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专题 07 一元一次不等式（组）
（时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．5－3＜8 B．2x－1＜ C． ≥8 D． ＋2x≤18
【答案】D
【分析】一元一次不等式必须具备三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是1；
（3）分母中不含有未知数，即不等号两边都是整式．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可．
【详解】A：不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B： 不是整式，故本选项不符合题意；C： 不是整式，故本选项不符合题意；
D：是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式，是一元一次不等式，故本选
项符合题意．故选：D．
2．（2022·湖南汉寿·八年级期末）下列不等式变形中不正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，比较每一个选项变形是否符合不等式的性质，选出正确答案即可．
【详解】A、 ，得 ，根据不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式仍然正确，可知A正
确，不符合题意；
B、由 ，得 ，根据不等两边同时乘一个负数，不等号方向改变，可知B正确，不符合题意；
C、由 ，得 ，根据不等两边同时乘一个正数，不等号方向不变，可知C正确，不符合题意；
D、由 ，得 ，根据不等两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可知D错误，符合题意；
故选：D．3．（2022·湖南株洲）不等式 的解集是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以4即可求解．
【详解】解：4x−1<0
移项、合并同类项得：4x<1
不等号两边同时除以4，得：x< 故选：D．
4．（2022·广西河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，故选D．
5．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式组的概念逐一辨析．
【详解】A. 是一元一次不等式组，故正确； B. 是二元一次不等式组，故不
正确；C. 是一元二次不等式组，故不正确；D. 是分式不等式组，故不正确；故选
A．
6．（2022·山东滨州）把不等式组 中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】 解①得 ，解②得 ，
不等式组的解集为 ，在数轴上表示为：
，故选：C．
7．（2022·重庆）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程
的解是负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，
确定a≠-2，计算即可．【详解】∵ ，解①得解集为 ，解②得解集为 ，
∵ 不等式组 的解集为 ，∴ ，解得a＞-11，
∵ 的解是y= ，且y≠-1， 的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数 的值之和是-8-5=-13，故选D．
8．（2021·广西南宁·七年级期中）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若需要经过两次运算，才能运算出y，则有不等式组： ，即可解出x的取值范围；
【详解】由输入两次，才能计算出y的值得： ，解得-2≤x＜-1．故选：D
9．如果关于x的不等式组 无解，那么m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了可得答案．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ， 不等式组无解， ，故选： ．
10．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A（1，0），则关于x的
不等式x（kx＋b）＞0的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1或x＜0 D．x＞1或x＜1
【答案】C
【分析】因为不等式x（kx+b）＞0，则 或 ，根据函数的图象与x轴的交点为（1，0）
进行解答即可．
【详解】解：∵不等式x（kx+b）＞0，∴ 或 ，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），
由图象可知，当x＞1时，y＞0；当x＜1时，y＜0，
∴关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是x＞1或x＜0．故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022·湖北十堰）关于 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为
_________．
【答案】
【分析】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来 向右画； ，
向左画 ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一
样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．
【详解】解：该不等式组的解集为 故答案为：
12．（2021·黑龙江·七年级期中）若干名学生住宿舍，每间住 人， 人无处住；每间住 人，空一间还
有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有 间宿舍，则可列不等式组为____
【答案】
【分析】先根据“每间住 人， 人无处住”可得学生人数，再根据“每间住 人，空一间还有一间不空
也不满”建立不等式组即可得．
【详解】设有 间宿舍，则学生有 人，
由题意得： ，故答案为： ．
13．（2022·湖南新邵·八年级期末）不等式组 的所有整数解的和是________．
【答案】6
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后从解集中找出所
有的整数相加即可．
【详解】解： ，解①得： ，解②得：x≤3,
∴不等式组的解集是： ，∴其中的整数有：0,1,2,3，∴0+1+2+3=6．故答案为6．
14．（2022·江苏溧水·八年级期末）已知函数 y＝－2x 与 y＝x＋b 的图像相交于点 A（－1，2），则关
1 2
于 x 的不等式－2x＞x＋b 的解集是_____．
【答案】x<-1
【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，根据图象即可得出答案．
【详解】解：函数 y＝－2x 与 y＝x＋b 的图象如图所示：
1 2
要满足－2x＞x＋b，即y> y ，则图象上两直线交点的左边符合题意，即x<-1，故答案为：x<-1．
1 215．（2021·浙江龙湾·八年级期中）已知不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，则a的取值范围为______．
【答案】a＜1
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
【详解】解：∵（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，不等号方向发生了改变，
∴a﹣1＜0，∴a＜1．故答案为：a＜1．
16．（2022·黑龙江绥化）在长为2，宽为x（ ）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片
宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操
作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
【答案】 或
【分析】分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可．
【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ，
，
又 ，
，
，
则第一次操作后，剩下矩形的宽为 ，
所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为 ，
另一边为： ，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，
分以下两种情况进行讨论：
①当 ，即 时 ，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
则由题意可知： ，
解得： ；
②当 ，即 时，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
由题意得： ，解得： ，
或者 ．
故答案为： 或 ．
三、简答题（共46分）
17．（6分）（2022·湖北宜昌）解不等式 ，并在数轴上表示解集．
【答案】 ，在数轴上表示解集见解析
【分析】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得 ，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项得 ，
系数化为1，得 ，
在数轴上表示解集如图：18．（6分）（2022·四川乐山）解不等式组 ．请结合题意完成本题的解答（每空只需填
出最后结果）．
解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
【答案】 ； ；见详解；
【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为： ．
19．（6分）（2022·河北）整式 的值为P．
（1）当m＝2时，求P的值；
（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意 ，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
【解析】(1)解：∵当 时， ；
(2) ，由数轴可知 ，
即 ， ，解得 ，
的负整数值为 ．
20．（8分）（2022·湖北黄冈）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲
种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【答案】(1)买一份甲种快餐需 元，一份乙种快餐需 元(2)至少买乙种快餐37份
【分析】（1）设一份甲种快餐需 元，一份乙种快餐需 元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；
（2）设购买乙种快餐 份，则购买甲种快餐 份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求
解．
【解析】(1)解：设一份甲种快餐需 元，一份乙种快餐需 元，根据题意得，
解得
答：买一份甲种快餐需 元，一份乙种快餐需 元；
(2)设购买乙种快餐 份，则购买甲种快餐 份，根据题意得，
解得
至少买乙种快餐37份
答：至少买乙种快餐37份．
21．（8分）（2022·湖南邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念
品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的
进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【答案】(1)购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，利用总价=单价×数量，结合购买“冰
墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共180个且共花费11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即
可得出结论；（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用总价=单价×数
量，结合至少盈利2900元，即可得出关于m的不等式，解之即可得出结论．
【解析】 (1)解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得： ，解得： ，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
22．（12分）（2022·贵州黔东南）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两
种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天
搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器
人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人 台，购买总金额为 万元，请写出 与 的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)① ；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4
万元．
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后
根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为 台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得 ，然后可得 ，进而根据一次函数的性质可进行求解．
(1)
解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，
解得： ；
经检验： 是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)
解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为 台，
∴ ；
②由题意得： ，
解得： ，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为 ，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
