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专题 07 一元二次方程及其应用（12 个高频考点）（举一反三）
【考点1 一元二次方程的定义】...........................................................................................................................1
【考点2 一元二次方程的一般形式】...................................................................................................................3
【考点3 一元二次方程的解】...............................................................................................................................4
【考点4 配方法解一元二次方程】.......................................................................................................................7
【考点5 公式法解一元二次方程】.......................................................................................................................9
【考点6 因式分解法解一元二次方程】.............................................................................................................12
【考点7 换元法解一元二次方程】.....................................................................................................................14
【考点8 根的判别式】.........................................................................................................................................18
【考点9 根与系数的关系】.................................................................................................................................21
【考点10 配方法的应用】.....................................................................................................................................23
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】..................................................................................................26
【考点12 一元二次方程的应用】.........................................................................................................................28
【要点1 一元二次方程的定义】
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【考点1 一元二次方程的定义】
【例1】（2022·山西·盂县第二中学校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2﹣1=0 B．x2 + +3=0 C．x2 + 2x +1=0 D．3x2 +√2x +1=0
x
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、C、D选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A、C、D不符
合题意；
B选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．
【变式1-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）方程(m+1)x|m−1|−mx+2=0是关于x的一元二次方程，
则（ ）
A．m＝﹣1或3 B．m＝3 C．m＝﹣1 D．m≠﹣1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次放
程”，再根据二次项系数不等于0，即可求解．
【详解】∵(m+1)x|m−1|−mx+2=0是关于x的一元二次方程，
∴|m−1|=2，解得：m=3或m=-1，
∵m+1≠0，即m≠-1，
∴m=3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．注意：一元
二次方程二次项系数不等于0．
【变式1-2】（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数
为负数；（2）一个实数根为√10−1的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是______．
（任意写一个符合条件的即可）．
【答案】−(x−2)(x+4)=0(答案不唯一，满足要求即可）
【分析】先确定出√10−1的整数部分，再利用因式分解的方法写出符合条件的一元二次方程即可．
【详解】∵√9＜√10＜√16，
∴3＜√10＜4，
∴2＜√10-1＜3，
∴√10−1的整数部分为2，即方程的一个根为2，
∵方程的另一个根为-4，且二次项系数为负数，
∴方程可以写为−(x−2)(x+4)=0，答案不唯一，
故答案为：−(x−2)(x+4)=0，（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了按条件构造一元二次方程以及确定二次根式整数部分的知识，确定方程的另一个
根为2是解答本题的关键．
【变式1-3】（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a>−1且a≠0 C．a≥−1且a≠0 D．a>−1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程
有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
【要点2 一元二次方程的一般形式】
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项。
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0
【答案】A
【详解】一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，
将原方程去括号为：x2-6x+4+x+1=0，
合并为：x2-5x+5=0，
故答案为：A.
【点睛】考点：一元二次方程的一般式.
【变式2-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）一元二次方程2y2−7=3 y的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判
断即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程2y2−7=3 y化为一般形式为：2y2−3 y−7=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,−3,−7，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0是解题的关
键．
【变式2-2】（2022·湖北黄冈·一模）方程4x2+x=5化为一般形式后，a,b,c的值分别是（ ）
A．a=4,b=1,c=5 B．a=1,b=4,c=5
C．a=4,b=1,c=−5 D．a=4,b=−5,c=1
【答案】C
【分析】先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数､一次项系数和常数项即可．
【详解】解：由原方程移项，得
4x2+x−5=0，
所以a=4,b=1,c=−5．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移
项化一元二次方程一般式．
【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形
式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．－3
【答案】D
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【详解】解：∵(m−3)x2+m2x=9x+5，
∴(m−3)x2+(m2−9)x−5=0，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．
【考点3 一元二次方程的解】
【例3】（2022·青海·中考真题）已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为
（ ）A．4 B．−4 C．3 D．−3
【答案】B
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入方程，解出m的值即可．
【详解】解：关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，
所以1+m+3=0，
解得m=−4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程
求解．
【变式3-1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么
m3+2m2−2025m+2022的值为（ ）
A．−2022 B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有m2+3m−2022=0，即有m3+3m2−2022m=0，据此即可作答．
【详解】∵m为x2+3x−2022=0的根据，
∴m2+3m−2022=0，且m≠0，
∴m3+3m2−2022m=0，
则有原式=(m3+3m2−2022m)−(m2+3m−2022)=0−0=0，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到
m2+3m−2022=0是解答本题的关键．
【变式3-2】（2022·河北·中考真题）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝
4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是
（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相
等的实数根
【答案】A
【分析】先根据“只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1”求出所抄的c，再求出原方程的c值，
再用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴(−1) 2 ﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2−4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【变式3-3】（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2022，则一
a
元二次方程 (x+2) 2+bx+2b=1必有一根为（ ）．
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
a
【分析】对一元二次方程 (x+2) 2+bx+2b=1变形，设t＝x＋2得到at2+2bt−2=0，利用
2
ax2+2bx−2=0的一个根是x=2022可得t＝2022，从而求出x即可．
a
【详解】解：对于一元二次方程 (x+2) 2+bx+2b=1即a(x+2) 2+2b(x+2)−2=0，
2
设t＝x＋2，则可得at2+2bt−2=0，
而关于x的一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2022，
所以at2+2bt−2=0有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
a
所以一元二次方程 (x+2) 2+bx+2b=1必有一根为x＝2020，
2
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
【要点3 配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【考点4 配方法解一元二次方程】
【例4】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为(x+a) 2=b的
形式，则a+b的值为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵3x2+6x−1=0，
1
∴3x2+6x=1，x2+2x=
，
3
1 4
则x2+2x+1= +1，即(x+1) 2= ，
3 3
4
∴a=1，b= ，
3
7
∴a+b= ．
3
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
【变式4-1】（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝
2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【分析】先移项把方程化为x2+6x=−c,再配方可得(x+3) 2=9−c,结合已知条件构建关于c的一元一次
方程，从而可得答案．【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：x2+6x=−c,
配方得：(x+3) 2=9−c, 而（x+3）2＝2c，
∴9−c=2c,
解得：c=3,
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
【变式4-2】（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．
2x2−3x−5=0
3 5
解：x2− x= 第一步
2 2
x2−
3
x+
(3) 2
=
5
+
(3) 2
第二步
2 4 2 4
( 3) 2 49
x− = 第三步
4 16
3 7
x− =± 第四步
4 4
5
x = ，x =−1第五步
1 2 2
(1)任务一：
①小颖解方程的方法是____；
②第二步变形的依据是____；
(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．
【答案】(1)配方法，等式性质
5
(2)x = ，x =−1
1 2 2
【分析】（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；
（2）任务二，利用公式法求解即可．
（1）
解：∵小颖是将方程左边配成完全平方形式，
∴小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；（2）
解：∵a=2，b=−3，c=−5，
∴Δ=(−3) 2−4×2×(−5)=49>0，
−b±√b2−4ac 3±7
则x= = ，
2a 4
5
∴x = ，x =−1．
1 2 2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
b2−4ac
【变式4-3】（2022·浙江绍兴·一模）将一元二次方程 ax2+bx+c=0，化为 （ x m）2 ，则 m
4a2
为____．
b
【答案】−
2a
【分析】利用一元二次方程的配方逐步变形可得到答案．
【详解】解：因为ax2+bx+c=0
移项：ax2+bx=−c
b c
因为：a≠0，把二次项系数化1：x2+ x=−
a a
b b 2 c b 2
配方：x2+ x+( ) =− +( )
a 2a a 2a
b 2 b2−4ac
整理：(x+ ) =
2a 4a2
b2−4ac
比对：(x−m) 2=
4a2
b
所以：−m=
2a
b
所以：m=−
2a
b
故答案为：−
2a
【点睛】本题考查的是配方法的掌握，所以熟知配方法是关键．【要点4 公式法解一元二次方程】
−b±√b2−4ac
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这
2a
个
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【考点5 公式法解一元二次方程】
【例5】（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
x2−6x+4=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】2√7
【分析】由题意解一元二次方程x2−6x+4=0得到x=3+√5或x=3−√5，再根据勾股定理得到直角三角
形斜边的长是2√7．
【详解】解：∵一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−6x+4=0的两个实数根，
6±√36−16 6±2√5
∴由公式法解一元二次方程x2−6x+4=0可得x= = =3±√5，
2 2
∴根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是√ (3+√5) 2+(3−√5) 2=√28=2√7，
故答案为：2√7．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
【答案】(1)k<3
(2)k=2，方程的两个根为x =0，x =2
1 2
【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到Δ=(−2) 2−4(k−2)>0，解不等式即可求得；
(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可
解答．
（1）
解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k−2=0有两个不相等的实数根∴Δ=(−2) 2−4(k−2)>0
解得k<3
故k的取值范围为k<3
（2）
解：∵k<3且k为正整数
∴k的值只能是1或2
当k=1时，方程为x2−2x−1=0
2±√(−2) 2−4×(−1)
解得x= =1±√2
2
∵方程的两个根均为整数
∴k=1不合题意，舍去
当k=2时，方程为x2−2x=0
解得x =0，x =2
1 2
方程的两个根均为整数，符合题意
故k=2，方程的两个根为x =0，x =2
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根
的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）设m为整数，且30，求 +n2 的值．
m4 m2 m4
【答案】(1)x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3
1 2 3 4
45 45±7√41
(2) 或
4 4
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；1
（3）令 =a，-n=b，则a2+a-7=0，b2 +b=0，再模仿例题解决问题．
m2
（1）
解：令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y =2，y =3，
1 2
∴x2=2或3，
∴x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3，
1 2 3 4
故答案为：x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3；
1 2 3 4
（2）
解：∵a≠b，
∴a2≠b2或a2=b2(a=−b)
①当a2≠b2时，令a2=m，b2=n，
∴m≠n则2m2−7m+1=0，2n2−7n+1=0，
∴m，n是方程2x2−7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴¿，
45
此时a4+b4=m2+n2=(m+n) 2−2mn=
；
4
7±√41
②当a2=b2(a=−b)时，a2=b2=
，
4
2
此时a4+b4=2a4=2(a2) 2 =2 (7±√41) = 45±7√41 ；
4 4
45 45±7√41
综上：a4+b4=
或
4 4
（3）
1
解：令
=a，−n=b，则a2+a−7=0，b2+b−7=0，
m2
∵n>0，
1
∴ ≠−n即a≠b，
m2
∴a，b是方程x2+x−7=0的两个不相等的实数根，∴¿，
1
故
+n2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=15．
m4
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关
键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
【要点6 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【考点8 根的判别式】
【例8】（2022·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，且m≥−3，
则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________．
1
【答案】 ##0.5
2
9
【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式Δ>0，可计算m< ，再结合m≥−3可知
4
9
−3≤m< ，进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概
4
率的计算公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意，关于x的方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，
故该一元二次方程的根的判别式Δ>0，即Δ=(−3) 2−4×1×m>0，
9
解得m< ，
4
又∵m≥−3，
9
∴−3≤m< ，
4
∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个，
3 1
∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是P= = ．
6 2
1
故答案为： ．
2【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合
运用所学知识解决问题．
【变式8-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情况，⊗下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为x2−(k−3)x+1−k=0，再利用一元二次方程根的判别式求解
即可．
【详解】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=(k−3) 2−4(1−k)=k2−6k+9−4+4k=(k−1) 2+4>0，
∴方程x2−(k−3)x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为
x2−(k−3)x+1−k=0是解题的关键．
【变式8-2】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x−2=0 B．x2−2x=0
C．x2+x+5=0 D．x2−2x+1=0
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．Δ=1+8=9>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．Δ=4>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．Δ=1−20=−19<0，方程没有实数根，符合题意；
D．Δ=4−4=0，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数
根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
【变式8-3】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
1 1 1 1
A．k>− B．k<− C．k>− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
4 4 4 4
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等
式组求解．
【详解】解：∵1※x=k，
∴x2−x=k，
即x2−x−k=0，
∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1) 2−4×(−k)＞0，
1
解得：k＞− ，故A正确．
4
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式Δ＝b2−4ac当Δ
＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
【要点7 一元二次方程的根与系数的关系】
−b c
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x,x，那么x+x
xx
1 2 1 2= a , 1 2=a
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【考点9 根与系数的关系】
1 1
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则 +
a b
的值为 _____．
4
【答案】
3
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根，利用根与系数的关系
1 1 a+b
得到a+b=4，ab=3，再根据 + = 进行求解即可．
a b ab
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
1 1 a+b 4
∴ + = = ，
a b ab 3
4
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系
是解题的关键．
【变式9-1】（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则
m2+mn+2m的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入
即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴m2+mn+2m=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数
关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
【变式9-2】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，
1
x ，若x =−1，则a−x2−x2 的值为（ ）
2 1 1 2
A．7 B．−7 C．6 D．−6
【答案】B
【分析】根据根与系数关系求出x =3，a=3，再求代数式的值即．
2
【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，x ，
1 2
∴x +x =2，
1 2
∵x =−1，
1
∴x =3，
2∴x ·x =-a=-3，
1 2
∴a=3，
∴a−x2−x2=3−9−1=−7．
1 2
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数
式的值是解题关键．
【变式9-3】（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数
根x ，x ，且(x +2)(x +2)−2x x =17，则m=（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出
x +x =2m,x ·x =m2−4m−1，把(x +2)(x +2)−2x x =17变形为2(x +x )−x x −13=0，再代
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
入得方程m2−8m+12=0，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数根,
∴Δ=(−2m) 2−4(m2−4m−1)≥0,
1
∴m≥− ,
4
∵x ，x 是方程x2−2mx+m2−4m−1=0的两个实数根,
1 2
∵x +x =2m,x ·x =m2−4m−1，
1 2 1 2
又(x +2)(x +2)−2x x =17
1 2 1 2
∴2(x +x )−x x −13=0
1 2 1 2
把x +x =2m,x ·x =m2−4m−1代入整理得,
1 2 1 2
m2−8m+12=0
解得,m =2,m =6
1 2
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合2(x +x )−x x −13=0，找出关于m的一
1 2 1 2
元二次方程．
【考点10 配方法的应用】
【例10】（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
________．
【答案】6
【分析】根据a－b2＝4得出b2=a−4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴b2=a−4
将b2=a−4代入a2－3b2＋a－14中
得：a2－3b2＋a－14=a2−3(a−4)+a−14=a2−2a−2
a2−2a−2=a2−2a+1−3=(a−1) 2−3
∵b2=a−4≥0
∴a≥4
当a=4时，(a−1) 2−3取得最小值为6
∴a2−2a−2的最小值为6
∵a2－3b2＋a－14=a2−2a−2
∴a2－3b2＋a－14的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
【变式10-1】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【答案】1，-2；11，9；证明见解析
【分析】把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.
【详解】解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．
当a＝2时，A＝3×22−2+1=12−2+1=11,
B＝2×22+2−1=9．此时都有A＞B,
嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：
∵A−B=3a2−a+1−2a2−a+2
=a2−2a+3=(a−1) 2+2
而(a−1) 2≥0, 则(a−1) 2+2≥2,
∴A−B≥2＞0, 即A＞B.
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，同时考查了配方法的应用，
熟练的利用配方法判断一个代数式的值的范围是解本题的关键.
【变式10-2】（2022·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a(x﹣m)2+k＝0与a(x﹣m)2+k＝0称
1 2
为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程
2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（
）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴¿，
解得：¿，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题
的关键．
【变式10-3】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5=x2+2⋅x⋅3+32−32+5=(x+3) 2−4
∵(x+3) 2≥0∴(x+3) 2−4≥−4
∴当x=−3时，x2+6x+5有最小值−4．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式x2−4x+2的最小值；
(2)求代数式−x2+6x+9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式2x2+10 y2−6xy−6x−2y+11的值都是正数．
【答案】(1)-2
(2)当x=3时，−x2+6x+9有最大值18
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得−x2+6x+9=−(x−3) 2+18，然后问题可求解；
（3）由题意可得2x2+10 y2−6xy−6x−2y+11=(x−3) 2+(y−1) 2+(x−3 y) 2+1，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：
x2−4x+2=x2−2⋅x⋅2+22−22+2=(x−2) 2−2，
∵(x−2) 2≥0
∴(x−2) 2−2≥−2
∴当x=2时，x2−4x+2有最小值−2．
(2)
解：由题意得：−x2+6x+9=−(x−3) 2+18，
∵−(x−3) 2≤0
∴−(x−3) 2+18≤18
∴当x=3时，−x2+6x+9有最大值18．
(3)解：由题意得：
2x2+10 y2−6xy−6x−2y+11
=x2−6x+9+ y2−2y+1+x2−6xy+9 y2+1
=(x−3) 2+(y−1) 2+(x−3 y) 2+1；
∵(x−3) 2≥0,(y−1) 2≥0,(x−3 y) 2≥0
∴(x−3) 2+(y−1) 2+(x−3 y) 2+1≥1，
∴无论x和y取任何实数，代数式2x2+10y2−6xy−6x−2y+11的值都是正数．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】
【例11】（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价
格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题
意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2(1+x) 2=8.9 B．8.9(1+x) 2=6.2
C．6.2(1+x2 )=8.9 D．6.2(1+x)+6.2(1+x) 2=8.9
【答案】A
【分析】设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出
关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得6.2(1+x) 2=8.9．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解
题关键．
【变式11-1】（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二
百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批
椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3(x−1)x=6210 B．3(x−1)=6210C．(3x−1)x=6210 D．3x=6210
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【变式11-2】（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积
为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损
耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【答案】(11−2x)(7−2x)=21
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
(11−2x)(7−2x)=21．
故答案为：(11−2x)(7−2x)=21
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式11-3】（2022·山东济宁·一模）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会
住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每
天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，
则有（ ）
( x−180) ( x−180)
A．(x−20) 50− =10890 B．x 50− −50×20=10890
10 10
( x ) ( x )
C．(180+x−20) 50− =10890 D．(x+180) 50− −50×20=10890
10 10
【答案】C【分析】设房价比定价180元增加x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】解：设房价比定价180元增加x元，
( x )
根据题意，得(180+x−20) 50− =10890．
10
故选：C．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
【考点12 一元二次方程的应用】
【例12】（2022·湖北荆门·中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满
1
足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣ x+9．同时销售过程中的其它开支为50
10
万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，
最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价
格x应定为多少元？
1
【答案】(1)z＝﹣
x2
+12x﹣320，当x＝60时，z最大，最大利润为40
10
(2)45≤x≤75，x＝45时，销售量最大
【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得 z 与x的函数解析式，再求出
b 12
x=− =− =60
2a ( 1 ) 时，z最大，代入即可．
2× −
10
（2）当 z =17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出 x的范围，结合 y 与 x的
函数关系式，从而解决问题．
（1）
由题可知：
z＝y（x﹣30）﹣50
1
＝（﹣ x+9）（x﹣30）﹣50
10
1
＝﹣
x2
+12x﹣320，
10b 12
x=− =− =60
∴当 2a ( 1 ) 时，z最大，
2× −
10
1
∴最大利润为：﹣
×602+12×60−320＝40；
10
（2）
1
当z＝17.5时，17.5＝﹣
x2
+12x﹣320，
10
∴x＝45，x＝75，
1 2
∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
1
∵y＝﹣ x+9．y随x的增大而减小，
10
∴x＝45时，销售量最大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出 z 关
于x的函数的解析式是解题的关键．
【变式12-1】（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，
单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
1
【分析】设有x支队伍，根据题意，得 x(x−1)=45，解方程即可．
2
1
【详解】设有x支队伍，根据题意，得 x(x−1)=45，
2
解方程，得x=10，x=-9（舍去），
1 2
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【变式12-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一
款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段
时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法
可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得
销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次
函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：¿，
解得¿，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x＝50，x＝60，
1 2
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小
型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
2
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工
3
程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了
9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，
同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了
(150+2m)小时，求m的值．
【答案】(1)300
(2)5
( 2) 5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 1+ x= x小时，根据题意
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列出方程，即可求解；
5
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为300× =500小时，根据题意可得小型设备的使用时间为
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(300+18m)小时，大型设备铺设公路每小时为(60−m)米，大型设备的使用时间为(650+2m)小时，根据
题意列出方程，即可求解．
( 2) 5
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 1+ x= x小时，根据
3 3
题意得：
5
30x+60× x=39000，
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解得：x=300，
答：小型设备的使用时间为300小时；
5
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为300× =500小时，
3
根据题意得：小型设备的使用时间为(300+18m)小时，大型设备铺设公路每小时为(60−m)米，大型设备
的使用时间为500+150+2m=(650+2m)小时，
∴30(300+18m)+(60−m)(650+2m)=39000+9000，
整理得：m2−5m=0，解得：m =5,m =0（舍去）．
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即m的值为5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解
题的关键．
