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专题 08 一元二次方程及其应用【九大题型】
【题型1 一元二次方程的解法】..............................................................................................................................2
【题型2 根据一元二次方程判断根的情况】.........................................................................................................2
【题型3 根据根的情况判断字母的取值或范围】.................................................................................................3
【题型4 一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】.............................................................................4
【题型5 一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】.....................................................................................4
【题型6 一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】.............................................................5
【题型7 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】.............................................................6
【题型8 中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】.............................................7
【题型9 中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】.....................................................7
【知识点 一元二次方程】
1.定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项。
2.一元二次方程的解法
(1)直接开方法。适用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫
做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
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，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。
3.一元二次方程与实际问题
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【题型1 一元二次方程的解法】
【例1】（2023·黑龙江·统考中考真题）解方程：
(2x+3) 2=(3x+2) 2
【变式1-1】（2023·青海·统考中考真题）解方程：x(x−2)=x−2．
【变式1-2】（2023·吉林·中考真题）解方程：
x2−6x+9=(5−2x) 2
【变式1-3】（2023·山东·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
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【题型2 根据一元二次方程判断根的情况】
【规律方法】判断一般形式为一元二次方程根的情况时，使用根的判别式“b2-4ac”判断，若方程形式为
（mx+n）2=p,则可利用以下方法判断：
当p＞0，方程有两个不相等的实数根；
当p=0，方程有两个相等的实数根；
当p＜0，方程没有实数根.
【例2】（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式2-1】（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若 ， 是方程的两个实数根，且x x 5，求m的值．
x x 2+ 1=−
1 2 x x 2
1 2
【变式2-2】（2023·四川内江·统考中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情况，⊗下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【变式2-3】（2023·四川广安·统考中考真题）已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【题型3 根据根的情况判断字母的取值或范围】
【例3】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不
相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
【变式3-1】（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a
的取值范围是 ．
【变式3-2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
则b2−2(1+2c)=（ ）
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A．－2 B．2 C．－4 D．4
【变式3-3】（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则
k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k< B．k≤ C．k< 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
3 3 3 3
【题型4 一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】
【例4】（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数
为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月
1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【变式4-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）某种产品预计两年内成本将下降36％，则年平均下降率为
．
【变式4-2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用
于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，
求2020−2022年买书资金的平均增长率．
【变式4-3】（2023·辽宁沈阳·中考真题）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产
成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【题型5 一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】
【例5】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的
小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
【变式5-1】（2023·江苏·统考中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD
（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果
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能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【变式5-2】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页
边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为acm、bcm、ccm、dcm．若纸
张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则
需如何设置页边距？
【变式5-3】（2023·浙江金华·统考中考真题）如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m)，面积
为s(m2)．现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s(m2)，则s的值是
．
【题型6 一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】
【例6】（2023·山东东营·统考中考真题）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研
发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售
单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的
固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【变式6-1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发
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现，每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销
售量将减少3箱．
(1)若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为______箱；
(2)已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于60元．设该店提价x（元），平均每天的销售利润为
w（元）．
①当天盈利w为1152元时，求x的值；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
【变式6-2】（2023·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出
售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千
克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【变式6-3】（2023·四川遂宁·统考中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40
元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，
设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应
提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【题型7 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】
【规律方法】以开放性性的形式考查直接解一元二次方程，解题时可以根据题目选择不同的方法解决问题，
有利于培优策略性思维。
【例7】（2023·新疆·二模）请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【变式7-1】（2023·浙江·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，
配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
x2−3x+1=0 (x−1) 2=3 x2−3x=0 x2−2x=4
【变式7-2】（2023·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的
三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方
程．
①x2+2x−1=0； ②x2−3x=0； ③x2−4x=4； ④x2−4=0．
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【变式7-3】（2023·北京朝阳·二模）请从以下四个一元二次方程中任选三个，并用适当的方法解这三个方
程．
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
3x2−2x−1=0 (y+1) 2−4=0 t2−6t−7=0 m(m+3)−2m=0
我选择第__________小题．
【题型8 中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】
【例8】（2023·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−4x+2a=0有实数根，则a的值可以
是 （写出一个即可）．
【变式8-1】（2023·北京·统考中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【变式8-2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数
根，则c= （写出一个满足条件的值）．
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其
中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=−1；④b=2,c=2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【题型9 中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】
【例9】（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书
中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪
各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高
长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和
对角线的长分别是 尺．
【变式9-1】（2023·青海·统考中考真题）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出
3×3个位置相邻的数（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9个数中，最大
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数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为（ ）
A．18 B．13 C．7 D．3
【变式9-2】（2023·辽宁·统考中考真题）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一
个数学问题：“直田积八百步，一只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为
800平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多（ ）步？
A．15 B．12 C．20 D．6
【变式9-3】（2023·云南·统考中考真题）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了
一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几
a
里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是：如图1，以 和b为两直角边作
2
a
Rt△ABC，再在斜边上截取BD= ，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程
2
，按照图1，构造图2，在 中， ，连接 ，若S 3，则 的值为
x2+mx=16 Rt△ABC ∠ACB=90° CD △BCD = m
S 2
△ACD
（）
A．3 B．4 C．6 D．8
8
