文档内容
第十二章 全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压
轴）
01 压轴总结
目录
题型一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题............................................................................................1
题型二 与全等三角形有关的多结论问题................................................................................................................7
题型三 全等三角形中的动点综合问题..................................................................................................................13
题型四 全等三角形中的新定义型综合问题..........................................................................................................27
02 压轴题型
题型一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题
例题：如图， ， 于A， 于B，且 ，P点从B向A运动，速度为
，Q点从B向D运动，速度为 ，P、Q两点同时出发，则经过 s后， 与
全等．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后 与
全等；分两种情况：①若 ，则 ，此时 ， ≌ ；②若 ，则，得出 ， ，即可得出结果．
【详解】解：∵ 于点A， 于B，
∴ ．
设运动x分钟后 与 全等，由题意得： ， ，则 ．
分两种情况：
①若 ，则 ， ， ．
可知 ，
∴ ≌ ；
②若 ，则 ，
解得： ，可知 ，
此时 与 不全等．
综上所述：运动 后 与 全等．
故答案为：4．
巩固训练
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 中， ， ， ，直线 经过
点 且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿
路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为
秒，则当 为（ ）秒时， 与 全等．
A．12或 B．2或 或10 C．1或 D．2或 或12
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
分点Q在 上，点P在 上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计
算即可．
【详解】解：①如图1，Q在 上，点P在 上时，作 ，
由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
则 ，
即 ，
解得： ；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
当 ，
则 ，∴ ，
解得： ；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 ，
则 ，
即 ，
解得： ；
当综上所述：当 秒或 秒或12秒时， 与 全等，
故选D．
2.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形 中， ，延长 到点E，使
，连接 ，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 向终点A运动，设点P的
运动时间为t秒，当t的值为 秒时， 与 全等．
【答案】1或7
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有： ．根据题意，分两种情况
进行讨论，根据题意得出 和 即可求得．【详解】解：由题意得： ，
若 ，
根据 证得 ，
，即 ，
若 ，
根据 证得 ，
，即 ．
当t的值为1或7秒时． 与 全等．
故答案为：1或7．
3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图， ，垂足为点 ， 米， 米，射线
，垂足为点 ，动点 从 点出发以2米/秒沿射线 运动，点 为射线 上一动点，随着
点运动而运动，且始终保持 ，当点 经过 秒时（不包括0秒），由点 组成的三角
形与 全等．
【答案】 秒或 秒或
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点 在线段 上， 时，
；当 在 上， 时， ；当 在线段 上， 时；当 在
上， 时， ；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的
判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：当点 在线段 上， 时， ，
，
，
，
点 的运动时间为 （秒）；
当 在 上， 时， ，
，
，
，点 的运动时间为 （秒）；
当 在线段 上， 时，此时 在 点未动，时间为 秒，不符合题意；
当 在 上， 时， ，
，
，
，
点 的运动时间为 （秒）；
综上所述，当点 经过 秒或 秒或 秒时（不包括0秒），由点 组成的三角形与 全等，
故答案为： 秒或 秒或 ．
4．如图， 中， ， ， ，点 从 点出发沿 路径向终点运动，
终点为 点；点 从 点出发沿 路径向终点运动，终点为 点．点 和 分别以2和6的运动
速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 和 作 于 ，
于 ．若要 与 全等，则点 的运动时间为 ．
【答案】 或 或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出 ，代入得出关于t的方程，解方程
即可．
【详解】解：设点 运动 秒时，以 、 、 为顶点的三角形和以 、 、 为顶点的三角形全等，分
为五种情况：
①如图1，P在 上，Q在 上，则 ， ，， ，
，
，
， ，
，
，
，
即 ，
；
②如图2，P在 上，Q在 上，则 ， ，
由①知： ，
，
；
因为此时 ，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在 上时，如图3，
，；
④当Q到A点停止，P在 上时， ， 时，解得 ．
⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒6， P和Q都在 上的情况不存在；
综上，点P运动 或 或 秒时， 与 全等．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方
程是解此题的关键．
题型二 与全等三角形有关的多结论问题
例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在 和 中， 与 相交于点 ，与
相交于点 ， 与 相交于点 ， ， ， ．给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及
对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两
个全等三角形的条件及性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴①③都正确，
在 中，
，
∴ ，
故④正确，
根据已知条件无法证明②是否正确，
故①③④正确，
故选：A．
巩固训练
1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在 中，点M，N分别是边 上的点，且M，
N两点满足 ， 交 于点P，过点P作 交 延长线于点Q，交 于点F，
与 交于点E，若 ，则下列结论：①连接 ，则 平分 ；② ；③
；④ ．成立的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判
定与性质成为解题的关键．
先证明 可得 ，再证明 可得 ，进而证明得到 即可判定①；由 可得 ，然后
证明 即可判定②；由全等三角形的性质可得 ，再结合三角形外角的性
质即可判定③；先证明 可得 ，再证明 可得
，然后证明 可得 ，再说明 ，最后根据线段的和差及等量代
换即可证明结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ， ,
∴ ，即②正确；
∴ ,
∵ ， ，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ，即 平分 ，故①正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ,即③正确；
∴∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ， ，
∴ ,即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
如图：连接
∵ , ,
∴ ，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,即④正确．
故选D．
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在 中， ， 于 ，
平分 交 于 ， 在 上，并且 ，则下列四个结论：
① ，② ，③ ，④ ，其中正确的结论有（ ）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据 证明 ，再
利用三角形全等的性质证明 ， ，进而得出 ，熟练掌握全等三角形的判定
和性质是解此题的关键．
【详解】解： 平分 交 于 ，
，
在 和 中，
，
，故④正确；
，故②③正确；
， 于 ，
， ，
，
，故①正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在 中， ，高 与角平分线 相交于点 ，
的平分线 分别交 ， 于点 ， ，连接 ，下列结论：① ；②
；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】 根据已知条件无法判定 与 相等，进而可对结论 进行判断；
先根据角平分线的定义得 ，进而得 ， ，
，据此可对结论 进行判断；
先证 和 全等得 ，然后根据平角的定义得 ，据此可对结
论 进行判断；
根据 为 的高得： ， ，根据已知条件无法判定 与 相
等，对此可对结论 进行判断．
此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是
准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式．
【详解】 根据已知条件无法判定 与 相等，
无法判定 与 相等，
结论 不正确；
是 的角平分线，
，
为 的高， ，
， ，
又 ，
，
结论 正确；
由结论 正确得： ，
平分 ，
，
在 和 中，
， ， ，，
，
，
，
，
即： ，
结论 正确；
为 的高，
， ，
根据已知条件无法判定 与 相等，
无法判定 与 相等，
结论 不正确．
综上所述：正确的结论是 ．
故选：B．
题型三 全等三角形中的动点综合问题
例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射
线 点P为射线 上的动点(点P不与点A重合)，连接 ，将线段 绕点B顺时针旋转角度
α后， 得到线段 ， 连接 、 ．
(1)试说明 的理由；
(2)延长 交射线 于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)；
(3)当 时， 过点Q作 垂直射线 ， 垂足为E，那么 (用m、 n
的代数式表示) ．
【答案】(1)理由见解析
(2)不改变，
(3)
【分析】（1）先证明 ，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等；
（2）先证明 ，得到 ， ，再计算出 的值，再证明
，最后根据三角形外角定理即可求得 的大小；
（3）证明 是 的角平分线，根据角平分线定理得到 ， ，再根据 ，
，即可得到 和 ，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如下图所示，连接 ，∵ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 大小不改变，且 ；
（3）解：如下图所示，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题
的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件．
巩固训练
1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰 中， ， ， 点为射线
上一动点，连接 ，作 且 ．
(1)如图1，过F点作 交 于G点，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于 点，若 ，求证： 点为 中点；
(3)如图3，当 点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于 点，若 ，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质.
（1）易证 ，即可证明 ，即可解题；
（2）过 点作 交 于 点，根据（1）中结论可得 ，即可证明 ，
可得 ，根据 可证 ，根据 ， ，即可解题；
（3）过 作 的延长线交于点 ，易证 ，由（1）（2）可知 ，
，可得 ， ，即可求得 的值，即可解题．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）证明：过 点作 交 于 点，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，，
，
，
，
点为 中点；
（3）解：过 作 的延长线交于点 ，如图，
， ， ，
，
由（1）（2）知： ， ，
， ，
，
，
，
．
故答案为 ．
2．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在 中， ， ， ，
，现有一动点 ，从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停止，速度为
，设运动时间为 ．(1)如图（1），当 ________时， 的面积等于 面积的一半：
(2)如图（2），在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有
一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止．在两点运动过程中的某
一时刻，恰好 全等于 ，求点 的运动速度．
【答案】(1) 或
(2) 或 或 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，
清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
（1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（2）设点Q的运动速度为 ，然后分点P在 上，点Q在 上；点P在 上，点Q在 上；
点P在 上，点Q在 上；点P在 上，点Q在 上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程
解答即可．
【详解】（1）解：如图，当P在 上， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，当 在 上时，如图， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当 为 或 时， 的面积等于 面积的一半．
（2）解：设点Q的运动速度为 ，
①当点P在 上，点Q在 上， 时，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
②当点P在 上，点Q在 上， 时，
∴ ，∴ ，
解得 ；
③当点P在 上，点Q在 上， 时，
∴ ，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ，
解得 ；
④当点P在 上，点Q在 上， 时，
∴ ，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ，解得 ；
∴Q运动的速度为 或 或 或 ．
3．如图，在等腰 中， ， ， 平分 ．在线段 上有一动点 ，连接
， 为直线 上异于 的一点，连接 、 ．
(1)如图 ，当点 在射线 上时，若 ，直接写出： ______；
(2)如图 ，当点 在射线 的反向延长线上时，
若（1）中的结论仍成立，则 、 、 应满足怎样的数量关系，请证明；
若 ，且 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)① ，证明见解析 ②
【分析】 在 上取一点 ，使得 ，连接 ，证 ≌ ，得 ，
再证 ≌ ，得 ，进而得出结论；
在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 ，先证 ≌ ，得
， ，再证明 ≌ ，得 ，即可得出结论；
由 可知， ， ，则 ，设 ，则 ，得 ，
，则 ，再由三角形面积关系即可得出结论．【详解】（1）解：在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图 所示：
，
．
平分 ，
，
，
≌ ，
， ．
， ，
．
，
≌ ，
．
， ，
，
故答案为： ；
（2）解：①若 中的结论仍成立，则 、 、 应满足怎样的数量关系为： ，理由如下：
在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 ，如图 所示：
， ．
，
．
，
．
，
，
，
≌ ，
， ．
， ，
≌ ，
，
；
由 可知： ， ，
，
，
．
， ，
设 ，则 ， ，
，
，，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系 中，点 ，点B为x轴正半轴上一个
动点，以 为边作 ，使 ， ，且点C在第一象限内．
(1)如图1，若 ，求点C的坐标．
(2)如图2，过点B向x轴上方作 ，且 ，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离
是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
(3)如图3，过点B向x轴下方作 ，且 ，连结 交x轴于点E，当 的面积是
的面积的2倍时，求 的长．
【答案】(1)点C的坐标为
(2)点C，D之间的距离是为定值，定值为4，理由见解析
(3)
【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关
键．
（1）过点C作 轴于点 ，利用互余可证 ，进而利用 可证明 ，可得
， ，由 ，可得点 的坐标；
（2）连结 ，利用互余可证 ，进而利用 可证明 ，可得 ，即可得结论；
（3）过点C作 轴于点F，由（1）可知， ，得 ，结合题意可知 ，
，再证 ，得 ， 根据 ，
，可得 ，即 ，得 ，根据 即
可求解．
【详解】（1）解：过点C作 轴于点 ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ．
，
∴点C的坐标为 ．
（2）点C，D之间的距离是为定值，理由如下：
连结 ，，
，
在 和 中， ，
．
，
即：点C，D之间的距离是为定值；
（3）过点C作 轴于点F，由（1）可知， ，
，
，
， ．
， ， ，
，
，
，由题可知 ，
，
．
，
．
题型四 全等三角形中的新定义型综合问题
例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形
叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在 中， ，P为边 上一点，若 与 是积等三角形，求
的长；
【理解运用】
（2）如图2， 与 为积等三角形，若 ，且线段 的长度为正整数，求 的
长．
【综合应用】
（3）如图3，在 中 ，过点C作 ，点 是射线 上一点，以
为边作 ，连接 ．请判断 与 是否为积等三角形，并说明
理由．
【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；
（2）证明 ，推出 ，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）过过点 作 于点 ，先证明 则 ，然后再依据积等三角
形的定义进行证明即可.
【详解】（1）解：过点 作 于 ，
与 是积等三角形，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，
与 为积等三角形，
在 和 中，
，
在 中为正整数，
；
（3）是积等三角形
证明：如图3，过点 作 于点 ，
在 和 中，
，
与 为积等三角形．巩固训练
1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，
我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”， ， ，
与 为“同源角”．
(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则
______°．
(3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为 时，分别取 ， 的中点 ，
，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．
【答案】(1) ，详见解析
(2)45
(3)见解析
【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知
识，
（1）由“同源三角形”的定义可证 ，然后根据 证明 即可；
（2）由“同源三角形”的定义和 可求出 ，由（1）可知 ，
得 ，然后根据“8”字形图形即可求出 的度数；（3）由（1）可知 ，可得 ，根据 证明 ，可得
，进而可证结论成立；
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【详解】（1） ．
理由：∵ 和 是“同源三角形”，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 和 是“同源三角形”，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由（1）可知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：45；
（3）由（1）可知 ，
∴ ， ．
， 的中点分别为 ，
∴ ．在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点
为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：
（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）延长 交于点 ，先证明 ，再证明 ，依据题意得出
，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义， 的“边垂角”是 ；
（2）解：若 是 的“边垂角”，分两种情况
①如图， 是 的“边垂角”，
，
，
，
，
②如图，
是 的“边垂角”，
，
，
，
，综上所述， 与 的数量关系是 或 ；
（3）解：延长 交于点 ，
是 的“边垂角”，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 关于直线 对称点为点 ，
，
，
；3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是 ；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是 ；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．
①如图2，已知 ， 交 于点E，点C关于直线 对称点为点F，连接 ， ，且
， ，求证： ；
对于上述问题，小明有这样的想法：在 上截取 ，连接 ，如图3．你明白小明的做法吗？接
下来请你求证 ．
②如图4，若 ，直接写出四边形ABDC的面积．
【答案】(1)
(2) 或
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）①延长 交于点 ，先证明 ，再证明 ，依据题意得出
，即可得到结论；
②连接 ，过点 作 与 延长交于点 ，根据等腰三角形性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义， 的“边垂角”是 ；
（2）解：若 是 的“边垂角”，分两种情况
①如图， 是 的“边垂角”，
，
，
，
，
②如图，
是 的“边垂角”，
，
，
，
，综上所述， 与 的数量关系是 或 ；
（3）解：①延长 交于点 ，
是 的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 关于直线 对称点为点 ，
，
，
；②连接 ，过点 作 与 延长交于点 ，
是 的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟
练理解“边垂角”的定义是解题的关键．4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α(
)得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．
(1)【探索一】如图1， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，探索 与
的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．是这样思考的：延
长 至E，使 ，连结 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求
出中线 的取值范围．中线 的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中 与 的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当 时， 是 的“旋补三角形”， ，垂足为点E，
的反向延长线交 于点D，探索 是否是 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，
请说明理由．
【答案】(1) ； ，证明见解析；
(2) 是 的“旋补中线”， 证明见解析
【分析】（1）材料：三角形三边关系可得 ，进而可得中线 的取值范围；
探索一：延长 至点E使 ，连接 ，证明 ，可得 ，
，求出 ，再证 ，根据全等三角形的性质可得结论；（2）作 于H，作 交 延长线于F，求出 ，证明 ，
可得 ，同理证明 ，可得 ，求出 ，可证
，根据全等三角形的性质可得 ，然后可得 是 的“旋补中线”．
【详解】（1）解：材料：由题意得： ， ， ，
由三角形三边关系可得： ，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
探索一： ；
证明：如图1，延长 至点E使 ，连接 ，
∵ 是 的“旋补中线”，
∴ 是 的中线，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的“旋补中线”，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ．
（2） 是 的“旋补中线”；
证明：如图，作 于H，作 交 延长线于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中线，
∴ 是 的“旋补中线”．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
