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专题 23.2 旋转中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问
题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=2，PB=❑√3，PC=1，求∠BPC的
度数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′，则
△BPC≌△BP′ A，然后利用△BP′P和△APP′形状的特殊性求出∠BP′ A的度数，就可以解决这道问
题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段．BP′，连接AP′、PP′，
∵BP=BP′，∠P′BP=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P=60°，PP′=PB=❑√3．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
请你补全余下的解答过程．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA=❑√17，PB=2❑√2，PC=1，则∠BPC=
______度．
（3）【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在直线AD上方有一点P，
PA=4，PD=2，连接PO，则线段PO的最大值为______．【思路点拨】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对
集中到一个三角形中解决问题．
（1）将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，证明△PBC≌△P′BA，再证明△AP′P是直角三角
形；
（2）将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP′，证明△PBC≌△P′BA，再证明△AP′P是直角三角
形；
（3）将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP′，证明△POA≌△P′OD，在△PDP′由三角形三边
关系求出PP′的最大值，从而求得OP的最大值．
【解题过程】
（1）解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′，
∵BP=BP′，∠P′BP=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P=60°，PP′=PB=P′B=❑√3．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
∴△PBC≌△P′BA
∴PC=AP′=1
在△APP′中，
AP′2+PP′2=12+(❑√3) 2=22=AP2
∴∠AP′P=90°
∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=60°+90°=150°
∴∠BPC=∠BP′ A=150°．
（2）解：将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP′，连接AP′、PP′，∵BP=BP′，∠P′BP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
∴△PBC≌△P′BA
∴PC=AP′=1
在△APP′中，
AP′2+PP′2=12+42=(❑√17) 2=AP2
∴∠AP′P=90°
∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=45°+90°=135°
∴∠BPC=∠BP′ A=135°．
故答案为：135°．
（3）解：将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP′，连接DP'、PP′．
∵OP=OP′，∠P′OP=90°，
∴△POP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=❑√2PB=4．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD−∠POD=∠P′OD−∠POD，
即∠POA=∠P′OD．
∴△POA≌△P′OD
∴PA=P′D=4
在△DPP′中，PP′<PD+P′D=6
当点D在PP′时， PP′=PD+P′D=4+2=6
∴P′P≤6
∴PP′的最大值为6
在Rt△POP′中，OP=OP′
∴OP2+OP′2=2OP2=PP′2
❑√2 ❑√2
∴OP= PP′≤ ×6=3❑√2．
2 2
∴OP的最大值为3❑√2．
◆ 学霸必刷
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，△ABC与△EBD均为等边三角形，将△EBD绕点B逆时针旋转，
旋转角为α（其中0°<α<180°），连接AE，CD，M是AE的中点，BC=❑√7BD．
（1）求证：AE=CD；
（2）如图2，连接DM，当ED的延长线经过点C时，请判断四边形MEBD的形状，并说明理由；
（3）如图3，连接CM，若BD=2，在△EBD绕点B旋转的过程中，求CM的最大值．2．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2❑√2，
AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点，过G作¿⊥GF分别交AB、AC于点E、F：
（1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AE+AF=❑√2AD；
（2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系
并说明理由；
（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值．
参考公式：
(❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的动点，且满足
∠EAF=45°，试判断线段BF，EF，ED之间的数量关系，并说明理由．
小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．
（1）线段BF，EF，ED之间的数量关系是______．
（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接BD，分别交AF，AE于点M，N，试判断线段
BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．
4．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
（1）【操作探究】如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，F
是BE的中点，连接AF．
①写出图1中一个等于90°的角 ；
②图1中AF与DE的数量关系是 ．
（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不
变．探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2❑√2，将△ABC绕点A旋
转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC=15°时，直接写出线
段AF的长．
5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D，E分别为
AC,BC的中点，将△CDE绕点C逆时针方向旋转得到△CD′E′（如图2），使直线D′E′恰好过点B，连接AD′．
（1）判断AD′与BD′的位置关系，并说明理由；
（2）求BE′的长；
（3）若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线D′E′过Rt△ABC的一个顶点时，请直接写出BE′长
的其它所有值．
6．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：
如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了
解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求∠APB的度数，写出求解过程；
（2）拓展研究：
请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断
BE,EF,CF之间的数量关系并证明；
②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，
直接写出PA+PB+PC的最小值．
7．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别
在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形
状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=4，直接写出△PMN面积的最大
值．
8．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将斜边AC绕点A逆时针
旋转一定角度得到线段AD，AD交BC于点G，过点C作CF⊥AD于点F．（1）如图1，当旋转22.5°时，若BG=1，求AC的长；
（2）如图2，当旋转30°时，连接BD，CD，延长CF交BD于点E，连接EG，求证：AG=CE+EG；
（3）如图3，点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N，使NB+NA+NC的值最小时，若NA=2
，请直接写出△CNM的面积．
9．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别
为N，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB=90°,AC=6，AB=10，求BN的长；
（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ANM，延长BC交AN于点D，使得FN=AD，连接
DF，猜想线段HN,MH，并证明你的猜想；
（3）如图3，连接BN,CM，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB=90°,AC=6，AB=10，在旋转
过程中，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由
10．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图
1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且DE∥BC，将△ABC绕点A在平面内旋转．
（1）观察猜想：
若α=60°，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置，则DB与CE的数量关系为 ；
（2）类比探究：
若α=90°，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置
关系，并说明理由；
（3）拓展应用：
如图4，在（2）的条件下，连结CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连结PM，PN，MN，
若AD=4，AB=10，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．
11．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．CB=CA=4❑√2，点D始终在
AC的上方，且∠CAD=α(0°<α<180°)，点E为射线AD上任意一点（点E与点A不重合），连接CE，
将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，直线FB交直线AD于点M．（1）如图1，当0°<α<45°时，求证BM⊥AE；
（2）当点Q为AC边的中点时，连接MQ，求MQ的最大值；
（3）如图2，若α=105°，AE=2时，求△BCF的面积．
12．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在射线CB
上移动（不与B、C重合），连接AD，线段AD绕点D顺时针旋转α°(0°<α°≤180°)得到线段DE，连
接CE，AE．（1）如图1，当点E落在线段AC上时，
①直接写出∠BAD的度数（可用α表示）；
②请用等式表示CE、CD、CB的数量关系，并说明理由；
（2）当点E落在线段AC的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，则（1）中，CE、CD、CB
的数量关系仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的数量关系．
13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，点D在AB上，
DE⊥AB交BC于点E，F是AE中点．（1）线段FD与线段FC的数量关系是FD _____FC，位置关系是FD _____FC；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)，其他条件不变，线段FD与线段FC的关系是否
发生变化？写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=2❑√2，BE=2，直接写出线段BF长的取值范围
_______．
14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，连接AC，点E在BC
上，且BE=EC，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为α，连接BF，与AC相交于点G，连接
EF，交AC于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止．（1）如图2，当α=60°时，
①求证：EF⊥BC；
②点H在线段AC的什么位置？请说明理由；
（2）在旋转的过程中，是否存在△CEF为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出EF的长；如果不存
在，请说明理由．
15．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°．（1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是______，位置关系是
______；
（2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理
由；
（3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=6，CE=2❑√2，当A，E，D三点在同一直
线上时，直接写出BE的长．16．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板DOE（
∠DOE=90°，∠E=30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠ACB=90°，AC=BC）的
斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．
（1）【发现结论】当三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q时：
①如图1，当OD⊥AC时，OP与OQ的数量关系为______；
②小组成员发现当OD与AC不垂直时（如图2所示），OP与OQ之间仍然存在①中数量关系，请你说明
理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形OPCQ的面积S 与△ABC的面积S 之间始终保持一种不变的关
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系，他们之间的关系是______，并说明理由；
（2）【探究延伸】如图3，连接CD，直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，若AB=12cm，
DE=14cm，直接写出线段CD长的最小值和最大值．17．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕着点B
顺时针旋转，得到矩形BEFG．
（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于 ；
（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；
（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由；
（4）在旋转过程中，请直接写出S +S 的最大值．
△BCE △ABG
18．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）在等边△ABC中， 点E是AC上一点， 点D是BC上一点，BE与AD 交于点F，且∠AFE=60°．
❑√3
（1）如图1， 若 BC=2❑√3，CE= ， 求 AD的长度；
2
（2）如图2， 延长BE至点 G，使得 ∠BGC=60°，连接CG，点H为AC中点， 连接GH，FC， 求
证: FC=2GH；
（3）如图3， BC=2❑√3，点 D为BC中点， 将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，动点P 在线段
CQ上运动(包括端点)，连接AP、BP，将AP绕点 P 顺时针旋转60°得到PA′ ，将BP绕点 P逆时针旋
转 120°得到 PB′ ，连接． A′B′ ，点 M为A′B′的中点，求MF的取值范围．
19．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AF和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长
度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转α(0°<α<180°)，记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程
中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．当△DPQ为等腰三角形时，直接写出
DQ的长．
20．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同
学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针旋转α° (0<α<180).
（1）初步发现：在旋转过程中，对角线EG与边AB、CD分别交于点S、T，如图2，则线段OS与OT始终
存在着怎样的数量关系?请说明理由；
（2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图2.
①求证：四边形QMRN为菱形；
②随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化，若AD=4，CD=8，请求出四边形
QMRN的最大面积与最小面积．
