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绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A. B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 ，
或 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1–i）4=（ ）
A. –4 B. 4C. –4i D. 4i
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】 .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a .设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称
1 2 12
a，a，a 为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a，a，a 为原位小三和弦．用这12个键
i j k i j k
可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足
从 开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；
．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；．
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
的
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单 配货，由
于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超
市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于
0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A. a+2b B. 2a+b C. a–2b D. 2a–b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断
即可.
【详解】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因 ，所以本选项不符合题意；
为
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这
两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6.记S 为等比数列{a}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =（ ）
n n 5 3 6 4
A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列
的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 项和公式的应
用，考查了数学运算能力.
7.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 值，模拟程序的运
行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 值
模拟程序的运行过程
第1次循环， ， 为否
第2次循环， ， 为否
第3次循环， ， 为否
第4次循环， ， 为是
退出循环输出 .
故选：C.
【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考
查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的
标准方程，利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到
直线 的距离.
【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属
于中等题.
9.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于
两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方
程求得 ， 两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据
，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和
均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能
力和计算能力，属于中档题.
10.设函数 ,则 （ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而
，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
11.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为
16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ，由球的
性质可知所求距离 .
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；
解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
12.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个
选项中真数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函
数的单调性得到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
14.记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可
求得答案.
【详解】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和，解题关键是掌握等差数列的前 项和公式，
考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15.若x，y满足约束条件 则 的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 ，在平面区域内
找到一点使得直线 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线 ，当直线经过点 时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
16.设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；
利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合
命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，为
所以， ，即 ，命题 真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考
查推理能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为
，即可解出；
（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
即 ①，又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判
断三角形的形状，属于基础题．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某
种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个
i i i i
样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ，
， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
i i
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地
区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1.414.
【答案】（1） ；（2） ；（3）详见解析
【解析】【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式 计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本 的相关系数为
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数
学运算能力，是一道容易题.
19.已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的
1 2 1 2
顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |
1 2
AB|．
（1）求C 的离心率；
1（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2） ： ， ： .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代
入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即
可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方
程，最后结合已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，
其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .（2）由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分
别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆
的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
20.如图，已知三棱柱ABC–ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为
1 1 1 1 1
BC，BC 的中点，P为AM上一点．过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1 1 1
（1）证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBC F，且∠MPN= ，求四棱锥B–
1 1 1 1 1
EBC F的体积．
1 1
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证
，要证平面 平面 ，只需证明 平面 即可；（2）根据已知条件求得 和 到 的距离，根据椎体体积公式，即可求得
.
【详解】（1） 分别为 ， 的中点，
又
在等边 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面
又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面平面
平面
平面 平面
（2）过 作 垂线，交点为 ，
画出图形，如图
平面
平面 ，平面 平面
又
为 的中心.
故： ，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面平面
又 在等边 中
即
由（1）知，四边形 为梯形
四边形 的面积为：
，
为 到 的距离 ，
.
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握
面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属
于中档题.
21.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的
最大值，进而进行求解即可；的
（2）对函数 求导，把导函数 分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，
根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单
调性.
【详解】（1）函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，
即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，
考查了数学运算能力，是中档题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在
答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均
按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为参数），C ： （t
1 2 1 2
为参数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极
1 2
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化
即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由 得 的普通方程为： ；由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： .
（2）由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐
标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且
仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考
题型.
