专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）原卷版_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 05 二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型） 通用的解题思路： 1. 二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 左加 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2.平移与增加性变化 如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值. 只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值. 只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 3.二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可 能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 4.二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 绕顶点旋转180° a变号，h、k均不变 y= -a(x-h)²+ky=a(x-h)²+k 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 a、k变号，h不变 y= -a(x-h)²-k 沿y轴翻折 a、h不变，h变号 y= a(x+h)²+k 题型一：二次函数中的平移问题 1 1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bx (a0)与y轴交于点 a A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）． （2）当B的纵坐标为3时，求a的值； 1 1 （3）已知点P( , )，Q(2,2)，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范 2 a 围．2 2．（2024•平原县模拟）已知抛物线C :yax2 2axa ． 1 3 （1）写出抛物线C 的对称轴： ． 1 （2）将抛物线C 平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C ，且抛物线C 经过点A(2,2)和点B（点 1 2 2 B在点A的左侧），若ABO的面积为4，求点B的坐标． （3）在（2）的条件下，直线l :ykx2与抛物线C 交于点M ，N，分别过点M ，N的两条直线l ，l 1 2 2 3 交于点P，且l ，l 与y轴不平行，当直线l ，l 与抛物线C 均只有一个公共点时，请说明点P在一条定 2 3 2 3 2 直线上． 3．（2024•和平区一模）已知抛物线yax2 bx1(a，b为常数．a0)经过(2,3)，(1,0)两个点． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）抛物线的顶点为 ； （Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线 ． 4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2 bx3交y轴于点A，且过点B(1,2)， C(3,0)． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求ABC 的面积； （3）将抛物线向左平移m(m0)个单位，当抛物线经过点B时，求m的值．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线yx2 2x3． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移m(m0)个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数y 2x2 bxc与x轴有两个交点，其中一个交点为A(1,0)，且图 1 象过点B(1,2)，过A，B两点作直线AB． （1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示； （2）将二次函数 y 2x2 bxc向左平移1个单位，得函数 y  ；函数 y 与坐标轴的交点坐标 1 2 2 为 ； （3）在（2）的条件下，将直线AB向下平移n(n0)个单位后与函数y 的图象有唯一交点，求n的值． 21 7．（2024•温州模拟）如图，直线 y x2分别交x轴、 y轴于点 A，B，抛物线 yx2 mx经过点 2 A． （1）求点B的坐标和抛物线的函数表达式． （2）若抛物线向左平移n个单位后经过点B，求n的值． 8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数yax2 bxc图象经过A(2,3)，B(3,6)、C(1,6)三点． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数yax2 bxc图象平移使其经过点D(5,0)，且对称轴为直线x4，求平移后的二次函 数的解析式． 9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx2 bxc经过点A(1,2)，B(2,1)． （1）求抛物线的解析式； （2）直线yxm经过点A，判断点B是否在直线yxm上，并说明理由； （3）平移抛物线yx2 bxc使其顶点仍在直线yxm上，若平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为n， 求n的取值范围．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线y2x2 4x6． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移m(m0)个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 1 11．（2023•原平市模拟）（1）计算：13 ( )2 (5)|2|； 3 （2）观察表格，完成相应任务： x 3 2 1 0 1 2 Ax2 2x1 2 1 2 1 ① 7 B(x1)2 2(x1)1 7 2 1 2 ② 2 任务一：补全表格； 任务二：观察表格不难发现，当xm时代数式A的值与当xm1时代数式B的值相等，我们称这种现象 为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A，B变形，得到A(③ )2 2，Bx2 2将A与B看成二次函数，则将A的图象④ （描述平移方式），可得到B的 图象．若代数式P参照代数式A取值延后，延后值为3，则代数式P⑤ ．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数 y(|x|1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答 下列问题： 【观察探究】： 方程(|x|1)2 1的解为： ； 【问题解决】： 若方程(|x|1)2 a有四个实数根，分别为x 、x 、x 、x ． 1 2 3 4 ①a的取值范围是 ； ②计算x x x x  ； 1 2 3 4 【拓展延伸】： ①将函数y(|x|1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y (|x2|1)2 3的图象？画出平移后的图象 1 并写出平移过程； ②观察平移后的图象，当2„ y„ 3时，直接写出自变量x的取值范围 ． 1 13．（2023•花山区一模）已知抛物线yx2 axb的顶点坐标为(1,2)． （1）求a，b的值； （2）将抛物线yx2 axb向下平移m个单位得到抛物线C ，存在点(c,1)在C 上，求m的取值范围； 1 1 （3）抛物线C :y(x3)2 k 经过点(1,2)，直线yn(n2)与抛物线yx2 axb相交于A、B（点A 2 在点B的左侧），与C 相交于点C、D（点C在点D的左侧），求ADBC的值． 214．（2023•环翠区一模）已知抛物线yx2 bxc经过点(1,0)和点(0,3)． （1）求此抛物线的解析式； （2）当自变量x满足1„ x„ 3时，求函数值y的取值范围； （3）将此抛物线沿x轴平移m个单位长度后，当自变量x满足1„ x„ 5时，y的最小值为5，求m的值． 15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线y x2 c的图象经过(1,3)． 1 （1）求c的值及抛物线y 的顶点坐标； 1 1 （2）当3„ x„ 时，求y 的最大值与最小值的和； 2 1 （3）如图2，将抛物线y 向右平移m个单位(m0)，再向上平移2m个单位得到新的抛物线y ，点N为抛 1 2 物线y 与y 的交点．设点N到x轴的距离为n，求n关于m的函数关系式，并直接写出当n随m的增大而 1 2 减小时，m的取值范围．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bx3的对称轴为直线x2， 顶点为 A，与 x轴分别交于点B和点C（点 B在点C的左边），与 y轴交于点D，其中点C的坐标为 (3,0)． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE． ①如果DE//AC，求四边形ACDE的面积； ②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当DQECDQ时，求点Q的坐标．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数 yx2 bxc(b，c为常数）的图象经过点A(3,1)，点 C(0,4)，顶点为点M ，过点A作AB//x轴，交y轴于点D，交二次函数yx2 bxc的图象于点B，连 接BC． （1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标： （2）若将该二次函数图象向上平移m(m0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内 部（不包括ABC 的边界），求m的取值范围； （3）若E为 y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点 Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理 由．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条 件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为yx2 4x3． 已知二次函数yax2 bxc的图象经过点A(0,3)，B(1,0)， ． 求该二次函数的解析式． （1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ； （2）当函数值y6时，自变量x的取值范围： ； （3）如图1，将函数yx2 4x3(x0)的图象向右平移4个单位长度，与yx2 4x3(x…4)的图象组成 一个新的函数图象，记为L．若点P(3,m)在L上，求m的值； （4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为(2,0)，在L上是否存在点Q，使得S 9．若存在，求 OAQ 出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l的图象， 则称函数l是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l:yx2 2x3． （1）当t 2时， ①求衍生抛物线l的函数解析式； ②如图1，函数l与l的图象交于M( 3，n)，N(m,2 3)两点，连接MN ．点P为抛物线l上一点，且 位于线段MN 上方，过点P作PQ//y轴，交MN 于点Q，交抛物线l于点G，求S 与S 存在的数量 QNG PNG 关系． （2）当t 2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l与x轴交于 D，E两点，与y轴交于点F ．点K在抛物线l上，且EFK OCA．请直接写出点K的横坐标．20．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2 2x3的顶点为A，与y轴交于点 C，线段CB//x轴，交该抛物线于另一点B． （1）求点B的坐标及直线AC的解析式； （2）当二次函数 yx2 2x3的自变量 x满足m„ x„ m1时，此函数的最大值为 p，最小值为q，且 pq2．求m的值； （3）平移抛物线yx2 2x3，使其（备用图）顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．21．（2023•米东区模拟）如图，已知二次函数yx2 bxc(b，c为常数）的图象经过点A(3,1)，点C(0,4)， 顶点为点M ，过点A作AB//x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC． （1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标； （2）若将该二次函数图象向下平移m(m0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内 部（不包括ABC 的边界），求m的取值范围． 22．（2023•驻马店二模）如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线yax2 2ax3交x轴于A、B两点， 与y轴交于点C，已知点A坐标为(1,0)． （1）求抛物线解析式及其顶点坐标． （2）若将抛物线向右平移m个单位，得新抛物线“V ”，若“V ”与坐标轴仅有两个交点，求m值． （3）若点M 为线段AB上一动点，过点M 作y轴平行线，该平行线与“V ”交点为N，请直接写出点N 的纵坐标y 的取值范围． N23．（2023•宝鸡二模）如图，抛物线L:yax2 bx4与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．将 抛物线L向右平移一个单位得到抛物线L． （1）求抛物线L与L的函数解析式； （2）连接AC，探究抛物线L的对称轴上是否存在点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是等腰三角 形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数中的翻折问题 24．（2024•江西模拟）已知二次函数ykx2 6kx5k(k 0)经过A，B两定点（点A在点B的左侧），顶 点为P． （1）求定点A，B的坐标； （2）把二次函数ykx2 6kx5k 的图象在直线AB下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次 函数位于直线AB上方的部分的组合图象记作图象W ，求向上翻折部分的函数解析式； （3）在（2）中，已知ABP的面积为8． ①当1„ x„ 4时，求图象W 中y的取值范围； ②若直线ym与图象W 从左到右依次交于C，D，E，F 四点，若CDDEEF ，求m的值． 25．（2023•零陵区三模）在平面直角坐标系中，二次函数yx2 2mxm2 9的图象与x轴交于A，B两 点（点A在点B的左侧）． （1）求A、B两点的坐标（用含m的式子表示）； （2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当 3„ x„ 1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围； （3）已知直线l:y1，点C在二次函数yx2 2mxm2 9的图象上，点C的横坐标为2m，二次函数 yx2 2mxm2 9的图象在C、B之间的部分记为M （包括点C，B)，图象M 上恰有一个点到直线l 的距离为2，直接写出m的取值范围．26．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L :yx2 2x3的顶点为P．直线l过点 1 M(0，m)(m… 3)，且平行于x轴，与抛物线L 交于A、B两点(B在A的右侧）．将抛物线L 沿直线l翻折 1 1 得到抛物线L ，抛物线L 交y轴于点C，顶点为D． 2 2 （1）当m1时，求点D的坐标； （2）连接BC、CD、DB，若BCD为直角三角形，求此时L 所对应的函数表达式； 2 （3）在（2）的条件下，若BCD的面积为3，E、F 两点分别在边BC、CD上运动，且EF CD，以EF 为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．27．（2024•盐城模拟）已知抛物线yax2 (3a1)x2(a为常数且a0)与y轴交于点A． （1）点A的坐标为 ；对称轴为 （用含a的代数式表示）； （2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为 ； （3）若a0，且自变量x满足1„ x„ 3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式； （4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M （包含点A、B)，若将M 在直线y2下方的部分保持不 变，上方的部分沿直线y2进行翻折，可以得到新的函数图象M ，若图象M 上仅存在两个点到直线y6 1 1 的距离为2，求a的值． 28．（2023•扶余市二模）如图，抛物线yx2 bxc与x轴交于点A(1,0)，B(5,0)，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标； （2）如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部 分记作图形M ，在图形M 中，回答： ①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为 y(x3)2 4 (1„ x„ 5) ； 3 ②当 „ x„ 4时，求y的取值范围； 2 3 15 ③当m„ x„ m2，且m 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为 ，直接写出m的值． 2 429．（2023•余江区一模）已知抛物线C :yax2 2ax3(a0) 1 （1）当a1时， ①抛物线C 的顶点坐标为 ． 1 ②将抛物线C 沿x轴翻折得到抛物线C ，则抛物线C 的解析式为 ． 1 2 2 （2）无论a为何值，直线ym与抛物线C 相交所得的线段EF （点E在点F 左侧）的长度都不变，求m 1 的值和EF 的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C 沿直线 ym翻折，得到抛物线C ，抛物线C ，C 的顶点分别记为 1 3 1 3 P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F ，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值： 若不存在，请说明理由．30．（2023•越秀区校级三模）已知二次函数 yx2 bxm图象的对称轴为直线 x2，将二次函数 yx2 bxm图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C． （1）求b的值； （2）①当m0时，图C与x轴交于点M ，N(M 在N的左侧），与y轴交于点P．当MNP为直角三角形 时，求m的值； ②在①的条件下，当图象C中4„ y0时，结合图象求x的取值范围； （3）已知两点A(1,1)，B(5,1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．题型三：二次函数对称问题 31．（2024•雁塔区校级二模）如图，抛物线L:yax2 bx3经过 A(1,0)，B(5,3)两点，与 y轴交于点 C． （1）求该抛物线L的表达式； （2）抛物线L与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y 轴的平行线交抛物线L于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M 、N．试探究是否存在 一点P，使得四边形PQNM 为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理 由． 32．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数y ax2 4ax4a1的图象是M ． 1 （1）求M 关于点R(1,0)成中心对称的图象N的解析式y ； 2 （2）当2„ x„ 5时，y 的最大值为5，求a的值． 233．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2 bxc(a0)与x轴交于 A(2,0)，B(4,0)，与y轴交于C(0,4)，连接AC，作直线BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线BC上方抛物线上有一动点P，过点P作PM //x轴交BC于M ，过M 作MN //y轴交x轴于 N，求PM MN 的最大值和此时P点坐标； （3）将原抛物线沿CB方向平移2 2个单位长度得到新抛物线，已知 D点是新抛物线上一动点，且 DBC OACBCO，求所有符合条件的点D的横坐标并写出其中一种情况的求解过程．34．（2023•海安市模拟）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y ，y ， 1 2 1 都有点(x,y )、(x,y )关于点(x,x)对称，则称这两个函数为关于 yx的对称函数，例如， y  x和 1 2 1 2 3 y  x为关于yx的对称函数． 2 2 （1）判断：①y 3x和y x；②y x1和y x1；③y x2 1和y x2 1，其中为关于yx的 1 2 1 2 1 2 对称函数的是 （填序号）； （2）若y 3x2和y kxb(k 0)为关于yx的对称函数．求k、b的值． 1 2 （3）若 y ax2 bxc(a0)和 y x2 n为关于 yx的对称函数，令 w y  y ，当函数 w与函数 1 2 2 1 yx(0„ x„ 2)有且只有一个交点时，求n的取值范围． 35．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线C :yax2 bx3与x轴于点A(1,0)，B(3,0)，与 y轴交于点 1 C． （1）求抛物线C 的解析式； 1 （2）已知抛物线C 与抛物线C 关于y轴对称，过点C作CD//x轴交抛物线C 于点D，P是抛物线C 上 2 1 1 2 的一个动点，连接PB、PC、BC、BD．若S S ，求点P的坐标． PBC BCD36．（2023•灞桥区校级模拟）如图，顶点M 在y轴负半轴上的抛物线与直线 yx2相交于点A(2,0)， B(4,6)，连接AM ，BM ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线AB的下方，是否存在点P， 11 使得S  S ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ABP 8 ABM题型四：二次函数中的旋转问题 37．（2023•吉安县校级一模）已知抛物线y ax2 bxc分别交x轴于A(1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交 1 于点C(0,3)． （1）求抛物线的解析式及顶点P坐标； （2）将该二次函数绕点(4,0)旋转180，求旋转后的二次函数解析式； （3）设旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交点为D，顺次连接A、P、D、Q，求四边形 APDQ的面积．38．（2023•郏县一模）如图，直线y2x4与x轴交于点A，抛物线yax2 4x2a1经过点(1,8)，与 x轴的一个交点为B(B在A的左侧），过点B作BC垂直x轴交直线于C． （1）求a的值及点B的坐标； （2）将ABC绕点A顺时针旋转90，点B、C的对应点分别为点E、F ．将抛物线yax2 4x2a1 沿x轴向右平移使它过点F ，求平移后所得抛物线的解析式． 39．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线y ax2 bxc分别交x轴于A(1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交 1 于点C(0,3)． （1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标． （2）如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180． ①求旋转后的抛物线的表达式； ②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ 的面积． ?1 1 40．（2023•长春模拟）如图，直线y x2与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y x2 bxc经 2 4 过点A，点B，并与x轴有另一交点C． （1）依题，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ． （2）求抛物线的解析式． （3）在直线AB下方的抛物线上有一点D，求四边形ADBC 面积的最大值． （4）在x轴上有一个动点P(m,0)，将线段OA绕点P逆时针旋转90得到线段MN ．直接写出线段MN 与 抛物线只有一个公共点时m的取值范围． 题型五：二次函数中的几何变换 41．（2024•梧州模拟）九年级数学兴趣小组的同学研究发现若把二次函数y ax2 bxc的系数调换位置变 1 成新的二次函数y cx2 bxa，且b0，这两个函数有一定的关连，于是命名它们为“互为对调函数”， 2 根据这个规定，解答下列问题： （1）若二次函数y 3x2 2x5，则它的“对调函数”是y  ，且此“对调函数”与y轴的交点 1 2 是 ； （2）若k、m为非零实数，二次函数y x2 3kxm经过两个不同的点A(k,h)与点B(m,h)，请求出“对 1 调函数” y 的对称轴； 2 （3）在（2）中，“对调函数” y 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出这两个定点坐标；若不经过， 2 请说明理由．