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专题 11 方程的实际应用模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分
为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方
程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的
应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类
归纳总结。
模型01 一元一次方程的应用
一元一次方程的应用题型
1.行程问题
路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）
2.工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
3.利润问题：
利润=售价－进价，利润率=利润÷进价，售价=标价×折扣
4.等积变形问题
长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
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5.利息问题
利息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间
模型02 二元一次方程组应用
二元一次方程组应用：
1.行程问题：速度×时间＝路程
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
2.配套问题：实际数量比＝配套比
3.商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%
4.工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率
模型03 分式方程应用
分式方程的应用解法步骤及题型：
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答
六步进行．
（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行 “双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分
式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水
航行这一类型.
模型04 一元二次方程应用
一元二次方程的应用主要有以下几种题型：
1.数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
2.增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长
后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯
形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列
比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，
可运用直角三角形的性质列方程求解．
5. 利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
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总利润=每件的利润×总件数
模型01 一元一次方程的应用
考｜向｜预｜测
一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，
在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方
程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。
答｜题｜技｜巧
第一步： 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
第二步： 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关
系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；
第三步： 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否
符合题意，是否符合实际意义。
例1. （2023·上海）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入
合做，还需几天完成这项工程？设还需 天完成这项工程，由题意 列方程是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·吉林长春）列方程解应用题
劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学
生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．
(1)男生有______人，女生有______人．
(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好
配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？
②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问
题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案．
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模型02 二元一次方程组应用
考｜向｜预｜测
二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。
掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，
根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我
们在解方程组的过程中不出现失误，一般不会失分。
答｜题｜技｜巧
第一步： “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关
系，寻找等量关系；
第二步： “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
第三步： “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是
同一类量，单位要统一；
第四步： “解”就是解方程，求出未知数的值；
第五步： “答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
例1．（2023·黑龙江哈尔滨）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒
共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（
）
A． B． C． D．
例2．（2023·安徽）某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车
满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m
辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？
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(2)如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？
(3)已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省
钱的租车方案．
模型03 分式方程的应用
考｜向｜预｜测
分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可
化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分式
方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根
的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点在
于设、列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据题意设未知量，分式方程只设一个未知量，用一个量表示另一个量；
第二步： 解分式方程；
第三步： 检验分式方程的解，看是否为增根，注意不检验会扣分；
第四步： 答：即写出答案，注意答案完整.
例1．（2023·山西）我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动． 甲、乙两同学分别从
距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，
乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是每分钟x米，则下列方程正确的是（
）
A． B．
C． D．
例2．（2023·河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B
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两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
7
销售（元/袋） 90
0
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的
数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种
品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B
品牌毛尖售价提高 ，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利
润是多少？
模型04 一元二次方程应用
考｜向｜预｜测
一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次
函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。
一元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及
其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。
答｜题｜技｜巧
第一步： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
第二步： 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
第三步： 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
第四步： 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
第五步： 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
第六步： 答(写出答案，切忌答非所问).
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例1．（2023·安徽）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年
投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山东济南）某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到
原来的 ，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为 .
例3．（2023·四川成都）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩
形 菜园，墙长为12米．设 的长为x米，矩形 菜园的面积为S平方米，
(1)分别用含x的代数式表示 与S；
(2)若 ，求x的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大
值，最大值为多少？
1．（2023·山东）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计，其中一
件盈利 ，另一件亏本 ，则两件上衣的进价之和为（ ）
A．230元 B．240元 C．250元 D．260元
2．（2023·福建）甲、乙二人分别从相距 的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发 ，那么
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乙出发后 ，他们相遇；如果他们同时出发，那么 后，两人相距 ，则甲由A地到B地需要
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2023·四川）已知从甲站到乙站的高铁线路长 2200千米，自驾从甲站到乙站的路线长约1700千米，
开车的平均行驶速度是该高铁设计时速的 ，且从甲站乘坐高铁到乙站比自驾用时少 6 小时．设该高铁
的设计时速为x千米/时，则可列方程为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东）某兴趣小组组织一次围棋比赛，参赛选手每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28
场比赛，设比赛组织者应邀请x人参与比赛，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东）A，B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B，而从B出发逆水行驶5小
时才能到达A，则船在静水中的航行速度是 千米/时．
6．（2023·河北）某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
胜一
平一场 负一场
场
积分 3 1 0
奖金（元/人） 1500 700 0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场．
(1)试判断A队胜、平各几场？
(2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场
费的和是多少？
7．（2023·广西）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
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活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；
所购商品原价为600元，可减160元，需付款440元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健
身器材的原价；
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算﹖设一
件这种健身器材的原价为a元，求出a的取值范围．
8．（2023·云南）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性
运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
型
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)求大、小两种货车各用乡少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运
费为w元，求出w与a的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费．
9．（2023·山东）在国道202公路改建工程中，某路段长 ，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含
30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队
内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路 ；甲工程队2天、乙工程队3天
共修路 ．
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(1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为 万元，乙工程队每天的施工费用为 万元，要使该工程的施工费
用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？
10．（2023·贵州）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的
车辆的运载量和运费如表所示．
车型 甲 乙 丙
运载量（吨/辆） 5 8 10
运费（元/辆） 450 600 700
解答下列问题：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？
(2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车
分别需要多少辆？此时的总运费是多少？
11．（2023·重庆）某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种
文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍．
(1)求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
(2)学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套，为使购买的A种型号的文具尽可能多，
请设计出购买方案．
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12．（2023·四川）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫
销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多．
(1)每件衬衫原来的进价是多少元？
(2)根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可
多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销
售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
1．（2023·河北）《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价
各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各
是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长 ，宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为
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的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩
形纸板面积的 ，则x的值为 ．
3．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就
有128人患上了新冠肺炎，则x的值为 ___________．
4．如图， ， ． ，点 在线段 上以1 的速度由点 向点
运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动．设运动时间为 （ ），则当点 的运动速度为
时， 与 有可能全等．
5．（2024·重庆·一模）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙
施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多 ，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工
队单独修建这项工程提前3天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施
工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工
作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
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6．（2024·广东惠州·一模）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振
兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为 万元/吨；因龙眼
大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为 万元/吨，两次龙眼共卖了9万元．
(1)求两次各摘龙眼多少吨？
(2)由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可
加工成桂圆肉 吨或龙眼干 吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的
销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
7．小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再
以 米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程 （米）与时间 （分）的关系
如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1) ___________分， ___________分， ___________米/分：
(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距
离是___________米：
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
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8．（2024·湖南长沙·模拟预测）某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架
放置新购进的绿植，调查发现，若购买甲种花架10个、乙种花架8个，共需资金1584元；若购买甲种花
架5个，乙种花架12个，共需资金1656元．
(1)甲、乙两种花架每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的花架共28个，且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用
为w元，甲种花架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的购买方案，写出最少
费用．
9．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市
场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3
捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗
的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购
买最少花费多少钱．
10．（2024·山东济南·模拟预测）某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西
红柿，物美价廉，走红市场，每斤罗曼西红柿比无核沃柑进价多 元，用 元购进罗曼西红柿的数量是
用 元购进无核沃柑数量的 倍．
(1)求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？
(2)罗曼西红柿每斤售价为 元，无核沃柑每斤售价为 元，水果店老板决定，购进无核沃柑的数量比购进
罗曼西红柿的数量的 倍还多 斤，两种水果全部售出后，可使总的获利不低于 元，则最少购进罗曼
西红柿多少斤？
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11．某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为 万元，每多售出 辆，所有售出的汽车进价每辆均降低
万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在 辆以内 含 辆
，每辆返利 万元；若当月销售量在 辆以上，每辆返利 万元．
(1)若该公司当月售出 辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为 万元 辆，并计划当月盈利 万元，那么需要销售多少辆汽车？
提示：盈利=销售利润+返利)
12．如图所示， 中， ．
(1)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动，
如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是 ？
(2)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动．
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如果P，Q分别从A，B同时出发，线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；
若不能说明理由；
(3)若P点沿射线 方向从A点出发以 的速度移动，点Q沿射线 方向从C点出发以 的速度
移动，P，Q同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
13. “你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的政策带领下，李大伯家种植了车厘
子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘子的产量比水蜜桃产量的两倍多
100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元．
(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元；
(2)某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，
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为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低 m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算
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发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值．
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