文档内容
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编
专题 04 锐角三角比
一．选择题（共19小题）
1．（黄浦区）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答
案．
【解答】解：如图：
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ，
所以sinA＝ ＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ，cotA＝ ＝
，
所以只有选项D正确，选项A、B、C都错误．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关
键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝
，cotA＝ ．
2．（徐汇区）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的正弦值的定义解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
则sinA＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解
题的关键．
3．（虹口区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，那么cotB等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用余切的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，
∴cotB＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解决此类问题的
关键．
4．（普陀区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知sinA＝ ，下列结论正确的是（ ）
A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．cotB＝
【分析】根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答即可．
【解答】解：∵sinA＝cos（90°﹣A），
∴sinA＝cosB，
∵sinA＝ ，
∴cosB＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握互余两角的三角函数的关系是解题的关键．
5．（松江区）已知sinα＝ ，那么锐角α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据sin60°＝ 解答．
【解答】解：∵sin60°＝ ，
∴∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．（松江区）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（
）
A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则cosA＝ ＝ ，
∴b＝ccosA，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余
弦是解题的关键．7．（长宁区）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝c，那么BC的长为（ ）
A．c•sinα B．c•tanα C． D．c•cotα
【分析】根据锐角三角函数的正弦值计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝ ，
∴BC＝c•sinα
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解
题的关键．
8．（金山区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，那么 的值等于（ ）
A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，sinA＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余
切是解题的关键．
9．（崇明区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，那么cosB的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据勾股定理求出BC的长，然后进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，
∴BC＝ ＝ ＝ ，
∴cosB＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是
解题的关键．
10．（青浦区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cotA等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的余切定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cotA＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余
切的概念是解题的关键．11．（嘉定区）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，
∴AB＝ ＝ ＝2 ，
∴tanA＝ ＝ ＝ ，
cotA＝ ＝3，
sinA＝ ＝ ＝ ，
cosA＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余
切是解题的关键．
12．（宝山区）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．CD＝AB•tanB B．CD＝AD•cotA C．CD＝AC•sinB D．CD＝BC•cosA
【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．
【解答】解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴△ACD、△BCD都是直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵CD＝sinA•AC＝tanA•AD＝ ，故选项B不正确；
在Rt△BCD中，
∵CD＝sinB•BC＝tanB•BD，故选项A、C不正确．
在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B＝90°，
∴cosA＝sinB．
∴CD＝sinB•BC＝cosA•BC，故选项D正确．
故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
13．（杨浦区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么AB等于（ ）
A．sinα B．cosα C． D．
【分析】在Rt△ABC中，根据∠A的余弦即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，
那么：cosA＝ ＝ ，
∴AB＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦和正切的区别是解题的关键．
14．（浦东新区）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为
1.5米，那么旗杆的高为（ ）米．
A．20cotα B．20tanα C．1.5+20tanα D．1.5+20cotα
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．
【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，
故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题
的关键．
15．（静安区）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
A．0＜sin A＜ B．0＜cosA＜ C． ＜tanA＜1 D．1＜cotA＜
【分析】根据30°的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性判断即可．
【解答】解：A．∵sin30°＝ ，
∴0＜sin25°＜ ，故A符合题意；
B．∵cos30°＝ ，
∴cos25°＞ ，
故B不符合题意；
C．∵tan30°＝ ，
∴tan25°＜ ，
故C不符合题意；
D．∵cot30°＝ ，
∴cot25°＞ ，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角
函数的增减性是解题的关键．
16．（奉贤区）如果直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为锐角α，那么下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设点A是直线上的点，则设点A（m，2m），过点A作AH⊥x轴于点H，则AH＝2m，
OH＝m，即可求解．
【解答】解；由y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，
如图，设点A是直线上的点，则设点A（m，2m），
过点A作AH⊥x轴于点H，则AH＝2m，OH＝m，
所以OA＝ ＝ m，
则sinα＝ ＝ ＝ ，
cosα＝ ＝ ＝ ，
tanα＝ ＝ ＝2，cotα＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，设点A的坐标是本题解题的关键．
17．（徐汇区）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，那么小丽
在地面点B处观察空中点A处的仰角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．
【解答】解：因为从点A看点B的俯角与从点B看点A的仰角互为内错角，大小相等．
所以无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，
小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是50°．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯
角的定义．
18．（嘉定区）在△ABC中，AB＝AC＝10， ，那么BC的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，然后放在Rt△ABD中，
进行计算即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AB＝10， ，
∴BD＝ABcosB＝10× ＝4，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握利用等腰三角形的三线合
一添加辅助线是解题的关键．
19．（奉贤区）在△ABC中，AB＝2 ，∠BAC＝30°．下列线段BC的长度不能使△ABC的形状
和大小都确定的是（ ）
A．2 B．4 C． D．【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H．判断出当BC＝ 或BC≥2 时，三角形唯一确定，
即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H．
在Rt△ABH中，BH＝ AB＝ ，
观察图形可知，当BC＝ 或BC≥2 时，三角形唯一确定，
故BC＝2时，三角形不能唯一确定，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，判断出三角
形唯一确定的BC的范围，属于中考常考题型．
二．填空题（共26小题）
20．（浦东新区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，则∠B＝ 30° ．
【分析】在Rt△ABC中求出tanB＝ ＝ ＝ ，即可得出∠B＝30°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，
∴tanB＝ ＝ ＝ ，
∴∠B＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数定义，特殊角的三角函数值，根据正切函数定
义求出tanB的值是解题的关键．
21．（青浦区）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝ 6 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，
∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解
题的关键．
22．（青浦区）如图，如果小华沿坡度为 的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为 4 米．
【分析】根据斜坡AB的坡度求出坡角，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：设斜坡AB的坡角为α，
∵斜坡AB的坡度为1： ，
∴tanα＝ ＝ ，
∴α＝30°，
∴他实际上升的高度＝ AB＝ ×8＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、坡度与坡角
之间的关系是解题的关键．
23．（徐汇区）小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了13米，到达距离地面5
米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i＝ 5 ： 1 2 ．
【分析】根据勾股定理求出小明移动的水平距离，根据坡度的概念计算即可．
【解答】解：由勾股定理得：小明移动的水平距离为： ＝12（米），
则该自动扶梯的坡度i＝5：12，
故答案为：5：12．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h
和水平宽度l的比是解题的关键．
24．（黄浦区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果 ，那么∠B＝ 60° ．
【分析】根据∠B的正弦值即可判断．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果 ，
那么sinB＝ ，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
25．（黄浦区）已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i＝
： 3 ．
【分析】根据题意求出坡角，根据坡度的概念计算即可．
【解答】解：∵小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，
∴坡角为30°，∴山坡的坡度i＝tan30°＝ ：3，
故答案为： ：3．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h
和水平宽度l的比是解题的关键．
26．（嘉定区）在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3：4，那么sin∠BAC＝ ．
【分析】先根据题意画出图形，设AC＝6x，BD＝8x，然后根据菱形的对角线互相垂直且平分
可得出菱形的边长，进而在RT△BAO中可求出sin∠BAC＝的值．
【解答】解：如图，
设AC＝6x，BD＝8x，
则AO＝3x，OB＝4x，
∴AB＝ ＝5x，
在RT△BAO中，sin∠BAC＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题需要用到的
知识点为：菱形的对角线互相垂直且平分．
27．（嘉定区）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α＝30°，如
果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度AB等于 千米．（结
果保留根号）
【分析】根据平行线的性质可求出∠C的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝ BC＝ ×6＝2 （米），即飞机离地面的高度AB等于2 米，
故答案为：2 ．．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形
的性质是解答此题的关键．
28．（宝山区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果 ，那么sinA的值是 ．
【分析】根据题意设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进
行计算即可．
【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，
可设AC＝3k，则BC＝4k，
由勾股定理可得，AB＝ ＝5k，
∴sinA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答
的关键．
29．（浦东新区）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半
轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 ．
【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：过P作PA⊥x轴于A，
∵P（3，4），
∴PA＝4，OA＝3，由勾股定理得：OP＝5，
∴α的余弦值是 ＝ ，
过答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
30．（浦东新区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝ ，则
BC的长是 4 ．
【分析】延长CG交AB于D，根据重心定义可得点D为AB的中点，作DE⊥BC于E，由点G是
△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD＝3，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
DC＝DB，又DE⊥BC，根据等腰三角形的性质求得CE＝BE＝ BC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，延长CG交AB于D，则点D为AB的中点，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，CG＝2，
∴GD＝ CG＝1，CD＝CG+GD＝3，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，
∴DC＝DB，
又DE⊥BC，
∴CE＝BE＝ BC，
∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ACG＝∠CDE，
∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝ ＝ ，
∴CE＝2，
∴BC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形与等
腰三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到
对边中点的距离的2倍是解题的关键．
31．（奉贤区）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝6，那么AB的长是 8 ．
【分析】利用直角三角形的边角间关系，可得结论．【解答】解：∵sinA＝ ＝ ，BC＝6，
∴AB＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
32．（普陀区）如图，在△ABC中，∠A＝90°，斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、
E，如果cosB＝ ，AB＝7，那么CD的长等于 ．
【分析】根据cosB＝ ，AB＝7，求出BC＝8，则BE＝4，BD＝ ，再根据CD＝BD，即可求出
CD．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，cosB＝ ，AB＝7，
∴BC＝AB÷cosB＝7 ＝8，
∵斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，
∴BE＝ BC＝4，
∴CD＝BD＝BE÷cosB＝4 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
33．（金山区）在直角坐标平面内有一点A（1，2），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹
角为α，那么cotα的值为 ．
【分析】作AM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【解答】解：作AM⊥x轴于点M，
则cotα＝ ＝ ．
故答案为： ．【点评】本题考查了坐标与图形性质，解直角三角形，用到的知识点为：一个角的余切值等
于它所在直角三角形的邻边与对边之比．
34．（金山区）如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为i＝1：2.4，它把物品从地面A送到离
地面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为 1 3 米．
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝12米，
由勾股定理得，AB＝ ＝ ＝13（米），
故答案为：13．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h
和水平宽度l的比是解题的关键．
35．（静安区）如果在A点处观察B点的仰角为α，那么在B点处观察A点的俯角为 α ．
（用含α的式子表示）
【分析】根据题目的已知条件画出图形即可解答．
【解答】解：如图：A、B两点的水平线分别为AM、BN，
由题意得：AM∥BN，∠BAM＝α，
∴∠ABN＝∠BAM＝α，
∴如果在A点处观察B点的仰角为α，那么在B点处观察A点的俯角为α，故答案为：α．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件画出图形去
分析是解题的关键．
36．（宝山区）如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1
米，斜坡AB的坡度＝1：1.5，那么路基的下底宽BC是 6 米．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据矩形的性质求出EF，根据坡度的
概念求出BE、FC，计算即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
则四边形AEFD为矩形，
∴EF＝AD＝3米，AE＝DF＝1米，
∵坡AB的坡度＝1：1.5，
∴BE＝1.5米，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴FC＝BE＝1.5米，
∴BC＝BE+EF+FC＝1.5+3+1.5＝6（米），
故答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
37．（崇明区）某滑雪运动员沿着坡比为1： 的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直
高度为 5 0 米．
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了 x米．
根据勾股定理可得：x2+（ x）2＝1002．
解得：x＝50，
即它距离地面的垂直高度下降了50米．
故答案为：50．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题的关键是用同一未知数表示出下降高度和水
平前进距离．
38．（青浦区）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶
点上，那么sin∠AOB的值为 ．【分析】要求sin∠AOB的值，想到把∠AOB放在直角三角形中，所以过点B作BD⊥AO，垂足
为D，然后利用等面积法求出BD即可解答．
【解答】解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB＝2，OB＝ ＝2 ，AO＝ ＝2 ，
∵△ABO的面积＝ AO•BD＝ ×2×2，
∴BD＝ ，
在Rt△BOD中，sin∠AOB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．
39．（黄浦区）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝6，
则cos∠ACD的值是 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证明CD＝AD，求出AB的长，从而
得∠CAD＝∠ACD，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CD＝5，∴CD＝AD＝ AB，
∴AB＝10，
∴AC＝ ＝ ＝8，
∴cosA＝ ＝ ＝ ，
∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∴cos∠ACD＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用等边对等角，把
cos∠ACD转化为cosA是解题的关键．
40．（杨浦区）已知在△ABC中，AB＝10，BC＝16，∠B＝60°，那么AC＝ 1 4 ．
【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定理求出AC
即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝60°，
∴sin60°＝ ，cos60°＝ ，
∵AB＝10，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴BD＝5，AD＝5 ，
∵BC＝16，BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝11，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理解
此题的关键．
41．（杨浦区）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的
北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小
岛A到航线BC的距离等于 6 海里．【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由三角形的外角性质得∠BAC＝∠ABC，再由
等腰三角形的判定得AC＝BC，锐角由锐角三角函数定义求出AE的长即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝ ，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝12× ＝6 （海里），
即小岛A到航线BC的距离是6 海里，
故答案为：6 ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅
助线构造直角三角形是解题的关键．
42．（虹口区）如果一个斜坡的坡度i＝1： ，那么该斜坡的坡角为 6 0 度．
【分析】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答．
【解答】解：∵tanα＝ ＝ ＝ ，
∴∠α＝60°，
故答案为：60．
【点评】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，
坡面越陡．
43．（松江区）如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A
出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头
A与小岛C的距离是 （ 5 +5 ） 海里（结果保留根号）．【分析】过C作CD⊥BA于D，证△ACD是等腰直角三角形，得CD＝AD，AC＝ CD，设CD＝AD
＝x海里，则AC＝ x海里，再由锐角三角函数定义得BD＝ CD＝ x（海里），然后由
BD＝AD+AB得 x＝x+10，解得：x＝5 +5，即可解决问题．
【解答】解：过C作CD⊥BA于D，如图：
则∠CDB＝90°，
由题意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD，AC＝ CD，
设CD＝AD＝x海里，则AC＝ x海里，
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝ ＝tan60°＝ ，
∴BD＝ CD＝ x（海里），
∵BD＝AD+AB，
∴ x＝x+10，
解得：x＝5 +5，
∴ x＝ ×（5 +5）＝5 +5 ，
即AC＝（5 +5 ）海里，
故答案为：（5 +5 ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
44．（松江区）如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，
光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是 ，那么窗口的高AB等于 2 米．【分析】由题意知CE＝2BC，CD＝2AC，进而得到CD＝DE+CE＝4+2BC，由BE∥AD得到
△BCE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到 ＝ ＝ ，化简即可求出AB．
【解答】解：由题意知tan∠BEC＝ ＝ ＝ ，DE＝4，
∴CE＝2BC，CD＝2AC，
∴CD＝DE+CE＝4+2BC，
∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BC+AB＝2+BC，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关
键．
45．（长宁区）如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度
AC＝ 5 米．
【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：2.4，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．
【解答】解：∵坡度i＝1：2.4，
∴AC与BC的比为1：2.4，
设AC＝x米，则BC＝2.4x米，
由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝132．
解得x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题）
46．（金山区）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC＝ ，求∠ABE的正切值．
【分析】利用∠EBC的正切先设出CE、BC，利用勾股定理求出BE．再说明∠ABE＝∠BAE、计
算AC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠CAB的正切．
【解答】解：Rt△EBC中，∠ECB＝90°，
∴tan∠EBC＝ ．
设CE＝3k，BC＝4k，
则BE＝5k．
∵D是BC的中点，ED⊥BC，
∴AE＝BE＝5k．
∴∠ABE＝∠BAE，AC＝AE+CE＝8k．
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴tan∠CAB＝ ．
∴∠ABE的正切值为 ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
47．（静安区）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，BC＝
，cos∠ACD＝ ，求AB、CH的长．
【分析】过D作DE⊥AC于E，求出AE＝CE，求出DE解直角三角形求出CE，求出AC，再根据
勾股定理求出AB，再根据三角形的面积公式求出CH即可．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E，则∠AED＝∠CED＝90°，∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD，
∴CE＝AE，
∵BC＝ ，
∴DE＝ BC＝ ，
∵cos∠ACD＝ ＝ ，
∴设CE＝3x，CD＝4x，
由勾股定理得：DE＝ ＝ ＝ x，
即 x＝ ，
解得：x＝ ，
∴AE＝CE＝3x＝ ，
即AC＝AE+CE＝3 ，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝4 ，
∵S ＝ ＝ ，
△ABC
∴ ＝ ，
解得：CH＝ ，
即AB＝4 ，CH＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股定理等知识点，能求出AC的长是解
此题的关键．
48．（崇明区）如图，在△ABC中，AB＝AC＝ ，sinB＝ ．
（1）求边BC的长度；（2）求cosA的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，然后在
Rt△ABD中求出AD，最后利用勾股定理求出BD即可解答；
（2）要求cosA的值，就要把∠BAC放在直角三角形中，所以过点C作CE⊥AB，垂足为E，利
用等面积法求出CE即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AB＝ ，sinB＝ ，
∴AD＝ABsinB＝ × ＝2，
∴BD＝ ＝ ＝1，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝2；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵△ABC的面积＝ AB•CE＝ BC•AD，
∴ CE＝2×2，∴CE＝ ，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
在Rt△AEC中，cos∠CAE＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件添加适当的辅
助线是解题的关键．
49．（青浦区）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝ ．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
【分析】（1）过点A作AH⊥BD，垂足为点H．先算HD、AH，再算AB；
（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．可利用sinB计算CG．
【解答】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．
∵AB＝AD，
∴BH＝HD＝ BD＝2．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝4．
∴HC＝HD+CD＝6．
∵ ＝ ，
∴ ．
∵
＝
＝ ．
（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∴点C到直线AB的距离为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．另
（2）亦可通过计算△ABC的面积求解．
50．（宝山区）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）求tanB的值；
（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．先利用等腰三角形的性质求出BE，再利用勾股定
理求出AE，最后在Rt△ABE中求出tanB的值；
（2）先利用直角三角形的边角间关系求出DE，再利用线段的和差关系求出CD..
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝CE＝ BC＝3．
在Rt△ABE中，
∵AE＝
＝
＝4，
∴tanB＝ ＝ ；（2）在Rt△ADE中，
∵∠ADB＝30°，AE＝4，tan∠ADB＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ＝4 ．
∴CD＝DE﹣CE
＝4 ﹣3．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是
解决本题的关键．
51．（杨浦区）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝ ，点E
是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，
最后求出∠EAB的正弦值．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD、△BCD均为直角三角形．
在Rt△CDB中，
∵BD＝6，tan∠B＝ ＝ ，
∴CD＝4．
在Rt△CDA中，
AC＝
＝
＝2 ．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF．
又∵点E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴DF＝BF＝3，EF＝ CD＝2．
∴AF＝AD+DF＝5．
在Rt△AEF中，
AE＝
＝
＝ ．
∴sin∠EAB＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角
形的中位线定理是解决本题的关键．
52．（松江区）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12，cosB＝ ，AP⊥AB，交BC于点P．
（1）求CP的长；
（2）求∠PAC的正弦值．
【分析】（1）通过作底边上的高AD，在直角三角形ABD和直角三角形ABP中分别求出BD、BP，
由等腰三角形的性质求出BC，进而求出PC的长；
（2）作高构造直角三角形，求出AE、PE后，由锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB＝12，cosB＝ ，
∴BD＝cosB•AB＝9，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝9，∠B＝∠C，
∵AP⊥AB，
∴∠PAB＝90°，
在Rt△ABP中，AB＝12，cosB＝ ，
∴BP＝ ＝16，
∴PC＝BC﹣BP
＝9×2﹣16
＝2；
（2）过点P作PE⊥AC于E，
在Rt△PCE中，PC＝2，cosC＝cosB＝ ，
∴CE＝cosC•PC＝2× ＝ ，
∴PE＝ ＝ ，
AP＝
＝
＝
＝4 ，
∴sin∠PAC＝ ＝ ．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形
的性质是正确解答的前提．
