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专题 11 方程的实际应用模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分
为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方
程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的
应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类
归纳总结。
模型01 一元一次方程的应用
一元一次方程的应用题型
1.行程问题
路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）
2.工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
3.利润问题：
利润=售价－进价，利润率=利润÷进价，售价=标价×折扣
4.等积变形问题
长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
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5.利息问题
利息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间
模型02 二元一次方程组应用
二元一次方程组应用：
1.行程问题：速度×时间＝路程
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
2.配套问题：实际数量比＝配套比
3.商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%
4.工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率
模型03 分式方程应用
分式方程的应用解法步骤及题型：
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答
六步进行．
（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行 “双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分
式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水
航行这一类型.
模型04 一元二次方程应用
一元二次方程的应用主要有以下几种题型：
1.数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
2.增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长
后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯
形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列
比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，
可运用直角三角形的性质列方程求解．
5. 利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
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总利润=每件的利润×总件数
模型01 一元一次方程的应用
考｜向｜预｜测
一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，
在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方
程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。
答｜题｜技｜巧
第一步： 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
第二步： 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关
系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；
第三步： 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否
符合题意，是否符合实际意义。
例1. （2023·上海）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入
合做，还需几天完成这项工程？设还需 天完成这项工程，由题意 列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意知，甲在这项工程中做了 天，
则得方程： ；
故选：D．
例2．（2023·吉林长春）列方程解应用题
劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学
生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．
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(1)男生有______人，女生有______人．
(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好
配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？
②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问
题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案．
【答案】(1)19，26
(2)①分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面．
【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有 人，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：19，26；
（2）解：①设分配m名学生制作鼓身，则 名学生剪鼓面，
由题意，得 ，
解得 ，
则 ，
答：应分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；
②由①知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓 个，还需制作
个小鼓，
所以应再加入制作鼓身 人，制作鼓面 人．
则新加入 人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面．
模型02 二元一次方程组应用
考｜向｜预｜测
二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。
掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，
根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我
们在解方程组的过程中不出现失误，一般不会失分。
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答｜题｜技｜巧
第一步： “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关
系，寻找等量关系；
第二步： “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
第三步： “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是
同一类量，单位要统一；
第四步： “解”就是解方程，求出未知数的值；
第五步： “答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
例1．（2023·黑龙江哈尔滨）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒
共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为： ，
故选：C．
例2．（2023·安徽）某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车
满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m
辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？
(2)如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？
(3)已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省
钱的租车方案．
【答案】(1)1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生
(2)甲型客车2辆、乙型客车6辆
(3)最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆．
【详解】（1）解：设1辆甲型客车满载时可坐x名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生，
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由题意得： ，
解得： ，
答：1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生；
（2）解：由题意可知 ，
整理，得： ，
所以 ．
因为m，n都为正整数，且乙型客车数量多于甲型客车数量，即 ，
所以 ， ，
答：甲型客车2辆、乙型客车6辆；
（3）解：结合（2）可知 ， ； ， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
又因为 ，
所以最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆．
模型03 分式方程的应用
考｜向｜预｜测
分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可
化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分式
方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根
的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点在
于设、列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据题意设未知量，分式方程只设一个未知量，用一个量表示另一个量；
第二步： 解分式方程；
第三步： 检验分式方程的解，看是否为增根，注意不检验会扣分；
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第四步： 答：即写出答案，注意答案完整.
例1．（2023·山西）我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动． 甲、乙两同学分别从
距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，
乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是每分钟x米，则下列方程正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设乙同学的速度是 米/分，可得：
故选 D．
例2．（2023·河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B
两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
7
销售（元/袋） 90
0
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的
数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种
品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B
品牌毛尖售价提高 ，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利
润是多少？
【答案】(1)x的值为50
(2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元
【详解】（1）解：由题意得， ，
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解得 ，
经检验 是原方程的解，
∴x的值为50．
（2）解：设A为m袋，则B为 袋，
由题知： ，
解得 ，
设总利润为w元， ，
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
∴当 时， ，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
模型04 一元二次方程应用
考｜向｜预｜测
一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次
函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。
一元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及
其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。
答｜题｜技｜巧
第一步： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
第二步： 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
第三步： 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
第四步： 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
第五步： 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
第六步： 答(写出答案，切忌答非所问).
例1．（2023·安徽）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年
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投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，得 ，
故选：A．
例2．（2023·山东济南）某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到
原来的 ，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为 .
【答案】
【详解】解：设初始价格为 ，平均每个月降低的百分率为 ，
则根据题意可得， ，
即 ，
解得 ， ，
为下降率，故 ，
，即 ．
故答案为： ．
例3．（2023·四川成都）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩
形 菜园，墙长为12米．设 的长为x米，矩形 菜园的面积为S平方米，
(1)分别用含x的代数式表示 与S；
(2)若 ，求x的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大
值，最大值为多少？
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【答案】(1) ，
(2)9
(3)当 时，S有最大值，最大值为 ．
【详解】（1）解：由题意， ，
则矩形 菜园的面积为 ；
（2）解：当 时，由 得 ，
解得 ， ，
∵墙长为12米，
∴ ，则 ，
∴ ，
答：x值为9；
（3）解：由题意， ，
∴ ，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，S有最大值，最大值为 ．
1．（2023·山东）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计，其中一
件盈利 ，另一件亏本 ，则两件上衣的进价之和为（ ）
A．230元 B．240元 C．250元 D．260元
【答案】C
【详解】解：设盈利 的那件进价为 元，亏本 的那件进价为 元，则
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解得
故两件上衣进价之和为： （元）．
故选：C．
2．（2023·福建）甲、乙二人分别从相距 的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发 ，那么
乙出发后 ，他们相遇；如果他们同时出发，那么 后，两人相距 ，则甲由A地到B地需要
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】解：设甲、乙二人的速度分别为 ， ，
分两种情况：当同时出发 后，两人相遇前相距 时，
，
解得 ；
当同时出发 后，两人相遇后相距 时，
，
解得 ；
当甲的速度为 时，由A地到B地需要时间为： ，
当甲的速度为 时，由A地到B地需要时间为： ，
故选D．
3．（2023·四川）已知从甲站到乙站的高铁线路长 2200千米，自驾从甲站到乙站的路线长约1700千米，
开车的平均行驶速度是该高铁设计时速的 ，且从甲站乘坐高铁到乙站比自驾用时少 6 小时．设该高铁
的设计时速为x千米/时，则可列方程为 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
4．（2023·广东）某兴趣小组组织一次围棋比赛，参赛选手每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28
场比赛，设比赛组织者应邀请x人参与比赛，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设参赛的人数为x，
依题意，得：
故选：B．
5．（2023·山东）A，B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B，而从B出发逆水行驶5小
时才能到达A，则船在静水中的航行速度是 千米/时．
【答案】18
【详解】解：设船在静水中的航行速度是x千米/时，水流速度为y千米/时，根据题意得： ，
解得： ，
答：船在静水中的航行速度是18千米/时．
故答案为：18
6．（2023·河北）某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
胜一
平一场 负一场
场
积分 3 1 0
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奖金（元/人） 1500 700 0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场．
(1)试判断A队胜、平各几场？
(2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场
费的和是多少？
【答案】(1)A队胜4场，平8场
(2)出场费加奖金一共17600元
【详解】（1）解：设 队胜利 场，
一共打了12场，
平了 场，
，
解得： ；
，
队胜4场，平8场；
（2）解： 每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，
赢了4场，奖金为 元，
平了8场，奖金为 元，
奖金加出场费一共17600元；
答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元．
7．（2023·广西）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；
所购商品原价为600元，可减160元，需付款440元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健
身器材的原价；
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算﹖设一
件这种健身器材的原价为a元，求出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算
(2)这种健身器材的原价是400元；
(3)当 或 时，活动二更合算
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【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款： 元，活动二需付款： 元，
∴活动一更合算；
（2）解：设这种健身器材的原价是 元，
则 ，
解得 ，
答：这种健身器材的原价是400元；
（3）解：这种健身器材的原价为a元，
则活动一所需付款为： 元，
活动二当 时，所需付款为： 元，
当 时，所需付款为： 元，
当 时，所需付款为： 元，
①当 时， ，此时无论 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当 时， ，解得 ，
即：当 时，活动二更合算，
③当 时， ，解得 ，
即：当 时，活动二更合算，
综上：当 或 时，活动二更合算．
8．（2023·云南）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性
运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
型
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)求大、小两种货车各用乡少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运
费为w元，求出w与a的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费．
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2) （ 且为整数）．9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少
运费为 元．
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【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用 辆，根据题意得
，
解得 ，
∴ ．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为 辆，前往甲地的小货车为 辆，前往
乙地的小货车为 辆，
，
∴ （ 且为整数）．
∵ ， ，
∴w随a的增大而增大，
∵
∴当 时，w最小，最小值为 ．
∴使总运费最少的调配方案是：9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为
元．
9．（2023·山东）在国道202公路改建工程中，某路段长 ，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含
30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队
内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路 ；甲工程队2天、乙工程队3天
共修路 ．
(1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为 万元，乙工程队每天的施工费用为 万元，要使该工程的施工费
用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？
【答案】(1)甲队每天修路 ，乙队每天修路
(2)甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
【详解】（1）解：设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，
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解得
答：甲队每天修路 ，乙队每天修路 .
（2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，
，
，
∵ ，
∴ ，
解得 .
又∵ ，
∴ .
设总费用为W万元，依题意，得
.
∵ ，
∴当 时， (万元)，
∴ (天).
∴甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
10．（2023·贵州）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的
车辆的运载量和运费如表所示．
车型 甲 乙 丙
运载量（吨/辆） 5 8 10
运费（元/辆） 450 600 700
解答下列问题：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？
(2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车
分别需要多少辆？此时的总运费是多少？
【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆
(2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元
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【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆．
根据题意，得 ，
解得 ，
答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆；
（2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆，
根据题意得 ，
解得 ，
此时总运费为 （元）．
答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元．
11．（2023·重庆）某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种
文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍．
(1)求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
(2)学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套，为使购买的A种型号的文具尽可能多，
请设计出购买方案．
【答案】(1)购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元
(2)购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套
【详解】（1）解：设购买B种型号文具的单价为x元，则购买A种型号文具的单价为 元
解得，
经检验 是原分式方程的解，且符合题意
∴ （元）
答：购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元；
（2）解：设购买A种型号玩具m套，则购买B种型号玩具 套，根据题意得：
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解得，
∴m的最大值为20，此时 （套）
答：购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套
12．（2023·四川）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫
销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多．
(1)每件衬衫原来的进价是多少元？
(2)根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可
多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销
售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
【答案】(1)50；
(2)80．
【详解】（1）解：设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：原来衬衫每件进价为50元．
（2）解：设定价为a元，根据题意得
．
整理得 ，
解得 ，
为了尽可能让利给顾客，
，
答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客．
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1．（2023·河北）《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价
各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各
是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意得： ．
故选：A．
2．（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长 ，宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为
的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩
形纸板面积的 ，则x的值为 ．
【答案】5
【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为 ，宽为 ，
∴ ，
整理得 ，
解得 （不合题意，舍去），
故x的值为5．
故答案为：5
3．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就
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有128人患上了新冠肺炎，则x的值为 ___________．
【答案】7
【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元
二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意得： ，
解得： （不合题意，舍去）．
故答案为：7．
4．如图， ， ． ，点 在线段 上以1 的速度由点 向点
运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．设运动时间为 （ ），则当点 的运动速度为
时， 与 有可能全等．
【答案】1或1.5
【详解】解：设点 的运动速度是 ，
则有 ， ， ，
∵ ，
∴ 与 全等，有两种情况：
① ， ，
则 ，
解得 ，
则 ，
解得 ；
② ， ，
则 ， ，
解得 ， ．
故答案为：1或1.5．
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5．（2024·重庆·一模）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙
施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多 ，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工
队单独修建这项工程提前3天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施
工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工
作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米
(2)共需修建费用149000元
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建的长度为 米，则乙施工队每天修建 米
依题意，得
解得
经检验， 是原分式方程的解
∴ （米）
∴甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米；
（2）解：设甲施工队单独修建 天，
依题意，得
解得
∴甲施工队单独修建5天
则 （元）
∴共需修建费用149000元．
6．（2024·广东惠州·一模）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振
兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为 万元/吨；因龙眼
大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为 万元/吨，两次龙眼共卖了9万元．
(1)求两次各摘龙眼多少吨？
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(2)由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可
加工成桂圆肉 吨或龙眼干 吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的
销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【答案】(1)第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨
(2)至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉
【详解】（1）解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ （吨），
答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨；
（2）解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把 吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：
解得： ，
答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉．
7．小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再
以 米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程 （米）与时间 （分）的关系
如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1) ___________分， ___________分， ___________米/分：
(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距
离是___________米：
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
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【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3) 或
【详解】（1）解：由题意可知，折线 为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段 为小明行驶的路
程与时间的关系图，
分钟，
分钟，
米/分，
故答案为： ， ， ；
（2）解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在 段，
设 段的关系式为 ，
将点 和 代入，得：
，解得： ，
段的解析式为 ，
小明的速度是120米/分，
段的关系式为 ，
，即 ，
解得： ，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是 分，
此时行驶的路程 ，
距图书馆的距离是 米，
故答案为： ， ；
（3）解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距 米，
则 ，
解得： ；
②当爸爸和小明第二次相遇后相距 米，
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则 ，
解得： ，
即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是 或 分，
故答案为： 或
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架
放置新购进的绿植，调查发现，若购买甲种花架10个、乙种花架8个，共需资金1584元；若购买甲种花
架5个，乙种花架12个，共需资金1656元．
(1)甲、乙两种花架每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的花架共28个，且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用
为w元，甲种花架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的购买方案，写出最少
费用．
【答案】(1)甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元
(2) ，当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元
【详解】（1）解：设甲种花架每个的价格为 元，乙种花架每个的价格为 元，根据题意得：
，
解得： ，
答：甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元；
（2）∵甲种花架购买 个，
∴乙种花架购买 个，
∵乙种花架的数量不少于10个，
∴ ，
解得： ，
根据题意得： ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 取最小值，最小值为 ，
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∴当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元．
9．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市
场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3
捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗
的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购
买最少花费多少钱．
【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元
(2)本次购买最少花费2250元
【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
（2）解：设购买A种菜苗m捆，总花费为W元，则购买B种菜苗 捆，
由题意得， ，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴W随m增大而减小，
∴当 时，W最小，最小值为 ，
∴本次购买最少花费2250元．
10．（2024·山东济南·模拟预测）某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西
红柿，物美价廉，走红市场，每斤罗曼西红柿比无核沃柑进价多 元，用 元购进罗曼西红柿的数量是
用 元购进无核沃柑数量的 倍．
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(1)求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？
(2)罗曼西红柿每斤售价为 元，无核沃柑每斤售价为 元，水果店老板决定，购进无核沃柑的数量比购进
罗曼西红柿的数量的 倍还多 斤，两种水果全部售出后，可使总的获利不低于 元，则最少购进罗曼
西红柿多少斤？
【答案】(1)罗曼西红柿每斤进价 元，无核沃柑每斤进价 元
(2)至少购进罗曼西红柿 斤
【详解】（1）设无核沃柑每斤进价 元，则罗曼西红柿每斤进价 元．
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，则 ，
答：罗曼西红柿每斤进价 元，无核沃柑每斤进价 元．
（2）设购进罗曼西红柿 斤，则无核沃柑 斤．
由题意得： ，
解得 ，
答：至少购进罗曼西红柿 斤．
11．某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为 万元，每多售出 辆，所有售出的汽车进价每辆均降低
万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在 辆以内 含 辆
，每辆返利 万元；若当月销售量在 辆以上，每辆返利 万元．
(1)若该公司当月售出 辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为 万元 辆，并计划当月盈利 万元，那么需要销售多少辆汽车？
提示：盈利=销售利润+返利)
【答案】(1)
(2) 辆
【详解】（1）解：根据题意得：
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万元 ，
每辆汽车的进价为 万元．
故答案为： ；
（2）设需要销售 辆汽车，则每辆的销售利润为 万元．
当 时， ，
整理得： ，
解得： (不符合题意，舍去)；
当 时， ，
整理得： ，
解得： (不符合题意，舍去)， (不符合题意，舍去)．
答：需要销售 辆汽车．
12．如图所示， 中， ．
(1)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动，
如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是 ？
(2)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动．
如果P，Q分别从A，B同时出发，线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；
若不能说明理由；
(3)若P点沿射线 方向从A点出发以 的速度移动，点Q沿射线 方向从C点出发以 的速度
移动，P，Q同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
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【答案】(1)2.4秒
(2)不能，理由见解析
(3)经过 秒或5秒或 秒后， 的面积为
【详解】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是 ，依题意有
，
解得： ，
经检验， 符合题意．
故经过2.4秒点P和点Q间的距离是 ；
（2）解：设经过y秒，线段 能将 分成面积相等的两部分，依题意有
的面积 ，
，
即 ，
∵ ，
∴此方程无实数根，
∴线段 不能将 分成面积相等的两部分；
（3）解：①设经过m秒，点P在线段 上，点Q在线段 上 ，
依题意有
，
即 ，
解得 ， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴ ；
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②设经过n秒，点P在线段 上，点Q在射线 上 ；依题意有
，
即 ，
解得 ，
经检验， 符合题意．
③设经过k秒，点P在射线 上，点Q在射线 上 ，
依题意有
，
即 ，
解得 ， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴ ；
综上所述，经过 ）秒或5秒或 秒后， 的面积为 ．
13. “你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的政策带领下，李大伯家种植了车厘
子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘子的产量比水蜜桃产量的两倍多
100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元．
(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元；
(2)某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，
2
为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低 m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算
15
发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值．
【答案】(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元
(2)30
【详解】（1）解：设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，依题
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意得：（300×2+100）x+300（x﹣2）≥23400，解得：x≥24．答：李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24
元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元．
2
（2）依题意得：（40﹣ m﹣24）（100+2m）﹣（40﹣24）×100＝320，整理得：m2﹣70m+1200＝0，解
15
2
得：m＝30，m＝40．又∵（40﹣ m）为整数，∴m＝30．答：m的值为30．
1 2 15
30
