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§8.7 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过
圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点： 点 F 叫做抛物线的焦点．
(3)准线： 直线 l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x ≥ 0 ， y ∈ R x ≤ 0 ， y ∈ R y ≥ 0 ， x ∈ R y ≤ 0 ， x ∈ R
焦点
准线方程 x ＝－ x ＝ y ＝－ y ＝
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
微思考
1．抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？
提示 若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多
少？
提示 抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x ，y)到焦点的距离(焦半径)为x ＋；抛物线的焦点弦
0 0 0
的最小值是2p(通径的长度)．
题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x
＝－.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )
题组二 教材改编
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x ，y)，Q(x ，y)两点，如果x ＋x ＝6，
1 1 2 2 1 2
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|
＝x＋1＋x＋1＝x＋x＋2＝8.
1 2 1 2
3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______．
答案 2
解析 设P(x，y)，则|PF|＝x＋2＝5，得x＝3，y＝±2.故满足条件的点的个数为2.
1 1 1 1 1
4．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
答案
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝＝＝＝.
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB| ＝.
min
题组三 易错自纠
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝x B．x2＝y
C．y2＝－x D．x2＝－y
答案 BC
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，
所以y2＝－x或x2＝y.
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l
的斜率的取值范围是______．
答案 [－1,1]
解析 Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，
代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.题型一 抛物线的定义和标准方程
1．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，
到y轴的距离为9，则p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，
解得p＝6.
2．设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
答案 A
解析 直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程
为x＝－4.
3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案 y2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根
据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
4．(2020·佛山模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y)在抛物线上，
0
K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y＝________，p＝________.
0
答案 2 4
解析 作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝＝＝，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝
2py(p>0)上，
∴解得
思维升华 (1)应用抛物线定义的两个关键点
①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②抛物线焦点到准线的
距离为p.
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物
线的标准方程．
题型二 抛物线的几何性质及应用
命题点1 焦半径和焦点弦
例1 (1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线
的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．9
C．10 D．18
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的焦点为，准线方程为x＝－.
由题意可得4＋＝9，解得p＝10，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.
(2)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐
标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由已知得焦点坐标为F，
因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，Δ>0显然成立，
则y ＋y ＝3，y y ＝－，
A B A B
故|y －y |＝＝6.
A B
因此S ＝|OF||y －y |＝××6＝.
△OAB A B
方法二 联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，
Δ>0显然成立，故x ＋x ＝.
A B
根据抛物线的定义有|AB|＝x ＋x ＋p＝＋＝12，
A B
同时原点到直线AB的距离为d＝＝，
因此S ＝|AB|·d＝.
△OAB
命题点2 与抛物线有关的最值问题
例2 (1)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴
的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
答案 2
解析 由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当
且仅当|AB|取得最小值．依据抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1
的距离之和的最小值为________．
答案
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离
之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
思维升华 (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，
从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线
段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的
连线中垂线段最短”原理解决．
跟踪训练1 (1)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距
离为( )
A. B. C．1 D．2
答案 D
解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA⊥l交l于点A ，过点B作BB⊥l
1 1 1
交l于点B ，设弦AB的中点为M，过点M作MM⊥l交l于点M ，则|MM|＝.因为|AB|≤|
1 1 1 1
AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA|＋|BB|≥6，2|MM|≥6，|MM|
1 1 1 1
≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x
＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A．2 B. C. D．3
答案 A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y
＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.
题型三 直线与抛物线
例3 (2021·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直
线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
解 (1)设直线AP的斜率为k，
k＝＝x－，
因为－0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故
选D.
2．(2020·全国Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若
OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A. B. C．(1,0) D．(2,0)
答案 B
解析 方法一 ∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)．
不妨设D(2,2)，E(2，－2)，则OD＝(2,2)，OE＝(2，－2)．
又∵OD⊥OE，
∴OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，
∴C的焦点坐标为.
方法二 ∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等．
不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入C：y2＝2px，
得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为.
3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非
凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面
宽度为( )
A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m
答案 B
解析 由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，
代入抛物线方程解得p＝4，
所以抛物线方程为x2＝－8y，
水面下降1米，即y＝－3，解得x＝2，x＝－2，
1 2
所以此时水面宽度d＝2x＝4.
1
4．(2020·北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P
作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
答案 B
解析 如图所示，P为抛物线上异于O的一点，则|PF|＝|PQ|，
∴QF的垂直平分线经过点P.
5．(多选)设抛物线y＝ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切
点分别为A和B，则( )
A．点P的坐标为
B．直线AB的方程为y＝
C．PA⊥PB
D．|AB|＝
答案 ABC
解析 由y＝ax2得，x2＝y，则焦点F.
∵a>0，∴2p＝，∴p＝，
其准线方程为y＝－，∴P，A正确；
设切线方程为y＝kx－(k≠0)，由
得ax2－kx＋＝0，
令Δ＝k2－4×a×＝0，解得k＝±1.
∴设切点A，B，
因此直线AB的方程为y＝，B正确；
又PA＝，PB＝，
∴PA·PB＝－＋＝0.
从而PA⊥PB，即PA⊥PB，C正确；
|AB|＝＝，D错误．
6．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交
于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的
是( )
A．p＝2 B．F为AD的中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
答案 ABC
解析 如图．F，直线l的斜率为，
则直线l的方程为y＝，
联立
得12x2－20px＋3p2＝0.
解得x ＝p，x ＝p，
A B
由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
x ＝p＝，
B
则|BF|＝＋1＝；
|BD|＝＝＝，
∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD的中点．
故选ABC.
7．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，
则|AB|＝________.
答案
解析 如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为y＝(x－1)．
由
得3x2－10x＋3＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，所以|AB|＝x＋x＋2＝.
1 2 1 2
8．已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相
切，则抛物线的方程为________．
答案 y2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
9．直线l过抛物线C：y2＝2px (p > 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝____，
＋＝________.
答案 2 1
解析 由题意知＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
从而＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，
联立
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则
从而＋＝＋＝＝＝1.
综上，＋＝1.
10．点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．
答案 (1)3 (2)－
解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A
到准线的距离为3.
(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－.
当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.故|PA|－|PF|的最
小值为－，最大值为.
11．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最
小值，并求出此时AB中点的坐标．解 如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，
过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D，
过AB的中点M作准线的垂线MN，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)．
连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
所以|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝.
设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋，
所以x≥－＝.
当弦AB过点F时等号成立，
此时，点M到y轴的距离最短，最短距离为.
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝2x.
1 1 2 2 1 2
当x＝时，易知yy＝－p2＝－，
1 2
所以(y＋y)2＝y＋y＋2yy＝2x－＝2.
1 2 1 2
所以y＋y＝±，得y＝±，即M.
1 2
12．(2021·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物
线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l，l，且l 与l 交于点M.
1 2 1 2
(1)求p的值；
(2)若l⊥l，求△MAB面积的最小值．
1 2
解 (1)由题意知，抛物线焦点为，
准线方程为y＝－，
焦点到准线的距离为2，即p＝2.
(2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，
即y＝x2，所以y′＝x，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
l：y－＝(x－x)，
1 1
l：y－＝(x－x)，
2 2
由于l⊥l，所以·＝－1，
1 2
即xx＝－4.
1 2
设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得
所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，
x＋x＝4k，xx＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.
1 2 1 2
联立方程得即M(2k，－1)．
M点到直线l的距离d＝＝，
|AB|＝＝4(1＋k2)，
所以S＝×4(1＋k2)×＝ ≥4，
当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.
13．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于
点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
答案 C
解析 由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，
∵AF的斜率为，∴直线AF的倾斜角为30°，
∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，
故△AHF为等边三角形．
设A，m>0，
过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中，
|AM|＝|AF|，∴－1＝，
解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，
∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C.
14．过抛物线C：x2＝4y的焦点F作直线l交C于A，B两点，设D(0,3)．若(DA＋DB)·AB＝
0，则弦AB的长为________．
答案 4
解析 若(DA＋DB)·AB＝0，
则线段AB的垂直平分线过点D.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＝4y，x＝4y，
1 2
两式相减得x＋x＝＝4k ，
1 2 AB
即k ＝，
AB
则弦AB的中点与点D(0,3)的连线的斜率k＝＝－，所以y＋y＝2，
1 2
所以|AB|＝y＋y＋2＝4.
1 2
15．(2020·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、
y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且AP＝λAM＋μAN，则λ＋μ的最小值为________．
答案
解析 由题意得M(2,0)，N(0，－4)，
设P(x，y)，由AP＝λAM＋μAN得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)，
∴x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.
因此λ＋μ＝－＝－＋2＝2＋≥，故λ＋μ的最小值为.
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)用p表示A，B之间的距离；
(2)证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．
解 (1)焦点F，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.
由得x2－3px＋＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，则x ＋x ＝3p，x x ＝，
A A B B A B A B
故|AB|＝x ＋x ＋p＝4p.
A B
(2)在△AOB中，由余弦定理可知，
cos∠AOB＝＝
＝＝＝－.
即∠AOB的大小是与p无关的定值，
且cos∠AOB＝－.
