）+3=2×1+3=5．
故答案为：5
【点睛】考点：代数式求值．
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16．（2019·青海·统考中考真题）某种药品原价每盒 元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在
售价每盒 元，则平均每次下调的百分率为 ．
【答案】 ．
【分析】设平均每次降价的百分比是 ，则第一次降价后的价格为 元，第二次降价后的价格在第
一次降价后的价格的基础上降低的，为 元，从而列出方程，然后求解即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分比是 ，根据题意得：
，
解得： （不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是 ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，若设变化前的量为 ，变化后的量为 ，平均变化率为 ，则经
过两次变化后的数量关系为 ．
17．（2021·四川内江·统考中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围
为 ．
【答案】 且 /a≠0且a≥-2
【分析】根据题意可知 ，代入求解即可．
【详解】解：一元二次方程ax2+4x﹣2＝0，
，
∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，
∴ 且 ，即 ，
解得： 且
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知： ，一元二次方程有两个不相等的实数根； ，一元二次
方程有两个相等的实数根； ，方程无实数根，是解题的关键．
18．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的
取值范围是 ．
【答案】k＜
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【详解】解：由题意得： =9﹣4k＞0，
△
解得：k＜ ，
故答案为：k＜ ．
19．（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
．
【答案】4
【分析】一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相
等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．利用判别式的意义得到
，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题
关键．
20．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解
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根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方
程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
21．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）若 是关x的方程 的解，则 的值为
．
【答案】2019
【分析】将 代入方程，得到 ，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵ 是关x的方程 的解，
∴ ，即： ，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
22．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）若关于x的方程 的一个根是3，则此方程的另一
个根是 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系 即可求出方程的另一个根．
【详解】设另一个根为 ，
根据题意： ，
解得， ，
即另一个根为 ，
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数 、 来计算
时，要弄清楚 、 、 的意义．
23．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）若 是一元二次方程 的两个实数根，则
．
【答案】 /
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次
方程 的两个实数根 ， 满足 ， ．
24．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂
直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 米．
【答案】1
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形
的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x＝1，x＝24（不合题意，舍去），
1 2
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则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最
左边是做本题的关键．
25．（2022·四川巴中·统考中考真题） 、 是关于 的方程 的两个实数根，且
，则 的值为 ．
【答案】
【分析】 ，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，
得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵ 是方程 的根
∴ ，
∴
∴k=-4
故答案是-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中
需注意的问题是本题的解题关键．
26．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）方程 的解为 ．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
【详解】解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
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，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
三、解答题
27．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）解方程：x2+4x﹣1=0．
【答案】x=﹣2+ ，x=﹣2﹣ ．
1 2
【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．
【详解】方程变形得：x2+4x=1，
配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，
开方得：x+2=± ，
解得：x=﹣2+ ，x=﹣2﹣ ．
1 2
28．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设一元二次方程 ．在下面的四组条件中选择其中
一组 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②， ， ；选③， ，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解： 中 ，
① 时， ，方程有两个相等的实数根；
② 时， ，方程有两个不相等的实数根；
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③ 时， ，方程有两个不相等的实数根；
④ 时， ，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择② 时，
，
，
，
， ；
选择③ 时，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一
元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个不相等的实
数根；当 时，方程没有实数根．
29．（2019·贵州安顺·统考中考真题）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千
克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 （千克）与
每千克降价 （元） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
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（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1） ；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】（1）根据图象可得：当 ， ，当 ， ；再用待定系数法求解即可；
（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设一次函数解析式为： ，根据图象可知：当 ， ；当 ， ；
∴ ，解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）由题意得： ，
整理得： ，解得： ． ，
∵让顾客得到更大的实惠，∴ .
答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确
列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2023·河南周口·统考二模）已知 和 是方程 的两个根，则代数式 的值是
（ ）
A． B． C． D．
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【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解： 和 是方程 的两个根，
．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程 有两个实数根 ，
，那么 ， ，掌握上述内容是解题的关键．
31．（2023·浙江·一模）已知二次方程 的两根为 和5，则对于二次函数 ，下
列叙述正确的是（ ）
A．当 时，函数的最大值是9． B．当 时，函数的最大值是9．
C．当 时，函数的最小值是 ． D．当 时，函数的最小值是 ．
【答案】C
【分析】根据二次方程 的两根为 和5，求出 ， 的值，从而得出函数解析式，再根据函
数的性质求最值．
【详解】解： 二次方程 的两根为 和5，
，
解得 ，
二次函数 ，
，
当 时， 有最小值，最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与 轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
32．（2023·宁夏银川·校考二模）已知二次函数 与x轴有交点，则k的取值范围 ．
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【答案】 且
【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
【详解】解：由二次函数 与x轴有交点，得
一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得 且 ，
故答案为∶ 且 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系， 把二次函数 与x轴有交点问题转化
为一元二次方程 有实数根的问题，是解题的关键．
33．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于 的一元二次方程 有两个实数
根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】根据一元二次方程根的判别式 以及一元二次方程的定义得出 ，即可求解．
【详解】解：依题意 ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的
判别式的定义是解题的关键．
34．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．
某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长
率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意知第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x，列方程为
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，化简求解即可．
【详解】解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x
故根据题意列方程式为：
化简得：
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的表示每天的票房．
35．（2023·辽宁·校联考三模）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 、 ，则关于
的一元二次方程 有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：
a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为 ，
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
36．（2023·辽宁营口·校考三模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车
销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增
长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
【答案】15（1+x）2=21.6或15（x+1）2=21.6
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【分析】利用2022年某款新能源汽车的销售量＝2020年某款新能源汽车的销售量×（1＋年平均增长率）
2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意得：15（1+x）2=21.6．
故答案为：15（1+x）2=21.6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
37．（2015年初中毕业升学考试（广东卷）数学（带解析））解方程： ．
【答案】 ，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴ 或
∴ ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
38．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于
该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月
两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措
施，经调查发现，A产品每套每降 万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万
元，则每套A产品需降价多少？
【答案】(1)
(2)1万元
【分析】（1）设该公司销售 产品每次的增长率为 ，根据2月份及4月份该公司 产品的销售量，即可
得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套 产品需降价 万元，则平均每月可售出 套，根据总利润 每套的利润 销售数
量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
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【详解】（1）解：设该公司销售 产品每次的增长率为 ，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该公司销售 产品每次的增长率为 ．
（2）设每套 产品需降价 万元，则平均每月可售出 套，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ．
答 尽量减少库存，
．
答：每套 产品需降价1万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
39．（2023·山西大同·校联考三模）阅读与思考
下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
求 （n为正整数）方法欣赏
在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前n行的点数计
算”．老师给出了提示： ．课后我们小组收集了“求
（n为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏．
方法1：“头尾相加法”
把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2．
．
可得 ．即：
方法2：“递归法”（设 ）．
由完全平方公式可得 ，∴ ．
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我们列出特殊情况： ；
；
；
…
．
两边分别相加可得， ．
∴ ．
任务：
(1)计算： ；
(2)我们知道： ； ； ；…；则 ；
(3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人
走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，
后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每
个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
【答案】(1)1023132
(2)
(3)11人
【分析】（1）根据题材所给方法求解即可；
（2）设 ，则 ， 即可求解；
（3）列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：1023132；
（2）解：设 ，则
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∴ 得， ，
故答案为 ．
（3）解：设这群人共有x人．
由题意，得 ．即 ．
解方程，得 （舍去）， ．
答：这群人共有11人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算及乘方，熟练掌握有理数的混合运算、
乘方以及找准等量关系是解题的关键．
40．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，当 和 时，二次函数 （ ， 是常
数， ）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为 ，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与 轴有且只有一个交点，求 ， 的值．
(3)记（2）中的抛物线为 ，将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，当 时，抛物线 的
最大值与最小值之差为 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；
（2）根据二次函数与 轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当 和 时，二次函数 （ ， 是常数， ）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为 ， ，
∵该函数的最大值为 ，
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∴该函数的顶点坐标为 ，
∴ ，
∴由①②可得： ，
∴函数表达式为： ；
（2）解：∵该函数的图象与 轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程 ，该函数的顶点坐标为 ，
∴ ， ，
∴由①②可得 （舍去）， ，
∴ ， ；
（3）解：由（2）可得 的解析式为： ，
∵将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ 的顶点坐标为 ，且当 时，抛物线 的最大值与最小值之差为 ，
∴ ， 随 的增大而增大，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与 轴的交点坐
标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
41．（2023·四川宜宾·统考三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条
弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这
个圆的半径为 ．
【答案】 /
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接
OE，DK，再证明 经过圆心， ，分别求解AC，BC，CF， 设 的半径为 再分别表示
再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，
连接OE，DK，
过圆心O， ，
设 的半径为
∴
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整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的
关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
42.（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、
，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ．
(1)求 的面积；
(2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值．
【答案】(1)17.5
(2)
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【分析】（1）将点 代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得
面积为 和 面积的和，分别求得 和 的面积即可求解；
（2）先求得直线 解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，
令 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入直线 得：
，解得
将 代入双曲线 得：
，解得
将 代入直线 得， ，即
将 代入直线 得， ，即
∴
，
由图像可得
（2）解：设直线 解析式为 ，将 、 代入，得：
，解得
∴直线 解析式为
直线 向上平移 个单位，则 ，联立双曲线得：
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，化简得
∵与双曲线 有唯一交点
∴
解得
又∵
∴
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握
相关基本性质是解题的关键．
43．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、
，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ．
(1)求 的面积；
(2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值．
【答案】(1)17.5
(2)
【分析】（1）将点 代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得
面积为 和 面积的和，分别求得 和 的面积即可求解；
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（2）先求得直线 解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，
令 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入直线 得：
，解得
将 代入双曲线 得：
，解得
将 代入直线 得， ，即
将 代入直线 得， ，即
∴
，
由图像可得
（2）解：设直线 解析式为 ，将 、 代入，得：
，解得
∴直线 解析式为
直线 向上平移 个单位，则 ，联立双曲线得：
，化简得
∵与双曲线 有唯一交点
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∴
解得
又∵
∴
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握
相关基本性质是解题的关键．
44．（2023·山东临沂·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上一点，过点，E作
EF//BC．
(1)设以线段AE，AD为邻边的矩形的面积为 ，以BE为边的正方形的面积为 ，且 ，求BE的长；
(2)连结AC，DE，若H是DE的中点， 交AC于点G，连结EG，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，设 ，则 ，然后根据面积公式和 ，列出方程求解即可得到
答案；
（2）连接 ，由线段垂直平分线的判定和性质可得 ，易证 （SAS），可得
，继而可证 ．
【详解】（1）解：设 ，
∵正方形ABCD的边长为1，
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∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： （舍），
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵H是DE的中点， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ （SAS），
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、线段垂直平分线的判定和性质、正方形的性质和全等三角
形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
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