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专题 07 一元一次不等式（组）
不等 用不等符号连接起来的式子叫不等式
式的
定义
不 等 （1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
不
式 的 （2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变
等
基 本 （3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
式
性质
或
① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1.
组 解法
在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不
定义
等式组.
解法 先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
不等式组(a0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】主要依据不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式
子是不等式来判断．
【详解】解：根据不等式的定义可知，所有式子中是不等式的是②4x+5>0； ③x<3，有2个．故选：B．
3．（2022·成都市·八年级）某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（
）
A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33
【答案】D
【分析】已知某市最高气温和最低气温，可知该市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且
包括最高气温和最低气温．
【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间，
∴该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33；故选：D．
4．对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据不等式的解的含义把每个选项的数值代入不等式的左边进行计算，满足左边大于右边的是不
等式的解，不满足左边大于右边的就不是不等式的解，从而可得答案.
【详解】解：当x＝5时，4x+7（x-2）＝41＞8，当x＝4时，4x+7（x-2）＝30＞8，
当x＝3时，4x+7（x-2）＝19＞8，当x＝2时，4x+7（x-2）＝8．
故知x＝2不是原不等式的解．故A，B，C不符合题意，D符合题意，故选D
【考点2】不等式的基本性质
【例3】下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．【详解】解： 、若 ，则 ， 时不成立，此选项错误，符合题意；
B、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意；
C、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意；
D、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意．故选：A．
运用不等式的性质注意以下要点：
（1）“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷
阱.
（2）不等式的基本性质：
① 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变;
② 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;
③ 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
1．（2022·浙江杭州）已知a，b，c，d是实数，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．故选：A
2．（2022·江苏宿迁）如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得： ，故选项成立；
B、由x＜y可得： ，故选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故选项不成立；故选A.
3．（2022·湖南湘潭）若 ，则下列四个选项中一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
【详解】解：A．因为 ，不等边两边同时加上2得到 ，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为 ，不等边两边同时乘-3得到 ，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为 ，不等边两边同时除以4得到 ，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为 ，不等边两边同时减1得到 ，故原选项错误，此项不符合题意．故选：A．
4．（2022·内蒙古包头）若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都
乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴ ，故本选项符合题意；故选：D．
5．（2021·湖南娄底市·八年级期末）由 得到 的条件是： ______0（填“ ”“ ”或“
”）．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，两边同时除以c（c<0）即可得到．
【详解】根据不等式的性质：由 得到 的条件是：c<0，故答案为：<．
【考点3】不等式（组）的解集
【例4】（2021·四川宜宾市）不等式2x﹣1＞1的解集是______．
【分析】根据不等式的基本性质，解不等式即可．
【详解】解得：
故答案为： ．
【例5】解不等式组： ．
【答案】
【分析】分别求两个不等式的解集，然后求出公共的解集即可；
【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解为 ．
确定不等式组解集和特殊解的方法。
（1）确定不等式组的解集，可以将各个不等式的解集在数轴表示出来。借助数轴定不等式组的解集
（2）求不等式组的特殊解，先要求出不等式组的解集，再在解集中寻求满足条件的解（口决法）。
1．（2022·甘肃武威）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即
可得出答案．
【详解】解：3x-2＞4，
移项得：3x＞4+2，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2．故选：C．
2．（2022·浙江嘉兴）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：3x＋1＜2x 解得：
在数轴上表示其解集如下：
故选B
2x15
3．（2020·浙江金华市·八年级期中）不等式组 84x0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
【详解】解： ，解不等式①得x≥3，解不等式②得x＞2，
所以不等式组的解集为x≥3，在数轴表示为： ，答案选C．
4．（2021·广西北海市·八年级期末）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ；数轴见解析
【分析】根据一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1，即可得到 的范
围，再把所得的 的范围在数轴上表示出来即可．【详解】 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为 ，得 ．
在数轴上表示此不等式的解集如图：
5．（2021·河南长垣·模拟预测）已知关于x的不等式组为 ，则这个不等式组的解集为 _____．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解： ，解不等式①，得x≤﹣ ，解不等式②，得x ，
所以不等式组的解集是x ，故答案为：x ．
6．（2022·湖南双峰·八年级期末）解不等式组， ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解．
【详解】解： ，解不等式①得： ，解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，把解集在数轴上表示出来如下图：【考点4】含参不等式（组）
【例6】若关于 的不等式组 恰有2个整数解，且关于 ， 的方程组 也有整数
解，则所有符合条件的整数 的和为（ ）
A．-10 B．-7 C．-3 D．0
【答案】B
【分析】先解不等式组求出 的取值范围，再解方程组，结合 的取值范围求出 满足不等式组恰有 个
整数解，方程组也有理数解的值，然后再求出所有符合条件的整数 的和即可．
【详解】解：不等式组 ，
由①得 ，
由②得 ，
不等式组的解是 ．
不等式组恰有 个整数解，
．
，
解方程组 得: ．
关于 ， 的方程组 也有整数解，
∴m+3为4的因数，即m+3=±1或±2或±4，
∵ ，的值为： 、 、 ，
所有符合条件的整数 的和为 ．
故选：B．
【例7】（2022·湖南邵阳）关于 的不等式组 有且只有三个整数解，则 的最大值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为 ，根据不等式组有且只有三个整数
解的条件计算出 的最大值．
【详解】解不等式 ， ，
∴ ，∴ ，解不等式 ，得 ，∴ ，
∴ 的解集为 ，∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，∴ 的最大值应为5故选：C．
确定不等式中某个参数的范围的方法
（1）已知的不等式中含有参数m，可以先进行化简，求出不等式组的解集，然后与已知解集比较，求出m
的取值范围
（2）当一元一次不等式组化简后未知数中含有参数时，可以通过比较已知解集列不等式或列为程来不确
定参数的取值范围成值
（3）确定不等式中某个参数的范围时常常借助数轴，使数与形有机地结合起来，是解决此类问题的关键
1．（2022·山东泰安）已知方程 ，且关于x的不等式 只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围
即可．
【详解】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，
分解因式得：（a-4）（a+1）=0，解得：a=-1或a=4，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，
当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜4．故选：D．
2．（2022·重庆一中八年级开学考试）若整数m使得关于x的不等式组 有且只有三个
整数解，且关于x，y的二元一次方程组 的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有m
的和为（ ）
A．27 B．22 C．13 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集为 ，根据不等式组有且只有三个整数解，可得 ，再解出方
程组，可得 ，再根据x，y均为整数，可得 取 ，即可求解．
【详解】
解：
解不等式①，得： ，解不等式②，得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴ ，
解得： ，
∵m为整数，
∴ 取5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，
，解得： ，
∴当 取 时，x，y均为整数，
∴符合条件的所有m的和为 ．
故选：A
3．（2022·重庆）关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的
解集为 ，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个
范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得： 解得：
又题意得： 且 ∴ 且 ，
由 得： 由 得：
∵解集为 ∴ 解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A．4．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组 的解集为 ，那么 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可.
【详解】
∵ ，
解①得x＞2，解②得x＞m，
∵不等式组 的解集为 ，根据大大取大的原则，
∴ ，
故选A.
5．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，
即可求解．
【详解】
解：解不等式 得，
，解不等式 得，
，
∵该不等式组无实数解，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
6．（2022·黑龙江绥化）不等式组 的解集为 ，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解： ，
解①得： ，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
7．（2022·四川达州）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，
根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组有解,∴不等式组的解集为： ，
不等式组 恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
，解得 ．答案为： ．
【考点5】不等式的运用：方案
【例8】为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能
源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租
赁公司准备购买 、 两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：
汽车数量（单位：
辆） 总费用
方案
（单位：万元）
第一种购买方案 6 4 170
第二种购买方案 8 2 160
（1） 、 两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？
（2）为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对 、 两种型号的
新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获
得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
【答案】(1) 型号新能源汽车每辆的价格是15万元， 型号新能源汽车每辆的价格是20万元
(2)共有三种购车方案，方案一：购买 型号新能源汽车4辆，则购买 型号新能源汽车6辆；方案二：购
买 型号新能源汽车5辆，则购买 型号新能源汽车5辆；方案三：购买 型号新能源汽车6辆，则购买
型号新能源汽车4辆
【分析】（1）设A种型号的新能源汽车每辆的价格为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的价格为y万元，
根据总价=单价×数量结合汽车厂商提供的两种购买方案，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论；（2）设该汽车租赁公司购进A种型号的新能源汽车a辆，则购进B种型号的新能源汽车（10-
a）辆，根据国家补贴资金不少于34万元及公司需要支付资金不超过145万元，即可得出关于a的一元一
次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数即可得出各购买方案．
【详解】(1)设 型号新能源汽车每辆的价格是 万元， 型号新能源汽车每辆的价格是 万元.由题意得： 解得： .
型号新能源汽车每辆的价格是15万元， 型号新能源汽车每辆的价格是20万元.
(2)设购买 型号新能源汽车 辆，则购买 型号新能源汽车 辆.
由题意得： 解得： .
∵a是整数，∴a=4，5或6∴共有三种购车方案
方案一：购买 型号新能源汽车4辆，则购买 型号新能源汽车6辆
方案二：购买 型号新能源汽车5辆，则购买 型号新能源汽车5辆
方案三：购买 型号新能源汽车6辆，则购买 型号新能源汽车4辆
【例9】成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用．已知2
辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送46吨水泥，1辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运送28吨水泥．
（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？
（2）已知甲种货车每辆租金为450元，乙种货车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆货车．请求出租
用货车的总费用 （元）与租用甲种货车的数量 （辆）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5辆，请你为该企业设计如何租
车费用最少？并求出最少费用是多少元？
【答案】(1)甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥
(2)
(3)租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元
【分析】
（1）设甲种货车一次原装 吨水泥，乙种货车一次能装 吨水泥，依题意列出二元一次方程组，故可求解；
（2）根据甲种货车有 辆，则乙种货年有 辆，即可列出函数关系；
（3）先根据题意求出a的取值，再根据一次函数的性质即可求解．
【详解】(1)解：设甲种货车一次原装 吨水泥，乙种货车一次能装 吨水泥，由题意得，
，解得 ，
∴设甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥．
(2)解：∵甲种货车有 辆，∴乙种货年有 辆．(3)解： ，
，
， ，
随 的增大而增大，
∴当 时，
有
（元）
∴租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元．
1．（2022·四川遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，
决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用
510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且
总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元
(2)学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：
篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，
可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球
数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解析】 (1)解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得： ，解得 ，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
(2)解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个，∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴ ，解得30≤x≤33 ，
∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33，∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
2．雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家
园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所
示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
【分析】（1）根据需要丙型车的辆数＝（需要运送物质的总重量﹣甲型汽车运送货物的总重量﹣丙型汽
车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即
可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，根据一次正好运送货物120吨，
即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再
分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）（120﹣5×8﹣8×4）÷10＝4（辆）．
故答案为：4．
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，
{ 5x+8 y=120
依题意，得： ，
400x+500 y=8200
{ x=8
解得： ．
y=10答：需要甲型车8辆、乙型车10辆．
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，
依题意，得：5m+8n+10（14﹣m﹣n）＝120，
5
∴n＝10− m．
2
又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，
{m=0 {m=2 {m=4
∴ 或 或 ，
n=10 n=5 n=0
∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，
7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．
方案1所需运费为500×10+600×4＝7400（元）；
方案2所需运费为400×2+500×5+600×7＝7500（元）；
方案3所需运费为400×4+600×10＝7600（元）．
∵7400＜7500＜7600，
∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．
3．（2022·湖南洪江·八年级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市
看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进
价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千
克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购
买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
【答案】(1) 的值为10， 的值为14
(2)共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，
41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜
【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用=430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬
菜8千克的费用=212元，再列二元一次方程组解答；
（2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解．
【详解】(1)解：依题意，得： ，解得： ．
答： 的值为10， 的值为14．(2)解：依题意，得： ，解得： ．
又∵x为正整数，∴ 可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，
41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
4．（2021·山东庆云·八年级期末）为了净化空气，美化校园环境，某学校计划种植 ， 两种树木．已知
购买 棵 种树木和 棵 种树木共花费 元；购买 棵 种树木和 棵 种树木共花费 元．
（1）求 ， 两种树木的单价分别为多少元（2）如果购买 种树木有优惠，优惠方案是：购买 种树木
超过 棵时，超出部分可以享受八折优惠．若该学校购买 （ ，且 为整数）棵 种树木花费 元，
求 与 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，该学校决定在 ， 两种树木中购买其中一种，且
数量超过 棵，请你帮助该学校判断选择购买哪种树本更省钱．
【答案】（1） 种树木的单价为80元， 种树木的单价为72元；（2） ；（3）当
时，选择购买 种树木更省钱；当 时，选择购买两种树木的费用相同；当 时，选
择购买 种树木更省钱．
【分析】（1）设 种树每棵 元， 种树每棵 元，根据“购买20棵 种树木和15棵 种树木共花费
2680元；购买10棵 种树木和20棵 种树木共花费2240元”列出方程组并解答；
（2）分 ， 两种情况根据（1）求出的单价即可得 与 之间的函数关系式；
（3）根据 种树的单价和（2）求得的函数关系式进行解答即可．
【详解】解：（1）设 种树木的单价为 元， 种树木的单价为 元．
根据题意，得 ，解得： ，
答： 种树木的单价为80元， 种树木的单价为72元；
（2）根据题意得，当 时， ；
当 时， ，
与 之间的函数关系式为 ；
（3）当 时，解得： ，即当 时，选择购买 种树木更省钱；
当 时，解得： ，即当 时，选择购买两种树木的费用相同；当 时，解得： ，即当 时，选择购买 种树木更省钱．
答：当 时，选择购买 种树木更省钱；当 时，选择购买两种树木的费用相同；当
时，选择购买 种树木更省钱．
【考点6】不等式的运用：最大利润
【例10】（2022·山东泰安）某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电
脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板
电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电
脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何
进货？
【答案】(1)A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元
(2)为使利润最大，购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【分析】（1）设A和B的进价分别为x和y，台数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可．
（2）设购买B平板电脑a台，则购进A种平板电脑 台，由题意可得到不等式组，解不等式
组即可．
【解析】(1)设A、B两种平板电脑的进价分别为x元、y元．由题意得， ，
解得 ，答：A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；
(2)设商店准备购进B种平板电脑a台，则购进A种平板电脑 台，
由题意，得 ，解得12.5≤a≤15，
∵a为整数，∴a=13或14或15．
设总利润为w，则：w=（700-500）× +（1300-1000）a=-100a+12000，
∵-100＜0，∴w随a的增大而减小，∴为使利润最大，该商城应购进B种平板电脑13台，A种平板电脑 ＝34台．
答：购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【例11】（2022·江苏苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
甲种水果质量 乙种水果质量（单 总费用（单位：
进货批次
（单位：千克） 位：千克） 元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果
共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩
余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售
出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
(2)正整数m的最大值为22
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系
式，根据一次函数的性质判断即可．
【解析】 (1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得 解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进 千克乙种水果，
根据题意，得 ．解这个不等式，得 ．
设获得的利润为w元，根据题意，得
．
∵ ，∴w随x的增大而减小．
∴当 时，w的最大值为 ．
根据题意，得 ．解这个不等式，得 ．
∴正整数m的最大值为22．
1．（2022·四川凉山）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和
《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某
班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买
5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2
倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【答案】(1) 型羽毛球拍的单价为40元， 型羽毛球拍的单价为32元(2)最省钱的购买方案是采购20副
型羽毛球拍，10副 型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见解析
【分析】（1）设 型羽毛球拍的单价为 元， 型羽毛球拍的单价为 元，根据“购买3副 型羽毛球拍
和4副 型羽毛球拍共需248元；购买5副 型羽毛球拍和2副 型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解
方程组即可得；（2）设该班采购 型羽毛球拍 副，购买的费用为 元，则采购 型羽毛球拍 副，
结合（1）的结论可得 ，再根据“ 型羽毛球拍的数量不少于 型羽毛球拍数量的2倍”求出
的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．
【解析】 (1)解：设 型羽毛球拍的单价为 元， 型羽毛球拍的单价为 元，
由题意得： ，解得 ，
答： 型羽毛球拍的单价为40元， 型羽毛球拍的单价为32元．
(2)解：设该班采购 型羽毛球拍 副，购买的费用为 元，则采购 型羽毛球拍 副，
由（1）的结论得： ，
型羽毛球拍的数量不少于 型羽毛球拍数量的2倍，
，解得 ，在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
此时 ，答：最省钱的购买方案是采购20副 型羽毛球拍，10副 型羽毛球拍；最少费用为1120元．
2．（2022·四川泸州）某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2件， 种农产品3件，
共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元．
(1) ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进 ， 两种农产品
共40件，且 种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照 种每件
160元， 种每件200元的价格全部售出，那么购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】(1)A每件进价120元，B每件进价150元；
(2)A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
【分析】（1）根据“购进 种农产品2件， 种农产品3件，共需690元；购进 种农产品1件， 种农
产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【解析】 (1)设A每件进价x元，B每件进价y元，
由题意得 ，解得： ，
答：A每件进价120元，B每件进价150元；
(2)设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得，
解得 ，
设利润为y元，则 ，
∵y随a的增大而减小，
∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×200=1800，
答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
3．（2022·四川南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进
价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
进价（元/件） 售价（元/件）
真丝衬衣 a 300
真丝围巾 80 100
(1)求真丝衬衣进价a的值．(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多
少元？(3)按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销
并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【答案】(1)a=260；(2)真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
(3)每件最多降价28元．
【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总利润为
y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出；
（3）设降价z元，根据题意列出不等式求解即可．
【解析】 (1)解：根据表格数据可得：50a+25×80=15000，解得：a=260；
(2)解：设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，
根据题意可得：300-x≥2x，解得：x≤100；
设总利润为y，根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000，
∵20>0，∴y随x的增大而增大，
当x=100时，y最大为：20×100+6000=8000元，
此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
(3)设降价z元，根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%，
解得：z≤28，∴每件最多降价28元．
4．（2022·四川德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的
十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000
元集中采购了 种树苗500株， 种树苗400株，已知 种树苗单价是 种树苗单价的1.25倍．(1)求 、
两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中 种树苗不
多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费
用是多少元？
【答案】(1) 种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元
(2)有6种购买方案，购买 种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【分析】（1）设 种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了
种树苗500株， 种树苗400株，”列出方程，即可求解；（2）设购买 种树苗a棵，则购买B种树苗
（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得 ，从而得到有6种购买方案，
然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解．【解析】(1)解：设 种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：
，解得： ，∴1.25x=5，
答： 种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；
(2)解：设购买 种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：
，解得： ，
∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25，∴有6种购买方案，
设总费用为w元，∴ ，∵-1＜0，∴w随a的增大而减小，
∴当a=25时，w最小，最小值为475，此时100-a=75，
答：有6种购买方案，购买 种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
