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专题 07 一元一次不等式（组）
不等 用不等符号连接起来的式子叫不等式
式的
定义
不 等 （1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
不
式 的 （2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变
等
基 本 （3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
式
性质
或
① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1.
组 解法
在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不
定义
等式组.
解法 先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
不等式组(a0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·成都市·八年级）某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（
）
A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33
4．对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点2】不等式的基本性质
【例3】下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则运用不等式的性质注意以下要点：
（1）“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷
阱.
（2）不等式的基本性质：
① 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变;
② 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;
③ 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
1．（2022·浙江杭州）已知a，b，c，d是实数，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏宿迁）如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南湘潭）若 ，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古包头）若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖南娄底市·八年级期末）由 得到 的条件是： ______0（填“ ”“ ”或“
”）．
【考点3】不等式（组）的解集
【例4】（2021·四川宜宾市）不等式2x﹣1＞1的解集是______．
【例5】解不等式组： ．确定不等式组解集和特殊解的方法。
（1）确定不等式组的解集，可以将各个不等式的解集在数轴表示出来。借助数轴定不等式组的解集
（2）求不等式组的特殊解，先要求出不等式组的解集，再在解集中寻求满足条件的解（口决法）。
1．（2022·甘肃武威）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江嘉兴）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2x15
3．（2020·浙江金华市·八年级期中）不等式组 84x0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广西北海市·八年级期末）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．5．（2021·河南长垣·模拟预测）已知关于x的不等式组为 ，则这个不等式组的解集为 _____．
6．（2022·湖南双峰·八年级期末）解不等式组， ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点4】含参不等式（组）
【例6】若关于 的不等式组 恰有2个整数解，且关于 ， 的方程组 也有整数
解，则所有符合条件的整数 的和为（ ）
A．-10 B．-7 C．-3 D．0
【例7】（2022·湖南邵阳）关于 的不等式组 有且只有三个整数解，则 的最大值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
确定不等式中某个参数的范围的方法
（1）已知的不等式中含有参数m，可以先进行化简，求出不等式组的解集，然后与已知解集比较，求出m
的取值范围
（2）当一元一次不等式组化简后未知数中含有参数时，可以通过比较已知解集列不等式或列为程来不确定参数的取值范围成值
（3）确定不等式中某个参数的范围时常常借助数轴，使数与形有机地结合起来，是解决此类问题的关键
1．（2022·山东泰安）已知方程 ，且关于x的不等式 只有4个整数解，那么b的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆一中八年级开学考试）若整数m使得关于x的不等式组 有且只有三个
整数解，且关于x，y的二元一次方程组 的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有m
的和为（ ）
A．27 B．22 C．13 D．9
3．（2022·重庆）关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的
解集为 ，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
4．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组 的解集为 ，那么 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
5．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
6．（2022·黑龙江绥化）不等式组 的解集为 ，则m的取值范围为_______．
7．（2022·四川达州）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【考点5】不等式的运用：方案
【例8】为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能
源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租
赁公司准备购买 、 两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：
汽车数量（单位：
辆） 总费用
方案
（单位：万元）
第一种购买方案 6 4 170
第二种购买方案 8 2 160
（1） 、 两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？
（2）为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对 、 两种型号的
新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获
得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．【例9】成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用．已知2
辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送46吨水泥，1辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运送28吨水泥．
（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？
（2）已知甲种货车每辆租金为450元，乙种货车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆货车．请求出租
用货车的总费用 （元）与租用甲种货车的数量 （辆）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5辆，请你为该企业设计如何租
车费用最少？并求出最少费用是多少元？
1．（2022·四川遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，
决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用
510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且
总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
2．雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家
园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所
示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
3．（2022·湖南洪江·八年级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市
看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进
价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千
克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购
买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
4．（2021·山东庆云·八年级期末）为了净化空气，美化校园环境，某学校计划种植 ， 两种树木．已知
购买 棵 种树木和 棵 种树木共花费 元；购买 棵 种树木和 棵 种树木共花费 元．
（1）求 ， 两种树木的单价分别为多少元（2）如果购买 种树木有优惠，优惠方案是：购买 种树木
超过 棵时，超出部分可以享受八折优惠．若该学校购买 （ ，且 为整数）棵 种树木花费 元，
求 与 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，该学校决定在 ， 两种树木中购买其中一种，且
数量超过 棵，请你帮助该学校判断选择购买哪种树本更省钱．【考点6】不等式的运用：最大利润
【例10】（2022·山东泰安）某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电
脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板
电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电
脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何
进货？
【例11】（2022·江苏苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
甲种水果质量 乙种水果质量（单 总费用（单位：
进货批次
（单位：千克） 位：千克） 元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果
共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩
余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
1．（2022·四川凉山）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和
《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某
班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买
5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2
倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
2．（2022·四川泸州）某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2件， 种农产品3件，
共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元．
(1) ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进 ， 两种农产品
共40件，且 种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照 种每件
160元， 种每件200元的价格全部售出，那么购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？3．（2022·四川南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进
价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
进价（元/件） 售价（元/件）
真丝衬衣 a 300
真丝围巾 80 100
(1)求真丝衬衣进价a的值．(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，
真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多
少元？(3)按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销
并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
4．（2022·四川德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的
十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000
元集中采购了 种树苗500株， 种树苗400株，已知 种树苗单价是 种树苗单价的1.25倍．(1)求 、
两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中 种树苗不
多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费
用是多少元？
