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专题 13.2 等腰三角形中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．
2．等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等
腰直角三角形的每个底角都等于45°．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）．
◆ 典例分析
【典例1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为△ABC内部一点，连接CD，AD，BD．
（1）如图1，若AD=AC，CD=8，求点B到直线CD的距离；
（2）如图2，以CD为直角边作等腰直角△CDE，DE=DC，线段EC，AD交于点F，若∠DCB=∠ABD，求证：AF=DF；
（3）如图3，点Q在AB边上，且AQ=AC，点M为直线AC上的一个动点，连接MQ，过点Q作
NQ⊥MQ，且满足NQ=MQ，连接BN，当BN最短时，请直接写出∠CMQ的度数．
【思路点拨】
（1）过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，可证得△ACH≌△CBG(AAS)，得出
1
BG=CH，再由等腰三角形性质可得CH= CD=4；
2
（2）延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，可证得△ACS≌△CBL(AAS)，进而可证
△AFS≌△DFL(AAS)，即可证得结论；
（3）作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交AC的延长线于
点W，连接AN，可证得△QWM≌△QAN(SAS)，得出∠QAN=∠W =45°，即点N在直线AP上运
动，当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N与点P重合，作点C关于AB的对称点P，连接CQ，则
QP=QC，即QN=QC，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，如图1，
则∠AHC=∠CGB=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
∵∠ACH+∠BCG=∠ACB=90°，
∴∠CAH=∠BCG，
在△ACH和△CBG中，
{∠AHC=∠CGB
)
∠CAH=∠BCG ，
AC=BC
∴△ACH≌△CBG(AAS)，
∴BG=CH，
∵AD=AC，AH⊥CD，1
∴CH=DH= CD=4，
2
∴BG=4，
即点B到直线CD的距离为4；
（2）证明：延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，
则∠ASC=90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=45°，∠DCB=∠ABD，
∴∠DCB+∠CBD=45°，
∴∠DCB+∠CBD+∠DCE=90°，
∴∠BLC=180°−90°=90°，
∴∠ASC=∠BLC，
∴∠ACS+∠CAS=90°，
∵∠ACS+∠BCL=∠ACB=90°，
∴∠CAS=∠BCL，
在△ACS和△CBL中，
{∠ASC=∠BLC
)
∠CAS=∠BCL ，
AC=BC
∴△ACS≌△CBL(AAS)，
∴AS=CL，
∵∠DCE=45°，∠CLD=90°，
∴∠CDL=90°−45°=45°=∠DCE，
∴CL=DL，
∴AS=DL，
在△AFS和△DFL中，{∠ASF=∠DLF=90°
)
∠AFS=DFL ，
AS=DL
∴△AFS≌△DFL(AAS)，
∴AF=DF；
（3）解：如图3，作点C关于AB的对称点P，连接AP、CP，CP交AB于点O，过点Q作QW⊥AB交
AC的延长线于点W，连接AN，
则∠AQW =90°，∠BAP=∠BAC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠W =90°−45°=45°=∠BAC，
∴QA=QW，
∵NQ⊥MQ，且满足NQ=MQ，
∴∠AQM+∠MQW =∠AQM+∠NQA=90°，
∴∠MQW =∠NQA，
在△QWM和△QAN中，
{ QW =QA )
∠MQW =∠NQA ，
QM=QN
∴△QWM≌△QAN(SAS)，
∴∠QAN=∠W =45°，
即点N在直线AP上运动，
当且仅当BN⊥AP时，BN最短，即点N与点P重合，
如图4，连接CQ，则QP=QC，即QN=QC，
∵QM=QN，
∴QC=QM，
∵AQ=AC，
1
∴∠ACQ=∠AQC= (180°−45°)=67.5°，
2
∵QM=QC，
∴∠CMQ=∠ACQ=67.5°．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，△ABC是等腰三角形(AB=AC≠BC)，在△ABC所在
平面内有一点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有
（ ）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拨】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB、AC、BC的垂直平分线，首先△ABC
的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点B为圆心，以AB长为半径画圆，与BC的垂直平分线相交于
两点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；再以点A为圆心，以AB长为半径画圆，与BC的垂直
平分线相交于两点，这两点也符合条件；在△ABC的左边作一个△APB，使△APB≌△ABC，结合全等三角形的性质可确定符合条件的P点，同理在△ABC的右边作一个△APC，也可获得符合条件的P点．
【解题过程】
解：如下图，
①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是
点A，另一点为符合要求的P点；
③作BC的垂直平分线，以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，这两点为符
合要求的P点；
④在△ABC的左边作一个△APB，使△APB≌△ABC，这点也是符合要求的P点；
⑤同理在△ABC的右边作一个△APC，使△APC≌△ACB，这点也是符合要求的P点．
所以，共有6个符合条件的点P．
故选：D．
2．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，∠CAB=∠DAE=36°，△ADE和△ABC均为等腰三角形，
其中AB=AC，AD=AE．连接BE并延长交AC，AD于点F，G，连接CD．若BE平分∠ABC，则下列
选项中不正确的是（ ）
A．∠DAC=∠EAB B．CD∥AB C．AF=CF D．AF=BF【思路点拨】
本题根据∠CAB=∠DAE=36°，得到∠CAB−∠CAE=∠DAE−∠CAE，即可判断A项，根据题意
证明△ADC≌△AEB，由等腰三角形性质得到∠ABC，由角平分线性质得到∠EBA=∠DCA，推出
∠DCA=∠CAB=∠EBA,即可判断B、D项，根据题意继续推出∠CFB=∠BCF=72°，即可判断C
项．
【解题过程】
解：∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠CAB−∠CAE=∠DAE−∠CAE，
即∠DAC=∠EAB，
∴ A项正确，不符合题意．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠DCA=∠EBA，
又∵∠CAB=36°，
180°−36°
∴∠ABC= =72°，
2
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA=∠DCA=36°，
∴∠DCA=∠CAB=∠EBA，
∴CD∥AB，AF=BF，
∴ B、D项正确，不符合题意．
∵CD∥AB，∠ABC=72°，
∴∠DCB=180°−72°=108°，
∴∠BCF=108°−36°=72°，
∵∠CFB=∠FAB+∠FBA=72°=∠BCF，
∴BF=BC=AF≠CF，
∴ C项错误，符合题意．
故选：C．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，点F为AC上一点，点D为
BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果
∠ABC=2∠D,∠CAD=∠BAC,BE=CF，那么下列说法中，正确的个数有（ ）（1）EG=FG，（2）AD=AB+BC，（3）∠E=∠D，（4）点G到AB，AC的距离之和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作FH∥AB
，则FH=FC=BE，从而易证△BEG≌△HFG，因此EG=FG，故（1）正确；在AD上截取AK=AB
，则△ABC≌△AKC，且易证△CDK为等腰三角形，从而AB=AK,BC=CK=DK，因此
AB+BC=AK+DK=AD，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确．
【解题过程】
解：如图，过点F作FH∥AB，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∵ FH∥AB，
∴ ∠FHC=∠ABC，∠EBG=∠FHG，
∴ ∠FCH=∠FHC，
∴ FH=FC=BE，
∵ ∠BGE=∠HGF，
∴ △FGH≌△EGB，
∴ EG=FG，故（1）正确；
在AD上截取AK=AB，
∵ ∠CAD=∠BAC，
AK=AB，AC=AC，
∴ △ABC≌△AKC，
∴ BC=CK，∠ABC=∠AKC，
∵ ∠ABC=2∠D，
∴ ∠AKC=2∠D，
∴ ∠D=∠KCD，
∴ CK=DK，
∴ BC=KD，
∴ AD=AK+KD=AB+BC，
故（2）正确；
连接AG，过点G作GH⊥AB，GJ⊥AC，CI⊥AB，垂足分别为H，G，I，
1 1 1
∵ S = AB×GH，S = AC×GJ，S = AB×CI，
△ABG 2 △ACG 2 △ABC 2
∵ S =S +S ，
△ABC △ABG △ACG
1 1 1
∴ AB×CI= AB×GH+ AC×GJ，
2 2 2
∵ AB=AC，
∴ GH+GJ=CI，
∴点G到AB，AC的距离之和为定值，
故（4）正确；
故选：C
4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点
M；以下五个结论：①△ADC≌△AEB；②∠AEG=∠CDB；③△EGM是等腰三角形；④
BG=AF+FG；恒成立的结论有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④
【思路点拨】
①首先得出AC=AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；②③利用△ACD≌△ABE，得出
∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，结合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，
∠GEM=∠GME，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作AB的垂线，交GF的延长线于
点N，利用（1）的结论可将AF转化为NF，BG转化为NG，从而在一条直线上得出三者的关系．
【解题过程】
解：因为等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
在△ADC和△AEB中，
{
AC=AB
)
∠CAD=∠BAE ，
AD=AE
∴△ADC≌△AEB(SAS)，故①正确；
∵ADC≌△AEB，
∴∠1=∠3，故②∠AEG=∠CDB正确；
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM为等腰三角形，故③正确；
过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，如图：
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°−∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°−∠EBC，∠5+∠2=90°，
由①可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
在△BFN和△BFA中，
{∠FBN=∠FBA
)
BF=BF ，
∠BFN=∠BFA
∴△BFN≌△BFA(ASA)，
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，∴BG=AF+FG，故④正确；
故选：A
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在△ABC中，AB=AC，如果过某一顶点的直线
可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A=36°，②∠A=90°，③∠A=108°，④
180°
∠A= ，你认为其中正确的结果有（ ）
7
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】
①当∠A=36°时，则∠ABC=∠C=72°，作∠ABC的平分线交AC于点D，从而得
∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，据此可判定△ABD和△BCD均为等腰三角形，进而可对①进行
判断；
②当∠BAC=90°时，则∠B=∠C=45°，作∠BAC的平分线交BC于点D，从而得
∠BAD=∠CAD=45°，据此可判定△ABD和△ACD均为等腰三角形，进而可对②进行判断；
③当∠BAC=108°时，则∠B=∠C=36°，作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，则△ABD为等
腰三角形，∠DAB=∠B=36°，进而得∠CAD=72°，∠CDA=72°，由此可判定△CAD为等腰三角
形，进而可对③进行判断；
180° 540°
④当∠A= 时，则∠ABC=∠C= ，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则△ABD为
7 7
180° 360° 360°
等腰三角形，从而得∠ABD=∠A= ，∠CBD= ，∠CDB= ，由此可判定ΔCBD为等
7 7 7
腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案．
【解题过程】
解：在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°
1
∴∠B=∠C= (180°−∠A)，
2
1 1
①当∠A=36°时，则∠ABC=∠C= (180°−∠A)= ×(180°−36°)=72°，
2 2
作∠ABC的平分线交AC于点D，如图1所示：∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠ABD=∠A=36°，∠BDC=∠C=72°，
∴△ABD和△BCD均为等腰三角形，即直线BD将ΔABC分成两个等腰三角形，故①正确；
1 1
②当∠BAC=90°时，则∠B=∠C= (180°−∠A)= ×(180°−90°)=45°，
2 2
作∠BAC的平分线交BC于点D，如图2所示：
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，∠C=CAD=45°，
∴△ABD和△ACD均为等腰三角形，即直线AD将△ABC分成两个等腰三角形，故②正确；
1 1
③当∠BAC=108°时，则∠B=∠C= (180°−∠A)= ×(180°−108°)=36°，
2 2
作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，如图3所示：
则BD=AD，即ΔABD为等腰三角形，
∴∠DAB=∠B=36°，
∴∠CAD=∠BAC−∠DAB=108°−36°=72°，∠CDA=∠DAB+∠B=72°，∴∠CAD=∠CDA=72°
∴△CAD为等腰三角形，即直线AD将△ABC分成两个等腰三角形，故③正确；
180° 1 1 180° 540°
④当∠A= 时，则∠ABC=∠C= (180°−∠A)= ×(180°− )= ，
7 2 2 7 7
作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，如图4所示：
则AD=BD，即△ABD为等腰三角形，
180°
∴∠ABD=∠A= ，
7
540° 180° 360° 360°
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD= − = ，∠CDB=∠A+∠ABD= ，
7 7 7 7
360°
∴∠CBD=∠CDB= ，
7
∴△CBD为等腰三角形，即直线BD将△ABC分成两个等腰三角形，故④正确；
综上所述：正确的结果是①②③④，共4个，
故选：A．
6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如下图，在等腰△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，BE平分
∠DBC,M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD=10，则CM+MN的最小值为
．
【思路点拨】
过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，则CM+MN的最小值为CF．延长BA,CF两线交于点G，
1 1
证明△ABD≌△ACG，△GBF≌△CBF，根据全等三角形的性质，得到GF=CF= CG= BD．
2 2【解题过程】
解：过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，延长BA,CF两线交于点G，
∵BE平分∠DBC，
∴MN≥MF，当MN⊥BC时，MN=MF，
∴CM+MN≥CM+MF=CF，
∵∠A=∠DFC=90°，∠ADB=∠FDC，
∴∠ABD=∠FCD，
{∠ABD=∠ACG
)
∵ AB=AC ，
∠DAB=∠GAC
∴△ABD≌△ACG，
∴BD=CG；
∵BD平分∠ABC，
∴∠GBF=∠CBF，
{
∠GBF=∠CBF
)
∵ BF=BF ，
∠GFB=∠CFB=90°
∴△GBF≌△CBF，
1 1
∴GF=CF= CG= BD；
2 2
∵BD=10，
∴CF=5，
∴CM+MN的最小值为5，
故答案为：5．
7．（2024·四川达州·一模）如图，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CEF=90°，点E
在AC边上．将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交
于点M，N，若△CMN是等腰三角形，则α的值为 ．【思路点拨】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形存在性问题等知识，掌握三线合一性质是解题的关键．分①当
CM=CN且点E在∠ACB内部时，②当NM=NC时，③当CN=CM时三种情形分别画出图形，利用等
腰三角形的性质求解即可．
【解题过程】
解：依题意可知：∠ACB=45°，
如图1中，当CM=CN且点E在∠ACB内部时，
∵CM=CN，EF⊥CE，
1
∴α=∠MCE=∠ECN= ∠ACB=22.5°．
2
如图2中，当NM=NC时，点N与点E重合，点M与点F重合，α=∠MCN=∠ACB=45°．
如图3中，当CN=CM且点E在∠ACB外部时，
∵CM=CN，EF⊥CE，1 1
∴∠NCE= ∠BCM= ×(180°−45°)=67.5°，
2 2
∴α=∠ACE=∠ACB+∠NCE=45°+67.5°=112.5°．
综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．
故答案为：22.5°或45°或112.5°．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC≌△A′B′C′，∠ABC=90°，∠A′=27°（
0°<∠ABA′≤54°），A′C′与AC交于点F，与AB交于点E，连接BF．当△BEF为等腰三角形时，
∠ABA′的度数为 ．
【思路点拨】
根据0°<∠ABA′≤54°，分两种情况讨论：当EF=FB时，当BE=BF时，设∠FEB=∠FBE=α，过点
B作BP⊥AC,BQ⊥A′C′，垂足分别为P,Q，得出B在∠PFQ的角平分线线上，进而根据三角形内角
和定理，三角形的外角的性质，即可求解．
【解题过程】
解：如图所示，当EF=FB时，△BEF是等腰三角形，
设∠FEB=∠FBE=α，过点B作BP⊥AC,BQ⊥A′C′，垂足分别为P,Q，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴对应边上的高相等，即BP=BQ，
∴B在∠PFQ的角平分线线上，
∵∠PFB是△ABF的外角，
∴∠PFB=∠A+∠FBE=27°+α∴∠QFB=27°+α
∵∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°
∴27°+α+2α=180°
解得：α=51°
∴∠ABA′=∠FEB−∠A′=51°−27°=24°
如图所示，当BE=BF时，△BEF是等腰三角形，
设∠FEB=∠BFE=α
同理可得∠PFB=∠QFB=α,
∴∠FBE=∠PFB−∠A=α−27°
∵∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°
∴α+α+α−27°=180°
解得：α=69°
∴∠ABA′=∠FEB−∠A′=69°−27°=42°，
由于0°<∠ABA′≤54°，不存在EF=EB的情形，
综上所述，∠ABA′的度数为，24°或42°．
故答案为：24°或42°．
9．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE
平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下
列结论：①BF=AC；②2AE=BF；③S =S ；④△DGF、△ABC都是等腰三角形．
四边形ADGE 四边形CHGE
其中正确的是 ．
【思路点拨】证明△BDF≌△CDA(AAS)即可判断①，证明△ABE≌△CBE(ASA)即可判断②；过G作GM⊥BD于点
M，根据角平分线的性质得GM=GH，结合BD>BH，可得S >S ，又△ABE≌△CBE可得
△BDG △BGH
S =S ，即可判断③，证明∠DGF=∠DFG、BA=BC，可判断④．
△ABE △CBE
【解题过程】
解：①∵CD⊥AB，
∴∠BDF=∠CDA=90°，
∴∠DBF+∠DFB=90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEA=90°，
∴∠DBF+∠DAC=90°，
∴∠DFB=∠DAC，
又∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=180°−∠ABC−∠BDF=45°=∠ABC，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDA△FBD中，
{∠BDF=∠CDA
)
∠DFB=∠DAC ，
BD=CD
∴△BDF≌△CDA(AAS)，
∴BF=CA，故①正确；
②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BEA=∠BEC=90°，
在△ABE和△CBE中，
{∠ABE=∠CBE
)
BE=BE ，
∠BEA=∠BEC
∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE=CE，
∴AC=AE+CE=2CE，
又∵BF=AC，
∴2CE=BF，故②正确；
③如图所示，过G作GM⊥BD于点M，∵H是BC边的中点，BD=CD，
∴DH⊥BC，即∠DHB=90°，
∴BD>BH，
又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，
∴GM=GH，
1 1
∴S = BD⋅GM> BH⋅GH=S ，
△BDG 2 2 △BGH
又∵△ABE≌△CBE，
∴S =S ，
△ABE △CBE
∵S =S −S ，S =S −S ，
四边形ADGE △ABE △BDG 四边形CHGE △CBE △BGH
∴S 90°，AM⊥BC于M，AN⊥ED
于N，求证：NE=AM；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四边形ABCD的内
部是否存在点P，使得△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说
明理由．
【思路点拨】
本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理．
（1）利用题意得∠B=∠C，再判定△ABM≌△EAN即可得到本题；
（2）连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD，证明△ADC≌△ABC和△PDC≌△PBC，再利用三角
形内角和即可得到本题答案．
【解题过程】
解：（1）证明：将图中角进行命名：
，
∵△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”，
∴AB=AC=AD=AE，∠BAC+∠DAE=180∘，∴∠B=∠C，
又∵AM⊥BC，AN⊥ED，
∴∠3=∠4=90∘，∠1=∠2，EN=ND，
∴∠BAC+2∠1=180∘，
又∵∠BAC+2∠B=180∘，
∴∠B=∠2=∠1，
{∠3=∠4
)
在△ABM和△EAN中， ∠B=∠1
AB=AE,
∴△ABM≌△EAN(AAS)，
∴NE=AM；
（2）存在．
证明：连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD，
，
∵AD=AB，CD=BC，AC=AC
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠ABC=∠ADC=90∘，
∵P是AC的中点，
1 1
∴PB=PA=PC= AC，PD=PA=PC= AC．
2 2
∴PA=PB=PC=PD，
又∵DC=BC，PB=PD，PC=PC，
∴△PDC≌△PBC(SSS)，
∴∠DPC=∠BPC，
∵∠APB+∠BPC=180∘，
∴∠APB+∠DPC=180∘
∴△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”．
12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的一个动点（点D不
与点B，C重合），连接AD，作等腰△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，点D，E在直线AC两旁，连接CE．
（1）如图1，当∠BAC=90°时，判断BC与CE的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当0°<∠BAC<90°时，过点A作AF⊥CE于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线
段BD，CD，2EF之间的数量关系，不用证明．
【思路点拨】
（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE=45°，可得结论；
（2），分类讨论：①点F在线段CE的延长线上时，由（1）可知BD=CE，∠B=∠ACE，
∠ADB=∠AEC，由“AAS”可证△ADC≌△AGC，可得CD=CG，即可求解CD−BD=2EF；②点
F在射线CE上，画出图形3，结论：BD−CD=2EF．
【解题过程】
（1）解：BC⊥CE．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°=∠DAE，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°，
∴BC⊥CE；
（2）解：分类讨论：
①如图，点F在线段CE的延长线上时，补全图形如图2所示；
理由如下：延长EF到点G，使FG=EF．由（1）可知：△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACE，
∵AF⊥CE，
∴AE=AG，
∴∠AEG=∠G，
∵∠ADB=∠AEC，
∴∠ADC=∠AEG，
∴∠ADC=∠G，
在△ADC和△AGC中，
{
∠ADC=∠G
)
∠ACD=∠ACE ，
AC=AC
∴△ADC≌△AGC(AAS)，
∴CD=CG，
∵CG−CE=2EF，
∴CD−BD=2EF，
②如图3，若点F在射线CE上时，在CE取点G，使得EF=GF
由（1）可知：△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACE，
∵AF⊥CE，EF=GF
∴AE=AG，
∴∠AEG=∠AGE，
∵∠ADB=∠AEC，
∴∠ADB=∠AGE
∴∠ADC=∠AGC，
在△ADC和△AGC中，
{∠ADC=∠AGC
)
∠ACD=∠ACG ，
AC=AC
∴△ADC≌△AGC(AAS)，
∴CD=CG，
∵CE−CG=EF+GF=2EF，
∴BD−CD=2E．
13．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公
共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形
称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE，分别连接BD，CE．求证：BD=CE；
（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关
系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若
AE=7，BE=2，请直接写出四边形ABEC的面积．【思路点拨】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线
合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性质可得
BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因为△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°
，从而可知∠BCE=90°，即BD⊥CE．
1 1
（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，可证得CM= DE= (AE−AD)，
2 2
根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△ACD≌△BCE，从而得AD=BE，即可求出CM的长，
最后求出四边形ABEC的面积．
【解题过程】
（1）证明：∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴ △ABD≌△ACE(SAS)
∴ BD=CE．
（2）BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE．
理由如下：
∵ ∠BAC=∠DAE=90°，
∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
¿，
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，∴ BD=CE，∠ACE=∠ABC，
∵ △ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，
∴ ∠ABC=∠ACB=45°，
∴ ∠ACE=∠ABC=45°，
∴ ∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴ BD⊥CE．
（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
1 1 1 1
∴ CM= DE= (AE−AD)= (AE−BE)= ×(7−2)=2.5．
2 2 2 2
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠EAB+∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠EAB+∠CBA=90°，
∵∠AEB=90°，
1 1 1 1 63
四边形ABEC的面积=S +S = AE·CM+ AE·BE= ×7×2.5+ ×7×2=
△ACE △AEB 2 2 2 2 4
14．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD=AB，E是AD
上方一点，且∠A=∠BCE=∠D
（1）求证：△BCE是等腰三角形；
（2）如图①，若∠ACB=90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；
（3）在如图②，若∠ACB=90°，AC=BC，连接BE′交CE于F，交CD于G．若AC=a，AB=b（
b>a>0），求线段CG的长度．
【思路点拨】
（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得∠ABC=∠ECD，证出△ABC≌△DCE，得
BC=CE，即可证明结论；
（2）同（1）证出△ABC≌△DCE，由翻折得CE′=CB，结合BE′∥ED易得∠CFE′=∠DEC=90°，
即CF⊥BE′，由三线合一得F是BE′的中点；
（3）先利用折叠的性质，证明△BGC≌△MGC，易得CE=CB=CM，利用三角形内角和可得
∠BEM=∠CED，由角的转化得到∠BEC=∠GED，最后证明△BCE≌△GDE，进而求得
CG=CD−GD=b−a．
【解题过程】
（1）证明：∵∠ABC+∠A=∠BCD，∠BCE+∠ECD=∠BCD，∠A=∠BCE，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
{∠ABC=∠DCE
)
AB=DC ，
∠A=∠D
∴△ABC≌△DCE(ASA)，
∴BC=CE，
∴△BCE是等腰三角形；
（2）证明：由（1）可得△ABC≌△DCE(ASA)，
∴BC=CE，∠ACB=∠DEC=90°，
如图，连接CE′，
∵将DE沿直线CD翻折得到DE′，
∴CE=CE′=CB，∵BE′∥ED，
∴∠CFE′=∠DEC=90°，即CF⊥BE′．
由三线合一，得：F是BE′的中点；
（3）解：如图，连接EG，并延长EG交BC于点M，
根据折叠的性质，则∠DGE=∠DGE′，
∵∠DGE=∠CGM，∠DGE′=∠BGC，
∴∠BGC=∠CGM，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BCG=∠MCG=90°，
在△BGC与△CGM中，
{∠BGC=∠CGM
)
CG=CG
∠BCG=∠MCG
∴△BGC≌△MGC(ASA)，
∴BC=CM，
由（2）知，△ABC≌△DCE，
∴BC=CE，∠ACB=∠DEC=90°，
∴CE=CB=CM，
∴∠CBE=∠CEB，∠CEM=∠CME，
1 1
∴∠BEM=∠CEB+∠CEM= (∠CBE+∠CEB+∠CEM+∠CME)= ×180°=90°，
2 2
∴∠BEM=∠CED，
∴∠BEM−∠CEM=∠CED−∠CEM，
∴∠BEC=∠GED，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠EDC=∠A=45°，∴∠ECD=∠EDC，CE=DE，
在△BCE与△GDE中，
{∠CEB=∠MED
)
CE=DE ，
∠BCE=∠EDG
∴△BCE≌△GDE(ASA)，
BC=GD=AC=a，
CD=AB=b，
CG=CD−GD=b−a．
15．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB和AC
为腰的等腰三角形ABC，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，∠BAC=60°，即△ABC为等边三角形ABC，D，E分别是BC，AC上的
点，且AE=CD．
①求证：AD=BE；
②求∠AFB的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于
点E．若CD=AC，猜想线段BE和AD的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=80°，D，E分别是BC，AC上的点，且
AE=CD，当AD+BE的值最小时，求∠ADC的度数．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：
（1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到∠ACB60°=∠BAC，再证明△ABE≌△CAD(SAS)，
即可证明BE=AD；②由全等三角形的性质得到∠ABE=∠CAD，则可推出∠BAD+∠ABE=60° ，
即可得到∠AFB=120°；
1
（2）如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC=90°，由三线合一定理得到AM= AD，再证
21
明△ABE≌△CAM(ΑAS)，得到BE=AM，即可得到BE= AD．
2
（3）如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP=80°，且CP=AB，连接DP．证明
△ABE≌△CPD(SAS)，得到BE=PD，则当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值
最小，求出∠ACB=50°，得到∠ACP=130°，再由AB=AC=CP，得到∠CAP=25°，即可求出
∠ADC=105°．
【解题过程】
（1）①证明：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC=60°=∠BAC，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴BE=AD；
②解：由①可知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60° ，
∴∠AFB=120°；
1
（2）解：BE= AD，理由如下：
2
如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC=90°，
∵CD=AC，
1
∴AM= AD，
2
∵∠BAC=90°，∠AMC=90°，
∴∠BAE+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACM=90°，
∴∠BAE=∠ACM，
∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°．
∴∠AEB=∠AMC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAM(ΑAS)，
∴BE=AM，
1
∴BE= AD．
2
（3）解：如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP=80°，且CP=AB，连接DP．
∵AE=CD，∠BAE=∠PCD=80°,
∴△ABE≌△CPD(SAS)，
∴BE=PD，
∴AD+BE=AD+PD
当AD+PD的值最小时，即AD+BE的值最小，
∴当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小，
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ACB=50°，
∴∠ACP=130°，
∵AB=AC=CP，
180°−130°
∴∠CAP= =25°，
2
∴∠ADC=180°−50°−25°=105°．
16．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为底边，在AB的同
侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE，在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE.（1）如图1，判断DE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠A=α，延长BF交DE于点G，探究∠BGE与∠GBC的关系，并说明理由.
【思路点拨】
（1）根据等边对等角和已知条件推出∠DCA=∠CBE，则可证明CD∥BE，推出∠DCE=∠BEF，利
用SAS证明△DCE≌△FEB即可得到结论；
（2）由全等三角形的判定得到△DCE≌△FEB，由等边对等角得到∠ECB=∠EBC=α，则
∠EBF=α−∠GBC，由三角形内角和定理得到∠GEF+∠FGE=∠FBC+∠FCB，则
∠FGE+α−∠GBC=∠GBC+α，即可推出∠BGE=2∠GBC．
【解题过程】
（1）解：DE=BF，理由如下：
∵等腰△ACD和等腰△BCE中，AC和BC是底边，
∴ DA=DC，EC=EB，
∴ ∠A=∠DCA，
∵ ∠A=∠CBE，
∴ ∠CBE=∠DCA，
∴ DC∥BE，
∴ ∠DCE=∠FEB，
∵ DA=DC，EF=AD，
∴ CD=EF，
在△DCE和△FEB中，
{
CD=EF
)
∠DCE=∠FEB ，
EC=BE
∴ △DCE≌△FEB(SAS)，
∴ DE=BF；
（2）解：∠BGE=2∠GBC，理由如下：
∵ △DCE≌△FEB，∴ ∠CED=∠EBF，
∵ EC=EB，∠A=∠CBE=α，
∴ ∠ECB=∠EBC=α，
∴ ∠EBF=α−∠GBC，
∵ ∠GFE+∠GEF+∠FGE=180°，∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°，∠CFB=∠GFE，
∴ ∠GEF+∠FGE=∠FBC+∠FCB，
∴ ∠EBF+∠FGE=∠FBC+∠FCB，
∴ α−∠GBC+∠FGE=∠GBC+α，
∴ ∠FGE=2∠GBC，
即∠BGE=2∠GBC．
17．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是
△ABC的角平分线．
（1）直接写出∠ADC的大小；
（2）求证：AC+CD=AB；
（3）E在BC上，过点E作AD垂线，垂足为点G，延长EG交AC的延长线于点F．
①如图2，若E是BD的中点，求证：BD=2CF；
②如图3，若E是BC的中点，直接写出三条线段AB，BD，CF之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据等边对等角得到∠CAB=45°，再根据角平分线得到∠CAD的度数，然后根据直角三角形的两
锐角互余解题即可；
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为点M，证明Rt△ADC≌Rt△ADM(HL)，即可得到AC=AM，然后
解题即可；
（3）①过点D作DM⊥AB，垂足为点M，连接ME，延长FE交AB于点N，则可得到AF=AN，借助
（2）得到AC=AM，DM=BM，然后推导出MN=ME=DE，可以证明结论；②延长FE至点K，使得
EK=FE，EK交AB于点N，连接BK，则有△CEF≌△BEK(SAS)，然后证得CD=2CF，由（2）的结论推导出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠CAD= ∠CAB= ×45°=22.5°，
2 2
∴∠ADC=90°−∠CAD=90°−22.5°=67.5°，
故答案为：67.5°．
（2）证明：过点D作DM⊥AB，垂足为点M，
∴∠AMD=∠DMB=90°，
∵AD平分∠BAC，∠C=90，
∴CD=DM．
在Rt△ADC和Rt△ADM中，
{AD=AD)
，
CD=MD
∴Rt△ADC≌Rt△ADM(HL)，
∴AC=AM．
∵AC=BC，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠BDM=∠B=45°，
∴DM=BM，
∴CD=MB．
∵AM+MB=AB，
∴AC+CD=AB．
（3）①证明：①证明：过点D作DM⊥AB，垂足为点M，连接ME，延长FE交AB于点N，∵AD平分∠CAB，
1
∴∠FAG=∠BAG= ∠CAB=22.5°．
2
∵AG⊥FN，
∴∠AGF=∠AGN=90°
∴∠F=180°−∠AGF−∠FAG=67.5°，∠ANG=180°−∠AGN−∠NAG=67.5°，
∴∠F=∠ANG，
∴AF=AN．
由（2）得AC=AM，DM=BM，
∴AF−AC=AN−AM，即CF=MN，
∵点E为BD中点，DM=BM，
1
∴∠DME=∠EMB= ∠DMB=45°，BD=2DE，
2
∴∠MEN=180°−∠EMN−∠MNE=67.5°，∠DME=∠EDM，
∴∠MEN=∠MNE，ME=DE，
∴MN=ME=DE，
∴CF=DE，
∴BD=2CF．
②4CF+BD=AB．
延长FE至点K，使得EK=FE，EK交AB于点N，连接BK．
又∵CE=BE，∠CEF=∠BEK，∴△CEF≌△BEK(SAS)，
∴CF=BK，∠F=∠K，
∴∠F=∠K=∠ANF=∠KNB．
∴AF=AN，BN=BK，又AM=AC，
∴MN=CF=KB=NB，
∴MB=2MN=2CF，
∴CD=2CF．
由（2）得AC+CD=AB，
∴BC+2CF=AB，
∴CD+BD+2CF=AB，
∴4CF+BD=AB．
18．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在射线
BC上（不与点B，点C重合），以AP为腰长作等腰Rt△PAQ，QE⊥AB于点E．
（1）当点P在线段BC上（不与点B，点C重合），求证：△PAB≌△AQE；
PC
（2）在（1）的条件下，连接CQ交AB于点M，若PC=2PB，求 的值；
MB
（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于直线AB于点F，过点P作DP⊥AP交直线AC于点D，连接DF．则
点P在运动过程中，线段DF、QF与DP有怎样的数量关系？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关
系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的
关系，从而可以解答本题；
（3）分情况讨论，作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之
间的关系，从而可以解答本题．
【解题过程】（1）证明：∵∠ABC=90°，△PAQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．
∴AP=AQ，∠ABP=∠QEA=90°，
∴∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，
∴∠QAE=∠APB，
在△PAB和△AQE中，
¿，
∴△PAB≌△AQE(AAS)；
（2）∵△PAB≌△AQE，
∴PB=AE，AB=QE，
∵AB=CB，
∴QE=CB，
在△QEM和△CBM中，
{∠QEM=∠CBM
)
∠QME=∠CMB
QE=∠CB
∴△QEM≌△CBM(AAS)，
∴ME=MB，
∵AB=CB，AE=PB，PC=2PB，
∴BE=PC，
∵PC=2PB，
∴PC=2MB，
PC
∴ =2．
MB
（3）QF−DP=DF或DF=DP+QF理由如下：
如图所示：当P在线段BC上时，过点A作HA⊥AC交QF于点H，
∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，
∴∠QAH=∠PAD，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
在△AQH和△APD中，
¿，
∴△AQH≌△APD(ASA)，
∴AH=AD，QH=PD，
∵HA⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠HAF=45°=∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
¿，
∴△AHF≌△ADF(SAS)，
∴HF=DF，
∴QF−DP=QF−QH=HF=DF．
当P在线段BC的延长线上时，如图，过点A作HA⊥AC交QF于点H，
同理可得：△AQH≌△APD，
∴QH=PD，
同理可得：△AHF≌△ADF，
∴HF=DF，
∴DF=HF=HQ+QF=DP+QF．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α，作等腰△ACD
，使得AC=CD．（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DAB=___________；（用含α的代数式表示）
1
（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH= BC；
2
（3）若△ABC与△ACD的面积相等，请直接写出∠ACD的度数．（用含α的式子表示）
【思路点拨】
（1）根据∠ACD与∠BAC互余得 ∠ACD=90°−α，根据等腰三角形两底角相等得
1
∠DAC=45°+ α，即可求出∠DAB的度数；
2
（2）作AE⊥BC，根据AAS证明△AEC≌ △AHC，则CH=CE，由等腰三角形三线合一可得
1 1
CE= BC，因此CH= BC，问题得证；
2 2
（3）由△ABC与△ACD的面积相等得高相等.情况①：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F,根据HL可得
△DEC≌ △BFA，则可得∠ACD =∠BAC；情况②:△ACD是钝角三角形，作BG⊥AC于G，作DN
垂直于AC的延长线于N，根据HL可得△ABG ≌△CDN，则可得∠BAC=∠DCN，由于∠DCN与
∠ACD互补，因此∠BAC与∠ACD互补，即可得出结果．
【解题过程】
（1）解：∵△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α,
1 1
∴∠ACB=∠ABC= (180°−α)=90°− α
2 2
∵∠ACD+∠BAC=90°，∠BAC=α，
∴∠ACD=90°−∠BAC=90°−α，
∵AC=CD，
1
∴∠CAD=∠D=45°+ α，
2
∴ ∠DAB=∠DAC−∠BAC1
=45°+ α−α
2
1
=45°− α；
2
1
故答案为：45°− α；
2
（2）证明：如图，过A点作AE⊥BC于E点，
∵ △ABC AB=AC AE⊥BC
中， ， ，
1
∴∠AEC=90°,EC= BC，
2
∵ △ACD中，CA=CD,CH⊥AD，
1
∴ ∠AHC=90°,∠ACH=∠DCH= ∠ACD，
2
∴ ∠AEC=∠AHC，
∵ AB=AC,∠BAC=α，
1
∴∠ACB=∠B= (180°−∠BAC)
2
1
= (180°−α)
2
1
=90°− α，
2
∵∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠ACD=180°−∠BAC=180°−α ，
1 1 1
∴∠ACH= ∠ACD= (180°−α)=90°− α，
2 2 2
∴∠ACB=∠ACH．
在△ACE和△ACH中，
{∠AEC=∠AHC
)
∠ACB=∠ACH ，
AC=AC
∴△ACE≌ △ACH，∴CH=CE，
1
∴CH= BC；
2
（3）解：①如图，作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∵△ABC与△ACD的面积相等，
∴DE=BF，
又∵∠DEC=∠BFA=90° ，DC=AB
∴△DEC≌ △BFA，
∴∠DCE=∠BAF，
即∠ACD= ∠BAC，
∵∠BAC=α，
∴∠ACD=α；
②如图，作BG⊥AC于G，作DN垂直于AC的延长线于N，
则∠BGA=∠DNC=90°，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
∵△ABC与△ACD的面积相等，
∴BG=DN，
∴△ABG ≌△CDN，
∴∠BAG=∠DCN，
∠ACD+∠DCN=180°，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∵∠BAC=α，∴∠ACD=180°−α，
综上，∠ACD=α或180°−α．
20．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm
，动点P从点C开始出发，沿CA−AB−BC的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）填空：当0≤t<4时，AP=______cm（用含t的式子表示）；
（2）经过几秒，△APB的面积等于9cm2？
（3）当t为何值时，△BPC是以PC或BC为底边的等腰三角形？
（4）直接写出当t为何值时，直线BP把△ABC的周长分成相等的两部分？
【思路点拨】
（1）先得出点P运动的距离为：2t，由0≤t<4，判断点P在AC上，问题随之得解；
1
（2）先求出S = ×AC×BC=24，分当点P在AC上，和当点P在BC上两种情况，结合三角形的面
△ABC 2
积列出一元一次方程，解方程即可求解；
（3）当△BPC是以PC为底边的等腰三角形时，即有BP=BC=6，根据运动的特点，可得点P运动的距
离为：CA+AP=2t，即有2t=12，解得：t=6；当△BPC是以BC为底边的等腰三角形时，过P点作
1
PT⊥BC于点T，利用等腰三角形的判定与性质可证明BP=PC=AP= AB=5，即有AC+AP=13，进
2
而可得方程2t=13，解方程即可求解；
1
（4）根据直线BP把△ABC的周长分成相等的两部分，可得BC+PC=AP+AB= (AB+BC+AC)=12
2
，即可得方程2t=6，问题随之得解．
【解题过程】
（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，
根据运动的特点可知：点P运动的距离为：2t，
∵0≤t<4，
∴0≤2t<8，即点P在AC上，∴PC=2t，
∴AP=AC−PC=8−2t (cm)，
故答案为：(8−2t)；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，
1
∴S = ×AC×BC=24，
△ABC 2
当点P在AC上，如图，
∵△APB的面积等于9cm2，
∴S =S −S =15，
△PBC △ABC △APB
1 1
∵S = ×PC×BC= ×2t×6=6t，
△PBC 2 2
∴6t=15，
15 5
解得：t= = （秒）；
6 2
当点P在BC上，如图，
此时：点P运动的距离为：CA+AB+BP=2t，
∵△APB的面积等于9cm2，
∴S =S −S =15，
△PAC △ABC △APB
1
∴S = ×PC×AC=15，
△PAC 2
∵CA+AB+BP=2t，
∴BP=2t−(CA+AB)=2t−18，∴PC=BC−BP=24−2t，
1 1
∴S = ×PC×AC= ×(24−2t)×8=15，
△PAC 2 2
81
解得：t= （秒）；
8
5 81
综上：经过 秒或者 秒，△APB的面积等于9cm2；
2 8
（3）当△BPC是以PC为底边的等腰三角形时，如图，
即有BP=BC=6，
∴AC+AP=AC+AB−BP=12，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：CA+AP=2t，
∴2t=12，
解得：t=6（秒）；
当△BPC是以BC为底边的等腰三角形时，如图，
过P点作PT⊥BC于点T，
∵在等腰△BPC中，PB=PC，PT⊥BC，
∴∠BPT=∠CPT，BT=TC，
∵PT⊥BC，∠ACB=90°，
∴PT∥AC，
∴∠BPT=∠A，∠PCA=∠CPT，
∴∠PCA=∠A，
∴PC=AP，1
∴BP=PC=AP= AB=5，
2
∴AC+AP=13，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：CA+AP=2t，
∴2t=13，
解得：t=6.5（秒）；
综上：经过6秒或者6.5秒，△BPC是以PC或BC为底边的等腰三角形；
（4）如图，
∵直线BP把△ABC的周长分成相等的两部分，
1
∴BC+PC=AP+AB= (AB+BC+AC)=12，
2
∴PC=12−BC=6，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：PC=2t，
∴2t=6，
解得：t=3，
即当t=3秒时，直线BP把△ABC的周长分成相等的两部分．
