专题05一元二次方程-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 05 一元二次方程 一元二次方程是中学数学重要的重点知识，中考中多以选择题、填空题、简单的解一元二次方程及其 应用题和渗透在大题中的形式计算问题出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌 握一元二次方程的概念及其解法，根的判别式，尤其是二次三项式的因式分解，一元二次方程的实际应用 更是中考的热点，难度系数中等。主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想 等。 第 1 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做 一元二次方程。 一般形式： ax2 bxc0(a 0)。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。、 【注意】 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。 一、单选题 1．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） 1 A．x2﹣1=0 B．x2 + +3=0 C．x2 + 2x +1=0 D．3x2 + 2x +1=0 x 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解析】解：A、C、D选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A、C、D不符 合题意； B选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断． 2．一元二次方程2y273y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判 断即可．一元二次方程的一般形式是：ax2bxc0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这 第 2 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解析】解：一元二次方程2y273y化为一般形式为：2y23y70， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,3,7， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式ax2bxc0是解题的关 键． 3．关于x的一元二次方程ax2﹣5ax+4＝0，有一个根为1．则a的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，将方程的根代入一元二次方程计算求值即可； 【解析】解：将x＝1代入到方程可得： a﹣5a+4＝0， -4a=-4， ∴a＝1， 故选： A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等式的性质，掌握方程的解的意义是解题关键． 4．若m是关于x的一元二次方程x2x10的根，则32m22m的值是（ ） A．2 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由m是关于x的一元二次方程x2x10的根，可得，m2m1， 再把要求值的代数式化为 32  m2m  ，再整体代入计算即可． 【解析】解：∵m是关于x的一元二次方程x2x10的根， ∴m2m10, ∴m2m1， ∴32m22m 32  m2m  第 3 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 321 1. 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，掌握“方程的解的含义，以及构建整体 代入求解代数式的值”是解本题的关键． 5．小刚在解关于x的方程ax2bxc0a0时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他 核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等 的实数根 【答案】A 【分析】先根据“只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1”求出所抄的c，再求出原方程的c值， 再用根的判别式判断根的情况即可． 【解析】解：∵小刚在解关于x的方程ax2bxc0a0时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x ＝﹣1， ∴12 ﹣4+c＝0， 解得：c＝3， 故原方程中c＝5， 则b24ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+1k=0进行了讨论： 4 甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当k≥-1时，该方程有实数根； 丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根． A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对 第 4 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】C 1 【分析】当k=0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k• k≥0时，方程有两个实数解，解 4 得k≥-1且k≠0，于是可判断k≥-1时，方程有实数解，然后对各说法进行判断． 【解析】解：当k=0时，方程化为-2x=0，解得x=0； 1 当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k• k=4k+4≥0时，方程有两个实数解，此时k≥-1且k≠0， 4 所以当k≥-1时，方程有实数解， 所以乙和丙的说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 二、填空题 7．若关于x的方程x2k 0有两个不相等的实数根，则k的值可以是______．（写一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】利用根的判别式计算求值即可． 【解析】x2k 0的判别式为：△=4k， 方程有两个不相等的实数根，则△＞0，4k＞0，k＞0， k=1时，方程有两个不相等的实数根1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数 根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 8．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x28xm0的两个根，则m的值为 _______． 【答案】12或16 【分析】分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、 根的判别式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之 差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系． 【解析】解：由题意，分以下两种情况： 第 5 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）当6为等腰三角形的腰长时，则 关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x =6 1 代入方程得，36-48+m=0 解得m=12 则方程为 x2−8x+12=0 解方程，得另一个根为x =2 2 ∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理； （2）当6为等腰三角形的底边长时，则 关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根 ∴根的判别式 b24ac644m0  解得，m=16 则方程为x2−8x+16=0 解方程，得 x =x =4 1 2 ∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理． 综上，m的值为12或16． 故答案为：12或16． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知 识点．正确分两种情况讨论是解题关键． 9．已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__． 【答案】2020 【分析】由于m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣2019，mn ＝﹣2，并且m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果． 【解析】解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0， ∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1） ＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1） ＝（﹣m﹣1）（n+1） ＝﹣mn﹣m﹣n﹣1 ＝2+2019﹣1 第 6 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和正确计算． 二、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如 (xa)2 b的一元二次方程.根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xa   b ， x  a b，当b<0时，方程没有实数根. （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛 的应用.配方法的理论根据是完全平方公式a2 2abb2 (ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代 替，则有x2 2bxb2 (xb)2. （3）公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法. b b2 4ac 一元二次方程ax2 bxc 0(a  0)的求根公式：x  (b2 4ac0) 1,2 2a （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常 用的方法. 三、一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2 bxc 0(a  0)中，b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bxc 0(a  0)的根 的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的 值；③计算b2 4ac的值；④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况. 四、一元二次方程根的判别式的逆用 第 7 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 在方程ax2 bxc 0  a  0  中， （1）方程有两个不相等的实数根  b2 4ac﹥0； （2）方程有两个相等的实数根  b2 4ac=0； （3）方程没有实数根  b2 4ac﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 b2 4ac≥0. 一、单选题 1．若关于x的方程m1xm21x30是一元二次方程，则m的值（ ） A．0 B．1 C．1 D．1或1 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的 值． 【解析】解：∵关于x的方程m1xm21x30是一元二次方程， m10 ∴ ， m212 解得m1， ∴m的值为1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 2．用直接开平方的方法解方程(3x1)2 (2x5)2，做法正确的是（ ） A．3x12x5 B．3x1(2x5) C．3x1(2x5) D．3x12x5 第 8 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】C 【分析】一元二次方程(3x1)2 (2x5)2，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数， 据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【解析】解：(3x1)2 (2x5)2 开方得3x1(2x5)， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则： 要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 3．如果关于x的方程x42 m1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A．m1 B．m 1 C．m1 D．m1 【答案】A 【分析】根据直接开平方法的特点即可解答． 【解析】解：∵关于x的方程x42 m1可以用直接开平方法求解， ∴m10， ∴m1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解能直接开平方的数是非负数成为解题的关 键． 4．用配方法解方程3x26x10，则方程可变形为（ ） 1 1 2 A．(x3)2  B．3(x1)2  C．(3x1)2 1 D．(x1)2  3 3 3 【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可． 【解析】解：3x26x10， 1 x22x ， 3 2 x22x1 ， 3 2 x12  ， 3 第 9 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选D. 【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 5．三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程2x2 13x150的根，则该三角形的周长为（ ） 13 25 13 A． B．10 C． D． 或10 2 2 2 【答案】A 【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案. 【解析】解：2x2 13x150，  b2  4ac  (13)2  4 215  49， 13  49 ∴x  ， 4 3 解得：x 5，x  ， 1 2 2 ∵235， ∴2，3，5无法构成三角形， 3 ∴这个三角形的三边长为：2，3， ， 2 3 13 其周长为：2  3   . 2 2 故选A. 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键. 6．在公式法解方程 2x24 3x2 2时，b24ac的值是（ ） A．16 B．4 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可． 【解析】解：  2x24 3x2 2，  2x24 3x2 2 0， a 2，b4 3，c2 2 ， b24ac(4 3)24 2(2 2)64； 故选：D． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式． 第 10 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 7．若方程(m2)x|m|2x10是一元二次方程，则方程的根是（ ） 1 5 1 5 51  51 A．x  ,x  B．x  ,x  1 2 2 2 1 4 2 4 1 5 1 5 C．x  ,x  D．以上答案都不对 1 2 2 2 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m的式子，解出m的值，代入原方程，求解一元二次方程即 可． 【解析】解：  方程(m2)x|m|2x10是一元二次方程， m 2  , m20 解得：m2， 4x22x10即4x22x10，  a4,b2,c1， 2244(1)200， 方程有两个不相等的实数根 2 20 1 5 x  24 4 51  51 x  ,x  ； 1 4 2 4 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念与解法，熟练掌握一元二次方程的概念与用公式法、因式分解法 或配方法求解一元二次方程是解题的关键． 8．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x27x120的两个实数根，则该直角三角形斜边 上的高为（ ） A．3 B．4 C．2.5 D．2.4 【答案】D 【分析】先解一元二次方程求出直角三角形两直角边的长，再利用勾股定理求出斜边长即可利用三角形面 积法求出斜边的高． 【解析】解：∵x27x120， 第 11 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ x3x40， 解得x3或x4， ∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x27x120的两个实数根， ∴这个直角三角形的两直角边的长分别为3、4， ∴这个直角三角形斜边的长为 3242 5， 34 ∴直角三角形斜边上的高为 2.4（三角形面积法） 5 故选D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，三角形面积，正确求出两直角边的长是解题的关 键． 9．若实数x满足方程(x22x)(x22x2)150，那么x22x的值为（ ） A．3或5 B．5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】设x22x y，然后将原方程变形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到x22x的可能取 值，再分情况利用根的判别式判断是否符合题意即可． 【解析】解：设x22x y， 则原方程变为yy2150， 整理得：y22y150， 因式分解得y5y30， ∴y50或y30， ∴y5或y=3， 当y5时，即x22x5， 整理得x2 2x50， ∵22415420240， ∴方程有实数根，符合题意， 当y=3时，即x22x3， 第 12 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 整理得x22x30， ∵2241341280， ∴方程没有实数根，不符合题意， ∴x22x的值为5， 故选：B． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，根的判别式的意义，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根 与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0时，方程有两个相等的实数 根；当Δ0时，方程无实数根． 10．对于一元二次方程ax2bxc0a0，下列说法： ①若abc0，则b24ac0； ②若方程ax2c0有两个不相等的实根，则方程ax2bxc0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2bxc0的一个根，则一定有acb10成立； ④若x 是一元二次方程ax2bxc0的根，则b24ac2ax b2 0 0 其中正确的：（ ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【解析】由abc0，表明方程ax2bxc0a0有实数根﹣1，表明一元二次方程 ax2bxc0a0有实数解，则b24ac0，故①正确； ∵方程ax2c0有两个不相等的实根， c ∴方程x2  有两个不相等的实根， a 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴b24acb2(4ac)0， ∴方程ax2bxc0必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵c是方程ax2bxc0的一个根， 第 13 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ac2bcc0， 即c(acb1)0 当c0时，一定有acb10成立； 当c=0时，则acb10不一定成立，例如：方程3x22x0，则acb130； 故③错误； ∵x 是一元二次方程ax2bxc0的根， 0 ∴ax 2bx c0， 0 0 ∴cax2bx ， 0 0 ∴b24acb24a(ax2bx )4ax24ax b2 2ax b2， 0 0 0 0 0 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题 的关键． 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程x26xc0配方后得到方程(x3)2=2c，则c的值为_____． 【答案】3 【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得(x3)=2c9，可得 2cc9，解方程即可得c的值． 【解析】解：x26xc0， 移项得x26xc， 配方得x26x9c9，即(x3)2=c9． ∵(x3)2=2c， ∴2cc9， 解得c3， 故答案为：3． 第 14 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2） 把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 12．在实数范围内分解因式：2x24x3___________．  2 10 2 10 【答案】2x x     2 2    2 10 【分析】根据公式法解2x24x30，得出x ，再根据因式分解即可得出答案． 2 2 10 【解析】解：由2x24x30，得：x ， 2  3  2 10 2 10 原式2x22x 2  x     x   ，  2  2  2   2 10 2 10 故答案为：2x x ．    2 2    【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．关于x的一元二次方程m2x22m1x20的根的判别式的值等于4，则m______． 1 10 【答案】 6 【分析】根据根的判别式的定义得到(2m1)2 4m2(2)4，然后解关于m的方程即可得出答案． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程m2x22m1x20的根的判别式的值等于4， ∴(2m1)2 4m2(2)4， ∴12m2 4m30 1 10 解得：m 6 1 10 故答案为： 6 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式b24ac和找出a，b，c的值是本题 的关键． 14．已知整数m满足0m13，如果关于x的一元二次方程x2(2m1)xm22m0的根为有理数，则m 的值为______． 【答案】2或6或12 第 15 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据一元二次方程的求根公式，求出方程的根的表达式，再根据方程的根为有理数且m为整数， 即可进行解答． 【解析】解：∵a1，b2m1，cm22m， ∴b24ac， 2m1 2 41  m22m  ，   4m24m14m28m， 4m1， b b24ac 2m1 4m1 ∴x  ， 2a 2 ∵0m13， ∴14m153， ∵一元二次方程的根为有理数， ∴ 4m1为有理数， ∴4m14，9，16，25，36，49， ∵m为整数， ∴4m19，25，49时，m2或6或12， 故答案为：2或6或12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式 b b24ac x 以及有理数和整数的定义． 2a 15．将关于x的一元二次方程x2 pxq0变形为x2  pxq，就可以将x2表示为关于x的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，又如x3 xx2 xpxq…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以 化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2x10，且x0．则x4 2x33x的值为_______． 【答案】62 5 【分析】先将x2x10变形为x2x1,x2 1x，再利用“降次法”将x4 2x33x转化为44x，然后解 一元二次方程，求出x，再代入求值即可． 【解析】解：x2x10， 第 16 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴x2x1,x2 1x． ∴x4 2x33x x4x33x33x， x2(x2x)3xx23x， x23x(1x)3x， 1x3x3x23x， 1x3x31x3x， 1x3x33x3x， = 4- 4x． ∵x2x10，a1,b1,c1， ∴b24ac1450 1 5 ∴x ， 2 ∵x0， 1 5 x ； 2 1 5 ∴原式44 2 42(1 5) 422 5 62 5． 故答案为：62 5． 【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键． 16．有下列3个命题： ①方程x2  2 3  x 60的根是 2和 3． 9 ②在  ABC中，ACB90，CD AB于D．若AD4，BD ，则CD3． 4 k ③点Px,y的坐标x，y满足x2y22x2y20，若点P也在y 的图象上，则k 1． x 上述3个命题中，真命题的序号是______． 第 17 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】①②③ 【分析】解一元二次方程即可判断①，证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质得出CD2  ADBD， 即可判断②；将已知等式变形，得出xy1，即可判断③ 【解析】解：①x2  2 3  x 60    即 x 2 x 3 0， 解得：x  2,x  3 1 2 ∴方程的根是 2和 3．此命题正确． 9 ②∵在 ABC中，ACB90，CD AB于D，AD4，BD ，  4 ∴AACDACDDCB， ∴ADCB， 又∵ADC CDB， ∴△ADC∽△CDB， AD CD ∴  ， CD DB ∴CD2  ADBD，解得CD3．故此命题正确． ③∵点Px，y的坐标x，y满足x2y22x2y20， ∴x12 y12 0， 解得：x1，y1． ∴xy1． k ∵点P也在y 的图象上， x ∴k 1．故此命题正确． 第 18 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 综上所述，真命题的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，反比例函数的定义，综合运 用以上知识是解题的关键． 三、解答题 17．解方程：4x22 3x10 3 7 3 7 【答案】x  ，x  1 4 2 4 b b24ac 【分析】根据题意先求出b24ac28，再代入求根公式x ，即求出即可． 2a 【解析】解：4x22 3x10， 方程的系数分别是a4，b2 3，c1， ∴b24ac(2 3)244(1)28， b b24ac (2 3) 28 3 7 ∴x   ， 2a 24 4 3 7 3 7 ∴x  ，x  ． 1 4 2 4 b b24ac 【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程的解，掌握一元二次方程的求根公式x 是解 2a 题的关键． 18．解下列一元二次方程： (1)x28x90 (2)3x26x10 【答案】(1)x 1，x 9 1 2 3 6 3 6 (2)x  ，x  1 3 2 3 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 第 19 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】（1）解：因式分解得x1x90， ∴x10或x90， ∴x 1，x 9； 1 2 （2）解：∵a3，b6，c1， ∴624313612240， 6 24 62 6 3 6 ∴x   ， 23 6 3 3 6 3 6 ∴x  ，x  ． 1 3 2 3 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． 19．解下列方程： (1)2x24x10（配方法）； (2)2x26x30（公式法）； (3)x22x8（适当的方法）； (4)x62 26x（适当的方法）； 2 2 【答案】(1)x =-1+ ，x =-1- 1 2 2 2 3 3 3 3 (2)x  ，x  1 2 2 2 (3)x =4，x 2 1 2 (4)x 6，x 4 1 2 【分析】对于（1），先整理，再配成完全平方公式，求出解； b b24ac 对于（2），先求出b24ac，再根据x 求出解； 2a 对于（3），先移项，再因式分解求出解即可； 对于（4），先移项，再因式分解求解． 【解析】（1）2x2  4x+1=0， 1 整理，得x22x ， 2 第 20 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 配方，得x22x1 ， 2 1 即(x1)2  ， 2 2 则x1 ， 2 2 2 ∴x =-1+ ，x =-1- ； 1 2 2 2 （2）2x26x30， 可知a2，b6，c3， 则b2  4ac  62  4 2 3  12＞0， 6  2 3 3  3 ∴x   ， 4 2 3 3 3 3 ∴x  ，x  ； 1 2 2 2 （3）x22x8， 整理，得x22x8=0， 因式分解，得(x4)(x2)0， 则x40或x20， ∴x 4，x 2； 1 2 （4）(x 6)2  2(6  x)， 整理，得(x 6)2  2(x 6)  0， 因式分解，得(x 6)(x 6  2)  0， 即(x6)(x4)0， 则x60或x40， ∴x 6，x 4． 1 2 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选择解一元二次方程的方法是解题的关键． 20．已知关于x的一元二次方程x2k4x3k 0． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于0，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 第 21 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (2)k 3 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与方程根的情况，只要判定0即可证得； （2）利用十字相乘法解一元二次方程x2k4x3k 0，得到x1或xk3，根据此方程恰有一个 根小于0，列不等式求解即可得到k的取值范围． 【解析】（1）证明：  关于x的一元二次方程x2k4x3k 0， a1,bk4,ck3， k4 2 41k3   k28k164k12 k24k4 k22 0， 此方程总有两个实数根； （2）解：  x2k4x3k 0， x1  xk3  0， 解得x1或xk3，  此方程恰有一个根小于0， k30，解得k 3． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二 次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题 的关键． 21．已知 ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x22(n1)xn22n0的两个根，第三边  BC的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时， ABC为等腰三角形？  【答案】(1)见解析 (2)n 12，n 10 1 2 第 22 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式b24ac,可得出4＞0，进而可证出：无论n取何值， 此方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）的结论及 ABC为等腰三角形，可得出BC只能是 ABC的腰，再将x10代入原方程中求出n   的值即可． 【解析】（1）证明=2n1 2 4  n22n    =4n28n44n28n =4＞0 ∴无论n为何值方程总有两个不等实根 （2）∵方程有两个不相等实根 ABC为等腰三角形  ∴方程的其中一根应为10 ∴1022n110n22n0 即：n222n1200 n 12，n 10， 1 2 【点睛】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． 五、 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：  “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；  “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；  “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。  “解”就是求出说列方程的解；  “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 六、二次三项式ax2 bxc的因式分解 ax2 bxc 0(a  0)  方法探究：如果方程 有两个实数根: x = b b2 4ac 、x =b b2 4ac ，那么写出代数式a(xx )(xx )得 1 2 1 2 2a 2a a(xx)(xx )ax2(x x )xx x  1 2  1 2 1 2 第 23 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 因为x x = b b2 4ac +b b2 4ac =－ b 1 2 2a 2a a c x x  b b2 4ac · b b2 4ac = 1 2 2a 2a a a(xx)(xx )ax2(x x )xx x  1 2  1 2 1 2  b c =a x2( )x    a a =ax2bxc 上面等式，从右到左就是把ax2+bx+c分解因式.把二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)分解因式时, ① 如果b2-4ac≥0,那么先用公式法求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x 、x ， 1 2 再写出分解式ax2 bxca(xx )(xx ) 1 2 ②如果b2-4ac<0，那么方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax2+bx+c在实数范围内不能分 解因式. 一、单选题 1．某区今年7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均 每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为（ ） A．1201x2 450 B．1201201x2 450 C．1201x1201x2 450 D．1201201x1201x2 450 【答案】D 【分析】八月份的工业生产值为1201x，九月份的工业生产值为1201x2，根据三个月总产值为450 亿元列出等式即可． 【解析】解：设平均每月增长的百分率为x， 那么八、九月份月的工业生产值分别为1201x，1201x2， 因此1201201x1201x2 450． 故选D． 【点睛】本题考查列一元二次方程，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． 2．如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙， 第 24 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ） 1 1 A．x(552x)375 B． x(552x)375 C． x(55x)375 D．x(55x)375 2 2 【答案】C 55x 【分析】由栅栏的总长度可得出AD 米，根据矩形仓库的面积为375平方米，即可得出关于x的一 2 元二次方程，此题得解． 【解析】解：∵ABx米， 55x ∴AD 米． 2 55x 依题意得：x 375， 2 1 即 x(55x)375． 2 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 3 3．如图，矩形相框长为8cm宽为4cm，四周的边框宽相等，且照片的面积占总面积的 ，设四周边框的宽 4 是xcm，根据题意可列方程为（ ） 1 3 A．8x4x2 84 B．82x42x 84 4 4 1 3 C．82x42x 84 D．848x4x4x2  84 4 4 【答案】B 【分析】根据题意表示出照片的长、宽，再根据面积相等列出方程即可． 第 25 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】根据题意可知照片的长为(8  2x)cm，宽为(4  2x)cm，根据题意，得 3 (8  2x)(4  2x)   8 4． 4 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键． 4．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数为是（ ） A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】B 【分析】根据题意，找出等量关系，列出方程求解即可． 【解析】解：设参加聚会的人数为x， xx1 10， 2 xx120， x2x200， x5x40， x 5,x 4（舍）， 1 2 ∴参加聚会的人数为5人， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求 解． 5．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传 染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ） A．12x8 B．1xx1x81 C．1xx2 81 D．1x2 8 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮共有x1人患流感，第二轮共有  1xx1x  人，再由“经过两轮传染后共有81个人患流感”列出方程，即可求解． 【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得： 1xx1x81． 第 26 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 6．一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ） A．25 B．36 C．25或36 D．64 【答案】C 【分析】设十位数字为x，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x3． 依题意得：10xx3(x3)2， 解得:x 2,x 3. 1 2 ∴ 这个两位数为25或36． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 7．如果关于x的二次三项式ax23x4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（ ） 9 9 9 9 A．0a B．a C．a D．a 且a0 16 16 16 16 【答案】D 【分析】因二次三项式ax23x4在实数范围内能分解因式，所以ax23x4=0有实数根，据此求解即 可． 【解析】∵二次三项式ax23x4在实数范围内能分解因式， ∴ax23x4=0有实数根， ∴916a0，a0 9 ∴a 且a0． 16 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程 ax2bxc0的两根为x,x ，那么一元二次方程可整理为a(xx)(xx )0． 1 2 1 2 8．如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖 1 面面积的 ，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（ ） 5 第 27 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 A．35x23x 2335 B．35x23x2x2 2335 5 1 C．35x23x 2335 D．35x23x2335 5 【答案】A 【分析】根据图中曲桥分布，列出方程即可 【解析】解：如图， 4 将曲桥移至同一水平上可得，35x23x 2335 5 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 9．某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现 准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部 门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x(x60)元，现在预算销售这种口罩每周要获 得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 【答案】A 【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即 可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值． 【解析】解：根据题意得：（x﹣50）[80-2（x-60）]＝1200， 整理得：x2﹣150x+5600＝0． 解得：x ＝70，x ＝80． 1 2 第 28 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 7050 当x＝70时，利润率＝ ×100%＝40%＜50%，符合题意； 50 8050 当x＝80时，利润率＝ ×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去． 50 所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含x的代 数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程． 二、填空题 10．若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形比原正方形面积多14cm2，设原正方 形的边长为x，则可列方程为____________． 【答案】x2x1x2 14 【分析】设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为x2cm，宽为x1cm，根据“所得的长方形比 原正方形面积多14cm2，”列出方程，即可求解． 【解析】解：设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为x2cm，宽为x1cm，根据题意得： x2x1x2 14． 故答案为：x2x1x2 14 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 11．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面 积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？设镜框边的宽度为x厘米，列方程并化为一般形式为：_______． 【答案】8x2204x3190 【分析】根据镜框边的宽度为x厘米，配上镜框的照片的长为292xcm，宽为222xcm，结合镜框所 占面积为照片面积的四分之一，即可得出关于x的一元二次方程，此意得解． 【解析】解：∵镜框边的宽度为x厘米， ∴配上镜框的照片的长为292xcm，宽为222xcm，  1 根据题意得：292x222x1 2922，  4 第 29 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即：8x2204x3190． 故答案为：8x2204x3190． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 12．关于x的方程x2 pxq0的根的判别式是_____________． 【答案】 p24q 【分析】分别找出该方程的二次项系数，一次项系数和常数项，即可进行解答． 【解析】解：∵a1,bp,cq， ∴b24acp241q p24q， 故答案为： p24q． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的求法以及正确找出方 程的二次项系数，一次项系数和常数项． 1 3 13．已知方程xax40和方程 x2 x20的解完全相同，则a__________． 2 2 【答案】1 1 3 【分析】用因式分解法求 x2 x20的解即可． 2 2 1 3 【解析】解： x2 x20 2 2 x23x40 x1x40 1 3 ∵方程xax40和方程 x2 x20的解完全相同， 2 2 ∴a1， 故答案为1． 1 3 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，方程xax40和方程 x2 x20的解完全相 2 2 1 3 同，即 x2 x20可化为xax40的形式． 2 2 14．在实数范围内因式分解：2x2y23xy1__________ 第 30 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  3 17 3 17 【答案】2xy xy   4  4     【分析】令t xy，则式子可化为2t23t1，令2t23t10，求解即可． 【解析】解：令t xy，则式子可化为2t23t1， 令2t23t10 则a2，b3，c1 b b24ac 3 32 421 3 17 t    2a 4 4 3 17 3 17 则t  ，t  1 4 2 4  3 17 3 17 2x2y23xy12xy xy   4  4      3 17 3 17 故答案为：xy xy   4  4     【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根． 15．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共 有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． 【答案】9 【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有1x人收到短信，第二轮发送短信 的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有x1x人收到短信，根据这样经过两轮短信 的发送共有90人收到同一条短信列出方程． 【解析】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：x1x90． 整理得：x2x900 解得x9或x10（舍去） 故答案为：9． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与 接收的人数，并能结合题意，列出方程． 第 31 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 三、解答题 16．一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今年每台售价为12150元，每年降价 的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 【答案】(1)10% (2)1350元 【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为150001x元，第二次的降价后的 售价为15000(1x)2元，根据题意可列出方程15000(1x)2 12150，据此求解即可． （2）用现价减去去年的价格即可求解． 【解析】（1）解：设每年降价的百分率是x，根据题意可得： 15000(1x)2 12150， 解得x 0.1，x 1.9(舍去) 1 2 答：每年降价的百分率为10%． （2）解：15000110%121501350， 答：他多付了1350元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，有理数的混合计算的应用，关键是会根据增 长率列出式子，再找到等量关系列出方程． 17．2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰 赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支 球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共 有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？ 【答案】共有32支队伍参加比赛 nn1 【分析】设每组有n支队伍参加比赛，则每个小组需要比赛 场，由此列一元二次方程即可求解． 2 第 32 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：设每组有n支队伍参加比赛， nn1 则 848， 2 整理得n2n120， 解得n 4，n 3（舍）， 1 2 4832（支）， 即共有32支队伍参加比赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键． 18．如图所示，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱色围成一个面积为96平方米的长方形ABCD， 中间用篱笆分隔出两个小长方形，每个长方形隔出一个1米长的门，总共用去34米长的篱笆，求AB的长 度？ 【答案】AB的长度是8米 【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为343x2米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即 可． 【解析】解：设AB为x米，则BC 343x2363x 依题意得x(363x)96 解得：x 4,x 8． 1 2 当x 4时，363x2420（不合题意，舍去） 1 当x 8时，363x1220，符合题意， 2 答：AB的长度是8米． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确列出关系式是解题的关键． 19．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂 及时引进了一条口罩生产线生产口罩．经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生 产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时 第 33 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】增加4条生产线 【分析】设应该增加m条生产线，则可表示出每条生产线的最大产能，根据等量关系：每天生产口罩6500 万个，列出方程，解方程即可． 【解析】解：设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为150050m万个/天， 依题意，得：1m150050m6500， 解得：m 4，m 25， 1 2 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴m4， ∴应该增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．难点 是把增加生产线后的产能表示出来． 2k x kx1 20．关于x的方程   只有一个实数根，求：k的值． x1 x2x x 1 【答案】k的值为0或 2 【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程的讨论转化为整式方程的解的讨论，求解即可． 2k x kx1 【解析】解：将   转化为整式方程可得：kx2(23k)x10； x1 x2x x 1 当k 0时，方程为2x10，解得x 2 1 经检验，x 是原方程的解； 2 当k 0时，方程为一元二次方程，判别式(23k)24k 5k24(k1)2 0 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根， 由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1， 当x0时，方程kx2(23k)x10不成立，舍去； 1 当x1时，方程为k(23k)10，解得k  ， 2 1 将k  代入kx2(23k)x10可得x2x20 2 第 34 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解得x1或x2 经检验，x2是原分式方程的解， 1 综上：k的值为0或 ． 2 【点睛】本题考查了解分式方程，注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根， 分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解， 而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式增根等知识全面分析． 21．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影 部分），余下的场地建成草坪． (1)如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路． ①请写出两条小路的面积之和S______（用含a、b的代数式表示）； ②若a:b2:1，且草坪的总面积为312m2，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ (2)如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为 常数），若a28，b14，且草坪的总面积为120平方米，求mn的值． 【答案】(1)①2a2b4②长为28米，宽为14米 (2)mn8或10 【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据 草坪的总面积为312m2，列一元二次方程，求解即可； （2）根据草坪的总面积为120平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的m和n的值，即可求出mn 的值． 【解析】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和S 2a2b4平方米， 故答案为：2a2b4平方米； ②根据题意，得a2b2312， 又∵a:b2:1， 第 35 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a2b， 原方程化为2b2b2312， 解得b 11（不符合题意，舍去），b 14， 1 2 a2b28（米）， 答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米； （2）解：根据题意，得282n142m120， 整理得14n7m30，  m，n为正整数， 14n是正整数且是30的约数，7m是正整数且是30的约数， 当14n5时，7m6， n9，m1， mn10； 当14n6时，7m5， n8，m2， mn10； 当14n10时，7m3， n4，m4， mn8， 综上所述，mn8或10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 一、单选题 1．（2022·上海金山·统考二模）下列对一元二次方程x230根的情况判断，正确的是（ ） A．两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 第 36 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据一元二次方程一般式ax2bxc0a0，可知x230中，a=1、b=0、c=-3． 由根的判别式：=b24ac=041(3)120，可知方程应有两个不相等的实数根． 【解析】解： x230   a=1、b=0、c=-3 =b24ac=041(3)120 方程有两个不相等的实数根 故选A． 【点睛】本题主要考查知识点为，一元二次方程中根的判别式．当=b24ac0，一元二次方程有两个不 相等的实数根；当=b24ac=0，一元二次方程有两个相等的实数根；当=b24ac0，一元二次方程没 有实数根．掌握根的判别式是解决此题的关键． 2．（2018·上海青浦·统考二模）方程x24x10配方后所得的方程是（ ） A．(x2)2 3 B．(x2)2 3 C．(x2)2 3 D．(x2)2 3 【答案】A 【分析】根据配方法将原式进行整理即可． 【解析】解：x24x10， x24x4410， (x2)230， (x2)2 3， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解本题的关 键． 3．（2020·上海宝山·校考三模）常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第 一季度的总利润是（ ） A．（1＋10％）2万元： B．（1＋10％）10％万元： C．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元： D．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元． 【答案】D 【分析】首先表示出二月份的利润：1月份的利润×(1+10%)，再表示出三月份利润：2月份的利润 第 37 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ×(1+10%)，然后把三个月的利润加起来即可． 【解析】解：由题意得：二月份的利润为：1×(1+10%)=(1+10%) 三月份的利润为：1×(1+10%)(1+10%)=(1+10%)2 故第一季度的利润为：1+(1+10%)+(1+10%)2万元. 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用--增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均 变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．得到三月份的产量的等量关系是解决本题的关 键． x x1 x 4．（2019·上海金山·统考二模）用换元法解方程：  20时，如果设  y，那么将原方程变 x1 x x1 形后表示为一元二次方程一般形式的是（ ） 1 2 A．y 20 B．y 10 C．y22y10 D．y2y20 y y 【答案】C x 【分析】根据题意把  y代入原方程即可求解. x1 x 1 【解析】把  y代入原方程得y 20，去分母得y22y10，故选C. x1 y 【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知等式的性质进行化简. 二、填空题 5．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数 根，则实数k的取值范围是__． 【答案】k 1且k 0 【分析】根据一元二次方程的定义和其根的判别式即得出关于k的不等式，解出k即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，  k 0 ∴ ， Δb24ac(2)24k(1)0 解得：k 1且k 0． 故答案为：k 1且k 0． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和其根的判别式．掌握一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判 第 38 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 别式为b24ac，且当0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0时，该方程有两个相等的实数 根；当Δ0时，该方程没有实数根是解题关键． 6．（2020·上海闵行·校联考一模）已知f（x）＝2x2﹣1，且f（a）＝3，那么a＝_____． 【答案】± 2 【分析】由已知可得f（a）＝2a2﹣1＝3，解出a即可． 【解析】解：∵f（x）＝2x2﹣1，f（a）＝3， ∴f（a）＝2a2﹣1＝3， ∴2a2﹣1＝3时，a＝± 2， 故答案为± 2． 【点睛】本题考查函数值；理解题意，能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键． 7．（2019·上海闵行·统考一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于_____． 【答案】41 【分析】已知一元二次方程的根判别式为△＝b2﹣4ac，代入计算即可求解. 【解析】依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4 ∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41 故答案为41 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为 △＝b2﹣4ac是解决问题的关键. 三、解答题 8．（2021·上海静安·统考二模）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发 部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了 40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？ 【答案】12元 【分析】设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部这种商品每件(x+3)元，根据“比从甲批发部购进数量 多了40件”建立分式方程求解并检验即可． 【解析】设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部这种商品每件(x+3)元， 900 1200 根据题意得：  40 x3 x 第 39 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 左右同乘xx3得：900x1200x340xx3 整理得：2x29x1800 则：2x15x120 2x150或x120， 15 ∴x 12，x  （不符合题意，舍去） 1 2 2 检验：当x12时，xx30， ∴x12是原分式方程的解， ∴乙批发部的这种商品每件12元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，审清题意，找准等量关系建立方程，并注意最后要检验是解题关 键． 9．（2020·上海闵行·校联考一模）某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元， 占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年， 每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？ 【答案】2400万 【分析】设从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据等量关系：2019年经营总收入×（1+增 长率）2＝2021年经营总收入，列出方程求解即可． 【解析】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据题意可得： 800÷40%（1+x）2＝2880， 解得：x ＝0.2＝20%，x ＝2.2（不合题意舍去）， 1 2 则800÷40%×（1+20%）＝2400（万元）， 答：2020年预计经营总收入为2400万元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的 量，其中增长用+，减少用﹣． 10．（2019·上海普陀·统考二模）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨 的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图像如图所示． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量； 第 40 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）当生产这种产品的总成本是200万元时，求该产品的生产数量． 1 【答案】(1) y x7；(2) 44吨；(3) 40吨． 20 【分析】（1）设ykxb（k≠0）， 然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）把y=4.8代入函数关系式计算即可得解； （3）根据“每吨成本×数量=总成本”列出关于x的一元二次方程进行解答． 【解析】解：（1）设y关于x的函数解析式为ykxb k 0，  620kb, 由题意，得 5.628kb.  1 k  , 解得  20   b7. 1 ∴y关于x的函数解析式为y x7． 20 1 （2）将y4.8代入解析式，得4.8 x7． 20 解得 x44． 所以，该产品的生产数量是44吨．  1  （3）由题意，得x x7200．  20  解得 x 40，x 100（不符合题意，舍去）． 1 2 所以，该产品的生产数量是40吨． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．主要利用了待定系数法求一次函数解析式， 已知函数值求自变量的方法． 第 41 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 42 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 43 页 共 43 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司