文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 07 一元二次方程及应用综合过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•庐江县模拟）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1 B．x＝3x3﹣2 C．x2﹣2＝0 D．3x ＝1
【答案】C
【解答】解：A、2x+y＝1，是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、x＝3x3﹣2，是一元三次方程，故本选项不符合题意；
C、x2﹣2＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2023•增城区一模）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝±
【答案】C
【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
解得：x ＝0，x ＝2．
1 2
故选：C．
3．（2023•南平模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的一个根，
∴2﹣m＝0，
∴m＝2，
故选：D．
4．（2023•镇平县三模）关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（2023•东城区校级模拟）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结
果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54
【答案】A
【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故选：A．
6．（2023•万州区模拟）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元
时，可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可
获利156元，设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（22+x﹣15）（40﹣3x）＝156 B．（x﹣15）[40﹣3（x﹣22）]＝156
C．（22+x）（40﹣3x）＝156 D．（22+x）（40﹣3x）﹣15×40＝156
【答案】A
【解答】解：根据题意知，每件商品的利润为（22﹣15+x）元，销售量为（40﹣3x）件，
则可列方程为（22﹣15+x）（40﹣3x）＝156，
故选：A．
7．（2023•南开区四模）关于x的方程x2+bx+c＝0的两根为1和﹣2，则b，c的值分别为（ ）
A．b＝1，c＝﹣2 B．b＝﹣1，c＝﹣2 C．b＝3，c＝2 D．b＝﹣3，c＝2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两根为1和﹣2，
∴1﹣2＝﹣b，1×（﹣2）＝c，
∴b＝1，c＝﹣2．
故选：A．
8．（2023•新乡三模）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若关
于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：3※x＝﹣m，
则x2﹣3x＝﹣m，
故x2﹣3x+m＝0，
∵关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0，
解得：m＞ ，
∴m的值可以是3．
故选：A．
9．（2023•雁峰区校级一模）在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如
果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为x m，那么x满足的方程是（ ）
A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816 B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816 D．x（60+2x）+x（40+2x）＝2816
【答案】C
【解答】解：根据题意得：（60+2x）（40+2x）﹣60×40＝2816，
即（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816，
故选：C．
10．（2023春•河东区期末）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n
的值等于（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的根，
∴m2+m﹣2023＝0，
∴m2＝﹣m+2023，
∴m2+2m+n＝﹣m+2023+2m+n＝m+n+2023，
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴m2+2m+n＝﹣1+2023＝2022．
故选：D．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．（2023•盐都区一模）设x 、x ，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x +x ＝ 3 ．
1 2 1 2
【答案】3．
【解答】解：∵x 、x ，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝3．
1 2
故答案为：3．
12．（2023•朝阳区校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是 m ＜ 1 ．
【答案】m＜1．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
13．（2023•高安市二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为 0
．
【答案】0．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
即m2＝1﹣2m，
∴m2+mn+2m＝1﹣2m+mn+2m＝1+mn，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴mn＝﹣1，
∴m2+mn+2m＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
14．（2023•烟台一模）如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边
用25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门．若要使羊圈的面积
为80m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 8 m．
资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】8．
【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（25+1﹣2x）m，
根据题意得：x（25+1﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x ＝5，x ＝8，
1 2
当x＝5时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×5＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×8＝10＜12，符合题意，
∴x＝8，
∴所围矩形与墙垂直的一边长为8m．
故答案为：8．
15．（2023•桐庐县一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 6+
．
【答案】6+ ．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝± ，
解得x ＝2+ ．x ＝2﹣ ，
1 2
∵方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，
∴a＝2+ ，b＝2﹣ ，
∴2a+b＝2（2+ ）+2﹣ ＝6+ ．
故答案为：6+ ．
16．（2023•常德三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时
间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低 10 元时，该
商店销售这种商品每天的利润为800元．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
由题意得，（30﹣x）（20+2x）＝800，
资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得x＝10，
∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
故答案为：10
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（4分）（2023•铁锋区二模）解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原方程化为2x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
18．（8分）（2023•老河口市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x ，x ，且满足 + ＝14．求 +4x ﹣10的值．
1 2 2
【答案】（1）m≤ ；
（2）5．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≤ ，
∴实数m的取值范围为m≤ ．
（2）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣2（m﹣1），x •x ＝m2．
1 2 1 2
∵ + ＝14，
∴（x +x ）2﹣2x •x ＝14，
1 2 1 2
∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14，
资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14，
∴m＝5或﹣1，
当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去，
当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0，
∴x +x ＝4， ，
1 2
∴ x ﹣1，
1
∴ +4x ﹣10＝4x ﹣1+4x ﹣10＝4（x +x ）﹣11＝16﹣11＝5．
2 1 2 1 2
19．（8分）（2023•皇姑区校级模拟）某公司今年8月份的生产成本为100万元，由于改进技术，生产成
本逐月下降，10月份的生产成本为81万元，假设该公司每个月生产成本的下降率相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）预测11月份该公司的生产成本是否会跌破70万元？说明理由．
【答案】（1）10%；
（2）不会，理由见解析．
【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x ＝0.1，x ＝1.9（舍去），
1 2
∴每个月生产成本的下降率为10%；
（2）预测11月份的生产成本为：81×（1﹣10%）＝72.9，72.9＞70，
∴该公司11月份的生产成本不会跌破70万元．
20．（8分）（2023•武功县三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为 30m，20m．现计划对其进行扩充，
将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地面积为 1200m2，求
新的矩形绿地的长与宽．
【答案】长为40m，宽为30m．
【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度为x m，
由题意得，（30+x）（20+x）＝1200，
资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得x ＝10，x ＝﹣60（不符合题意，舍去），
1 2
∴30+10＝40（m），20+10＝30（m），
故新的矩形绿地的长为40m，宽为30m．
21．（10分）（2023•天山区校级模拟）学校“华罗庚数学”社团对函数 y＝2|x﹣2|﹣1的图象和性质进行
了探究，请把以下探究过程补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组值列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 3 1 1 3 5 …
（2）请在平面直角坐标系中，把表中的数对（x，y）进行描点，并画出函数图象；
（3）观察函数图象，写出一条函数图象的性质： 图象关于直线 x ＝ 2 对称 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 2 个交点，对应的方程2|x﹣2|﹣1＝0有 2 个实数根；
②若关于x的方程2|x﹣2|﹣1＝a有两个实数根，则a的取值范围是 a ＞﹣ 1 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图象关于直线x＝2对称；（4）2，2；a＞﹣1．
【解答】解：（1）列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 3 1 ﹣1 1 3 5 …
（2）描点、连线画出函数图象如图；
（3）由图象可知：图象关于直线x＝2对称；
故答案为：图象关于直线x＝2对称；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有2个交点，对应的方程2|x﹣2|﹣1＝0有2 个实数根；
②若关于x的方程2|x﹣2|﹣1＝a有两个实数根，则a的取值范围是a＞﹣1，
故答案为：2，2；a＞﹣1．
资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
22．（10分）（2023•汝南县一模）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则 ， ；
1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，x x ＝ ；
1 2 1 2 1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值；
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】（1） ，﹣ ；
（2）﹣ ；
（3）﹣3．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，x +x ＝﹣ ＝ ，x x ＝ ＝
1 2 1 2 1 2
﹣ ，
故答案为： ，﹣ ；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝ ，mn＝﹣ ．
∴ + ＝ ＝ ＝﹣ ；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴s+t＝ ，st＝﹣ ，
∴ ＝ ＝ ＝﹣3．
23．（10分）（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品
每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这
种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于 38元，商品要想获得600元的利润，每件商品
的售价应定为多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+120；
（2）w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）30元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知： ，
解得 ，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400，
资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴x ＝30，x ＝50（舍），
1 2
∵20≤x≤38，
∴x＝30．
答：每件商品的售价应定为30元．
资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
