文档内容
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（5分）若 （1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i
3．（5分）设一组样本数据x 1 ，x 2 ，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1 ，10x 2 ，…，10x n 的方差为（ ） 10．（5分）设a＝log 3 2，b＝log 5 3，c＝ ，则（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠
11．（5分）在△ABC中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝ ，其中K为最大确诊
A． B．2 C．4 D．8
病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
12．（5分）已知函数f（x）＝sinx+ ，则（ ）
A．60 B．63 C．66 D．69
A．f（x）的最小值为2
5．（5分）已知sin +sin（ + ）＝1，则sin（ + ）＝（ ）
B．f（x）的图象关于y轴对称
θ θ θ
C．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
A． B．
π
D．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若 • ＝1，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆
13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝3x+2y的最大值为 ．
C．抛物线 D．直线
7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦
点坐标为（ ） 14．（5分）设双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝ x，则C的离心率为 ．
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
15．（5分）设函数f（x）＝ ，若f′（1）＝ ，则a＝ ．
8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）
16．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
A．1 B． C． D．2
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考生都必
9．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）设等比数列{a }满足a +a ＝4，a ﹣a ＝8．
n 1 2 3 1
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记S 为数列{log a }的前n项和．若S +S ═S ，求m．
n 3 n m m+1 m+3
19．（12分）如图，在长方体 ABCD﹣A B C D 中，点E，F分别在棱DD ，BB 上，且2DE＝ED ，BF＝
1 1 1 1 1 1 1
2FB ．证明：
1
（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；
18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理 （2）点C 在平面AEF内．
1
数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 [0，200] （200，400] （400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这
天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为
20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．
一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
（1）讨论f（x）的单调性；
人次≤400 人次＞400
（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．
空气质量好
空气质量不好
附：K2＝
21．（12分）已知椭圆C： + ＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-
4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于
A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设a，b，c R，a+b+c＝0，abc＝1．
（1）证明：∈ab+bc+ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．本题属于基础题．
4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝ ，其中K为最大确诊
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
的。
A．60 B．63 C．66 D．69
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（ ）
【分析】根据所给材料的公式列出方程 ＝0.95K，解出t即可．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B，进而能求出A∩B中元素的个数．
【解答】解：由已知可得 ＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝ ，
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），
∴A∩B＝{5，7，11}，
两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，
∴A∩B中元素的个数为3．
解得t≈66，
故选：B．
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）若 （1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）
5．（5分）已知sin +sin（ + ）＝1，则sin（ + ）＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i
θ θ θ
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． A． B． C． D．
【解答】解：由 （1+i）＝1﹣i，得 ， 【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
∴z＝i． 【解答】解：∵sin +sin（ ）＝1，
故选：D． θ
∴sin + sin + cos ＝1，
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
θ θ θ
3．（5分）设一组样本数据x ，x ，…，x 的方差为0.01，则数据10x ，10x ，…，10x 的方差为（ ）
1 2 n 1 2 n
即 sin + cos ＝1，
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
θ θ
【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可． 得 （ cos + sin ）＝1，
【解答】解：∵样本数据x
1
，x
2
，…，x
n
的方差为0.01，
θ θ
即 sin（ ）＝1，
∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，
∴数据10x ，10x ，…，10x 的方差为：100×0.01＝1，
1 2 n
得sin（ ）＝
故选：C．
故选：B．
【点评】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长是解题的关键，【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决
【解答】解：因为点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离d＝ ＝ ＝ ；
本题的关键．难度不大．
6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若 • ＝1，则点C的轨迹为（ ）
∵要求距离的最大值，故需k＞0；
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
可得d≤ ＝ ；当k＝1时等号成立；
【分析】设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可．
【解答】解：在平面内，A，B是两个定点，C是动点， 故选：B．
不妨设A（﹣a，0），B（a，0），设C（x，y）， 【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．
因为 ＝1， 9．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
所以（x+a，y）•（x﹣a，y）＝1，
解得x2+y2＝a2+1，
所以点C的轨迹为圆．
故选：A．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．
7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦
点坐标为（ ）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．
【分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k •k ＝﹣1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点 【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图：
OD OE
坐标．
PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC两两垂直，
【解答】解：将x＝2代入抛物线y2＝2px，可得y＝±2 ，OD⊥OE，可得k •k ＝﹣1， 故PB＝BC＝PC＝2 ，
OD OE
即 ，解得p＝1，
几何体的表面积为：3× ＝6+2 ，
故选：C．
所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（ ，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．
【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．（5分）设a＝log 2，b＝log 3，c＝ ，则（ ）
3 5
12．（5分）已知函数f（x）＝sinx+ ，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． A．f（x）的最小值为2
B．f（x）的图象关于y轴对称
【解答】解：∵a＝log 2＝ ＜ ＝ ，
3
C．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
b＝log 3＝ ＞ ＝ ， π
5 D．f（x）的图象关于直线x＝ 对称
c＝ ，
【分析】设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+ ，t [﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质可得，y≥2或y≤﹣2，故可
∴a＜c＜b． ∈
判断A；根据奇偶性定义可以判断B正误；根据对称性的定义可以判断C，D的正误．
故选：A．
【解答】解：由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠k ，k Z}，故定义域关于原点对称；
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，
π ∈
设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+ ，t [﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质得，y≥2或y≤﹣2，故A错误；
是基础题．
∈
11．（5分）在△ABC中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ） 又有f（﹣x）＝sin（﹣x）+ ＝﹣（sinx+ ）＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，且定义域关于原
A． B．2 C．4 D．8 点对称，故图象关于原点中心对称；故B错误；
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得A＝C，利用
f（ +x）＝sin（ +x）+ ＝﹣sinx﹣ ；f（ ﹣x）＝sin（ ﹣x）+ ＝sinx+ ，
三角形的内角和定理可求B＝ ﹣2C，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tanB的值．
π π π π
故f（ +x）≠f（ ﹣x），f（x）的图象不关于直线x＝ 对称，C错误；
π
【解答】解：∵cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，
π π π
又f（ +x）＝sin（ +x）+ ＝cosx+ ；f（ ﹣x）＝sin（ ﹣x）+ ＝
∴tanC＝ ＝ ，
cosx+ ，故f（ +x）＝f（ ﹣x），定义域为{x|x≠k ，k Z}，f（x）的图象关于直线x＝ 对称；
∴AB＝ ＝ ＝3，可得A＝C，
π ∈
D正确；
∴B＝ ﹣2C，
故选：D．
π
【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质，考查了对函数奇偶性和对称性质的灵活应用能力，属于基
则tanB＝tan（ ﹣2C）＝﹣tan2C＝ ＝ ＝4 ．
础题．
π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
故选：C．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝3x+2y的最大值为 7 ．
15．（5分）设函数f（x）＝ ，若f′（1）＝ ，则a＝ 1 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x+2y表示直线在y轴上的截距的一半， 【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝ ，求得a的值．
只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝ ，∴f′（x）＝ ，
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由 解得A（1，2），
如图，当直线z＝3x+2y过点A（1，2）时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取得最大值，
若f′（1）＝ ＝ ，∴ ＝ ，则a＝1，
即当x＝1，y＝2时，z ＝3×1+2×2＝7．
max
故答案为：1．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．
16．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 2 ．
【分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球，作图，数形结合即可． π
【解答】解：当球为该圆锥内切球时，半径最大，
如图：BS＝3，BC＝1，则圆锥高SC＝ ＝ ＝2 ，
设内切球与圆锥相切与点D，半径为r，则△SOD∽△SCB，
故有 ＝ ，即 ，解得r＝ ，
所以该球的表面积为4 r2＝2 ．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
故答案为：2 ． π π
π
14．（5分）设双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝ x，则C的离心率为 ．
【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间
的关系求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝± x，
由题意可得 ＝ ，所以离心率e＝ ＝ ＝ ，
【点评】本题考查圆锥内切球半径求法，考查球的表面积公式，数形结合思想，属于中档题．
故答案为： ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 3（轻度污染） 6 7 8
17．（12分）设等比数列{a
n
}满足a
1
+a
2
＝4，a
3
﹣a
1
＝8． 4（中度污染） 7 2 0
（1）求{a
n
}的通项公式； （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）记S 为数列{log a }的前n项和．若S +S ═S ，求m． （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
n 3 n m m+1 m+3
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这
【分析】（1）设其公比为q，则由已知可得 ，解得a ＝1，q＝3，可求其通项公式．
1
天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为
一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
（2）由（1）可得log a ＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求S ＝ ，由已知可得
3 n n
人次≤400 人次＞400
空气质量好
+ ＝ ，进而解得m的值．
空气质量不好
附：K2＝
【解答】解：（1）设公比为q，则由 ，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
可得a ＝1，q＝3，
1
k 3.841 6.635 10.828
所以a ＝3n﹣1．
n 【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）由（1）有log a ＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，
3 n （2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；
所以S ＝ ，
n （3）由公式 计算k的值，从而查表即可，
所以 + ＝ ，m2﹣5m﹣6＝0，
【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为： ＝ ；
解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），
该市一天的空气质量等级为2的概率为： ＝ ；
所以m＝6．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思想和方程思想的应用，
该市一天的空气质量等级为3的概率为： ＝ ；
属于基础题．
18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理 该市一天的空气质量等级为4的概率为： ＝ ；
数据得到下表（单位：天）：
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为： ＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；
锻炼人次 [0，200] （200，400] （400，600]
（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，
空气质量等级
人次≤400 人次＞400 总计
1（优） 2 16 25
空气质量好 33 37 70
2（良） 5 10 12
空气质量不好 22 8 30总计 55 45 100 因为点E在DD ，且2DE＝ED ，所以ED∥AM，且ED＝AM，
1 1
所以四边形AED M为平行四边形，所以D M∥AE，且D M＝AE，
由表中数据可得：K2＝ ＝ ≈5.820＞3.841， 1 1 1
又因为F在BB 上，且BF＝2FB ，所以 A M∥FB ，且A M＝FB ，
1 1 1 1 1 1
所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
所以A B FM为平行四边形，
1 1
【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．
所以FM∥A B ，FM＝A B ，即FM∥C D ，FM＝C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
19．（12分）如图，在长方体 ABCD﹣A B C D 中，点E，F分别在棱DD ，BB 上，且2DE＝ED ，BF＝
1 1 1 1 1 1 1
所以C D MF为平行四边形，
1 1
2FB ．证明：
1 所以D M∥C F，
1 1
（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；
所以AE∥C F，所以A，E，F，C 四点共面．
1 1
（2）点C 在平面AEF内．
1
所以点C 在平面AEF内．
1
【分析】（1）因为 ABCD﹣A B C D 是长方体，且 AB＝BC，可得 AC⊥平面 BB D D，因为 EF 平面
1 1 1 1 1 1
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题．
BB D D，所以EF⊥AC． ⊂
1 1 20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．
（2）取AA 上靠近A 的三等分点M，连接DM，C F，MF．根据已知条件可得四边形AED M为平行四边形，
1 1 1 1 （1）讨论f（x）的单调性；
得D M∥AE，再推得四边形C D MF为平行四边形，所以D M∥C F，根据直线平行的性质可得AE∥C F，
1 1 1 1 1 1 （2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．
所以A，E，F，C 1 四点共面，即点C 1 在平面AEF内． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；
【解答】解：（1）因为ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 是长方体，所以BB 1 ⊥平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以 （2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k的不等式组，解出即可．
AC⊥BB
1
， ⊂ 【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，
因为ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
是长方体，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB
1
＝B． k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，
所以AC⊥平面BB D D，又因为点E，F分别在棱DD ，BB 上，所以EF 平面BB D D，
1 1 1 1 1 1
k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ 或x＜﹣ ，
所以EF⊥AC． ⊂
（2）取AA
1
上靠近A
1
的三等分点M，连接D
1
M，C
1
F，MF． 令f′（x）＜0，解得：﹣ ＜x＜ ，∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递增， 此时﹣5＜s＜5，0＜t≤ ，
综上，k≤0时，f（x）在R递增， ∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1 ，
又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0 ， ①
k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递增；
②
又 + ＝1 ，
（2）由（1）得：k＞0，f（x）
极小值
＝f（ ），f（x）
极大值
＝f（﹣ ），
③
若f（x）有三个零点， 联立 得 或 ，
①②③
当 时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），
只需 ，解得：0＜k＜ ，
则 ＝（8，1）， ＝（11，2），
∴S△APQ ＝ ＝ |8×2﹣11×1|＝ ，
故k （0， ）．
∈
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题．
同理可得当 时，S△APQ ＝ ，
21．（12分）已知椭圆C： + ＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．
综上，△APQ的面积是 ．
（1）求C的方程；
【点评】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．
（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-
【分析】（1）根据e＝ ，a2＝25，b2＝m2，代入计算m2的值，求出C的方程即可； 4：坐标系与参数方程]（10分）
（2）设出P，Q的坐标，得到关于s，t，n的方程组，求出AP（8，1），AQ（11，2），从而求出△APQ的
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于
面积．
A，B两点．
【解答】解：（1）由e＝ 得e2＝1﹣ ，即 ＝1﹣ ，∴m2＝ ，
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
故C的方程是： + ＝1； 【分析】（1）可令x＝0，求得t，对应的y；再令y＝0，求得t，对应的x；再由两点的距离公式可得所求值；
（2）运用直线的截距式方程可得直线AB的方程，再由由x＝ cos ，y＝ sin ，可得所求极坐标方程．
（2）由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），
【解答】解：（1）当x＝0时，可得t＝﹣2（1舍去），代入yρ＝2θ﹣3t+t2 ρ，可θ得y＝2+6+4＝12，
根据对称性，只需考虑n＞0的情况，
当y＝0时，可得t＝2（1舍去），代入x＝2﹣t﹣t2，可得x＝2﹣2﹣4＝﹣4，所以曲线C与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，12），
而﹣a﹣b≥2 ＞ ＝ ＝ ＝ ，与假设矛盾，
则|AB|＝ ＝4 ；
（2）由（1）可得直线AB过点（0，12），（﹣4，0），
故max{a，b，c}≥ ．
可得AB的方程为 ﹣ ＝1，
【点评】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反正法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．
即为3x﹣y+12＝0，
由x＝ cos ，y＝ sin ，
可得直ρ线AθB的极ρ坐标θ方程为3 cos ﹣ sin +12＝0．
【点评】本题考查曲线的参数方ρ程的θ 运ρ用，θ考查直线方程的求法和两点的距离公式的运用，考查极坐标方程
和直角坐标方程的互化，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设a，b，c R，a+b+c＝0，abc＝1．
（1）证明：∈ab+bc+ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【分析】（1）将a+b+c＝0平方之后，化简得到2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，即可得证；
（2）利用反证法，假设a≤b＜0＜c＜ ，结合条件推出矛盾．
【解答】证明：（1）∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2），
∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，
∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，
∴ab+ac+bc＜0；
（2）不妨设a≤b＜0＜c＜ ，则ab＝ ＞ ，
∵a+b+c＝0，∴﹣a﹣b＝c＜ ，
