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专题 23.2 旋转中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问
题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=2，PB=❑√3，PC=1，求∠BPC的
度数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′，则
△BPC≌△BP′ A，然后利用△BP′P和△APP′形状的特殊性求出∠BP′ A的度数，就可以解决这道问
题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段．BP′，连接AP′、PP′，
∵BP=BP′，∠P′BP=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P=60°，PP′=PB=❑√3．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
请你补全余下的解答过程．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA=❑√17，PB=2❑√2，PC=1，则∠BPC=
______度．
（3）【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在直线AD上方有一点P，
PA=4，PD=2，连接PO，则线段PO的最大值为______．【思路点拨】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对
集中到一个三角形中解决问题．
（1）将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，证明△PBC≌△P′BA，再证明△AP′P是直角三角
形；
（2）将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP′，证明△PBC≌△P′BA，再证明△AP′P是直角三角
形；
（3）将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP′，证明△POA≌△P′OD，在△PDP′由三角形三边
关系求出PP′的最大值，从而求得OP的最大值．
【解题过程】
（1）解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′，
∵BP=BP′，∠P′BP=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P=60°，PP′=PB=P′B=❑√3．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
∴△PBC≌△P′BA
∴PC=AP′=1
在△APP′中，
AP′2+PP′2=12+(❑√3) 2=22=AP2
∴∠AP′P=90°
∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=60°+90°=150°
∴∠BPC=∠BP′ A=150°．
（2）解：将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP′，连接AP′、PP′，∵BP=BP′，∠P′BP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
∴△PBC≌△P′BA
∴PC=AP′=1
在△APP′中，
AP′2+PP′2=12+42=(❑√17) 2=AP2
∴∠AP′P=90°
∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=45°+90°=135°
∴∠BPC=∠BP′ A=135°．
故答案为：135°．
（3）解：将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP′，连接DP'、PP′．
∵OP=OP′，∠P′OP=90°，
∴△POP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=❑√2PB=4．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD−∠POD=∠P′OD−∠POD，
即∠POA=∠P′OD．
∴△POA≌△P′OD
∴PA=P′D=4
在△DPP′中，PP′
