专题05一元二次方程-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 05 一元二次方程 一元二次方程是中学数学重要的重点知识，中考中多以选择题、填空题、简单的解一元二次方程及其 应用题和渗透在大题中的形式计算问题出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌 握一元二次方程的概念及其解法，根的判别式，尤其是二次三项式的因式分解，一元二次方程的实际应用 更是中考的热点，难度系数中等。主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想 等。 第 1 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做 一元二次方程。 一般形式： ax2 bxc0(a 0)。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。、 【注意】 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。 一、单选题 1．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） 1 A．x2﹣1=0 B．x2 + +3=0 C．x2 + 2x +1=0 D．3x2 + 2x +1=0 x 2．一元二次方程2y273y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7 3．关于x的一元二次方程ax2﹣5ax+4＝0，有一个根为1．则a的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能确定 4．若m是关于x的一元二次方程x2x10的根，则32m22m的值是（ ） A．2 B．1 C．4 D．5 5．小刚在解关于x的方程ax2bxc0a0时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他 核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等 的实数根 6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+1k=0进行了讨论： 4 甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当k≥-1时，该方程有实数根； 丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根． A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对 第 2 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 二、填空题 7．若关于x的方程x2k 0有两个不相等的实数根，则k的值可以是______．（写一个即可） 8．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x28xm0的两个根，则m的值为 _______． 9．已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__． 二、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如 (xa)2 b的一元二次方程.根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xa   b ， x  a b，当b<0时，方程没有实数根. （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛 的应用.配方法的理论根据是完全平方公式a2 2abb2 (ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代 替，则有x2 2bxb2 (xb)2. （3）公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法. b b2 4ac 一元二次方程ax2 bxc 0(a  0)的求根公式：x  (b2 4ac0) 1,2 2a （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常 用的方法. 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2 bxc 0(a  0)中，b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bxc 0(a  0)的根 的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的 第 3 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 值；③计算b2 4ac的值；④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况. 5. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程ax2 bxc 0  a  0  中， （1）方程有两个不相等的实数根  b2 4ac﹥0； （2）方程有两个相等的实数根  b2 4ac=0； （3）方程没有实数根  b2 4ac﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 b2 4ac≥0. 一、单选题 1．若关于x的方程m1xm21x30是一元二次方程，则m的值（ ） A．0 B．1 C．1 D．1或1 2．用直接开平方的方法解方程(3x1)2 (2x5)2，做法正确的是（ ） A．3x12x5 B．3x1(2x5) C．3x1(2x5) D．3x12x5 3．如果关于x的方程x42 m1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A．m1 B．m 1 C．m1 D．m1 4．用配方法解方程3x26x10，则方程可变形为（ ） 1 1 2 A．(x3)2  B．3(x1)2  C．(3x1)2 1 D．(x1)2  3 3 3 5．三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程2x2 13x150的根，则该三角形的周长为（ ） 13 25 13 A． B．10 C． D． 或10 2 2 2 6．在公式法解方程 2x24 3x2 2时，b24ac的值是（ ） A．16 B．4 C．32 D．64 7．若方程(m2)x|m|2x10是一元二次方程，则方程的根是（ ） 第 4 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 5 1 5 51  51 A．x  ,x  B．x  ,x  1 2 2 2 1 4 2 4 1 5 1 5 C．x  ,x  D．以上答案都不对 1 2 2 2 8．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x27x120的两个实数根，则该直角三角形斜边 上的高为（ ） A．3 B．4 C．2.5 D．2.4 9．若实数x满足方程(x22x)(x22x2)150，那么x22x的值为（ ） A．3或5 B．5 C．3 D．3或5 10．对于一元二次方程ax2bxc0a0，下列说法： ①若abc0，则b24ac0； ②若方程ax2c0有两个不相等的实根，则方程ax2bxc0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2bxc0的一个根，则一定有acb10成立； ④若x 是一元二次方程ax2bxc0的根，则b24ac2ax b2 0 0 其中正确的：（ ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程x26xc0配方后得到方程(x3)2=2c，则c的值为_____． 12．在实数范围内分解因式：2x24x3___________． 13．关于x的一元二次方程m2x22m1x20的根的判别式的值等于4，则m______． 14．已知整数m满足0m13，如果关于x的一元二次方程x2(2m1)xm22m0的根为有理数，则m 的值为______． 15．将关于x的一元二次方程x2 pxq0变形为x2  pxq，就可以将x2表示为关于x的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，又如x3 xx2 xpxq…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以 化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2x10，且x0．则x4 2x33x的值为_______． 16．有下列3个命题： ①方程x2  2 3  x 60的根是 2和 3． 9 ②在  ABC中，ACB90，CD AB于D．若AD4，BD ，则CD3． 4 k ③点Px,y的坐标x，y满足x2y22x2y20，若点P也在y 的图象上，则k 1． x 上述3个命题中，真命题的序号是______． 第 5 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 三、解答题 17．解方程：4x22 3x10 18．解下列一元二次方程： (1)x28x90 (2)3x26x10 19．解下列方程： (1)2x24x10（配方法）； (2)2x26x30（公式法）； (3)x22x8（适当的方法）； (4)x62 26x（适当的方法）； 20．已知关于x的一元二次方程x2k4x3k 0． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于0，求k的取值范围． 21．已知 ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x22(n1)xn22n0的两个根，第三边  BC的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时， ABC为等腰三角形？  三、 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：  “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；  “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；  “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。  “解”就是求出说列方程的解；  “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 四、二次三项式ax2 bxc的因式分解 ax2 bxc 0(a  0)  方法探究：如果方程 有两个实数根: x = b b2 4ac 、x =b b2 4ac ，那么写出代数式a(xx )(xx )得 1 2 1 2 2a 2a a(xx)(xx )ax2(x x )xx x  1 2  1 2 1 2 因为x x = b b2 4ac +b b2 4ac =－ b 1 2 2a 2a a 第 6 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) c x x  b b2 4ac · b b2 4ac = 1 2 2a 2a a a(xx)(xx )ax2(x x )xx x  1 2  1 2 1 2  b c =a x2( )x    a a =ax2bxc 上面等式，从右到左就是把ax2+bx+c分解因式.把二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)分解因式时, ① 如果b2-4ac≥0,那么先用公式法求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x 、x ， 1 2 再写出分解式ax2 bxca(xx )(xx ) 1 2 ②如果b2-4ac<0，那么方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax2+bx+c在实数范围内不能分 解因式. 一、单选题 1．某区今年7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均 每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为（ ） A．1201x2 450 B．1201201x2 450 C．1201x1201x2 450 D．1201201x1201x2 450 2．如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙， 另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ） 1 1 A．x(552x)375 B． x(552x)375 C． x(55x)375 D．x(55x)375 2 2 3 3．如图，矩形相框长为8cm宽为4cm，四周的边框宽相等，且照片的面积占总面积的 ，设四周边框的宽 4 是xcm，根据题意可列方程为（ ） 第 7 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 3 A．8x4x2 84 B．82x42x 84 4 4 1 3 C．82x42x 84 D．848x4x4x2  84 4 4 4．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数为是（ ） A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 5．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传 染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ） A．12x8 B．1xx1x81 C．1xx2 81 D．1x2 8 6．一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ） A．25 B．36 C．25或36 D．64 7．如果关于x的二次三项式ax23x4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（ ） 9 9 9 9 A．0a B．a C．a D．a 且a0 16 16 16 16 8．如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖 1 面面积的 ，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（ ） 5 4 A．35x23x 2335 B．35x23x2x2 2335 5 1 C．35x23x 2335 D．35x23x2335 5 9．某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现 准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部 门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x(x60)元，现在预算销售这种口罩每周要获 得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 二、填空题 第 8 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 10．若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形比原正方形面积多14cm2，设原正方 形的边长为x，则可列方程为____________． 11．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面 积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？设镜框边的宽度为x厘米，列方程并化为一般形式为：_______． 12．关于x的方程x2 pxq0的根的判别式是_____________． 1 3 13．已知方程xax40和方程 x2 x20的解完全相同，则a__________． 2 2 14．在实数范围内因式分解：2x2y23xy1__________ 15．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共 有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． 三、解答题 16．一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今年每台售价为12150元，每年降价 的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 17．2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰 赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支 球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共 有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？ 18．如图所示，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱色围成一个面积为96平方米的长方形ABCD， 中间用篱笆分隔出两个小长方形，每个长方形隔出一个1米长的门，总共用去34米长的篱笆，求AB的长 度？ 19．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂 及时引进了一条口罩生产线生产口罩．经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生 产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时 又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 2k x kx1 20．关于x的方程   只有一个实数根，求：k的值． x1 x2x x 21．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影 部分），余下的场地建成草坪． 第 9 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路． ①请写出两条小路的面积之和S______（用含a、b的代数式表示）； ②若a:b2:1，且草坪的总面积为312m2，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ (2)如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为 常数），若a28，b14，且草坪的总面积为120平方米，求mn的值． 一、单选题 1．（2022·上海金山·统考二模）下列对一元二次方程x230根的情况判断，正确的是（ ） A．两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2018·上海青浦·统考二模）方程x24x10配方后所得的方程是（ ） A．(x2)2 3 B．(x2)2 3 C．(x2)2 3 D．(x2)2 3 3．（2020·上海宝山·校考三模）常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第 一季度的总利润是（ ） A．（1＋10％）2万元： B．（1＋10％）10％万元： C．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元： D．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元． x x1 x 4．（2019·上海金山·统考二模）用换元法解方程：  20时，如果设  y，那么将原方程变 x1 x x1 形后表示为一元二次方程一般形式的是（ ） 1 2 A．y 20 B．y 10 C．y22y10 D．y2y20 y y 二、填空题 5．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数 根，则实数k的取值范围是__． 6．（2020·上海闵行·校联考一模）已知f（x）＝2x2﹣1，且f（a）＝3，那么a＝_____． 7．（2019·上海闵行·统考一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于_____． 三、解答题 8．（2021·上海静安·统考二模）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发 部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了 40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？ 9．（2020·上海闵行·校联考一模）某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元， 第 10 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年， 每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？ 10．（2019·上海普陀·统考二模）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨 的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图像如图所示． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量； （3）当生产这种产品的总成本是200万元时，求该产品的生产数量． 第 11 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 12 页 共 12 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司