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专题 05 一次方程（组）及其应用的核心知识点精讲
1、掌握等式的基本性质掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组．
2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
3、经历用一次方程组解应用题的过程，提高分析问题和解决问题的能力
【题型1：等式的性质】
【典例1】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若 ＝ ，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣ x＝6，则x＝﹣2
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1．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝
，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
2．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝ a+ c，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【题型2：一次方程（组）的相关概念】
【典例2】（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【典例3】（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝4，则m的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
2．（2021•聊城）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
3．（2020•重庆）解一元一次方程 （x+1）＝1﹣ x时，去分母正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x
C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x
4．（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组 的解满足x﹣y＝4，则a的值为 ．
【题型3：一次方程（组）的解法】
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【典例4】（2021•广元）解方程： + ＝4．
【典例5】（2023•乐山）解二元一次方程组： ．
1．（2023•河南）方程组 的解为 ．
2．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
3．（2023•常德）解方程组： ．
4．（2023•衢州）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1，
…
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【题型4：一次方程（组）的应用】
【典例6】（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25
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元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该
商场最多可以购置多少个A玩具？
1．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车 4辆，还剩30人没有座位；
租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
2．（2023•陕西）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买
了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植 5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9
棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？
3．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地
头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是 6：4，左、右边的宽相等，均为天
头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是
装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
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4．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨
10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、
乙两地该商品的销售单价．
5．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根
B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于
560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
1．（2023•青县校级模拟）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）
A．x+y＝0 B． ＝ C．x﹣2＝y﹣2 D．x+7＝y﹣7
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2．（2022秋•昆都仑区校级期末）为做好疫情防控工作，学校把一批口罩分给值班人员，如果每人分 3个，
则剩余20个；如果每人分4个，则还缺25个，设值班人员有x人，下列方程正确的是（ ）
A．3x+20＝4x﹣25 B．3x﹣25＝4x+20
C．4x﹣3x＝25﹣20 D．3x﹣20＝4x+25
3．（2023秋•瓦房店市校级期中）若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣3
4．（2023秋•南宁期中）一元一次方程2x+1＝5的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝2 D．x＝0
5．（2022秋•乐亭县期末）解方程 ，去分母正确的是（ ）
A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3
C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）
6．（2022秋•丰宁县校级期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
7．（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2
8．（2023春•莒南县期末）已知 是方程组 的解，则a+b＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．（2023春•西城区校级期中）已知 是二元一次方程y﹣kx＝7的解，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
10．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的
是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春•天元区校级期末）若 解得x，y的值互为相反数，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣1 C．2 D．﹣5
二．解答题（共5小题）
12．（2023•渝北区校级自主招生）解下列方程：
（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）； （2） ．
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13．（2023秋•靖江市校级期中）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值；
（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．
14．（2022秋•莲池区校级期末）解下列方程组：
（1） ； （2） ．
15．（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，
使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为
使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
16．（2023春•铁锋区期末）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的 3倍，请问最
多能购买多少支羽毛球拍？
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1．（2023秋•秦淮区期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）
A．0 B．2 C．6 D．0或2
2．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝
，譬如5*3＝3×5﹣3＝12， ，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
3．（2022秋•颍州区校级期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺
钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有 x
名工人生产螺钉，可列方程为（ ）
A．2×600x＝1000（22﹣x） B．2×1000x＝600（22﹣x）
C．600x＝2×1000（22﹣x） D．1000x＝2×600（22﹣x）
4．（2023秋•洛龙区期中）下列运用等式变形错误的是（ ）
A．由a＝b，得a+6＝b+6 B．由a＝b，得
C．由 ，得a＝b D．由﹣2a＝﹣2b，得a＝﹣b
5．（2023秋•新市区校级期中）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴
影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．49 B．60 C．84 D．105
6．（2023秋•蔡甸区期中）某商品进价 4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率恰好为
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10%，则该商品可以打（ ）折（利润率＝ ×100%）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.8
7．（2023•九龙坡区校级开学）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4
分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、
乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋•雁塔区校级期中）若关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一组解为x＝3，y＝1，则a的
值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
9．（2023秋•深圳期中）关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n的二元一次
方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋•溧阳市期末）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为 m、n
的大长方形则图中阴影部分的周长是（ ）
A．4n B．2m+n C．2m+2n D．3m﹣n
11．（2023春•富县期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的取值范
围是（ ）
A．k≤1 B．k≤2 C．k≤﹣1 D．k≤﹣2
12．（2022春•朝天区期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（
）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣ ；
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A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
13．（2022秋•成都期末）已知关于x，y的二元一次方程组为 ，则3x+2y的值为 ．
14．（2023春•海林市校级期中）已知方程组 和 有相同的解，求a、b的值．
15．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂
从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路
运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁
路运输费1900元．
求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
16．（2023春•罗山县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1
辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
17．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅
大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对 1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．
打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方
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式恰好全部装完这1000斤杨梅．
（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
（2）当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；
②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值．
1．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
3．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．（2021•重庆）若关于x的方程 +a＝4的解是x＝2，则a的值为 ．
5．（2021•枣庄）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字
1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是 15，
则m的值为 ．
6．（2023•连云港）解方程组 ．
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7．（2022•荆州）已知方程组 的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
8．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，
需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3
根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少
根？
9．（2023•河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次
数，需重新投．计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1 ﹣2
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了 13分，求k
的值．
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10．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用 45座客车若干
辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、
乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量 45 60
（人/辆）
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
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