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模块一 数与代数基础
第 02 讲 函数及其图像
（思维导图+3考点+9题型38考向（含3种解题技巧））
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 函数图像信息
►题型01 实物与函数图像
考向一 根据函数图像，选择实物图形
考向二 根据实物图形，选择函数图像
考向三 根据实物图形，结合函数图像计算
考向四 根据实际描述，判断函数图像
►题型02 从函数图像中获取信息
考向一 行程问题-单函数问题
考向二 行程问题-双函数问题
考向三 其它问题-学科应用问题
考向四 其它问题-跨学科问题
►题型03 动点与函数图像
考向一 线段长为函数
考向二 面积为函数
考向三 线段比为函数
考向四 线段和为函数
考点二 反比例函数
►题型01 比较变量的大小
考向一 已知x，比较y的大小
考向二 已知y，比较x的大小
►题型02 求取值范围
考向一 求y的取值范围
考向二 求x的取值范围
考向三 求参数的取值范围
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►题型03 反比例函数与不等式
考向一 单曲线与不等式
考向二 双曲线与不等式
►题型04 反比例函数与几何结合
考向一 反比例函数与等腰三角形
考向二 反比例函数与直角三角形
考向三 反比例函数与平行四边形
考向四 反比例函数与矩形
考向五 反比例函数与菱形
考向六 反比例函数与正方形
考向七 反比例函数与圆
►题型05 反比例函数与几何结合
考向一 求解析式
考向二 求面积
考向三 求最值
考点三 二次函数
►题型01 二次函数的多结论问题
考向一 二次函数性质的运用
考向二 二次函数各系数之间的关系
考向三 函数值的比较大小
考向四 一元二次方程根的判断
考向五 一元二次方程根的分析
考向六 一元二次方程根的分布
考向七 二次函数与不等式
考向八 分析含绝对值的二次函数
考向九 二次函数与最值
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01考情透视·目标导航
中考考
命题预测
点
随着教育改革的不断深入，中考数学的命题趋势也在悄然发生变化。函数作为初中数学的核心内容
之一，每年都是中考的重点考查对象。以下是对函数在中考中的命题预测，旨在帮助考生更好地备考。
1. 降低难度，注重基础：近年来，中考数学试卷在函数部分的难度有所降低，更加注重对基础知识和基
本技能的考查。
2. 结合实际，贴近生活：中考函数试题越来越注重与实际生活的联系，通过创设现实生活情境，考查学
生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 注重探究，强调能力：中考函数试题注重考查学生的探究能力和创新意识。
函数图 4. 跨学科融合，综合考查：函数试题常常与方程、几何、一次函数等其他数学知识联系在一起，综合考
像信息 查学生的知识整合能力和综合运用能力。
【备考建议】1. 夯实基础，掌握双基：考生要系统复习函数的基础知识，包括函数的概念、图像、性质
等，确保对基本概念和基本技能熟练掌握。
2. 注重实践，提高应用能力：考生要多做与生活实际相关的函数题目，学会从具体情境中抽象出数学问
题，并用函数知识解决。
3. 培养探究能力，增强创新意识：考生要注重培养自己的探究能力和创新意识，多做开放性和探究性题
目，学会独立思考和解决问题。
4. 跨学科整合，提升综合能力：考生要注重函数与其他数学知识的联系，学会将不同知识整合起来解决
问题，提高综合运用能力。
函数的 函数在中考中的命题趋势逐渐向注重基础、联系实际、强调探究和跨学科融合的方向发展。考生在
性质 备考过程中要注重基础知识的掌握和实践应用能力的培养，同时要培养探究能力和创新意识，才能在中
考中取得优异的成绩。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 函数图像信息
►题型01 实物与函数图像
考向一 根据函数图像，选择实物图形
1．（2024峰峰矿区模拟）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时
间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
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A． B． C． D．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（
）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
考向二 根据实物图形，选择函数图像
3．（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容
器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y（单位：帕），时间为x（单位：秒），则y关于
x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，
直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，y （粗实线）
1 2
表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内
均无水），则y ,y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2
A． B． C． D．
考向三 根据实物图形，结合函数图像计算
5．（2024·山东临沂·二模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内
注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需
要的时间为 秒．
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6．（2024·贵州贵阳·一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为25cm2，5cm2，容
1
器B的容积是整个容器容积的 （容器各面的厚度忽略不计），现以速度v(cm3 /s)均匀地向容器注水，直
3
至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h(cm)与注水时间t(s)的函数图象．下列判断中正确的
是（ ）
A．注满整个容器至少需要20s B．容器B的容积为40cm3
C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为20cm3/s
考向四 根据实际描述，判断函数图像
7．（2023·江苏·中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①
开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环
进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次2×50m的折返跑，用时18s在整个过程中，他的速度大小v
（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
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8．（2024·河南郑州·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P
（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，
那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是（ ）
V（单位：立方
64 48 38.4 32 24 …
米）
P（单位：千帕） 1.5 2 2.5 3 4 …
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数
►题型02 从函数图像中获取信息
根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：
1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；
3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.
考向一 行程问题-单函数问题
9．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄
果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
10．（2024·河南濮阳·三模）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为
1600cm，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的
小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向
挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为
y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（ ）
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55 75 56
A． B． C． D．18
3 4 3
考向二 行程问题-双函数问题
11．（2023·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘
快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，
则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
12．（2022·黑龙江绥化·中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家
出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y
（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（
）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
考向三 其它问题-学科应用问题
13．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程
中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单
价是20元时，则当日的销售利润为（ ）
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A．200元 B．300元 C．350元 D．500元
14．（2023·湖北武汉·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，如图是甲、
乙两个蓄水池中水的高度y (单位：米)，y (单位：米)随注水时间x（单位：小时）变化的图象．当甲、
甲 乙
乙两池水的高度相同时，其相同的高度是（ ）
A．2.4米 B．3米 C．3.2米 D．3.6米
考向四 其它问题-跨学科问题
15．（2024·湖北宜昌·模拟预测）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实
验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示
数F （单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是
拉力
（ ）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
22
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底 cm
3
16．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识
的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用pH值表示溶液酸碱
性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么
在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
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A． B． C． D．
►题型03 动点与函数图像
考向一 线段长为函数
17．（2024·山东烟台·二模）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2
是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则cos∠ACB
为 ．
18．（2024·山东临沂·一模）如图1，动点P从A点出发，沿着矩形ABCD的边，按照路线
A→B→C→D→A匀速运动一周到A点停止，速度为1cm/s．AP的长y(cm)与运动时间t(s)的关系图
象如图2，则矩形对角线AC的长为 ．
考向二 面积为函数
19．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的
高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE=x，四边形DEBF的面积为
y，则y关于x的函数图象为（ ）
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A． B． C． D．
20．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从B出发沿
BD方向以√3cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间
为x(s)，△BMN的面积为y(cm2)，y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．2√2cm B．4√2cm C．4cm D．8cm
考向三 线段比为函数
21．（2024·山东聊城·三模）如图1，点P从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中
n
心，再沿直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x，点P到AB的距离为m到CD的距离为n，且y=
m
（当点P与点C重合时，y=0），点P运动时y随x的变化关系如图2所示，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．6√7 B．5√7 C．10 D．8
22．（2024·河南新乡·三模）如图1，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点P从点E出发，沿直线运动
PA
到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x， = y，图2是点P运动时y
PB
随x变化的关系图象，则矩形ABCD的对角线AC的长是（ ）
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A．√5 B．4 C．2√5 D．8
23．（2023·河南·中考真题）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一
PB
点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x， = y，图2是点P运动时y随x变化的关
PC
系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C．4√3 D．2√3
考向四 线段和为函数
24．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E为AD的中点，点P从
点B处沿对角线BD运动，到达点D后停止，连接PA，PE．设PB=x，PE+PA= y，图2是点P运动时y
随x变化的关系图象，其中图象右端点M到x轴的距离为3√3，则图象最低点N的坐标为（ ）
A．(3,4) B．(4,3) C．(3,2√3) D．(4,2√3)
25．（2024·河南洛阳·三模）如图，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设
BP=x，PA−PE= y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则AD长为（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．12
26．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB的中点，E是边
AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为y，
s= y−6，则s与x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
动点与函数图像问题解题方法：
类型一动点与函数图像判断的解题策略
方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减
变化趋势；
方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断；
方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行
排除；
方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图像计算的解题策略
一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等；
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二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
1．（2025·安徽·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=√5，点D在折线ACB上运动，
过点D作AB的垂线，垂足为E，设AE=x，S = y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
△ADE
A． B． C． D．
2．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所
走的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数关系图象．则下列结论正确的是（ ）
A．后800m的速度为32m/min B．中途停留了10min
C．后800m速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为48m/min
3．（2024·山西·模拟预测）排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为
v，水的密度为ρ，则该物体的排水量M=v:ρ，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按
照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块
各自的排水量M随时间t变化的图象是（ ）
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A． B． C． D．
4．（2024·贵州贵阳·二模）已知A，B两地相距280km，现有甲、乙两车相向而行，甲车以40km/h的速度
匀速从A地驶往B地，乙车以35km/h的速度匀速从B地驶往A地，乙车比甲车早出发1h，然后甲车出发，
两车途径C地，甲车到达C地后，因为车出现故障而停留了1h，然后因有事不得不原路返回A地(返回时
速度不变)，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地，则甲、乙距离各自出发点的路程y(km)与甲车出发
所用的时间t(h)之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，⊙A的直径BC=6，D为半圆BC的中点，P点从D出发，沿
D−A−C的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿⊙A下半圆的路径移动，移动到C点停止，
π
Q的速度是P速度的 倍，PQ的长度变化的函数图像为（ ）
2
A． B． C． D．
6．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，在正方形ABCD内，以点A为圆心，AB长为半径画弧，点P从
BO
圆弧的端点B出发，沿B´D向点D运动，过点P作PO⊥AB于点O．设点P运动的时间为x，y= ，图
OP
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3π
2是点P以每秒 的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图1中阴影部分面积为（ ）
8
9 3
A．3 B．9 C．9− π D．6− π
4 2
7．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线
会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电
流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图
2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当P=440W时，I=2A B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
34．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三
角形以2cm/s的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面
的函数图象．则这个长方形的面积为 ．
8．（2024·辽宁抚顺·三模）【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A开始出发沿线段AC
向终点C匀速运动，点Q同时从点A开始出发沿折线A−B−C向终点C匀速运动，P,Q两点同时到达点C．
连接PQ，设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y．经探究发现在某范围内y是关于x的二次函数，并绘
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制成如图②所示的图象，图②中点D的横坐标为5，点E的横坐标为8，请根据图①和图②的信息回答问题．
【初步感知】（1）①图①中，AC的长为______，AB的长为
______；
②求点D的纵坐标；
（2）求y关于x的函数表达式；
【延伸探究】
（3）∠CPQ的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不
变化，请求出∠CPQ的正切值；
（4）点M为AC中点，点N为线段PQ上靠近点P的三等分点，连接MN，当点Q在AB上运动时，请求出
MN长度的最小值．
考点二 反比例函数
►题型01 比较变量的大小
考向一 已知x，比较y的大小
k
1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点A(−2,y ),B(−1,y ),C(3,y )在反比例函数y= (k<0)的图象
1 2 3 x
上，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 2时，y的取值范围是
x
．
k
6．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象(x>0)经
x
过点A(2,m)，过A作x轴的垂线AB，垂足为B，且△OAB的面积为1．
(1)求m和k的值；
(2)若点C(x,y)也在这个函数的图象上，当1≤x≤3时，求y取值范围
考向二 求x的取值范围
k
7．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，正比例函数y =k x(k <0)的图象与反比例函数y = 2 (k <0)的图
1 1 1 2 x 2
象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y >y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
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A．x<−2或x>2 B．−22
C．x<−2或00 C．k<4 D．k>4
k
10．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）点(2a−1,y )、(a,y )在反比例函数y= (k>0)的图象上，若
1 2 x
0y ，则a的取
1 2 x 1 2
值范围是 ．
►题型03 反比例函数与不等式
考向一 单曲线与不等式
12．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，点A(n,6)和B(3,2)是一次函数y =kx+b的图象与反比例函数
1
m
y = (x>0)的图象的两个交点．
2 x
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x为何值时，y >y ？
1 2
考向二 双曲线与不等式
3
13．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数y =x−2与反比例函数y = 的图象
1 2 x
交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当x>3时，y y D．当−1 的解集；
x
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S =4S ，求点P的坐标．
△OCP △OBD
►题型04 反比例函数与几何结合
考向一 反比例函数与等腰三角形
8 k
15．（2024·河南新乡·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数y=− (x<0)和y= (x<0)的图象如下，
x x
8 k
点B(m,0)是x轴负半轴上一点，过点B作x轴的垂线，分别与y=− (x<0)和y= (x<0)的图象交于点
x x
A，C．当m=−2时，线段BC=2．
(1)求k的值；
(2)当△AOB为等腰三角形时，求AC的长．
k
16．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y= (k≠0)的图象经
x
AN
过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则 的值为（ ）
AB
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 5 5
考向二 反比例函数与直角三角形
17．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角△ABO中，AO=√3，AB=1，将△ABO绕点O顺时针
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k
旋转105°至△A'B'O的位置，点E是OB'的中点，且点E在反比例函数y= 的图象上，则k的值为
x
．
18．（2023·安徽·中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，
k
AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
考向三 反比例函数与平行四边形
19．（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，
k
1），B（1，2），反比例函数y= (k≠0)的图象经过 OABC的顶点C，则k= ．
x
8
20．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形OABC的顶点A，B在函数y= (x>0)的图象上，边BC
x
OD
与y轴交于点D，AE⊥x轴于点E．若△AOB的面积为8，则 的值为 ．
AE
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考向四 反比例函数与矩形
k 1
21．（2023·广西·中考真题）如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=− 的
x x
图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，
1 2
5
S ，S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
3 4 2 3 4 2
A．4 B．3 C．2 D．1
k
22．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y= (x<0)的图像上，顶点
x
2
B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC= ，则k=
3
．
考向五 反比例函数与菱形
23．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，
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k
如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y= 图象上的点A(√3,1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD
x
和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作A´C，连接BF．
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
k k
24．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1和y= 2的图象上，若
x x
k
∠BCD=60°，则 1 的值为（ ）
k
2
2 √3 1
A．√3 B． C．− D．−
3 3 3
考向六 反比例函数与正方形
3 n
25．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y= 和y= 的图象的四个
x x
分支上，则实数n的值为（ ）
1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
26．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个2×2的正方形网格，网格的横线、纵
线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为(3,3)．
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（1）点M的坐标为 ；
k
（2）若双曲线L：y= (x>0)与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个．
x
考向七 反比例函数与圆
k
27．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y= (k>0,x>0)的图象
x
上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=3√2，
则k的值为（ ）
A．3 B．3√2 C．4 D．6
k
28．（2024·河南信阳·二模）如图，点A(−5,1)，点B(−1,5)为反比例函数y= 上两点，点D，E为等腰
x
Rt△ABC两腰的中点，过点C，D，E做圆F．
(1)求k的值；
(2)取DE的中点F，连接CF，DE，试证明CF垂直平分DE．
(3)求阴影部分的面积．
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►题型05 反比例函数与几何结合
考向一 求解析式
k
29．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(−3,0)，与反比例函数y=
x
（k为常数，k≠0）的图象在第一象限的部分交于点B(n,4)．
(1)求m，n，k的值；
k
(2)若C是反比例函数y= 的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出
x
点C的横坐标a的取值范围．
k
30．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y= 的图
x
(1 )
象交于M ,4 ，N(n,1)两点．
2
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求△OMN的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
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考向二 求面积
k
31．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A(−2,m)，
x
B(n,2)，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使OC=2OD，连接BC，AD．
若△ACD的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于△BAC面积的2倍，求点P的坐标．
m
32．（2023·四川·中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y= (m>0)的图象交于
x
A(3，4)，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点
D，E．
(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接AD，CD，求△ACD的面积．
考向三 求最值
1
33．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数y= x−1的图像与y轴相交于B点，与反比例函数
2
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k
y= (k≠0,x>0)图像相交于点A(m,2)．
x
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图像于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，
求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？
34．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x的图象l与函数
k
y= （k>0，x>0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB=1，点C在线段OB
x
上（不含端点），且OC=t，过点C作直线l ∥x轴，交l于点D，交图象Γ于点E．
1
(1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
(2)连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S 、S ，设U=S −S ，求U的最大值．
1 2 1 2
反比例函数的性质
表达式
图像
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k＞0 k＜0
图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交
经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【补充】
1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这
个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y
随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函
数的增减性，也可以推断出k的符号.
3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图像的
两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
4）|k|越大，与坐标轴的距离越远.
k
1．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图像如图所示，则下列结论正确的有
x
（ ）
①k>0；②abk<0；③M M =N N ；④若(a−1,y )，(a+2,y )均在反比例函数上且y >y ，则
1 1 1 2 2 1
−2 的解集是
x
（ ）
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A．x>4或x<3 B．x<0或x>4
C．x>3或x<0 D．x>0或x<−4
9
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数y= 的图象上有一点P，其中P的横坐标为3√3，连接OP
x
k
并将OP绕点O逆时针旋转120°且缩短至原来的一半得到OQ，反比例函数y= 恰好经过点Q，则k的值
x
为（ ）
9+12√3 9+12√3 9+6√3
A．−4.5 B．− C．− D．−
8 4 4
k
4．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数y= (k≠0，x<0)的图象如图所示，线段AB平行x轴，其
x
中A点坐标为(−1,−2)，AB=4，而反比例函数图像恰好经过AB的中点，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
1
5．（2024·贵州遵义·二模）已知函数y= 的图象与二次函数y=2ax2+3ax+1(a<0)的图象交于点
x+1
A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )．若点A在x轴下方且y >y 时，则下列正确的是（ ）
1 1 2 2 3 3 2 3
A．x 0)的图象上的一点，⊙P的半径为√2，当
x
⊙P与直线y=x有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（ ）
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A．1≤x≤√2 B．√2−1≤x≤√2
C．√2−1≤x≤1 D．√2−1≤x≤√2+1
7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形OCDE分别交某反比例函数于点F、
G，OC=6，OE=4，△OFG的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线BC交y轴于点B，交双曲线
m
y= (x>0)于点C，且BC∥OA，点A在双曲线上．
x
（1）若点A的横坐标为2，OA=2√2，则m的值是 ；
（2）在（1）的条件下，若BC=2，则点C的坐标是 ．
9．（2024·安徽·三模）如图 ，O为坐标原点，过第一象限上的点A 作AB⊥x 轴于点B，交反比例函数
k
y= (x>0)的图象于点C ，作AD∥x轴交反比例函数的图象于点D，已知△OBC的面积为1．
x
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（1）k= ；
OE 3
（2）连接OA 交反比例函数的图象于点E， 若 = ，则四边形OBAD的面积为
EA 2
4
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点P 、P 、P 、……、P (n为自然数)在反比例函数y= 图
1 2 3 n x
象上，且横坐标分别为1、2、3、……、n，分别以P P 、P P 、P P 、…、P P 为斜边向下作直角
1 2 2 3 3 4 n n+1
三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到n个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ．
m
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数y=kx+b的图象直线与反比例函数y= 的图象双曲线相交
x
于点A(−2,−3)和点B(1,n)，且直线与x轴、y轴相交于点C、点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P(p,q)为直线AB上的动点，过P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F，请选择下面其中一题
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完成解答：
PE
①连接DE，若S =6S ，求 的值；
△PDE △DCO PF
p−1
②点P在点E上方时，判断关于x的方程(p+1)x2+(p−1)x− =0的解的个数．
2
12．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−6x+3与x轴交于点B，与反比
k 1
例函数y= 的图象交于点A，C，点A的横坐标为− ．
x 2
(1)求点B的坐标和反比例函数的表达式；
(2)设P是x轴上一点，若△PAB是以AB为腰的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)若D是线段AB上一动点，过点D作AB垂线交反比例函数图象于点E，F，连接AE，AF，当△ADE
与△ADF相似时，求点D的坐标．
考点三 二次函数
►题型01 二次函数的多结论问题
考向一 二次函数性质的运用
1．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0）的顶点为(1,2)．
小烨同学得出以下结论：①abc<0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个根为
1
3，则a=− ；④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得
2
到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线y=x2−2mx+m2+m−4（m是常数），下列结论正确的是
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（填写所有正确结论的序号）．
①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=−4；
③若点A(m−2,y )，B(m+1,y )在抛物线上，则y 0)的图象如图所示，给出下列结论：①c<0；②
b
− >0；③当−10；②b2>4ac；③(a+c) 2−b2>0；④a+b≥am2+bm (m为任意实数)；
⑤4a+c<0．其中，正确结论的序号是 ．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）
的图象与x轴的一个交点坐标为(2,0)，对称轴为x=−1．结合图象给出下列结论：①abc>0；②
1 1
9a−3b+c=0；③8a+c=0；④关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为 和− ；⑤
2 4
a−b≥ab2+b2．其中正确结论的个数为（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象交x轴于点A(−3,0)、B(1,0)，
交y轴于点C．以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三
2 √97
角形时，c=√7；④当c=3时，在△AOC内有一动点P，若OP=2，则CP+ AP的最小值为 ．其中
3 3
正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
( 3 )
7．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为 − ,m ，下列判断正确个
2
数为①ab<0；②b−3a=0；③ax2+bx≥m−2；④点(−4.5,y )和点(1.5,y )都在此函数图象上，则
1 2
y = y ；⑤9a=8−4m．以上结论正确的是 ．（填序号）
1 2
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考向三 函数值的比较大小
8．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线y =−x2+1，直线y =−x+1，下列判断中：①当x<0或x>1时，
1 2
1 1
y 时y −y 随x的增大而增大； ④使|y −y |=
1 2 2 1 2 1 2 1 2 3
的x的值有3个．其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024·湖北武汉·一模）已知点A(x ,y )在抛物线y =nx2−2nx+n上，点B(x ,y )在直线
1 1 1 2 2
y =−nx+n，当n>0时，下列判断正确的是（ ）
2
A．当x =x <1时，y 1时，y n时，x >x D．当y = y x
1 2 1 2 1 2 1 2
考向四 一元二次方程根的判断
10．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过三点
A(x ,y ),B(x ,y ),C(−3,0)，且对称轴为直线x=−1．有以下结论：①a+b+c=0；②2c+3b=0；③
1 1 2 2
当−20，关于x的方程ax2+bx+c=k(x+1)必有两
1 2 1 2
个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过(−1,1)，(m,1)两
点，且00；
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②若01；③若a=−1，则关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=2无实数
1 1
解；④点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线上，若x +x >− ，x >x ，总有y 0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(−6,y ),(5,y )，则
1 2
y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是 （请填写序
1 2
号）．
13．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0．下列结论：①b<0；②当x>− 时，y随x的增大而减小；③关于x的方程
2
m
ax2+(b+m)x+c+n=0有实数根，则n是非负数；④代数式 +3的值大于0．其中正确的结论是
a+b
（填写序号）．
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知：二次函数y=ax2+bx+c(a<0)，过A(−1,0)，B(m,0)(m>0)，
b
下列结论： ①c=am；②m=1− ；③关于x的一元二次方程a(x−2) 2+bx+c−2b=0的两根为x =1，
a 1
x =m+2；④am2+(2a+b)m+a+b+c<0．其中正确的结论是 （只填序号）
2
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考向六 一元二次方程根的分布
15．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线y=ax2−2x−3a的图象上有三点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
C(0,−3)，其中x <−1y
1 2
C．关于x的一元二次方程ax2−2x−3a−m=0(m>0)的两根为x ，x ，且x 0；②9a−3b+c≥0；③ 0的
2 3
解集（ ）
A．−32 B．−32
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1
18．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=− ，且
2
经过点(−2,0)，下列结论：①abc<0；②a−b=0；③点(x ，y )和(x ，y )在抛物线上，当
1 1 2 2
1 3
x >x ≥− 时，y >y ；④不等式ax2+bx+c≥0的解集是x≤−2或x≥ ．其中错误的个数有（ ）
1 2 2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考向八 分析含绝对值的二次函数
19．（23-24九年级上·广西防城港·期末）我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2−4ac>0)
的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象（如图所示），并写出下列
四个结论：
①图象与坐标轴的交点为(−1,0)，(3,0)和(0,3)；②当x=1时，函数有最大值4；③当−1≤x≤1或x≥3时，
函数值y随x值的增大而增大；④函数与直线y=m有4个公共点，则m的取值范围是00 开口向上 a的正负决定开口方向，
a的大小决定开口的大小(|a|越
大，开口越小)．
a<0 开口向下
b=0 b
对称轴是y轴，即− =0
2a
b 左同右异中间0
a，b同号 b
对称轴在y轴左侧，即− ＜0
2a
a，b异号 b
对称轴在y轴右侧，即− ＞0
2a
c=0 图像过原点
c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位
置．
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点
与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x
轴交点个数
与x轴没有交点
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
b
2）由a的符号与对称轴x=− 的位置共同确定b的符号；
2a
3）二次函数 的常见结论
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负
图像上对应点的位置 结论
x轴的上方
x轴上
x轴的下方
图像上对应点的位置 结论
x轴的上方
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x轴上
x轴的下方
图像上对应点的位置 结论
x轴的上方
x轴上
x轴的下方
1．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数y=x2+(2m−1)x+2m ( m≠ 1) ，有下列结论：①该函数图象过
2
定点(−1,2)；②当m=1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当
3 1
1y ．其中，
2 1 1 2 2 1 2 2 1 2
正确结论的序号为 ．
2．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线y=a(x−2) 2+k（a，k为常数）的x与y的部分对应值如表所示；
x −2 1 4 5 t
y m n p q m
下列四个结论：①t=6②若ak>0，则该抛物线与x轴没有交点；③若n>p，则m>q；④若n·p=0，则
m·q>0，其中正确的结论是 （填写序号）．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y
轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=−1，有下列结论：
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①bc<0；②4a−b−2c<0；③当x≤−2时，y≥c；④若x ，x (x x ．其中，正确的是 ．（填
1 2 1 2
写序号）．
5．（2024·山东滨州·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，
对称轴为直线x=1，下列结论中∶①a−b+c=0；②若点(−3,y ),(2,y ),(4,y )均在该二次函数图象上，
1 2 3
则y 3．正确结论的序号为 ．
1 2 1 2
27．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点P(x ,y )，当点Q(x ,y )满足
1 1 2 2
2(x +x )= y + y 时，称点Q(x ,y )是点P(x ,y )的“倍增点”，已知点P (1,0)，有下列结论：
1 2 1 2 2 2 1 1 1
①点Q (3,8),Q (−2,−2)都是点P 的“倍增点”；
1 2 1
②若直线y=x+2上的点A是点P 的“倍增点”，则点A的坐标为(2，4)；
1
③抛物线 y=x2−x+4上存在两个点是点P 的“倍增点”．其中，正确结论有 个．
1
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