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专题 11.1 三角形的边（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的相关概念
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三
角形.
（2）三角形的基本元素：
基本 三个顶点 三条边 三个内角
元素
表示 点A、B、C必须用大写 方法1：线段AB、BC、 A， B， C.
方法 字母表示 AC.
方法2：顶点所对的边用
a,b,c表示.
图示
三条边AB、BC、AC(或a、b、c)，三内角 A B C 顶点：点A、B、C
（3）三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作 ABC，读作“三角形ABC”
特别指出：符号“ ”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示.
【例1】三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【答案】C
【分析】根据三角形的定义解答即可．
解：因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：C．
【知识点二】三角形的分类（1）等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
（2）等边三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形是等边三角
形.
【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为 ，周长为 cm，
则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰
【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为 ，即可列方程求解．
解：设三角形三边的长度比为 ，
则： ，
解得：
∴
故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰
【知识点三】三角形三边关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边之 a+b>c; b+c>a; a+c>b 两 点 之
和大于第在边 间，线段
最短。
三角形两边之 a-b≮c; b-c≮a; a-c≮b
差小于第三边
【例3】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， ，
，则 的值可能是（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】考查了三角形的三边关系，解题的关键是分别利用三边关系确定 的取值范围，难度不
大．
分别在两个三角形中利用三角形的三边关系得： 、 ，从而得到 ，
找到适合的值即可．
解：在 中， ， ，
所以根据三角形的三边关系得： ，
即： ①，
在 中， ， ，
所以根据三角形的三边关系得： ，
即： ②，
由①②得： ，
只有11适合，
故选：D．
【知识点四】三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定
性.特别指出：稳定性是三角形所持有的特征，在生产生活中有着广泛的应用，四边形
不具有稳定性.
【例4】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉
杆”，这样设计是利用（ ）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题关键是熟练掌握三角形的稳定性原理．
根据三角形的稳定性即可求解．
解：在人字梯的中间设计的拉杆，
可从不稳定的四边形中构成一个稳定的三角形，
从而达到稳定人字梯的作用．
故选： ．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】构成三角形的条件
【例1】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为 的三边长，且a，b满足
．
（1）求c的取值范围；
（2）若第三边长c是整数，求c的值．
【答案】(1) ； (2)c的值为 ， ，
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求
出 ， 的值．
（1）利用非负性求出 ， 的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第三边长c是整数，求c的值即可．
（1）解：∵ ，
， ，
解得 ， ，
， ，
∴ ．
（2）解：∵ 是整数，
的值为 ， ， ．【举一反三】
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，
则整数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边．利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最小的整数即可．
解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，
∴ ，
∴ ，
∴整数m的最小值是3．
故选：B．
【变式2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）给出三条线段： 、 、 ；
三边之比为 ； 、 、 ； 、 、 ．其中能组成三角形的有
（填序号）．
【答案】
【分析】本题考查了组成三角形的条件，① 满足三角形三边关系，据此可
判断 是否符合题意； 可设三边长度为 、 、 其中 ，再利用三角形三边关系进行判
断，同理判断 、 ，掌握三角形三边关系是解题的关键．
解： 因为 ， ，能够组成三角形；
②设三边长度为 、 、 其中 ， ，能组成三角形；
③ ，不能组成三角形；
④ ，能组成三角形．
故答案为： ．
【题型2】求等腰三角形边长或周长（分类讨论思想）
【例2】（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）在等腰 中，三边长分别是a，b，c，并且满
足 ，求 的周长．【答案】 的周长是13或11
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，先利用非
负数的性质求解 ， 的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
解 ：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵a，b，c分别是等腰 的边，
①当 时， ，符合三角形的三边关系，
∴ 的周长是： ，
②当 时， ，符合三角形的三边关系，
∴ 的周长是： ，
综上分析可知， 的周长是13或11．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，则x可
能的值是（ ）
A．9 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】由三边关系定理，得 ，求解即可.
解：腰长为x，则底为 ，
解得 ；
故选：C
【点拨】本题考查三角形三边关系定理，一元一次不等式求解；由三边关系定理构建不等式是解题
的关键．
【变式2】一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】16或17．
解：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分两种情况讨论：（1）当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16；
（2）当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．
∴这个等腰三角形的周长是16或17．
【题型3】利用三角形三边关系化简
【例3】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知 ， ， 是 三边的长．
（1）若 ， ， 满足 ，试判断 的形状；
（2）化简 ．
【答案】(1)等边三角形；(2)
【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；
（1）根据非负数的性质，可得出 ，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到 ， ， ，然后去绝对值符号后化
简即可．
解：（1） ，
且 ，
，
为等边三角形；
（2） ， ， 是 的三边长，
， ， ，
， ， ，
．
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）已知三角形的三边长分别为 ，则化简
的结果为（ ）
A． B． C．4 D．【答案】C
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范
围，进而得到化简结果．
解 ：由三角形三边关系定理得 ，
即 ．
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系的运用，根据三角形三边关系定理列出不等式是解本题的
关键．
【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）若 ， ， 是 的三边，试化简：
．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系
得到 ， ，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角
形的任意两边之和大于第三边．
解 ：∵ ， ， 是 的三边，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为： ．
【题型4】利用三角形三边关系进行证明
【例4】（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是 的边 上任意一点，求证：
．【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论．
证明：在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到不等关系．
【举一反三】
【变式1】（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知点 是 内一点， 连接 并延长交
于点 ，求证： ．
【分析】在 中运用三角形三边关系可得 ，再根据线段的和差可得
， 可得： ；同理可得： ，最后运用
等量代换即可证明结论．
证明：∵在 中，可得 ， ，
∴ 可得： ．
∵在 中，可得 ③， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查三角形的三边关系，找准三角形并灵活运用三角形的三边关系是解答本题的
关键．【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知O为 内的任一点，求证：
．
【分析】对于证明线段之间不等关系的题目，常常把线段转化为一个或多个三角形的边，然后利用
三角形三边关系证明．
证明：如图，延长 交 于点D．
∵三角形两边的和大于第三边，
∴ ，①
，②
①+②，得 ，
即 ．
同理可得 ， ，
∴ ，
即 ．
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ．
∴ ．
【点拨】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明．第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中
能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
解：A、 ，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、 ，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、 ，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、 ，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大
于第三个数．
【例2】（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3， 在数轴上从左到右依次排列，且以这
三个数为边长能构成三角形，则 的取值范围为
【答案】
【分析】根据三个数在数轴上的位置得到 ，再根据三角形的三边关系得到
，求解不等式组即可．
解：∵3， 在数轴上从左到右依次排列，
∴ ，解得 ，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴ ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（21-22七年级下·江苏苏州·期末）阅读下列材料：解方程组：
解：由①得
x﹣y＝1 ③，
将③代入②，得
4×1﹣y＝5，
解这个一元一次方程，得
y＝﹣1
从而求得 ．
这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题：
（1）解方程组： ；
（2）在（1）的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，且第三边的长是奇数，求△ABC的周长．
【答案】(1) ； (2)16或18或20
【分析】（1）由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可
确定出方程组的解．
（2）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定第三边的值，即可解答．
（1）解：
由①得：2x﹣3y＝2③，
将③代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入③得：x＝7，
则方程组的解为 ．
（2）解：∵△ABC两条边长是7和4，
∴第三边长小于11并且大于3，∵第三边的长是奇数，
∴第三边长是5或7或9，
∴△ABC的周长是7+4+5＝16
或7+4+7＝18
或7+4+9＝20．
∴△ABC的周长为16或18或20．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系，解决本题的关键是解二元一次方程组．
【例2】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，
已知 是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且 ，当 时，则符合条件
的 有 个．
【答案】
【分析】先确定 的整数解，再根据三边关系，求解即可．
解：∵三角形的三边长分别为a，b，c，且 ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ 的值为： ， 的值为 ，
当 时， 不存在；
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴符合条件的 有 个；
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边时，三条线段能够组成三角
形，是解题的关键．
