文档内容
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A. B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 ，
或 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1–i）4=（ ）
A. –4 B. 4C. –4i D. 4i
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】 .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a .设1≤ib>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的
1 2 1 2
顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |
1 2
AB|．
（1）求C 的离心率；
1（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2） ： ， ： .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代
入法求出 点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即
可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方
程，最后结合已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，
其中 .
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .（2）由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分
别为 ， ， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆
的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
20.如图，已知三棱柱ABC–ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为
1 1 1 1 1
BC，BC 的中点，P为AM上一点．过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1 1 1
（1）证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBC F，且∠MPN= ，求四棱锥B–
1 1 1 1 1
EBC F的体积．
1 1
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证
，要证平面 平面 ，只需证明 平面 即可；（2）根据已知条件求得 和 到 的距离，根据椎体体积公式，即可求得
.
【详解】（1） 分别为 ， 的中点，
又
在等边 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面
又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面平面
平面
平面 平面
（2）过 作 垂线，交点为 ，
画出图形，如图
平面
平面 ，平面 平面
又
为 的中心.
故： ，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面平面
又 在等边 中
即
由（1）知，四边形 为梯形
四边形 的面积为：
，
为 到 的距离 ，
.
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握
面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属
于中档题.
21.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的
最大值，进而进行求解即可；的
（2）对函数 求导，把导函数 分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，
根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单
调性.
【详解】（1）函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，
即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，
考查了数学运算能力，是中档题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在
答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均
按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为参数），C ： （t
1 2 1 2
为参数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极
1 2
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化
即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由 得 的普通方程为： ；由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： .
（2）由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐
标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且
仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考
题型.
